【步步高】(江苏专用)2017版高考数学 专题6 数列 43 等差数列
与等比数列交汇题 文
n 125列,则a 2=________.
2.(2015·洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0,且a 2,a 4,a 8成等比数列,则a 1+a 5+a 9a 2+a 3
=________. 3.(2015·郑州质检)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4-2a 27+3a 8=0,数列{b n }是等比
数列,且b 7=a 7,则b 2b 8b 11=________.
4.(2015·河北邢台一中期末)已知正项等差数列{a n }满足a n +1+a n -1=a 2n (n ≥2),等比数列{b n }满足b n +1b n -1=2b n (n ≥2),则log 2(a 2+b 2)=________.
5.(2015·达州统考)已知数列{a n }为等差数列,数列{b n }是各项为正数的等比数列,其公比q ≠1.若a 4=b 4,a 12=b 12,则a 8________b 8.(填“>”、“<”或“=”)
6.(2015·厦门质检)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.
7.(2015·陕西西安六校联考)已知实数a 1,a 2,a 3,a 4依次构成公差不为零的等差数列,若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比数列,则此等比数列的公比为________.
8.(2015·河北名校联考)已知向量a =(2,-n ),b =(S n ,n +1),n ∈N *,其中S n 是数列{a n }的前n 项和.若a ⊥b ,则数列{a n a n +1a n +4
}的最大项的值为________. 9.设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =________.
10.(2015·江门模拟)设数列{a n }的前n 项和S n =
n n +n -6,n ∈N *
. (1)求a 1的值;
(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1a 21+4
a 22+…+n 2a 2n <54.
答案解析
1.3 2.3 3.8 4.2
5.>
解析 ∵{b n }为等比数列,其公比q ≠1, ∴b 4≠b 12,∴a 4≠a 12,
∴a 8=a 4+a 122>a 4a 12=b 4b 12=b 8.
6.50
解析 ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln a 1a 2…a 20, 而a 1a 20=a 2a 19=…=a 9a 12=a 10a 11=e 5
, 所以ln a 1a 2…a 20=ln(e 5)10
=50.
7.12或2
解析 设公差为d ,公比为q ,若去掉a 1, 则a 23=a 2a 4,即(a 1+2d )2
=(a 1+d )(a 1+3d ), 所以d =0(舍去);
若去掉a 2,则a 2
3=a 1a 4,
即(a 1+2d )2
=a 1(a 1+3d ),
所以a 1=-4d ,则q =a 3a 1=a 1+2d a 1=-2d
-4d =12
;
若去掉a 3,则a 2
2=a 1a 4,
即(a 1+d )2
=a 1(a 1+3d ),
所以a 1=d ,则q =a 2a 1=a 1+d
a 1
=2;
若去掉a 4,则a 2
2=a 1a 3,
即(a 1+d )2
=a 1(a 1+2d ),
所以d =0(舍去).
8.19
解析 ∵a ⊥b ,∴a b =2S n -n (n +1)=0, ∴S n =n n +12,∴a n =n .
∴a n a n +1·a n +4=n
n +n +=1n +4n +5
,
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
高考之等比数列及函数公式 一、等比数列求和公式 q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比) 二、等比数列求和公式推导 Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) a(n+1)=a1qn Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1) 三、倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方sin2(A)) 四、半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinα 五、降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 六、辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 七、三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y
微专题11等差数列与等比数列 1.掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质,进行基本运算. 2.运用定义域分析通项公式,判断或证明一个数列是等差(比)数列. 3.从分析数列特征入手,综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题. 考题导航题组一等差数列、等比数列的基本量及基本运算 1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=________. 2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 1.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=________,d =________. 2.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2b 2 =________.题组二等差数列、等比数列的判定与证明 1.已知数列{a n }的首项a 1=1,且满足a n +1=a n 4a n +1 ,则a n =________.2.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.
1.记S n为数列{a n}的前n项和,若S n=2a n+1,则S6=________. 2.设数列{a n}中,S1=1,S2=2,S n+1-3S n+2S n-1=0(n≥2),则命题“{a n}是等比数列”是________命题.(填“真”或“假”) 题组三与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问 题 1.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________. 2.已知数列{a n}为等差数列,若a7 a6 <-1,且它们的前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为________. 3.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为________. 1.已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列,其前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设T n=S n-1 S n (n∈N*),求数列{T n}最大项的值与最小项的值.
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高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n 前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分 历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题25 等比数列(学生版) 一.选择题(共6小题) 1.(2014?全国)等比数列4x +,10x +,20x +的公比为( ) A . 1 2 B . 43 C . 32 D .53 2.(2014?大纲版)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23S =,415S =,则6(S = ) A .31 B .32 C .63 D .64 3.(2014?重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) A .1a ,3a ,9a 成等比数列 B .2a ,3a ,6a 成等比数列 C .2a ,4a ,8a 成等比数列 D .3a ,6a ,9a 成等比数列 4.(2014?上海)如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列,*2()n n b a n N =-∈,那么数列{}n b 是( ) A .以q 为公比的等比数列 B .以q -为公比的等比数列 C .以2q 为公比的等比数列 D .以2q -为公比的等比数列 5.(2013?福建)已知等比数列{}n a 的公比为q ,记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+,(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e,*(,)m n N ∈,则以下结论一定正确的是( ) A .数列{}n b 为等差数列,公差为m q B .数列{}n b 为等比数列,公比为2m q C .数列{}n e为等比数列,公比为2 m q D .数列{}n e为等比数列,公比为m m q 6.(2012?北京)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是( ) A .1322a a a +… B .222 1322a a a +… C .若13a a =,则12a a = D .若31a a >,则42a a >q a (D )7.08.0,01-<<-
等差、等比数列公式总结
历年高考数学真题精选25 等比数列
2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)