2017年高考数学分类题库8

一、答题

1.(2017·江苏高考·T18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10错误!未找到引用源。cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.

(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.

【命题意图】本题考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、三角函数变换等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.

【解析】(1)记玻璃棒与CC1的交点为H,则CH=错误!未找到引用源。=30,sin∠HAC=错误!未找到引用源。,没入水中的部分为错误!未找到引用源。=16(cm).

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)

(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,OO 1⊥平面EFGH,所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH,O 1O ⊥EG.

同理,平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1.

记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.

过G 作GK ⊥E 1G 1,K 为垂足,则GK =OO 1=32.

因为EG =14,E 1G 1=62,

所以KG 1=错误!未找到引用源。=24,从而GG 1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=40.

设∠EGG 1=α,∠ENG=β,则sin α=sin 错误!未找到引用源。=cos ∠KGG 1=错误!未找到引用源。.

因为错误!未找到引用源。<α<π,所以cos α=-错误!未找到引用源。.

在△ENG 中,由正弦定理可得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得sin β=错误!未找到引用源。.

因为0<β2

所以cos β=错误!未找到引用源。. 于是sin ∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)

=sin αcos β+cos αsin β=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

记EN 与水面的交点为P 2,过P 2作P 2Q 2⊥EG,Q 2为垂足,则P 2Q 2⊥平面EFGH,故P 2Q 2=12,从而EP 2=错误!未找到引用源。=20.

答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)

【反思总结】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已

知条件灵活转化边和角之间的关系,其基本步骤是:

第一步:定条件,确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.

第二步:定工具,根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.

第三步:求结果.

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