定位放样时坐标系不一样时的几种处理方法
定位放样时坐标系统不一致的几种处理方法
周财富
（杭州余杭测量队，杭州 311100）
摘要：本文对放样时不同坐标的几种处理方法进行了探讨。
关键词：坐标轴旋转；平移
1 前言
在实际放样中经常会遇到实放的点位与实际点位不符的情况，这是什么原因造成的呢？一般的来说原因有两个：其一是控制测量成果没有统一平差或控制测量操作不规范；其二是设计人员采用不正确的图纸进行设计或设计人员把正确的图纸进行随便移动后再设计，然后再标注特征点的坐标。就控制点而言，同种坐标系的同一个点的坐标值从理论上来说，只有一种坐标数据，但在实际测绘工作中经常会遇到几种坐标数据，因为现在测绘部门较多，而且各个测绘部门的测绘成果基本上没有统一平差，统一使用，例如，在我区的道古寺的五叉路口有个半径不到25米的花坛中只少有四个埋石点，象这类问题，既是GPS-RTK测量普及后，如果测绘行政管理部门没有强硬的行政手段来加以规定，那么，还是不可避免的会出现的。由于各个测绘部门在做首级控制测量时所使用的起算点往往都不一致，而且等级三角点之间的误差都比较大，加上本级控制测量的最大允许误差，如果几种误差加在一起，那么虽然按规范进行操作，但往往使同种坐标系的同一个点的坐标值产生两种不同的坐标数据，如果这两种不同坐标数据的差值的平方之和开根号大于0.357米，就可以认为这两种坐标数据就是两种不同坐标系统的坐标数据，即这两种不同坐标系统的坐标数据只少有一种可以认为是假定坐标值，为此本文介绍了常用的在坐标定位放样时不同坐标系统的几种处理方法。
2 具体处理方法
用两个已知点，即该放样地块内有两个明显的特征点（正式坐标点与假定坐标点有两个重合），即这两个点同时既有正式坐标值又有假定坐标值的情况进行处理的几种方法：
设甲测量队所测的测绘成果为假定坐标系，乙测量队所测的测绘成果为正式坐标系。例如某地块的征地测量工作是由甲测量队所完成，地块内的平面布置设计都是根据甲测量队提供的测绘成果资料来进行设计的，而地块内的放样工作都是由乙测量队来完成，现在乙测量队根据平面布置取好所有的放样点，并把这些放样点的坐标数据都已上载到全站仪中，然后在乙测量队自己做的控制点上进行设站与定向后，开始放样，首先放比较明显的特征点例如：J1与J2，（现假设有两个比较明显的特征点J1与J2的位置是已知的，根据平面布置图这两点的位置在道路南边的拐点上），但乙测量队把这两点放到路的中间，见下图：
Jˊ1 . 道路 . Jˊ2
J1 J2
图1
要使所有放样点都满足平面设计布置的要求，可参考以下几种方法：
（1）用正式坐标放样，即设站点与定向点的坐标与位置仍然都不变，用全站仪测取J1与J2点的正式坐标值，然后用程序型计算器把所有放样点的假定坐标采用下列坐标轴旋转公式转换成正式坐标，有关坐标轴旋转公式的来源，本人在《浅谈无定向导线的几种测算方法》一文中已加以推导，在此不再重述，所以直接写出换算公式）：
X i=X J1+（X i-X J1）COSΔα-（Y i-Y J1）SINΔα
（1式）Y i=Y J1+（Y i-Y J1）COSΔα+（X i-X J1）SINΔα
式中：
X J1、Y J1 为已知J1点的正式坐标值（实测）；
X i、Y i为第i点的正式坐标值（换算）；
X i、Y i为第i点的假定坐标值（设计）；
Δα=αJ1J2-αJ1J2（αJ1J2为J1J2二点的正式坐标方位角，αJ1J2为J1J2二点的假定坐标方位角）；
换算出各放样点正式坐标后，把这些放样点的坐标全部重新输入到全站仪后即可放样。但必须指出，在这里尺度因子K是不能用到该公式中去的，因为放样的尺寸是设计好的，是不能改变的，而且尺度因子K= S J1J2/ S′J1J2≥1，否则，地块内的建筑物就放不下 (S J1J2为J1、J2两点的实测边长；S J1J2，为J1、J2两点的设计边长)。
（2）用假定坐标值放样，即所有放样点的坐标值仍然都不变，设站点与定向点的位置也不变，把设站点与定向点的坐标值用程序型计算器采用下列坐标轴旋转公式转换成假定坐标值：
X J i=X J1+（X i- X J1）COSΔα-（Y i- Y J1）SINΔα
（2式）
Y J i=Y J1+（Y i- Y J1）COSΔα+（X i- X J1）SINΔα
式中：
X J1、Y J1、X i、Y i、X i、Y I、αJ1J2、αJ1J2的含义同上；但
Δα=αJ1J2-αJ1J2。
换算出设站点与定向点的假定坐标值后，把这两点假定坐标值输入到全站仪后即可放样。但必须指出，采用假定坐标相对位置是正确的，因为它符合平面布置设计的要求，但放样的资料应按正式坐标提供。
用假定坐标值放样时，如果能够在J1或J2点上设站，而且J1与J2又能够相互通视时，可以把仪器直接架在J1或J2点上，然后用J2或J1点的假定坐标值来设站与定向，这种做法是直接采用能符合平面布置设计要求的假定坐标值来放样，但放样的资料也应按正式坐标提供。
当没有明显的特征点，即没有正式坐标与假定坐标重合的点时，但又发现与平面布置图有明显不符的地方，这时整块相关的主要地形（主要的道路及房子等）测出来，然后下载到电脑中与平面布置图进行套合，即把平面布置图插入到本次所测的地形中来，然后经过旋转、平移等的一系列处理后，能够满足平面布置图的设计要求后，再取点放样，如果地块的大小与形状实在不能满足平面布置图的设计要求时，应当更改平面布置图。
3 特征点放样的处理
用n个已知点（ n为大于2的正整数），即该放样地块内有n个明显的特征点（正式坐标点与假定坐标点有n个重合），也就是说这n个点同时既有正式坐标值又有假定坐标值的情况时，可按以下进行处理：
（1）检查这n个点的两组坐标值是否有错误
（2）列出坐标旋转与平移的间接观测的参数方程式
在此参数方程式中，尺度因子K仍然不能用到该公式中去，因为放样的尺寸同样是设计好的，不能改变。
由（1式）中的X J1-X J1 COSΔα+ Y J1 SINΔα= a ，Y J1- Y J1 COSΔα- X J1 SINΔα= b 则：
X i= a+X i COSΔα-Y i SINΔα
（3式）Y i= b+Y i COSΔα+X i SINΔα
式中：
a为X轴的坐标平移值；
b为Y轴的坐标平移值；
X i、Y i为第i点的正式坐标值；
X i、Y i为第i点的假定坐标值；
Δα=αJ1J2-αJ1J2（αJ1J2为J1J2两点的正式坐标方位角，αJ1J2为J1J2二点的假定坐标方位角）；
（3）法方程式的组成
由于法方程式是根据最小二乘法的原理来组成的，为了应用最小二乘法的原理必须把（3式）化成线形方程式，为此：
设 C=COSΔα；d=SINΔα
则 X i= a+X i C-Y i d
（4式）Y i= b+Y i C+X i d
考虑到间接观测值与自变量观测值，两组坐标值由于在观测时都存在误差，设：误差的和分别为V X与V Y加入（4式）并移项：
则 V X i = a+X i c-Y i d-X i
（5式）V Y i = b+Y i c+X i d -Y i
然后采用（1式），根据任意两组已知点求得近似值a 、b 、c 、d 再采用a=a +δa、b =b +δb、c =c +δc、d =d +δd代入（4式），并按泰勒级数展开即可求得误差参数方程式：
V X1 = δa+X1δc-Y1δ d – x1 ， P
V Y1 = δb+Y1δc+X1δd– y1 ， P
……………………… （6式）
V Xn = δa+X nδc-Y nδ d – xn ， P
V Yn = δb+Y nδc+X nδd– yn ， P
式中：
δa、δb、δc、δd为联系数（待定系数）；
x1、 y1、 xn、 yn为间接观测的函数近似值减去间接观测值；
由于（6式）有n对方程式，但未知数只有4个，所以（6式）还是一个多解方程组，根据误差理论可知，只有当［PVV］=极小时，方程组（6式）的解才是唯一的一组解，为此，把（6式）两边分别平方后相加并乘以权P，但由于点与点之间的坐标是独立的间接观测值，在一般情况下它的权是不知道的，因此只能认为它的权P是相等的（除非每个点的点位中误差都是已知的），也就是说获得间接观测值的可信度每个点是相等的，当各点的权取单位权
时，则：［PVV］=［VV］，所以只要分别求［VV］对δa、δb、δc、δd的复合偏导数，并令各个偏导数式都等于0，因为每个偏导数式的二阶偏导数分别为：2a i a i、2b i b i、2c i c i、2d i d i 都大于0，所以求取的未知数改正值V X1、V Y1……V Xn、V Yn确是最小值（根据函数求极值的第二判断法则）。然后把等式的两边同除以2后，再按δa、δb、δc、δd集项（合并同类项）即可求得法方程式：
［aa］δa+［a b］δb+［ac］δc+［ad］δd+［a ］=0
［ab］δa+［bb］δb+［bc］δc+［bd］δd+［b ］=0
［ac］δa+［bc］δb+［cc］δc+［cd］δd+［c ］=0
［ad］δa+［bd］δb+［cd］δc+［dd］δd+［d ］=0
（4）法方程式的解算：
法方程式的解算可以采用高斯约化法，也可以采用普通的四元一次方程的解法来解算。解得δa、δb、δc、δd四参数后，分别与a 、b 、c 、d 相加求得a、b、c、d 后就可以按以上所述的2.1与2.2的方法来处理。由于C=COSΔα；d=SINΔα，所以，当要知道偏角Δα时，只要反正弦或反余弦即可，即：Δα=arc COS c= arc SIN d.。
4结束语
当正式坐标点与假定坐标点重合个数n大于2个时，如采用手算是比较困难的，例如n=3就要解六个法方程式，如果n=4就要解八个法方程式，依此类推如果n=10就要解二十个法方程式，那么是很难办到的，再说如果X、Y的值以米为单位是5位整数时，那么要绝对保证精确到毫米，则在计算过程中的各种数据取位，应保留小数后10位，对于一般的计算器来说显示屏的位数都不够，所以当n大于2个时，目前一般都采用专用软件进行计算，但计算原理应予掌握以防急用。
分析上述方法可得：如果采用（1）来处理，既要有程序型计算器又要进行大量的输数，这样不仅工作量大而且又容易错；如果采用（2）来处理，输数确是比较少了，但放样用的是假定坐标值，在提供资料时应注意用正式坐标值；如果采用（3）来处理，必须在J1或J2点上能够架设仪器，并且J1与J2两点之间要相互通视，而且放样用的也是假定坐标值，在提供资料时也应注意用正式坐标值；如果我们采用（3）来处理就不能够在野外现场处理完成，除非随时都带了便携电脑。究竟用哪种方法来处理好，笔者认为应根据重合点的多少，结合实际地形以及携带计算用具的情况，因地制宜、灵活机动的来处理。