平陵中学第九章导学案

9.1.1 不等式及其解集

学习目标:1、了解不等式及一元一次不等式的概念。

2.、理解不等式的解、不等式的解集的概念。

3、能在数轴上正确表示不等式的解集。

学习重点、难点:理解不等式的解集,会在数轴上表示解集.

学习过程:

一、学前准备:

1.等式:用“=”连接的表示相等关系的式子叫做等式.

2.一元一次方程:含有_____个未知数,并且未知数的次数是_____的方程叫做一元一次方程.

3. 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

二、新课探究:

(一)、不等式、一元一次不等式的概念

1. 你能列出下列式子吗?

(1)5小于7;

(2)x与1的和是正数

(3)m的2倍大于或等于-1;

(4)x-3不等于2

(5)a不大于1 ;

(6)y的2倍与1的和不等于3

(7)c与4的和的30﹪不大于-2

不等式:像上面的这些式子,用符号“”,“”,“”“”

或“”表示不等关系的式子叫做不等式。

一元一次不等式:含有且未知数的次数是的不等式,叫做一元一次不等式.

巩固练习2:

下列式子中哪些是不等式?哪些是一元一次不等式?

(1)a+b=b+a (2)-3>-5 (3)x≠l(4)3>2 (5) 2a

+1≥0 (6)3

2x+2x

(7)x <2x+1 (8)x=2x-5 (9)

2x +4x <3x+1 (10)a+b ≠c

(11)x 十3≥6 (12) 2m< n (13)2x-3 (14)51 x

(二)、不等式的解、不等式的解集

判断下列哪些数值能使不等式x +3 > 6成立?

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总结1:1、不等式的解:使不等式 的 的值叫做不等式的解.

2、不等式的解有 个。

由上题我们可以发现,当x >3时,不等式x +3 > 6总成立;而当x ≤3时,不等式x +3 > 6总不成立.这就是说,任何一个大于3的数都是不等式x +3 > 6的解,因此x >3表示了能使不等式x +3 > 6成立的x 的取值范围,叫做不等式x +3 > 6的解的集合,简称解集

总结2: 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的 组成这个不等式的解集。 2.注意: 解集中包括了每一个解,解集是一个范围。 巩固练习2:

3.判断: 数-3,-2,-1,0,1,2,3中,哪些是不等式2x+3<5 的解? 哪些不是? 4、 下列说法正确的是( )

A. x=3是2x>1的解集

B. x=3不是2x>1的解

C. x=3是2x>1的唯一解

D. x=3是2x>1的解 (三)、用数轴表示不等式解集的方法 总结:1.用数轴表示不等式的解集的步骤:

画数轴 找点 画点 画方向 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:

(1)有等号(“≥ ,≤”)画实心点,无等号 (“>,<”) 画空心圆。 (2)大于向右画,小于向左画。 巩固练习3:

(1)(2

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5.写出下列数轴上表示的解集:

6.在数轴上表示下列不等式的解集:

(1)x >-2; (2)x ≤3; (3)y ≤0

三、收获和体会:今天你学会了什么? 还有哪些疑惑? 四、自我检测:

7.下列式子①3x =5;②a >2;③3m -1≤4;④5x +6y ;⑤a +2≠a -2;⑥-1>2中,不等式有( )个A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

8.下列数值:-2,-1.5,-1,0,1.5,2是不等式x +3>2解的有( )个. A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9.满足不等式x -1<4的正整数有( )

A 、1,2,3,4

B 、0,1,2,3,4

C 、0,1,2,3

D 、无穷多个 10.如图表示的不等式的解集,其中正确有( )个

11. 下列说法正确的是( )

A .不等式2x ≥3 的解有1个。

B .不等式x + 1< 3的解集是 x<3 C. 不等式3x ≥6的解集是x ≥2 D.若

32

11

?+m x 是一元一次不等式,则m = -1. 12、下列说法是否正确

(1)、X=3是2X >3一个解 (2)、X=3是2X >3的解集 (3)、X=3是2X >3惟一解 (4)、X>1.5是2X >3的解集 13、直接说出不等式的解集,并在数轴上表示出来

(1) X+3>6, (2) 2X ≤8, (3) X-2<0

1

1

9.1.2 不等式的性质

【学习目标】

1、掌握不等式的三个基本性质。

2、经历探究不等式基本性质的过程,体会不等式与等式的异同点。 【重点难点】

重点:理解不等式的三个基本性质。 难点:对不等式的基本性质3的认识。 【学习过程】

一、【创设情境 引入新知】

在进一步学习不等式之前,大家来看一段来自生活中因为年龄的不等而引发的争执,请同学们今天客串一把小法官,评一评他俩谁说得对。

这阿毛和小丸子本是一对好朋友,这天,他俩因为年龄的大小而发生了争论。 阿毛:我比你大两岁,所以,我是你哥哥。 小丸子:三年前,你不就比我小。 阿毛:三年前,我还是比你大呀。

小丸子:那….再过十年我肯定比你大。 阿毛:呵呵,再过二十年你也比我小。

同学们,亲爱的小法官们,你们说,谁说得对呢?这其中又蕴涵着什么数学原理?我们通过今天不等式性质的学习探讨后,再来揭开这其中的奥秘 二、复习:

1、等式的基本性质:

性质1:______________________________________________

性质2:___________________________________________________________ 三、新课学习:(课本P123-124不等式的三个基本性质) 1、用“﹥”或“﹤”填空,并总结其中的规律:

(1)5>3, 5+2 3+2 , 5-2 3-2 ; (2)-1<3 , -1+2 3+2 , -1-3 3-3 ; 不等式的性质1: 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 . 字母表示为: 如果a >b ,那么a ±c b ±c 2. 用“﹥”或“﹤”填空,并总结其中的规律:

(1) 6>2, 6×5 2×5 , 6×(-5) 2×(-5) ; (2) -2<3, (-2)×4 3×4 , (-2)×(-6) 3×(-6)

不等式的性质2: 不等式的两边乘(或除以)同一个 ,不等号的方向 .

字母表示为:如果a>b,c>0,那么ac bc,

不等式的性质 3 :不等式的两边乘(或除以)同一个 ,不等号的方向 。

字母表示为:如果a >b ,c <0, 那么ac bc,

三.巩固应用 1、判断下列各题的推导是否正确?为什么 (1)因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;

).

___(c b c a 或).

___(c b c a 或

(2)因为a+8>4,所以a >-4; (3)因为4a >4b ,所以a >b ;

(4)因为-1>-2,所以-a-1>-a-2; (5)因为3>2,所以3a >2a .

2、设a >b ,用“<”或“>”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质。 (1) a - 3____b - 3; (2)a ÷3____b ÷3 (3) 0.1a____0.1b; (4) -4a____-4b

(5) 2a+3____2b+3; (6) (m 2+1) a ____ (m 2

+1)b (m 为常数) 3、练习: 已知a <0,用“<”或“>”号填空:

(1)a+2 ____2; (2)a-1 _____-1; (3)3a______ 0;

(4)-a/4______0; (5)a 2_____0; (6)a 3

______0 (7)a-1______0; (8)|a|______0. 4、判断正误

(1)∵a < b ∴ a -b < b -b (2)∵a < b ∴

33b a (3)∵a < b ∴ -2a < -2b (4)∵-2a > 0 ∴ a > 0

(5)∵-a < 0 ∴ a < 3 (6) ∵m>n ∴m+5>n+5( ) (7) ∵2a<-4 ∴a>-2 ( ) (8) ∵3>2 ∴3a>2a ( ) 5、已知x < y ,下列哪些不等式成立?

(1) x – 3 < y – 3 (2)- 5 x < - 5 y

(3) - 3 x +2 < - 3 y + 2 (4)- 3 x + 2 > - 3y + 2 6、填空

(1) ∵ 2a < 3a , ∴a 是____数

(2) ∵ ax < a 且 x > 1 , ∴a 是____数 6、(1)如果a-35b,那么a b (3)如果-4a<-4b, a b (4)如果2a+3<2b+3, a b 7、设a>b ,若ac

8、利用不等式的性质将不等式化为x>a 或x26 (2)3x<2x+1 (3) x>50 (4)-4x>3

9.利用不等式的性质解下列不等式,并把它的解集在数轴上表示出来

(解未知数为x的不等式,就是要使不等式逐步化为x a或X a的形式)

(1)x+4>3 (2) 7x ≥ 6x+3

四、【回归引入解决问题】

同学们还记得我们引入新课时,咏哥和小军那段有趣的争执吗?当时我们遗留了一个未解决的问题:为什么咏哥说对了,这里面蕴涵了什么数学原理吗?现在我们一起来看看。

阿毛小丸子

现在 a岁 > b岁

三年前

十年后

如果小丸子说:十年后我就比你高,她说得对吗?

9.1.2不等式的性质(第二课时)

【学习目标】

1、掌握一元一次不等式的解法。

2、培养学生利用类比方法学习的能力。

3、培养学生准确的计算能力

【重点难点】

重点:一元一次不等式的解法;

难点:不等式性质3在解不等式中的运用。

【教学过程】 一、【复习导入】

1.解方程

(1) x -7=26 (2)3x = 2x +1 (3)

3

2

x = 50 (4)-4x=3

温馨提示:解方程的的目的是使方程最后转换成x=a 的形式,同样解不等式的目的也要使不等式逐步化为x >a 或x

例1 解下列不等式,并在数轴上表示解集: (1) x -7>26 (2)3x < 2x +1

(3)

3

2

x ≥ 50 (4)-4x ≤3 解:(1) x -7>26

根据不等式的性质 ,给不等式两边同时 ,不等式的方向 , 得

x -7 >26 ∴x

在数轴上表示这个解集为

(2)3x < 2x +1 根据 ,不等式两边都 ,不等号的方向 , 得

3x < 2x +1 ,∴x

在数轴上表示这个解集为

(3)

3

2

x ≥ 50

根据不等式的性质 ,不等式两边都 ,不等号的方向 , 得x ∴x 在数轴上表示这个解集为 (4)-4x ≤3

根据不等式的性质 , 不等式两边都 ,不等号的方向 ,得 ,∴x

在数轴上表示这个解集为

注意:由上面的x -7>26得x >26+7,实际上是方程中的 ,即把不等式的一边的某项 后移到另一边,而 不等号的方向。 练习:解方程21x-1=32 (2x+1) 仿做:解不等式21x-1≤3

2

(2x+1)

解:去分母,得 解: 去分母,得

去括号,得 去括号,得

移项,得 移项,得

合并,得 合并,得

系数化为1,得 系数化为1,得 归纳:解一元一次不等式的步骤:

三.【课堂练习】

1. 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.

(1) x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9

(4)4x +3<3x (5)4-2x ≥4 (6)2

3

x -4≥0

2.当x 时,2-3x 为正数.

3.当x 时,式子3x -5的值大于5x + 3的值

4. 已知点M (-5+m,-3)在第三象限,则m 的取值范围是

能力提高题:

1. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来。 (1)3(1-x )<2(x+9); (2) 112132

x x

---≤

2.若关于x 的方程3

3)2(k

x k x +=+-的根是负数,求k 的取值范围.

四.【课堂小结】

解一元一次不等式防错汇总:

9.1.2 不等式的性质

【教学目标】

运用不等式解决有关的问题,初步认识一元一次不等式的应用价值。

【重点难点】

重点: 不等式的运用 难点: 寻找不等关系

【教学过程】 一、【复习回顾】

解下列不等式,并说出每一步的解题依据

(1)x+3>-1 (2)4x>-12

(3)请找出不等式3x+1>5x+6的最大整数解

二、【发现生活中的不等式】

平陵中学第九章导学案

1、 根据机器零件的设计图纸,用不等式表示零件长度的合格尺寸 ( ) (L 的取值范围:L=40±0.02)

2、 一罐饮料净重约300克,罐上注有"蛋白质含量大于或等于0.5%",其中蛋白质含量

约为( )克 3、 一部电梯最大的负荷为1000KG ,有12人带40KG 的物品乘电梯,他们的平均体重

X 应满足什么条件? 用不等式表示( ) 三、【不等式的初步应用】

例1 三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系? 分析:三角形任意两边之和与第三边有着怎样的大小关系?

解:设 a 、b 、c 为任意一个三角形的三条边的长,则

、 、

a

b

c

移项,得

、 、

上面的式子说明了什么? 归纳: 例2 已知x=3-2a 是不等式

21 (x-3)<x-3

2

的解,求a 的取值范围。 分析:由不等式解的意义,你能知道什么?

解:依题意,得

例3 某长方体形状的容器长5 cm ,宽3 cm ,高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm ,

现准备继续向它注水.用V (单位: cm 3

)表示新注入水的体积,写出V 的取值范围。

分析:新注入水的体积应满足什么条件? 解:依题意,得

在数轴上表示为:

注意:解答实际问题时,一定要( )。

四、【不等式的熟练应用】 (一)基础练习

1、快速用不等式表示下列语句并写出解集: (1)X 的3倍大于或等于1 (2)x 与3的和不小于6 (3)y 与1的差不大于0 (4)y 的

2

1

小于或等于-2 2、小华准备用21元钱买笔和笔记本,已知每支笔3元,每本笔记本2.2元,她买了

2本笔记本,请问她最多还能买几支笔?

(二)大显身手

制作某产品有两种用料方案:方案一用5张A型钢板,7张B型钢板;方案二用3张A型钢板,9张B型钢板。A型钢板比B形钢板的面积大。从省料考虑,应选用那种方案?

平陵中学第九章导学案

五、【课堂小结】

本节课我们进一步认识到生活中存在着大量的不等关系,利用不等式的性质解不等式帮助我们解决了很多问题,下节课我们会继续认识利用一元一次不等式解决生活中的一些常见问题。

作业:

1、教材128页练习题2,要求用不等式表示,并求出他们的解集

2、

(1)当x满足什么条件时,式子1-3x的值不是负数

(2.)不等式3-8x<19-5x的负整数解是谁

(3.)当K取多少时,方程3(x-k)=5的解不小于2.

3、教材129页11、12、13题

9.2.1实际问题与一元一次不等式(第一课时)

班级姓名第组号

【学习目标】1会从实际问题中抽象出数学模型,会用一元一次不等式解决具有不等关系的实际问题.

2进一步掌握一元一次不等式的解法.

【学习重点】寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型。

【学习难点】弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式。

一、【情境导入兴趣导学】

北京某旅游场馆门票是每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.现有初一(1)班的18名同学去参观,当领队李小敏准备好钱去售票处买18张票时,爱动脑筋的张立同学喊住了李小敏,提议买20张门票.其他同学提出异议:明明我们只有18人,买20张票,那不是“浪费”吗?

1.小组讨论张立同学的提议是否合理?

2.请大家思考新的问题:当人数是17人、16人、15人……时,是否都是买20张的团体票比普通票便宜?少于20人时,多少人买20人的团体票才比普通票便宜呢?

二、【知识运用培养能力】

1.实际运用一

某学校计划购买若干台电脑,现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优惠条件是:第一台按原报价收款,其余每台优惠25%,乙商场的优惠条件是:每台优惠20%,如果你是学校负责人,你该怎么考虑,如何选择?

思考:(1)什么情况下到甲店购买电脑更优惠?

(2)什么情况下到乙店购买电脑更优惠?

(3)什么情况下两商场收费相同?

2.实际运用二

甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲店累计购买100元商品后,再购买的商品按原价的90%收费;在乙店累计购买50元商品后,再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大的优惠?

分析:首先考虑一下:

甲商店优惠方案的起点为购物款达元后;

乙商店优惠方案的起点为购物款达元后

(1)现在有4个人,准备分别消费40元、80元、140元、160元,那么去哪家商店更合算?为什么?

(2)如果累计购物不超过50元,则在两店购物花费有区别吗?为什么?

(3)如果累计购物超过50元但不超过100元,则在哪家商店购物花费小?为什么?(4)如果累计购物超过100元,那么在甲店购物花费小吗? _______

设累计购物x元(x>100),此时:

在甲店购物花费为;

在乙店购物花费为;

若在甲店花费较小,则:,解不等式得:。

若在乙店花费较小,则:,解不等式得:。

(5)累计购买超过100元而不到150元时,在哪个店购物花费小?累计购买恰好是150元时,在哪个店购物花费小?

(6)根据甲乙商店销售方案,顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠?你能为消费者设计一套方案吗?

归纳购物方案:购物不超过50元时,在两店购物;超过50而不超过150元时在店购物花费小;恰好150元时;超过150元时在店购物花费小。

三、【总结归纳】

当我们遇到实际问题时,如果有相等关系,可以利用()来解决,如果有不等关系,要用()来解决。

利用一元一次不等式解决实际问题步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本相同、、、、、。

四、【能力训练】

1、问题: 甲.乙两家商店出售同样的茶壶和茶杯,茶壶每只定价都是20元,茶杯每只定价都是5元.两家商店的优惠办法不同:甲商店是购买1只茶壶赠送1只茶杯;乙商店是按售价的确92%收款.某顾客需购买4只茶壶.若干只(超过4只)茶杯,去哪家商店购买优惠更多?

2、某校两名教师拟带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈,甲公司的优惠条件是一名教师全额收费,其余师生按7.5折收费,乙公司的优惠条件则是全体师生都按8折收费,你作为带队老师,如何选择旅游公司?

五、【作业】

某商场对顾客实行优惠,规定:

如果一次购物不超过200元,则不给折扣;

如果一次购物超过200元,但不超过500元的,给九折优惠;

如果一次购物超过500元,其中500元按上述九折优惠,超过500元的部分给八折优惠.

某人两次去该商场购物,分别付款168元和423元,如果他合起来一次去购买同样的商品,他可以节省多少钱?

9.2.2实际问题与一元一次不等式(第二课时)

班级 姓名 第 组 号

一、【学习目标】

1、会根据实际问题中的数量关系建立数学模型

2、学会用去分母的方法解一元一次不等式。 二、【自主学习,质疑交流】

练习:用合适的方法解下列不等式,并把解集表示在数轴上 (1)3x+2>2x-2 (2)23

722+-≥-x x

例:2002年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达到55%,如果到2008年这样的比值要超过70%,那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少? 解:设2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加了x 。

分析:2002年北京空气质量良好的天数是__________,则2008年空气质量良好的天数为____________,那么2008年空气质量良好的天数与全年的天数之比为_______________,这个值要_____________,即可列不等式:

____________________________________

去分母,得

_______________________________

移项,合并同类项得

_______________________________

由于x 应为正整数,得

_______________________________

答:2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加____,才能使这一年的空气质量良好的天数超过全年天数的70%。

三、【合作探究,展示反馈】

小组展示各自的成果,并讨论那个小组的做的又快又对。

四、【归纳总结、训练检测】 列不等式解应用题的一般步骤

1、审(_______________)

2、找(_______________)

3、列(_______________)

4、解(_______________)

5、写(_______________) 练习: 1、若代数式

3

1

31-x 的值为不小于2的数,则x 的取值范围为____________ 2、代数式3x 2

-2的最小值是_________。

3、不等式-3(x+2)﹥a+2的解都是负数,则a 的取值范围是______________。

4、一个两位数,十位数字和个位数字的和为6,且这个两位数不大于42,则这样的两位数有______个。

5、求不等式8

132413)(-+≥--x x 的非负整数解。

6、李明在第一次数学考试中得76分,在第二次数学考试中得92分,则他在第三次考试中的得分应满足怎样的关系式,才能使平均分不低于85分?

7、一根长20cm 的弹簧,一段固定,另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm 的限度内,每挂1kg 质量的物体,弹簧伸长0.5cm ,求弹簧所挂物体的最大质量是多少? 五、【课后作业】 课本134页1(1)(3)(5)3(1)(3) 课本135页5、

9.2.3实际问题与一元一次不等式(第三课时)

平陵中学第九章导学案

2、结合实际,创设活泼有趣的情境,提高学生的学习兴趣,让学生在实

际中获得成功的体验,激发求知欲望,增强学习的自信心。

【学习重点】列不等式解决实际问题,并对一元一次不等式的解法进行巩固。

【学习难点】寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型。

【学习过程】

一、【复习巩固】:

1、当X或Y满足什么条件时,下列关系成立。

〈1〉2(X+1)大于或等于1

〈2〉4x与7的和不小于6

〈3〉Y与1的差不大于2Y与3的差

〈4〉3Y与7的和的四分之一小于—2

二、.【知识运用,培养能力】

例1、某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,至少要答对多少道题?(师生探讨并解决)

三、【巩固训练】

1.在一次知识竞赛中共有20道题规定答对一道题10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预赛,小明同学通过了预赛,他至少答对了几道题。

2.某工程队计划在10天内修路6Km,施工前两天修完1.2Km后,计划发生变化,准

备提前两天完成修路任务,以后几天内平均每天至少修多少千米。

四、【课堂自测】

1.解下列不等式,并在数轴上表示解集:

(1) 5X+15>4X-1 (2) 2(X+5)<3(X-5)

2.某次数学测验,共16个选择题,评分标准为:;对一题给6分,错一题扣2分,不

答不给分。某个学生有1题未答,他想自己的分数不低于70分,他至少要对多少题?

3.某商品原价800元,出售时,标价为1200元,要保持利润率不低于5%,则

至多可打()

A、6折B、7折C、8折D、9折

4.某市自来水公司按如下标准收费:用户每月用水在5立方米之内,按每立方米1.5

元收费,超出5立方米的部分,每立方米收费2元。小溪家某月的水费超过了15元,那么他家这个月的用水量至少是多少?

五、【课堂小结】

问题: 谈一谈你对本节内容有哪些认识?

六、【课下作业】

课本134页1(2)(4)(6)3(2)(4)

课本135页6

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