高中数学同步练习题合集(附答案分析) 利用导数研究函数的性质

3-2利用导数研究函数的性质

基础巩固强化

1.(2012·湖南衡阳模拟)函数f(x)＝x－a x在x∈[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为()

A．1B．2C．4D．5

[答案] C

[解析]当x∈[1,4]时，f′(x)＝1－a

2x

≤0，

∴a≥2x恒成立，∴a≥4.

2．(文)(2012·陕西理，7)设函数f(x)＝x e x，则()

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

[答案] D

[解析]本题考查了导数的应用—求函数的极值．

f′(x)＝e x＋x e x，令f′(x)＝0，

∴e x＋x e x＝0，∴x＝－1，

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＝e x＋x e x<0，x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＝e x＋x e x>0，∴x＝－1为极小值点，故选D.

[点评]求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域．

(理)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()

A.4

27，0 B．0，4

27

C ．－427，0

D ．0，－427

[答案] A

[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，

由f ′(1)＝0，f (1)＝0得， ????? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.解得?????

p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ， 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，

易得当x ＝13时f (x )取极大值427，

当x ＝1时f (x )取极小值0.

3．(文)

函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极大值点有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[答案] B

[解析] 由导函数的图象知，f (x )在(a ，b )内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．

(理)(2012·重庆理，8)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的

是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

[答案] D

[解析]当x<－2时，1－x>3，则f′(x)>0；

当－2

∴函数f(x)有极大值f(－2)，当12时，1－x<－1，则f′(x)>0，

∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.

4．(文)(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

[答案] B

[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则

φ′(x)＝f′(x)－2>0.

∴φ(x)在R上是增函数．

又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，

∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，

∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.

(理)(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为()

A．{x|x>0} B．{x|x<0}

C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0

[答案] A

[解析]构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

5．(文)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()

[答案] A

[解析] 由图可知，当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A.

(理)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )

A ．f (x )＝4sin ? ??

??12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ? ??

??12x ＋π4 C ．f (x )＝2sin ? ??

??12x ＋3π4 D ．f (x )＝4sin ? ??

??12x ＋3π4 [答案] A

[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，A ω＝2，设

周期为T ，则T 2＝3π2－? ??

??－π2＝2π，

∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，

∵f ′(x )的图象过点? ????π2，0，∴2cos ? ??

??12×π2＋φ＝0， ∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，

∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.

6．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )

A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3

B ．－3

C ．－2

D ．不存在这样的实数

[答案] B

[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2

[点评] 已知函数f (x )，由f ′(x )的符号可得到函数f (x )的单调区间，而f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不单调，因此，k －1与k ＋1应分布在函数f (x )的两个单调区间内．请再练习下题：

已知函数f (x )＝x 3－kx 在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是________．

[答案] 3

[解析] f ′(x )＝3x 2－k .由3x 2－k >0，得x 2

>k 3，若k ≤0，则f (x )显然在(－3，－1)上单调递增，

∴k >0，∴x >

k 3或x <－k 3. 由3x 2－k <0得－k

3

3，

∴f (x )在?

????－∞，－k 3上单调递增，在(－k

3，k

3)上单调递减，在? ??

??k 3，＋∞上单调递增， 由题设条件知－3<－k

3<－1，∴3

7．(2011·福州模拟)已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．

[答案] －37

[解析] f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0

∴f (x )在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，

由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37，

∴最小值为－37.

8．(2011·苏北四市调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．

[答案] [－2，－1]

[解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2①

又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由条件知f ′(－1)＝－3，

故3m －2n ＝－3②

联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，

令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，

则[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，

所以t∈[－2，－1]．

[点评]f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故[t，t＋1]是f(x)的减区间的子集．

9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x 的取值范围为________．

[答案](1，2)

[解析]∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)

[点评]本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．

10．(2012·哈尔滨质检)已知f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)．

(1)求出f(x)的极值；

(2)若f(x)在区间[－2,1]上最大值是5，最小值是－11，求f(x)的解析式．

[解析](1)f′(x)＝3ax2－4ax，令f′(x)＝0?x＝0或x＝4 3.

当a>0时，

当x ＝43时，y 取得极小值b －32

27a ，

同理当a <0时，x ＝0时，y 取得极小值b ，

x ＝43时，y 取得极大值b －32

27a .

(2)当a >0时，f (x )在[－2,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝b ＝5.

又f (－2)＝b －16a

所以b －16a ＝－11，a ＝1.

当a <0时，f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝b ＝－11.

又f (－2)＝b －16a >f (1)＝b －a ，

所以b －16a ＝5，a ＝－1.

综上，f (x )＝x 3－2x 2＋5或f (x )＝－x 3＋2x 2－11.

能力拓展提升

11.(文)(2011·南开区质检)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线

y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )

A ．2

B ．1

C ．－1

D ．－2

[答案] A

[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ，

又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点，

∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，

∴????? b ＝1，c ＝2，或?????

b ＝－1，

c ＝－2.∴a

d ＝2. (理)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，

f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列????

??1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2010的值为( )

A.20102011

B.10052011

C.40204021

D.20104021

[答案] D

[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，

∴f (x )＝4x 2－1，

∴1f (n )＝14n －1＝12n －1·12n ＋1

＝12? ??

??12n －1－12n ＋1， ∴数列??????1f (n )的前n 项和S n ＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝12? ????1－13＋12? ??

??13－15＋…＋12? ????12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1

，∴S 2010＝20104021. 12．(文)(2012·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒

成立，则a 的最大值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] A

[解析] 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[12，1]时，

f ′(x )<0，当x ∈[1,2]时，f ′(x )>0，

∴f (x )在[12，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，故选A.

(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是

( )

A ．[0，π6]

B ．(0，π3]

C ．(π6，π2]

D ．(π6，π]

[答案] D

[解析] 据题意知，f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，若函数存在极值，

必有(2|a |)2－4×2a ·b >0，整理可得|a |2>2a ·b ，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |<|a |22|a |·|a |3＝32，解得π6<〈a ，b 〉≤π.

13．(2012·深圳第一次调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．

14．(文)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，

当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．

[答案] 1

[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，

当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a

<2.令f ′(x )>0得x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上单调递增；

令f ′(x )<0得x >1a ， ∴f (x )在(1a ，2)上单调递减；所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a

－a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1.

(理)(2011·安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．

[答案] －13

[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.

15．(文)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a 、b 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．

[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .

因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，

所以????? f ′(2)＝0，f (2)＝8.即?????

12－3a ＝0，8－6a ＋b ＝8. 解得a ＝4，b ＝24.

(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．

当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．

当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .

当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；

当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；

当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．

∴f(x)的单调增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．

故x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．

(理)(2012·新课标全国文，21)设函数f(x)＝e x－ax－2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k 的最大值．

[分析](1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f′(x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．

(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k

e x－1

＋x(x>0)．①

令g(x)＝x＋1

e x－1

＋x，则g′(x)＝

－x e x－1

(e x－1)2

＋1＝

e x(e x－x－2)

(e x－1)2

.

由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)

在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k

16．(文)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．

(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间并比较f (x )与f (1)的大小关系；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，

对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2[f ′(x )＋m 2]在区间(t,3)上总不

是单调函数，求m 的取值范围；

(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N *)．

[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，f ′(x )＝x －1x (x >0)，

由f ′(x )>0得x >1；由f ′(x )<0得0

所以，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]，

可知f (x )min ＝f (1)，所以f (x )≥f (1)．

(2)∵f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，tan45°

＝1， ∴f ′(2)＝－a 2＝1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，

∴g (x )＝x 3＋(m 2＋2)x 2－2x ，

∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.

∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴?????

g ′(t )<0，g ′(3)>0.

由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，

所以，????? g ′(1)<0，g ′(2)<0，g ′(3)>0.∴－373

(3)证明如下：由(1)可知，

当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，

∴0

∵n ≥2，n ∈N *

，则有0

(n ≥2，n ∈N *)． (理)(2012·山东文，22)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝

2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

(1)求k 的值；

(2)求f (x )的单调区间；

(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.

[分析] (1)根据导数几何意义，利用f ′(x )＝0求解．

(2)利用f ′(x )>0?单调递增区间，f ′(x )<0?单调递减区间．

(3)易得g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，直接对g (x )求导，研究其在(0，＋

∞)上的单调性，进而求极值、最值，证g (x )max <1＋e －2是一条思路，但当对g (x )求导后发现几乎无法处理g ′(x )>0(g ′(x )<0)思路受阻．受

(2)的启发，研究h (x )＝1－x －x ln x ，利用x ∈(0，＋∞)时1e x <1这一条

件以及h (x )最大值来证就顺理成章了．

[解析] (1)解：由f (x )＝ln x ＋k e x ，

得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x

，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.

(2)解：由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，

令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，

当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.

又e x >0，

所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；

x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.

因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(3)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．

所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．

由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，

求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，

所以当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2.

又当x ∈(0，＋∞)时，0<1e x <1，

所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2.

综上所述结论成立．

[点评] 本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数

的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等．

备选题库

1．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(－∞，1)

C ．(0，＋∞)

D.? ??

??0，12 [答案] D

[解析]

∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意知，函数f ′(x )图象如右图． ∴????? f ′(0)<0，f ′(1)>0.

∴?????

－6b <0，3－6b >0.∴00，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

[答案] D

[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0.

∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成

立．

3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a

A ．af (b )≤bf (a )

B ．bf (a )≤af (b )

C ．af (a )≤f (b )

D ．bf (b )≤f (a ) [答案] A

[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，又f (x )≥0，

∴xf ′(x )≤－f (x )≤0.

设y ＝f (x )x ，则y ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2

≤0， 故y ＝f (x )x 为减函数或为常数函数．

又a

∵a 、b >0，∴a ·f (b )≤b ·f (a )．

[点评] 观察条件式xf ′(x )＋f (x )≤0的特点，可见不等式左边是

函数y ＝xf (x )的导函数，故可构造函数y ＝xf (x )或y ＝f (x )x 通过取导数利

用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：

已知a 、b 是实数，且e