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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 第九课

§2.9函数的应用

1．几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

(2)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建

立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大． ( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快． ( × ) (3)不存在x 0，使ax 0

( × )

(4)美缘公司2010年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%.

( × )

(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．

( √ )

(6)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )

物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站

( )

A ．5千米处

B ．4千米处

C ．3千米处

D ．2千米处

答案 A

解析由题意得，y 1＝k 1

x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是

2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋4

5x ≥2

20x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝4

x ，即x ＝5时取等号，故选A.

3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶

路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是

( )

答案 A

解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．

4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()

A．118元B．105元C．106元D．108元

答案 D

解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D. 5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t 表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

答案2ln 2 1 024

解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝

e k，

∴k＝2ln 2，∴y＝e2t ln 2，

当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.

题型一二次函数模型

例1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示

的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水

面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空

中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达

到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴

建立直角坐标系．

(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；

(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练

要求时h的取值范围．

思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；

(2)利用x ＝5，x ＝6时函数值的符号求h 范围．解 (1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h ≥1，设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，

当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4，将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.

∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y ＝－(x －3)2＋4. (2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4 得ah 2＝－1，所以a ＝－1

由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1

h 2[x －(2＋h )]2＋4，

则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1

h 2(4－h )2＋4≤0.

解得1≤h ≤4

达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，4

]．

思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．

某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －

0.1x 2 (0

A ．100台

B ．120台

C ．150台

D ．180台

答案 C

解析设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)

＝0.1x 2＋5x －3 000 (0

∴生产者不亏本时的最低产量是150台．题型二指数函数模型

例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、

化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总

额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N ＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．

(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；

(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)

思维启迪从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－1

2f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，

f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－1

2f (2)·6.24%

＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －

1 (x ∈N ＋)．

(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，

故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·1

2f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了

约14万美元，是假新闻．

思维升华此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 030

-，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已

知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)等于( ) A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克

答案 D

解析 ∵M ′(t )＝－130

M 0302t

-·ln 2， ∴M ′(30)＝－130×1

2M 0ln 2＝－10ln 2，∴M 0＝600.

∴M (t )＝600×30

t -，∴M (60)＝600×2－

2＝150(太贝克)．

题型三分段函数模型

例3 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水

超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)． (1)求y 关于x 的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．思维启迪题中y 关于x 的函数为分段函数关系．

解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；

当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，

y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.

所以y ＝?????

14.4x 0≤x ≤4

，

20.4x －4.8， 45

3，

24x －9.6， x >43

(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；

当x ∈[0，45]时，y ≤f (4

5)<26.4；

当x ∈(45，43]时，y ≤f (4

)<26.4；

当x ∈(4

3，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.

所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨；付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，

付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．

思维升华 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．

某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，

其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平

均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝?????

0 (n ≤10)，

100 (10

200 (15

300 (2025).

现有

甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )

A ．600元

B ．900元

C ．1 600元

D ．1 700元答案 D

解析 ∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)， ∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D.

函数应用问题

典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业

甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让

费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量 Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

思维启迪 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函

数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．规范解答

解设该店月利润余额为L ，

则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000， ① 由销量图易得Q ＝????

－2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20

[2分]

代入①式得

L ＝?????

(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，????－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20

(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20

故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．

[8分]

(2)设可在n 年后脱贫，

依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．[12分]

解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．

第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

温馨提醒 (1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q 与P 的函数关系；②建立利润余

额函数；③建立脱贫不等式．

(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．

(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.

方法与技巧

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、均值不等式等求得最值．

3．解函数应用题的四个步骤： ①审题；②建模；③解模；④还原．失误与防范

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

A 组专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小

时)的函数关系用图象表示为

( )

答案 B

解析根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.

2．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)

之间的关系可近似地表示为y ＝x 2

－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为

( )

A ．240

B ．200

C ．180

D ．160 答案 B

解析依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000

x －30，

则y

≥2 x 10·4 000x

－30＝10，当且仅当x 10＝4 000

，即x ＝200时取等号，

因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.

3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产

值比第一年相应月产值的增长率为

( )

A ．a 12－1

B ．(1＋a )12－1

C ．a

D ．a －1

答案 B

解析不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－b

b ＝(1＋a )12－1.

4. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种

方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差

( )

A ．10元

B ．20元

C ．30元 D.40

3元

答案 A

解析设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，

当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝1

5，

t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×1

－20＝10.

5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，

开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分) 备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14

答案 A

解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝5

4(24－y )，

∴S ＝xy ＝－5

(y －12)2＋180，

∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 二、填空题

6．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩

余的细沙量为y ＝a e

－bt

(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过

________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16

解析当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b

＝12

a ， ∴e

－8b

＝1

，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt

＝18

a ， e

－bt

＝18

＝(e －8b )3＝e －

24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.

7. A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．

A 从甲地自东向西行驶．

B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是 40 km /h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短．答案

258

解析设经过x h ，A 、B 相距为y km ，

则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为25

8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；

超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9

解析设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝????

9，08，

由y ＝22.6，解得x ＝9. 三、解答题

9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75

元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]

解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k

x －0.4(k ≠0)．

把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k

0.65－0.4，k ＝0.2.

∴y ＝0.2x －0.4＝1

5x －2

，

即y 与x 之间的函数关系式为y ＝1

5x －2

(2)根据题意，得(1＋1

5x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．

整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，

故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.

∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车

流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；

(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，

再由已知得?

????

200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得

???

a ＝－13

，

b ＝2003.

故函数v (x )的表达式为

v (x )＝?????

60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20

(2)依题意并由(1)可得

f (x )＝????

60x ， 0≤x ≤20，13

x (200－x )， 20

当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，

故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20

3x (200－x )

≤13????x ＋(200－x )22＝10 0003，

当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．

所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003

综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000

≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

B 组专项能力提升 (时间：30分钟)

1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次

上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为

( )

A ．略有盈利

B ．略有亏损

C ．没有盈利也没有亏损

D ．无法判断盈亏情况

答案 B

解析设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a

2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折

扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.

y 关于x 的解析式为 y ＝????

0，01 300.

若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元．答案 1 350

解析若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x >1 300.

∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元)．

3．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，

有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．答案 4

解析设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则????

N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③

由①②，得?

????

K ＝2.5M ，N ＝60M ，

代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求．

4．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，

当年产量不足80千件时，C (x )＝1

3x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x

＋

10 000

－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．

(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0

L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250

∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N ＋时，

L (x )＝1 200－(x ＋10 000

x )≤1 200－2

x ·10 000x

＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000

x ，即x ＝100时，

L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.

综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

5．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量

近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝1

4t ＋22(1≤t ≤40，

t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－1

2t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )

的最大值和最小值．解当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(1

t ＋22)

＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 500

3，

所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.

当41≤t ≤100，t ∈N 时，

S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－1

2t ＋52)

＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－8

3，所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝

1 491

. 综上，S (t )的最大值为2 500

，最小值为8.

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

幂函数【知识梳理】 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞， 0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞， 0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋ ∞)上单调递增定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}．【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(

(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习

1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为

一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4

高中化学步步高二轮复习全套课件专题二

[考纲要求] 1.了解物质的量的单位——摩尔(mol)、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义。2.了解相对原子质量、相对分子质量的定义,并能进行有关计算。 3.理解质量守恒定律的含义。 4.能根据物质的量与微粒(原子、分子、离子等)数目、气体体积(标准状况下)之间的相互关系进行有关计算。 5.了解溶液的含义。 6.了解溶解度、饱和溶液的概念。 7.了解溶液的组成,理解溶液中溶质的质量分数的概念,并能进行有关计算。 8.了解配制一定溶质质量分数、物质的量浓度溶液的方法。 (一)洞悉陷阱设置,突破阿伏加德罗常数应用题组一气体摩尔体积的适用条件及物质的聚集状态 1.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)2.24 L CO2中含有的原子数为0.3N A(×) (2)常温下,11.2 L甲烷气体含有的甲烷分子数为0.5N A(×) (3)标准状况下,22.4 L己烷中含共价键数目为19N A(×) (4)常温常压下,22.4 L氯气与足量镁粉充分反应,转移的电子数为2N A(×) (5)标准状况下,2.24 L HF含有的HF分子数为0.1N A(×) 突破陷阱抓“两看”,突破“状态、状况”陷阱一看“气体”是否处于“标准状况”。二看“标准状况”下,物质是否为“气体”(如CCl4、H2O、Br2、SO3、HF、己烷、苯等在标准状况下不为气体)。题组二物质的量或质量与状况 2.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)常温常压下,3.2 g O2所含的原子数为0.2N A(√) (2)标准标况下,18 g H2O所含的氧原子数目为N A(√) (3)常温常压下,92 g NO2和N2O4的混合气体中含有的原子数为6N A(√) 突破陷阱

高中数学必修1基本初等函数常考题型幂函数

幂函数【知识梳理】 1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2

C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}．【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2

基本初等函数(整理)

1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数

1．指数函数 1函数（a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，且通过点(0,1)。若a>1，指数函数是单调增加的。若0

2．对数函数由此可知，今后常用关系式，如：指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。若01 0

【步步高】2019版高考化学(全国通用)考前三个月专题1 物质的组成、分类及化学用语

[高考关键词] 1.标准与分类、俗名与物质类别。2.变化——物理变化、化学变化。3.化学用语——化学式、电子式、结构式、方程式。4.古文中蕴含的化学知识。 1．有下列10种物质：①明矾②消石灰③小苏打 ④SiO2⑤氯水⑥蛋白质溶液⑦生石灰 ⑧Na2O2⑨漂白粉⑩淀粉 (1)属于纯净物的是________，属于碱性氧化物的是________，属于酸式盐的是________，属于离子化合物的是________。 (2)属于混合物的是________，其中属于溶液的是__________，其中属于胶体的是__________。答案(1)①②③④⑦⑧⑦③①②③⑦⑧ (2)⑤⑥⑨⑩⑤⑥ 2．下列变化中属于化学变化的是________。 ①煤的干馏②蒸馏③重油裂化④煤的气化 ⑤焰色反应⑥钝化⑦电镀⑧胶体聚沉⑨氧气转化为臭氧⑩137I转变为131I 答案①③④⑥⑦⑨

3．按要求用化学用语表示下列物质。 (1)乙烯的结构式：________，结构简式：________。 (2)Na2O2、H2O2、HClO的电子式________________、____________、 ____________。 (3)MgCl2、NaOH、NaH的电子式________________、____________、 ____________。答案(1)CH2===CH2 (2) (3) 4．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。 (1)物质发生化学变化时，物质的总能量和总质量保持不变( ) (2)电解质溶液导电时，必然伴随着化学变化( ) (3)H2SO4、SO2、CH3COOH、NH3·H2O均为共价化合物( ) (4)因为Fe2O3是金属氧化物，所以它能与水反应生成碱( ) (5)非金属氧化物不一定是酸性氧化物，但酸性氧化物一定是非金属氧化物( ) (6)Al2O3可与盐酸和氢氧化钠反应，SiO2可与氢氟酸和氢氧化钠反应，因而二者均属于两性氧化物( ) (7)铁粉加入FeCl3溶液中的反应既属于化合反应，又属于离子反应，还属于氧化还原反应( ) 答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×(7)√

高中化学步步高必修1章末检测卷(三)

章末检测卷(三) (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题(本题包括15小题，每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题意) 1.将固体X投入过量的Y中，能生成白色沉淀并放出一种无色气体，该气体能燃烧，不易溶于水，则X和Y分别可能是() A.钠和氯化铝溶液 B.铝和烧碱溶液 C.过氧化钠和氯化亚铁 D.锌和稀硫酸答案 A 解析Na与水反应生成NaOH和H2，NaOH与过量的AlCl3溶液反应生成白色沉淀Al(OH)3，A正确；2Al＋2NaOH＋2H2O===2NaAlO2＋3H2↑，无沉淀生成，B错误；2Na2O2＋2H2O===4NaOH＋O2↑，NaOH与过量FeCl2溶液反应，生成Fe(OH)2白色沉淀，然后迅速变成灰绿色，最终变为红褐色沉淀，C错误；Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑，无沉淀生成，D 错误。 2.下列说法错误的是() A.钠在空气中燃烧最后所得产物为Na2O2 B.镁因在空气中形成了一薄层致密的氧化膜，保护了里面的镁，故镁不需要像钠似的进行特殊保护 C.铝制品在生活中非常普遍，这是因为铝不活泼 D.铁在潮湿的空气中因生成的氧化物很疏松，不能保护内层金属，故铁制品往往需涂保护层答案 C 解析铝因易与O2反应生成致密的氧化物保护膜而耐腐蚀，我们日常用的铝制品常采用特殊工艺将氧化膜变厚，保护作用更好，并不是铝不活泼。 3.下列反应，其产物的颜色按红色、红褐色、淡黄色、蓝色顺序排列的是() ①金属钠在纯氧中燃烧②FeSO4溶液中滴入NaOH溶液并在空气中放置一段时间 ③FeCl3溶液中滴入KSCN溶液④无水硫酸铜放入医用酒精中 A.②③①④ B.③②①④ C.③①②④ D.①②③④ 答案 B 解析Na2O2、Fe(OH)3、Fe(SCN)3、CuSO4·5H2O的颜色分别是淡黄色、红褐色、红色、蓝色。

2020届高三化学一轮复习步步高全书完整的Word版文档-2

(2)化合物C 在一定条件下可发生分子间成环反应生成含3个六元环的有机物，其化学方程式为。 (3)写出1种满足下列条件的 B 的同分异构体的结构简式： (任写1种)。 ①含有两个—NH 2的芳香族化合物；②核磁共振氢谱有三种吸收峰。 (4)结合上述流程写出以乙醇为有机原料制备的合成路线流程图(无机试剂任选)。答案(1)2-氯苯甲醛(或邻氯苯甲醛) (2) (3) (4)CH 3CH 2OH ――→O 2/Cu △CH 3CHO ――→NaCN NH 4Cl ―――→ H ＋ /H 2O ―――→ 一定条件 B 组 1．(2018·广东江门高考模拟)槟榔碱在医疗上常用于治疗青光眼，其中一种合成路线如下：

专题一第三讲二次函数、基本初等函数及函数的应用

一、选择题 1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14 )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12 ，则f (x )＝x 12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B 2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ，所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D 3.设00，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12 )b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．答案：B 4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为

高2020届高2017级高三化学步步高二轮复习学案专题一

[考纲要求] 1.了解分子、原子、离子和原子团等概念的含义。2.理解物理变化与化学变化的区别与联系。3.理解混合物和纯净物、单质和化合物、金属和非金属的概念。4.理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系。5.了解电解质的概念,了解强电解质和弱电解质的概念。6.理解电解质在水中的电离以及电解质溶液的导电性。7.了解胶体是一种常见的分散系,了解溶液和胶体的区别。考点一把握分类标准理清物质类别 1.依据标准对物质进行分类 (1)把以下物质按要求分类：H2,CaO,Ba(OH)2,Fe2O3,Al,浑浊的河水,CH3CH2OH,NaHSO4,Cu(OH)2,HNO3,H2SO4,CO2,H3PO4,NaOH,CuSO4,空气,CO,CH4,MgCl2,H2CO3,MgSO4。 ①属于单质的是：____________________________________; ②属于有机化合物的是：______________________________;

③属于氧化物的是：__________________________________; ④属于酸的是：______________________________________; ⑤属于碱的是：______________________________________; ⑥属于盐的是：______________________________________; ⑦属于混合物的是：__________________________________。答案①H2、Al②CH4、CH3CH2OH③CaO、Fe2O3、CO2、CO④HNO3、H2SO4、H3PO4、H2CO3⑤Cu(OH)2、Ba(OH)2、NaOH⑥NaHSO4、CuSO4、MgCl2、MgSO4⑦浑浊的河水、空气 (2)正误判断,正确的划“√”,错误的划“×” ①由同种元素组成的物质一定是纯净物() ②强碱一定是离子化合物,盐也一定是离子化合物() ③碱性氧化物一定是离子化合物,金属氧化物不一定是碱性氧化物() ④酸性氧化物不一定是非金属氧化物,非金属氧化物也不一定是酸性氧化物() ⑤能电离出H＋的一定是酸,呈酸性的溶液一定是酸溶液() ⑥在酸中有几个H原子就一定是几元酸() ⑦能导电的物质不一定是电解质() ⑧纯碱属于盐,不属于碱() ⑨PM2.5分散在空气中形成气溶胶() ⑩离子化合物均属于电解质,共价化合物均属于非电解质() 答案①×②×③√④√⑤×⑥×⑦√⑧√⑨×⑩× 2.识记常见混合物的成分与俗名 (1)水煤气：主要成分是CO、H2。 (2)天然气(沼气)：主要成分是CH4。 (3)液化石油气：以C3H8、C4H10为主。 (4)裂解气：以乙烯、丙烯、甲烷为主。 (5)水玻璃：Na2SiO3的水溶液。 (6)王水：浓盐酸与浓硝酸的混合物(体积比3∶1)。 (7)波尔多液：主要成分是CuSO4和Ca(OH)2。 (8)肥皂：主要成分是高级脂肪酸钠。 (9)碱石灰：NaOH和CaO的混合物。 (10)铝热剂：铝粉和高熔点的金属氧化物的混合物。 (11)漂白粉：Ca(ClO)2和CaCl2的混合物。 3.一种重要的混合物——胶体 (1)胶体与其他分散系的本质区别是分散质粒子的直径的大小(1～100 nm),胶体的特性是丁达

(完整)五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数函数称为幂函数。如，，，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与为例绘出图形，如图1-1-4。图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数，其定义域，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。图1-1-5 4.三角函数有，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

常见基本初等函数极限

66 一、常见数列极限的存在情况： (1)1,1,1,1,1,L L 。通项1n y =，极限11()n y n =??￥（收敛）即lim11n ?￥ = (2)11111, ,,,,,234n L L 。通项1n y n =，极限1 0()n y n n =??￥（收敛）即01 lim =￥?n n (如图2) (3) 01 n n =+ (4))?￥（收敛）即n ( (5)2,(6)1,-(如图6) n y

67 (7) 1,2,3,,,n L L 。通项n y n =，极限()n y n n =?￥?￥（发散）(如图7) 。 (8) (1)2n n y =- 极限 (1)n n y =-(如图8) （一）当x (1) 函数y y -￥

68 (3)函数y x =-，极限lim x x ?±￥ -=￥m （）； (4)函数1y x = ，极限1 lim 0x x ?±￥= 限不存 y

69 2、指数函数部分 (9)函数(1x y a a =>），极限lim (1)x x a a ?+￥ =+￥>（极限不存在）（注意：x ?+￥） (10)函数(1x y a a =>）极限lim 0 (1)x x a a ?-￥ =>;（注意：x ?-￥） (11)函数 (01)x y a a =<<，极限lim 0 (01)x x a a ?+￥ =<< （注意：x ?+￥） (12)函数 (01)x y a a =<<，极限lim (01)x x a a ?-￥ =+￥<< 极限不存在（注意：x ?-￥）（x ?+￥（注意：x ?-￥） x x

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中化学第一章化学反应与能量复习课新人教版选修4

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中化学第一章化学反应与能量复习课新人教版选修4 1．下列对化学反应热现象的说法正确的是( ) A．放热反应发生时不必加热 B．化学反应一定有能量变化 C．一般地说，吸热反应加热后才能发生 D．化学反应的热效应数值与参加反应的物质的多少无关答案 B 解析本题旨在考查化学反应的能量变化规律及发生条件。化学反应是“断旧键，成新键”的过程。断键需要吸收能量，只有当反应物分子具有足够的能量时，才能使旧键断裂发生化学反应。因此许多放热反应仍需加热才能发生，如H2在空气(O2)中燃烧，开始应点燃，故A不正确；由于反应物的总能量一般不可能恰好等于生成物的总能量，能量差一般通过“吸热”或“放热”途径找补(但热能不是化学反应的惟一能量变化方式，还有光能、声能、电能、动能等形式)，B正确；有不少吸热反应不必加热也能发生，如盐类的水解就属于吸热反应，但升温可促进水解的进行，C、D均不正确。 2．下列说法不正确的是( ) A．化学变化过程是原子的重新组合过程 B．化学反应的焓变用ΔH表示，单位是kJ·mol－1

C ．化学反应的焓变ΔH 越大，表示放热越多 D ．化学反应中的能量变化不都是以热能形式表现出来的答案 C 解析 ΔH 带符号，对于放热反应，ΔH 越大表示放热越少，对于吸热反应，ΔH 越大则表示吸热越多，故C 选项错误。 3．下列热化学方程式书写正确的是( ) A ．2SO 2＋O 22SO 3 ΔH ＝－196.6 kJ ·mol －1 B ．H 2(g)＋12 O 2(g)===H 2O(l) ΔH ＝－285.8 kJ·mol －1 C ．2H 2(g)＋O 2(g)===2H 2O(l) ΔH ＝－571.6 kJ D ．C(s)＋O 2(g)===CO 2(g) ΔH ＝＋393.5 kJ·mol －1 答案 B 解析 A 项无状态；C 项ΔH 的单位错；D 项ΔH 的`符号错。 4．一定质量的无水乙醇完全燃烧时放出的热量为Q ，它所生成的CO 2用过量饱和石灰水完全吸收，可得100 g CaCO 3沉淀，则在此条件下完全燃烧1 mol 无水乙醇时放出的热量是 ( ) A ．0.5Q B ．Q C ．2Q D ．5Q 答案 C 解析 C 2H 5OH ～2CO 2～2CaCO 3～热量 1 mol 200 g x 100 g Q x ＝200 g 100 g Q ＝2Q 5．已知：①C (石墨，s)＋O 2(g)===CO 2(g) ΔH 1＝－393.5 kJ·mol －1 ②CO (g)＋12 O 2(g)===CO 2(g) ΔH 2＝－283.0 kJ·mol －1 则③C (石墨，s)＋12 O 2(g)===CO(g)的反应热是 ( ) A ．－123 kJ·mol －1 B ．－676.5 kJ·mol －1 C ．－55.0 kJ·mol －1 D ．－110.5 kJ·mol －1 答案 D 解析 ①－②即得：C(石墨，s)＋12 O 2(g)＝CO(g) ΔH ＝－110.5 kJ·mol －1 6．下列叙述中正确的是( ) A ．在稀溶液中，1 mol 酸和1 mol 碱完全反应所放出的热量，叫做中和热 B ．在101 kPa 时，1 mol 物质燃烧时所放出的热量叫做该物质的燃烧热 C ．热化学方程式中，各物质前的化学计量数不表示分子个数 D ．如果反应物所具有的总能量小于生成物所具有的总能量，则发生的反应是放热反应答案 C 解析 A 、B 两项要注意对中和热、燃烧热概念的理解，前者是以稀的强酸、强碱反应生成1 mol H 2O 为标准，后者是以1 mol 纯可燃物完全燃烧，生成稳定的氧化物为标准；D 项中反应物总能量低于生成物总能量，反应过程中需吸收能量，即为吸热反应。 7．在25°C、101 kPa 下，1 g 甲醇燃烧生成CO 2和液态水时放热22.68 kJ ，下列热化学方程式正确的是( ) A ．CH 3OH(l)＋32 O 2(g)===CO 2(g)＋2H 2O(l) ΔH ＝＋725.8 kJ·mol －1 B ．2CH 3OH(l)＋3O 2(g)===2CO 2(g)＋4H 2O(l) ΔH ＝－1 452 kJ·mol －1

高一数学幂函数-基本初等函数

高一数学幂函数一、新课引入：（1）边长为a 的正方形面积2a S =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长2 1S a =，这里a 是S 的函数；（3）边长为a 的立方体体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度s km t v /1-=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付w p =元，这里p 是w 的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）二、讲授新课： 1、教学幂函数的图象与性质 ① 给出定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. ② 练：判断在函数231,2,,1y y x y x x y x ===-=中，哪几个函数是幂函数？ ③ 作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）1 2 y x =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =． ④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2、教学例题：

例1 证明幂函数()[0,]f x +∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则 12()()f x f x -= = = 因12x x -＜0 所以12()()f x f x < ，即()[0,]f x =+∞上是增函数. 例2. 比较大小：5 .1)1(+a 与5.1a ；22 3 (2)a - +与23 2- ；2 11.1- 与2 19.0- . 三、巩固练习： 1、论函数3 2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 2. 比较下列各题中幂值的大小：4 33.2与434.2；5631.0与5 635.0；2 3)2(- 与2 3)3(- .

基本初等函数(3)

第三章基本初等函数第一讲幂函数 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意： y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3 y x = y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠ 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1） 3（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

第二讲指数函数 1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=?? ?<-≥). 0(), 0(a a a a （3）分数指数幂的意义 ①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a n m - = n m a 1= n m a 1 （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2、指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .

高中化学步步高二轮复习全套课件专题九

[考纲要求] 1.了解电解质在水溶液中的电离,以及电解质溶液的导电性；了解电解质的概念；了解强电解质和弱电解质的概念。2.了解弱电解质在水溶液中的电离平衡。3.了解水的电离和水的离子积常数。4.了解溶液pH的定义；了解测定溶液pH的方法,能进行pH的简单计算。 5.了解盐类水解的原理、影响盐类水解程度的主要因素以及盐类水解的应用。 6.了解难溶电解质的沉淀溶解平衡；了解溶度积的含义及其表达式,能进行相关的计算。 7.以上各部分知识的综合利用。 1.一个基本不变相同温度下,不论是纯水还是稀溶液,水的离子积常数不变。应用这一原则时需要注意两个条件:水溶液必须是稀溶液；温度必须相同。 2.两个判断标准 (1)任何温度 c(H＋)>c(OH－),酸性； c(H＋)＝c(OH－),中性； c(H＋)＜c(OH－),碱性。 (2)常温(25 ℃) pH>7,碱性； pH＝7,中性； pH＜7,酸性。 3.三种测量方法 (1)pH试纸用pH试纸测定溶液的pH,精确到整数且只能在1～14范围内,其使用方法为取一小块试纸放在干净的玻璃片或表面皿上,用玻璃棒蘸取液体,点在试纸中部,待试纸变色后,与标准比色卡对比,读出pH。注意①pH试纸不能预先润湿,但润湿之后不一定产生误差。②pH试纸不能测定氯水的pH。

(2)pH 计 pH 计能精确测定溶液的pH,可精确到0.1。 (3)酸碱指示剂酸碱指示剂能粗略测定溶液的pH 范围。常见酸碱指示剂的变色范围如下表所示: 4.四条判断规律 (1)正盐溶液强酸强碱盐显中性,强酸弱碱盐(如NH 4Cl)显酸性,强碱弱酸盐(如CH 3COONa)显碱性。 (2)酸式盐溶液 NaHSO 4显酸性(NaHSO 4===Na ＋＋H ＋＋SO 2－ 4)、 NaHSO 3、NaHC 2O 4、NaH 2PO 4水溶液显酸性(酸式根电离程度大于水解程度)；NaHCO 3、NaHS 、Na 2HPO 4水溶液显碱性(酸式根水解程度大于电离程度)。注意因为浓度相同的CH 3COO －与NH ＋ 4的水解程度相同,所以CH 3COONH 4溶液显中性,而NH 4HCO 3溶液略显碱性。 (3)弱酸(或弱碱)及其盐1∶1混合溶液 ①1∶1的CH 3COOH 和CH 3COONa 混合液呈酸性。 ②1∶1的NH 3·H 2O 和NH 4Cl 混合溶液呈碱性。 (对于等浓度的CH 3COOH 与CH 3COO － ,CH 3COOH 的电离程度大于CH 3COO －的水解程度) (4)酸碱pH 之和等于14等体积混合溶液 pH 和等于14的意义:酸溶液中的氢离子浓度等于碱溶液中的氢氧根离子的浓度。 ①已知酸、碱溶液的pH 之和为14,则等体积混合时: 强酸、强碱――→恰好中和 pH ＝7 强酸、弱碱――→碱过量pH>7 弱酸、强碱――→酸过量pH ＜7 ②已知酸、碱溶液的pH 之和为14,若混合后溶液的pH 为7,溶液呈中性,则强酸、强碱―→V 酸∶V 碱＝1∶1 强酸、弱碱―→V 酸∶V 碱>1∶1

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