福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查理科数学试题

福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查

数学（理）试题

（满分：150分；完卷时间：120分钟）

参考公式：

用最小二乘法求线性回归方程系数公式1

2

21

,n

i

i

i n

i

i x y

n x y

b a y b x x

n x

==-=

=--∑∑

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只

有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．i 是虚数单位，复数21i i

-+在复平面上的对应点所在直线的方程是

A ．x+y －2 =0

B ．x －y+2 =0

C ．x+y+1 =0

D ．x －y －1=0

2．如图设全集U 为整数集，集合{|18},{0,1,2}A x N x B =∈≤≤=则下图中阴影部分表

示的集合的真子集的个数为 A ．3 B ．4

C ．7

D ．8

3．在2012年第30届伦敦奥运会上，中国队教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球

女子团体比赛，不同选法有

A ．35种

B ．53种

C ．3

5A 种

D ．3

5C 种

4

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧

∧

=+，据此模型来预测当

x= 20时，y 的估计值为 A ． 210 B ．210．5 C ．211．5 D ．212．5

5．函数21,0()2,0

x

og x x f x a x >??-+≤?有且只有一个零点的充分不必要条件是

A ．0a <

B ．102

a <<

C ．

112

a << D ．01a a ≤>或

6．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是 A ．20122011 B ．20112012 C ．

20122013

D ．

20132012

7．已知函数()sin()(0,0,||2

f x M x M π

ω?ω?=+>><

半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为

A ．()2sin()6f x x π

=+

B ． ()2sin(2)6

f x x π

=-

C ．()2sin()6

f x x π

=-

D ．()2sin(2)6

f x x π

=+

8．若函数2(),()1||(0,1),x f x a g x o g x a a -==>≠且(3)f ·(3)0g -<则函数()f x 、

()g x 在同一坐标系内的大致图象是

9．设向量a ，b 是非零向量，若函数()()f x x a b =+ ·()()a xb x R -∈

的图象不是直线，且

在x=0处取得最值，则必有

A ．a ⊥b

B ．a ∥

b

C ．a ，b 苫不垂直且||||a b =

D ．a ，b ，不垂直且||||a b ≠

10．能够把圆O ：x 2 +y 2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐

函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是 A ．3

()4f x x x =+ B ．5()15x f x n

x

-=+

C ．()tan

2

x f x = D ．()x

x

f x e e

-=+

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）

11．设不等式组01,01

x y ≤≤??

≤≤? 表示平面区域为M ，在区域M 内随机取一个点（x ，y ），则此

点满足不等式210x y +-≤的概率是 。

12．已知双曲线222

1(0)x y a a

-=>的一个焦点与抛物线2

8y x =的焦点重合，则此双曲线

的离心率为 。 13．若2

0(21)n x dx +?，且()n a x x

-

的展开式中x 2

的系数是15，则a 的值为 .

14．△ABC 中，若sinB 既是sinA ，smC 的等差中项，又是sinA ，sinC 的等比中项，则∠B 的大

小是____．

15．已知点1212(,)(,)x x A x a B x a 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可

知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论

12

1

22

2

x x x x a

a a

++>成

立．运用类比思想方法可知，若点A （x 1，sinx l ）、B （x 2，sinx 2）是函数y=sinx （z ∈（0，π）

）的图象上的不同两点，则类似地有____成立． 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16．（本小题满分13分）

已知数列*

11{}1,(,)32().n n n a a a a y x n N +==+∈中点在函数的图象上

（I ）证明：数列{1}n a + 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和．

17．（本小题满分13分）

2013年将在沈阳举行第12届全运会，乒乓球比赛会产生男子个人、女子个人、男子团

体、女子团体共四枚金牌，保守估计，福建乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为34

，

福建乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为

45

，

（I ）记福建乒乓球男队获得金牌总数为X ，按此估计，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）按此估计，求福建乒乓球女队比福建乒乓球男队多获得一枚金牌的概率，

18（本小题满分13分）

已知函数()2sin f x x ω=·2

cos x x ωω+-ω>o ），且函数()f x 的最

小正周期为π （I ）求ω的值；

（Ⅱ）将函数y= f （x ）的图象向右平移

4

π

单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原

来的

12

倍（纵坐标不变）得到函数y=g （x ）的图象．求函数g （x ）在[,

]624

π

π

-

上的单

调区间．

19．（本小题满分13分）

已知椭圆222

2

:

1(0)y x C a b a

b

+

>>2

，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点

的距离为2．

（I ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知直线:l y kx =+

C 交于A 、B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为

直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ， 其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相 切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点 O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，

若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边

OA 距离为24(

)33t t ≤≤

．

（I ）当23

t =

时，求直路l 所在的直线方程；

（Ⅱ）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？ 21．（本小题满分14分） 已知函数()1b f x nx x

=-

（b 为实数）

（I ）若b= －1，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）在定义域内的任何一个x ，若满足M （x ）≥N （x ）恒成立，则称M （x ）是N （x ）

的一个

“上界函数”． （i ）如果函数()f x 为g （x ）=－1nx 的一个“上界函数”，求b 的取值范围；

（i i ）的若b =0，函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于直线y=x 对称，求证：当

(2,)x ∈-+∞ 时，函数F （x ）是函数(

1)12

2

y f π

π

=++

+的—个“上界函数”