两数和乘以这两数的差
初中数学《两数和乘以这两数的差》
各位领导、老师：
大家好！
今天我要为大家讲的课题是《两数和乘以这两数的差》。
一、教材结构与内容分析
本节课内容选自华东师范大学出版社《数学教材八年级上册》第十二章第三节第1小节。本课内容是在学习了多项式乘法的基础上继续学习的，是学习“因式分解”等内容的基础，具有承前启后的作用。本公式在整式的乘法和生产、生活中应用广泛，它是“数形结合”的代表，是“从特殊到一般”的典型。
另外，作为一名数学老师，我们所要做的，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要传授给学生一种数学思想、数学意识。因此，通过本节课的学习，学生不仅要理解和熟练应用两数和乘以这两数的差的计算方法，更要学会教学过程中应用到的从特殊到一般的辩证唯物主义思想，养成一种严谨的思维品质，为其以后的学习和终身发展打下良好的基础。
二、教学目标
根据上述教材结构和教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：
1、基础教学目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式，在此基础上能应用公式进行计算。
2、能力训练目标：在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、个性品质目标：通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在活动中让学生体验成功，增强自信。
三、教学重点、难点
1、重点：公式的验证及应用。
2、难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
四、说教法
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，我们不仅要使学生“知其然”，更要使学生“知其所以然”。在教学过程中，我们要做到在以师生相互为主客体的原则下，向学生展现获取知识和方法的思维过程。
经过七年级的学习，八年级的学生已具备一定的整式计算能力和观察图形的能力，但他们不喜欢老师的单独说教，不喜欢枯燥、乏味的讲解，他们具备一定
的独立意识，希望自己参与知识发现的过程。
本节课是对新课内容的学习，在教学过程中，我主要采用“引导-发现教学法”，尽力引导学生成为知识的发现者，把教师点拨和学生解决问题相结合起来，为学生创设与生活密切相关的教学情境，从而引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，使学生有效地进入轻松愉悦的学习状态中，从而改善学生在以往学习中总处于被动地位的境况，真正做到在掌握知识的同时，扩展思维，发展智力，受到教育。
五、说学法
本节课是在前面学习了多项式乘法等知识基础上进行的，学生已经很牢固的掌握了有理数的加减乘除。因此，在这些旧知识的基础上，我主要引导学生采用“探究学习法”进行本节课的学习。首先，我举出形象事例，利用学生的好奇心，让学生在教学中充当指挥官的角色，亲身参加到探索发现知识的过程中，并在此过程中及时引导学生发现规律，让学生总结归纳规律以得出两数的和乘以这两数的差的解法，从而培养学生自行获取知识的能力。
六、教学过程的设计
1、引入：在课程的引入上，我选择教材上的例题，用之前学过的知识，作为教学情境切入点，让学生更易接受，充分调动学生学习的主动性，让学生体会到一种解决问题的成就感，从而营造出轻松愉悦的课堂学习氛围。
问题：用之前学的多项式的乘法运算方法计算两数和乘以这两数的差。
（a + b）（a - b）= ？
按照多项式的乘法步骤可得
a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：
（a + b）（a - b）= a2 - b2
这就是说，两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差。
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
通过上面的引入让学生通过用以前学的多项式乘法公式和平方差得到两数和乘以这两数的差的公式。
2、探索规律：公式的得出，主要体现在知识的发生、发展和特殊性的过程中。归纳总结为：
（a + b）（a - b）= a2 - b2
3、巩固练习：在习题的准备上，由于学生的思维是一个循序渐进的过程，所以对问题的配备上，因此，习题应该由易到难，使学生在练习的过程中能够逐步提升，得到发展。同时，考虑到学生素质的差异性问题，所设计的习题还应起
到对学生分层训练的作用。这样学生通过做习题，不仅能使自己掌握基础知识，也能让自己有余力进行提高，从而达到学习拔尖和肩负的多重效用。
七、布置作业：
通过上述巩固练习效用分析，布置以下作业：
.教材上的课后练习
P32 1、2题必做，3题选做。
结束语：说课是教师面对同行和其他听众口头讲述具体课题的教学设想及其理论依据，是一种新的教学研究形式。说课对于我们大家仍然是新事物，为今后我能进一步说好课，望各位专家、领导、老师对本堂说课提出宝贵的建议。
《两数和乘以这两数的差》教学设计
《两数和乘以这两数的差》教学设计 一、教学目标 1、知识与技能：使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式，通过变式训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学的乐趣。 2、过程与方法：经历探究两数和乘以两数差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辨证思想；通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想；正确理解两数和乘以它们的差的公式意义；掌握两数和乘以这两数差的公式结构特征，并能正确运用。 3、情感态度与价值观：形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感。 二、教学重点 对两数和乘以这两数的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。 三、教学难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义，会运用公式进行计算。 四、课前准备：多媒体课件、导学案 五、课堂教学流程 （一）情境引入（2分钟）： 王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。 （板书课题：§12.3.1两数和乘以这两数的差） （二）知识回顾（2分钟）： 1、多项式与多项式相乘法则： 2、利用多项式与多项式的乘法法则写出(x＋a)(x＋b)的结果： (x＋a)(x＋b)= （三）新知探究：（12分钟）学生自主合作探究，小组交流，归纳总结。 请同学们认真完成表格中的计算，回答下列问题：
初二数学试题-两数和乘以这两数的差测试题 最新
13.3.1两数和乘以这两数的差 ◆随堂检测 1、观察下列各式，能用平方差公式计算的是（） A.（a+b）(b-a) B. (2x+1)(-2x-1) C. (－5y+3)(5y+3) D. (－2m+n)(2m－n) 2、乘积等于m2－n2的式子是（） A. (m－n)2 B.(m－n)(－m－n) C.(n － m)(－m－n) D.(m+n)(－m+n) 3、用平方差公式计算：1999×2001+1=_______ 4、（x+1）（x－1）（x2+1）=________ 5、计算: (1)（－1+4m）(－1－4m) (2) (x－3)(x+3)(x2+9) 6、解方程 x(9x－5)－(3x+1)(3x－1)=51． ◆典例分析 计算 (1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4) （2）、 2018×2018－20182 分析：（1）先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项（2）利用平方差公式进行简便运算 解：(1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=（4x2－25）—（9x2－16） =4x2－25－9x2+16=－5x2+9 （2）、2018×2018－20182=(2018－1)(2018+1)－20182=20182－1－20182=-1 ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列各式中不能用平方差公式计算的是（） A.(x－2y)(2y+x) B.(x－2y)(－2y+x) C. (x+y)(y－x) D. (2x－3y)(3y+2x) 2、下列各式中计算正确的是（） A.(a+b)(－a－b)=a2－b2 B. (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6 C.(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2 D.(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y4
两数和乘以这两数的差教案
§12.3.1两数和乘以这两数的差（第一课时）教学设计 晋江市子江中学 林桦鹌 2015-9-30 一、教学目标 1、知识技能 ⑴掌握平方差公式的结构特征； ⑵ 能运用平方差公式进行相关的运算. 2、数学思考 ⑴在运用特殊值、字母和几何图形探究平方差公式的过程中，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维． ⑵ 经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，感受 “从特殊到一般”、 “换元”和“数形结合”等思想方法． 3、解决问题 ⑴初步学会从数学的角度理解问题，并能综合运用平方差公式解决相关的问题，发展应用意识． ⑵ 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神． 4、情感态度 ⑴ 体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． ⑵在探究新知的活动中，树立合作探究的团体意识，激发热爱生活、热爱数学的情感，养成学数学、用数学的习惯． 二、教材分析 1、重点：平方差公式的结构特征及正确运用. 2、难点：平方差公式几种变化形式的灵活运用. 3、关键：理解平方差公式的结构特征． 三、教学准备 1、多媒体课件； 2、正方形纸片、磁铁，直尺． 四、教学过程 （一）课前热身、自主学习 【课前热身】 地主开了个租地公司, 他把一边长为a 米的正方 形土地租给农民种植.有一天他对农民说:“我把这块地的一边增加15米,另一边减少15米,再以同样的价格继续租给你,你看如何?”农民觉得没有吃亏,就答 应了,聪明的同学们,你认为呢? 请通过特殊值试一试！ 【自主学习】 1、你对通过特殊值得出的结果是否还存在这疑义呢？我们可以动手操作一下P31的“试一试”； 2、再用多项式乘法法则完成P30“做一做”,结合上一题，你有什么发现？ （二）合作探究、以例带类 【发现规律】 1 、 也就是说 . 这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式. 2、平方差公式的特征： ○ 1一加一减可理解为“一相同项和一相反项”； ○ 2公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式. a = -+))((b a b a
课题 两数和乘以这两数的差
课题两数和乘以这两数的差 【学习目标】 1．认识平方差公式，并了解公式的意义； 2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题； 3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一． 【学习重点】 理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题． 【学习难点】 理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式． 2．数学方法：由一般到特殊． 3．平方差公式的特征：相同项的平方与相反项的差．情景导入生成问题
1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算的如此快． 自学互研生成能力 知识模块一探究平方差公式 阅读教材P30～P32，完成下面的内容： 1．计算： (1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)． 解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2. 2．问题：在完成上述计算练习中，你发现了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？ 左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差． 3．平方差公式的代数方法推导： (a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项) 语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 4．平方差公式结构特征： (1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差； (3)平方差公式的几何解释： 观察教材图12.3.1发现：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 5．理解平方差公式： 问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？ ①(a－3)(a＋3)；(能)②(a＋3)(a－2)；(否) ③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否) ⑤(－a－3)(a－3)．(能) (2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？ 答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数． (3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？ 答：相同项的平方减去相反项的平方． 学法指导：不能直接使用平方差公式的，首先应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式． 学法指导：1.平方差公式使用需注意：
八年级数学上册12_3乘法公式1两数和乘以这两数的差教案新版华东师大版
两数和乘以这两数的差 教学过程设计 分析备注 12.3.1 两数和乘以这两数的差 知识技能目标： 使学生掌握两数和乘以这两数的差的公式结构，并能正确地运用. 过程方法目标： 1、使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差 这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又用于整式的乘法的辩证思想，即体会认识事物的方法：一般---特殊---一般. 2、通过两数和乘以这两数的差这一公式学习进一步加深对字母表示数、整体思想的认识，并增强结构意识. 情感态度目标： 1、通过两数和乘以这两数的差这一公式的几何解释在加深对公式理 解的同时，认识这一公式的现实意义，感受数形结合思想,激发学生的学习热情； 2、通过两数和乘以这两数的差这一公式的学习培养学生按规则（公式的结构）做事和认真仔细做事的良好习惯. 教学分析： 重点：掌握两数和乘以这两数的差的结构特征； 难点：正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义. 关键：抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征. 教学过程： 一、知识回顾，温故而知新： 1、口述多项式与多项式相乘法则； 2、计算： （1）(2)(2)x x +- （2）(31)(31)x x +- （3）(3)(3)x y x y +- （4）(25)(25)x y x y -+-- 3、仔细观察上面的四个小题题目形式和结果，它们在结构上有什么特点？你能用字母表示数的办法表示出来吗？ 结果：22 ()()a b a b a b +-=- 二、推导、验证公式： 1、做一做，计算：()()a b a b +- 说一说：你是根据什么算出来的？ 2、概括：两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差. 本节课先用多项式的乘法法则推导出两数和乘以它们的差的公式. 由学生从中得出结论，和同学交流自 己的想法，老师指 名学生说说自己的 思考过程和得出的规律. 运算时，先让学生观察题目，看出这些题目的异同点. 对于例3，首先是依题意列出代数式，
两数和乘以这两数的差优秀教案
．．．．．．．．．．．． ．． ．． ．． ．． 两数和乘以这两数的差(教案) （第一课时） 巴中二中 冯文 [教 学 内 容]：两数和乘以这两数的差 [教 学 目 标] 1、知识与能力 了解公式的几何背景，理解并掌握公式，在此基础上能应用公式进行计算。 2、过程与方法 在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到 一般”的数学思想。 3、情感态度与价值观 通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学 思维品质。在活动中让学生体验成功，增强自信。 [教学重难点] 1、教学重点：公式的验证及应用。 2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的 a ，哪一部分相当于 公式中的 b 。 [教 学 策 略] 本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下 三种教学方法： 情景教学法，启发式教学法：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣。
探究性教学法：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过．．．．．． 程，以加深对知识的理解。 [教学准备] 1．学具准备：每位同学课前观察教材P29的图13.3.1，然后制作一张卡片， 准备一把剪刀。 a b b b a(a-b) a b （图1:教材P29的图13.3.1）(图2:学生制作的卡片) 2．多媒体辅助教学。 [教学课时]：共2课时，授课内容为第一课时 [教学过程设计] 一、创设情景（约2分钟） 用视频播放下面的生活场景： 小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共4.2千克，每千克3.8元。正当售货员还在用计算器计算时，小林马上说出了共15.96元。售货员很惊奇地问：你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。 提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣） 二、观察概括（约6分钟）
两数和乘以这两数的差优秀教案
两数和乘以这两数的差（教案） （第一课时） 巴中二中冯文 ［教学内容］：两数和乘以这两数的差 ［教学目标］ 1、知识与能力了．解．公式的几何背景，理．解．并掌．握．公式，在此基础上能 应．用．公式进行计算。 2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。 3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在活动中让学生体验成功，增强自信。 ［教学重难点］1、教学重点：公式的验证及应用。 2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于 公式中的b。 ［教学策略］本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法： 情．景．教．学．法．，．启．发．式．教．学．法．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣
探．究．性．教．学．法． ：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过 程，以加深对知识的理解 ［教 学 准 备 ］ 1．学具准备：每位同学课前观察教材 P29 的图 13.3.1，然后制作一张卡片， 准备一把剪刀。 （图 1:教材 P29 的图 13.3.1） 2．多媒体辅助教学。 ［教 学 课 时］：共 2 课时，授课内容为第一课时 ［教学过程设计 ］ 一、创设情景 （约 2 分钟） 用视频播放下面的生活场景： 小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共 4.2 千克，每千克 3.8 元。正当 售货员还在用计算器计算时， 小林马上说出了共 15.96 元。售货员很惊奇地问： 你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。 提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出 4.2×3.8 的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣 ） 二、观察概括 （约 6 分钟） 1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。下面，请同学们计算这 （图 2:学生制作的卡片 ） (a-b)
两数和乘以这两数的差说课稿
两数和乘以这两数的差说课稿 一、教学内容： 华东师大版八年级上册第十三章第三节乘法公式之两数和乘以这两数的差。 二、教材分析： （一）、教材所处的地位： 乘法公式是初中代数学习的几个重要的公式之一。两数和乘以这两数的差实质上就是平方差公式。此公式源于整式的乘法，又可用于整式的乘法。同时也与今后学习因式分解中平方差公式互逆。故掌握好平方差公式有利于今后学习因式分解时的知识迁移，又可减少之后学习完全平方公式时产生负迁移。 （二）、教学重、难点及关键： 1、重点：掌握平方差公式的特点，并会运用。 2、难点：公式的几何背景，会灵活运用公式。 3、关键：抓住公式的结构特点，能根据公式的特点，判断哪些多项式的乘法可以套用公式。 三、教学设计说明： 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择“迁移引导法”探索式教学，引导学生探索、归纳到应用。由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，及应用的必要性，让学生感受学习数学是一件快乐的事，也是服务于生活的一种必备知识。这种教学理念体现了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。我的教学设计流程是：创设情境——观察发现——归纳验证——强化训练——应用拓展等几个环节。 本节课的内容是学习公式、运用公式，公式的学习及运用主要以技能训练为主。我在设计这节课时，遵循了以下几个原则： （1）、层次性原则：在教学时由浅入深，由易到难，使所有学生都处于“跳一跳就能摘到桃子“的学习情境中，再根据个别学生学习能力的差异，注意加以辅导，让学困生不掉队，优等生能有所发挥，做到面向全体学生。 （2）、创新性原则：把数学知识的`学习设计为学生发现和创造的过程，是培养学生创新意识的一条重要途径。让学生带着问题情境，主动探索、发现问题，并归纳出规律，这样做能提高学生的学习主动性。在统筹安排下，也注重培养学生的自主学习能力。 （3）、操作性原则：本节课的教学容量较大，为了使学生能将知识内化，形成技能，必须让学生清楚的认识并掌握公式的特点，从知识的形成到强化训练，这几个环节利用多媒体辅助教学，才能有效的提高教学效率。
两数和乘以这两数的差
《两数和乘以这两数的差》教案 教材分析 本节课选自人教版八年级上册第12章第三节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一． 学情分析 1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．
2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性． 教学目标 一、知识与技能 了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能应用公式进行计算。 二、过程与方法 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力。通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，同时体会数形结合的思想方法。在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生思维能力和数学应用意识。 三、情感态度和价值观 通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在合作探究活动中让学生体验成功，增强自信。 教学重点 理解平方差公式，掌握公式结构特征。 教学难点 平方差公式的灵活应用。 教学方法
两数和乘以这两数的差优秀教案
两数和乘以这两数的差(教案) （第一课时） 巴中二中冯文 [教学内容]：两数和乘以这两数的差 [教学目标] 1、知识与能力 了解 ．．公式的几何背景，理解 ．．公式，在此基础上能应用 ．．公式进行计算。 ．．并掌握 2、过程与方法 在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。 3、情感态度与价值观 通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在活动中让学生体验成功，增强自信。 [教学重难点] 1、教学重点：公式的验证及应用。 2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于 公式中的b。 [教学策略] 本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法： 情景教学法， ．．．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣。 ．．．教学法 ．．．．．．启发式
探究性教学法．．．．．．：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过程，以加深对知识的理解。 [教 学 准 备] 1．学具准备：每位同学课前观察教材P29的图13.3.1，然后制作一张卡片，准备一把剪刀。 （图1:教材P29的图13.3.1） (图2:学生制作的卡片) 2．多媒体辅助教学。 [教 学 课 时]：共2课时，授课内容为第一课时 [教学过程设计] 一、创设情景（约2分钟） 用视频播放下面的生活场景： 小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共4.2千克，每千克3.8元。正当售货员还在用计算器计算时，小林马上说出了共15.96元。售货员很惊奇地问：你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。 提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣） 二、观察概括（约6分钟） a
两数和乘以这两数的差教案新版华东师大版
12．3 乘法公式 12．3.1 两数和乘以这两数的差 1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示． 2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法． 3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想． 重点 掌握平方差公式的特点，牢记公式． 难点 具体问题要具体分析，会运用公式进行计算． 一、创设情境 教师展示多媒体，引出问题学生自主解答． 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解：(a＋2)(a－2)＝a2－4. 二、探究新知 请同学们计算： (1)(a＋b)(a－b)； (2)(x＋3)(x－3)． 并结合计算结果思考下列问题： 1．等式左边的两个多项式有什么特点？ 2．等式右边的多项式有什么特点？ 3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？ (1)(a＋2)(a－2)； (2)(3a＋1)(3a－1)． 4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？ 5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？ 教师答疑总结： 对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 学生解决问题： 学生根据教师提出的问题，分组讨论，由小组长做好记录． 学生反馈问题： 每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报．并提出自己小组存在的问题． 学出提出： (1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？ (2)(a＋2)(a－2)型，可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？ (3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然，我们的学生
八年级数学上册乘法公式1《两数和乘以这两数的差》教案2华东师大版
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：． 【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理． （三）数形结合，几何说理 问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系． 【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：，验证了其公式的正确性． （四）总结归纳，发现新知 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力． （五）剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为： ①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即； ②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式． 【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果． （六）巩固运用，内化新知 问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算： （1）（2x+3a）（2x–3b）；（2） ； （3）（－m+n）（m－n）；（4） ； （5）． 【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解． 问题6：计算： （1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
两数和乘以这两数的差教学设计
12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 【教学目标】 知识与技能 1.掌握两数和乘以这两数的差公式,会推导两数和乘以它们的差的公式,并能运用公式进行简单的计算. 2.了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景. 过程与方法 1.培养学生独立思考的能力,集体协作的能力,组织归纳的能力及积极探索问题的能力. 2.经历探索两数和乘以这两数的差的公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力. 情感、态度与价值观 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔的、勇于探索的品质. 【重点难点】 重点 对两数和乘以这两数的差的公式的理解,掌握两数和乘以这两数的差的公式的结构特征,熟练运用两数和乘以这两数的差的公式进行简单计算. 难点 理解两数和乘以这两数的差的公式的几何意义及特点,理解公式中字母的广泛含义,代数推理能力的培养. 【教学过程】 一、创设情景,导入新课 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少? 【学生活动】 (a+2)(a-2)=a2-4
二、师生互动,探究新知 【教师活动】 你观察式子左边有什么特征?右边的结果又有什么特征?这种发现具有一般性吗?请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论?请用字母表示. 【教师活动】 在学生发言基础上归纳:(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说,两数之和与两数之积,等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合P31图形进行面积验证. 【教师活动】 请同学们给出几个平方差的式子,并让同伴计算. 三、随堂练习,巩固新知 1.(5x+2)(5x-2)= ,(7+m)(-7+m)= . 2.(a-3)( )=a2-9,(-a )(-b )=b2-a2 3.(a+1)(a-1)(a2+1)= . 【答案】 1.25x2-4,m2-49. 2.a+3,-b,+a. 四、典例精析,拓展新知 【例】利用平方差公式计算 (1)59.8×60.2; (2)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+. 【分析】(1)可转化为(60-0.2)(60+0.2);(2)先将前面部分乘以(5-1)构造平方差公式,再除以4. 【答案】(1)3 599.96 (2) 【教学说明】 第(2)小题可能大多数同学不会做,教师抓住这困惑,是思维的起点,帮助分析如何构造平方差公式?(52+1)与谁构成平方差,同时注意代数式恒等的要求. 五、运用新知,深化理解 1.计算(y+x)(y-x)(x2+y2)(x4+y4)
第七讲两数和乘以这两数的差
第七讲、两数和乘以这两数的差 第一部分、教学目标： （1）知识与技能：了解公式的几何背景,理解并掌握公式，在此基础上能应用公式进行计算。 （2）过程与方法：在本课的学习中，让学生经历“观察概括一-探索验证- - --应用 实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。 （3）情感、态度与价值观：通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在活动中让学生体验成功，增强自信。 第二部分、教学重点、难点 本节课的重点是公式的验证及应用。 本节课的难点是找出具体问题中哪一部分相当于公式中的 a,哪一部分相当于公式中的b 。 第三部分、教学过程 知识点： 1、平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差. ()()22b a b a b a -=-+ 例题讲解： 例1、计算：)4)(4(-+x x 【分析】根据平方差公式可以算出结果. 【解答】解：原式=2 2 4-x =162-x 练1.1、计算：(1)（1＋2a )( 1－2a ） (2) (2a ＋3b) ( 3b-2a ) (1) 解：原式=12-（2a ）2=1- 4a 2 (2) 解：原式=(3b)2-（2a ）2=9b 2- 4a 2
练1.2、计算：(1) (-1+4m)(-1-4m) (2) 3(2x﹣1)﹣(﹣3x﹣4)(3x ﹣4) (1) 解：原式=(-1)2-（4m）2=1- 16m2 (2) 解：原式=6x-3-[(-4)2-（3x）2]=6x – 3-16 +9x2=9x2+6x– 19 例2、观察：(－2x＋y)( )，在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？ 【分析】⑴二项式×二项式；⑴两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项. 【解答】解:⑴ (－2x＋y)(－2x－y ) = (－2x)2－(y)2 = 4x2－y2 ⑴ (－2x＋y)(2x＋y ) = (y)2－(－2x)2 = y2－4x2 练2.1、若(2a+3b)()＝9b2﹣4a2，则括号内应填的代数式是（D）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a 练2.2、若代数式M?（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（A）A．﹣3x﹣y2B．﹣3x+y2C．3x+y2D．3x﹣y2 例3、下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（C） A．（m﹣n）（﹣m﹣n）B．（﹣1+mn）（1+mn） C．（﹣m+n）（m﹣n）D．（2m﹣3）（2m+3）【分析】⑴二项式×二项式；⑴两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项. 【解答】解：A、原式＝n2﹣m2，不符合题意； B、原式＝m2n2﹣1，不符合题意； C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，符合题意； D、原式＝4m2﹣9，不符合题意， 故选：C． 练3.1、下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( A )
两数和乘以这两数的差教案(教学设计)
两数和乘以这两数的差 【教学目标】 一、知识与技能 1．掌握两数和乘以这两数的差公式，会推导两数和乘以它们的差的公式，并能运用公式进行简单的计算。 2．了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景。 二、过程与方法 1．培养学生独立思考的能力，集体协作的能力，组织归纳的能力及积极探索问题的能力。 2．经历探索两数和乘以这两数的差的公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。 三、情感、态度与价值观 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚忍不拔的、勇于探索的品质。 【教学重难点】 1．重点： 对两数和乘以这两数的差的公式的理解，掌握两数和乘以这两数的差的公式的结构特征，熟练运用两数和乘以这两数的差的公式进行简单计算。 2．难点： 理解两数和乘以这两数的差的公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。 【教学过程】 一、创设情景，导入新课 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 学生活动： (a+2)(a-2)=a2-4。 二、师生互动，探究新知 教师活动： 你观察式子左边有什么特征？右边的结果又有什么特征？这种发现具有一般性吗？请同
学们再列举几个验证一下。你能得出什么规律性结论？请用字母表示。 教师活动： 在学生发言基础上归纳：(a+b)(a-b)=a2-b2。这就是说，两数之和与两数之积，等于这两数的平方差。简称平方差公式。请同学们结合图形进行面积验证。 教师活动： 请同学们给出几个平方差的式子，并让同伴计算。 三、随堂练习，巩固新知 1．(5x+2)(5x-2)=_________， (7+m)(-7+m)=__________。 2．(a-3)(_______)=a2-9， (-a______)(-b______)=b2-a2。 答案： 1．25x2-4；m2-49。 2．a+3；-b，+a。 四、典例精析，拓展新知 例： 利用平方差公式计算。 （1）59．8×60．2； （2）(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)。 分析： （1）可转化为(60-0.2)(60+0.2)； （2）先将前面部分乘以(5-1)构造平方差公式，再除以4。 答案： （1）3599．96； （2）(532-1)/4。 五、运用新知，深化理解 1．计算： (y+x)(y-x)(x2+y2)(x4+y4)； 2．计算： （1）2 0132-2 012×2 014； （2）3×(4+1)(42+1)+1。
两数和乘以这两个数的差
12.3.1 两数和乘以这两个数的差 一、学习目标： 1、会用整式的乘法推导出两数和乘以这两数的差的乘法公式，会用式子表示 及用文字语言叙述； 2、会运用两数和乘以这两数的差进行计算。 二、学习重点难点： 1、经历平方差公式的发现和推导过程 2、掌握平方差公式的结构特征 3、会用平方差公式进行简单的计算 三、学习过程： 1前置研究 （1）计算：（3+a）(3-a) (2x+y)(2x-y) (2a+1)(2a-1) (a+b)(a-b) 1、观察一下上面几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点？ 积有什么特点？ 2、猜想（x+y）(x-y)的结果，并进行验证。 3、想一想：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式为___________ 。 4、总结： 平方差公式用式子可表示为_________________________; 用文字语言叙述为____________________________________________。
2、反馈练习 （1）利用两数和乘以这两数差的公式计算： 1、（5+6x ）（5-6x ） 2、(3m-2n)(3m+2n) 3、（-4x+1）（4x+1） 4、（ab+8）（ab-8） 5、（-41x+y ）(-4 1x -y) 6、102×98 （2）选择： (1) 下列运算正确的是（ ） A 、（a+b ）2=a 2+b 2 B 、（a-b ）2=a 2-b 2 C 、(a+m)(b+n) = ab+mn D 、(m+n)(-m+n) = -m 2+n 2 (2) 能用公式（a+b ）（a-b ）= a 2-b 2计算的是（ ） A 、(m+n)(-m-n) B 、（2x+3）（3x-2） C 、(a 2b-c)(ab 2+c) D 、(-3x-2)(-3x+2) 3、拓展提升 (1)（2x-3y ）（ ）= 9 y 2-4x 2 (2) 20 91 ×1998= （ + ）×( - ) = _________ （2）计算： (-3a 2+b 4)(3a 2+b 4) （3）一个正方形的边长增加3厘米，它的面积就增加39平方厘米，这个正方形的边长是多少？ 四 课堂小结
《两数和乘以这两数的差》随堂练习
12.3.1 两数和乘以这两数的差 一、判断题 1．(-x ＋1)(-x-1)＝-x 2-1( ) 2．(a ＋b)(a-b)＝a 2-b 2( ) 3．(a ＋b)(-a-b)＝a 2-b 2( ) 4．(21m ＋n)(21m-n)＝ 2 1m 2-n 2( ) 5．(a ＋31b)(b-31a)＝a 2-9 2b ( ) 二、填空题 1．(1-5n)(1＋5n)＝_________ 2．1002-972＝(_____＋_____)(_____-_____)＝_____ 3．(x-21)(x ＋2 1)＝_________ 4．运用平方差公式计算：97×103＝_________＝_________＝_________＝_________ 5．利用公式计算(x ＋1)(x-1)(x 2＋1)＝_________＝_________ 三、选择题 1．整式(-x-y)( )＝x 2-y 2中括号内应填入下式中的( ) A ．-x-y B ．-x ＋y C ．x-y D ．-x ＋y 2．在下列各多项式乘法中不能用平方差公式的是( ) A ．(m ＋n)(-m ＋n) B ．(x 3-y 3)(x 3＋y 3) C ．(-a-b)(a ＋b) D ．(31a-b)( 3 1a ＋b) 3．设x ＋y ＝6，x-y ＝5，则x 2-y 2等于( ) A ．11 B ．15 C ．30 D ．60 4．(a-b)2-(a ＋b)2的结果是( ) A ．4ab B ．-2ab C ．2ab D ．-4ab 5．(x-1)(x ＋1)-(x 2＋1)的值是( )
A．2x B．0 C．-2 D．-1 四、解答题 1．计算图1的总面积． 图1 2．计算(x＋y-1)(x＋y＋1) 3．选做题 若m、n为有理数，式子(8m3＋2n)(8m3-2n)＋(2n-3)(3＋2n)的值与n有没有关系？为什么？
两数和乘以这两个数差
两数和乘以这两个数差 一、教学目标： 1、知识目标：学生通过本节课的探讨与学习，能够理解和掌握“两数和乘以它们的差”的、乘法公式，并会运用公式进行整式乘法的运算。 2、能力目标：通过引导学生探求“两数和乘以他们的差”的乘法公式，使学生明白数形结合的思想，培养学生独立思考，归纳总结能力及积极探索问题的能力。 3、情感目标：通过本节课的探讨与学习，让学生体验解决问题的快乐，获得成就感，激发学习数学的兴趣。 二、教学的重点和难点： 1、教学难点：学生理解和掌握“两数和乘以它们的差”的乘法公式，能熟练运用公式。 2、教学难点：学生探求“两数和乘以他们差”的乘法公式，病运用公式进行计算。 三、教学过程： 1、情趣引入：从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少5米，另外一边增加5米，继续租给你、你也没有吃亏，你看怎么如何？老张一听，觉得没有吃亏，就答应了。 <同学们，运用我上节课所学的多项式与多项式的乘法进行检验，等号成立？> 同学们回答：不成立，应该是（x+5）(x-5)=x2-25,从这里可以看出来，老张他吃亏了，被狡猾的地主欺骗了） <同学们，你们在解决老张的问题花了不少时间吧，今天我们学习的两数和与这两数差的乘法公式，可以马上判断老张是否吃亏了，为你节省劳动。不过，学习之前，请用所学的知识计算下列各题。请同学们回答结果> (1)(x+2）(x-2)=x2-4 (2)(a+b)(a-b)=a2-b2 (3)(1+c)(1-c)=1-c2 <请同学继续思考：等式左边的两个多项式与等式左边的多项式有什么规律？你能用一句话概括出这个规律？> 通过总结同学们回答：等式的左边是两个多项式相乘，有两项相等，两项互为相反数。 等式的右边是左边相同项的平方减去相反项的平方。 <我们用一般的式子来表示发现的规律：（a+b）(a-b)=a2-b2 1运用多项式与多项式的乘法在黑板上和同学一起验证： （a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 2提问：同学们，你能用手中的图形用几何的方法验证这个公式吗？> [同学活动]：让同学动手，动脑思考，用拼图的方法来验证这个公式。 （之后将准备好的图形，展现给同学们看，与同学们进行比较） <我们已经从两个不同的角度验证了这个规律的正确性，我掌握了这个公式就必须学会去用它，但这个公式使用时，必须紧扣公式的特征，即；两个多项式相乘，有两项相等，另外两项互为相反数，才能直接运用。> <学以致用>自己动手： 练习：判断下列能用所学公式计算吗？ （1）（a+3）(a-3) ( ) （2）（a+3）(a-2) ( ) （3）（-a+3）(-a-3) ( ) （4）（a+3）(-a-3) ( ) （5）（-a-3）(a-3) ( )