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多项式矩阵

多项式矩阵的若干问题

李峰

（数学与计算科学学院数学与应用数学专业）

指导老师刘金旺

摘要

本文首先研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件，然后研究了多项式矩阵的整除性与最大公因式,互素的条件，再次给出了最小公倍式的一个重要定理：设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，并且()A x 与()B x 均非奇异，则 ()A x 与()B x 必然存在左最小公倍式.然后根据这个定理的证明过程，得出了求最小公倍式的方法.最后讨论了多项式矩阵的分解问题.

关键词：多项式矩阵；右相伴；最大公因子；最小公倍式；分解

Some Questions of Polynomial Matrices

Li Feng

(Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Computation Science)

Tutor : Liu Jinwang

ABSTRACT

First, this paper studies the equivalence of polynomial matrices and the condition of reversible, then studies the divisibility and the greatest common divisor of polynomial matrices and the condition of prime , then gives a important theorem: that is ,let A(x),B(x) be two n step polynomial matrices ,and that A(x)and B(x) are nonsingular ,then A(x) and B(x) are sure to exist a left least common multiple .Then according to the process of the proof of the theorem ,gaining how to compute the least common multiple .The last ，we discuss the question of factorization of polynomial matrices . Keywords : polynomial matrix; right associated; the greatest common divisor; the least common multiple ; factorization

前言

多项式矩阵是描述系统与控制数学模型的工具，多项式矩阵理论的发展，对于它在控制系统中的应用会有一定的益处.所以很多学者对多项式与多项式矩阵有了一定的研究.文献[1]对多项式如最大公因子，互素，整除等有了比较深入的研究.总结出了许多关于多项式的相关定理;如最大公因式存在定理:对于P[x ]中任意两个多项式()f x ,()g x ,在P[x]中存在一个最大公因式()d x ,且()d x 可以表成()f x ,()g x 的一个组合即有P[x]中多项式()u x ,()v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+;给出了两个多项式的互素的判断定理:P[x]两个多项式()f x ,()g x 互素的充要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使()()()()1u x f x v x g x +=.文献[2][3]基于文献[1]的基础上，对多项式矩阵有了初步的探讨.主要得出了以下结论:

1设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，则其右最大公因子()D x 存在，且可表为()()()()()D x P x A x Q x B x =+ 其中()P x ，()Q x 为n 阶多项式矩阵.

2 设()A x , ()B x 为多项式矩阵，则以下条件等价：

（1） ()A x 与()B x 右互素；

（2） ()A x 与()B x 的所有右最大公因子均为可逆多项式矩阵；

（3）存在()P x 与()Q x ，使得()()()()P x A x Q x B x E +=.

3 设()A x ,()B x 为n 阶多项式矩阵,如()A x 与()B x 为互素多项式,则()A x 与()B x 右互素.

4 可逆多项式矩阵与任意同阶多项式矩阵右互素.

5 多项式矩阵()A x 可逆的充要条件是()A x 的行列式为不等于零的常数.

本文在文献[1][2][3]的基础上进一步探讨多项式矩阵.研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件，然后研究了多项式矩阵的整除性与最大公因式与互素.并且探讨了两个多项式矩阵左最小公倍式的求法

与左最小公倍式的性质.最后根据文献[1]中的多项式的标准分解式即()f x =11()r cp x ()s r

s p x (其中c 是 f(x)的首相系数,12(),(),,()s p x p x p x 是不同的首相系数为1的不可约多项式,而12,,,s r r r 是正整数)与λ-矩阵的等价定理[1]，得出了多项式矩阵的分解定理.

正文

1 预备知识

形如111212122212()()()()()()()()()()n n n n mn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ????

??=??????

的矩阵称为多项式矩阵，其中()[]ij a x P x ∈，P 表示一个数域，P[x ]表示多项式环.数字矩阵可以看作是特殊的多项式矩阵.它的元素()ij a x 为零次多项式.

定义1 设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，如果存在n 阶多项式矩阵()C x 使()A x =()C x ()B x ，称()B x 是()A x 的右因子，或称()B x 右整除()A x .如果()A x ，()B x 互相右整除.则称()A x ，()B x 右相伴.同样可以定义左因子，右整除，及左相伴.

定义2 若对于n 阶多项式矩阵有()()()()A x B x B x A x E ==（E 为n 阶单位矩阵）则称()A x 可逆，()B x 为()A x 的逆矩阵，记为1

()A x -.

定义3 设()A x 为多项式矩阵，如果()A x 的行列式()0A x ≠，则称()A x 为非奇异矩阵.

显然可逆的多项式矩阵一定非奇异.

定义4 设()A x ，()B x 为多项式矩阵，如果存在可逆的多项式矩阵()P x ，使得 ()A x =()P x ()B x ，则称()A x 与()B x 左等价.

2 多项式矩阵的等价与可逆的条件

定理1 设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，如果()A x 与()B x 右相伴，而且至少有一个非奇异，则()A x 与()B x 左等价.

证明不妨设()A x 非奇异，因为()A x 与()B x 右相伴，由定义知，存在n 阶多项式矩阵1()A x ，

1()B x 使得11()()(),()()()A x A x B x B x B x A x ==.所以111()()()()()()A x A x B x A x B x A x ==，从而11()()A x B x E =，从而11(),()A x B x 均是可逆的多项式矩阵，这样()A x 与()B x 左等价.

定理2 设()A x ，()B x ， ()C x 为n 阶多项式矩阵，而且()A x = ()B x ()C x ，若()A x 非奇异，则()B x ，()C x 均非奇异，若()A x 可逆，则()B x 与()C x 均可逆.

证明若()A x 非奇异，则()0A x ≠，所以()0B x ≠而且()0C x ≠，故()B x 与()C x 均非奇异.若()A x 可逆，则()A x k =而且k ∈P ，k ≠0，于是可得()()B x C x k =，从而(),()B x C x 均为非零常数，故()B x 与()C x 可逆.

定理3[]1 多项式矩阵()A x 可逆的充要条件是()A x 的行列式为不等于零的常数.

3 多项式矩阵整除的性质

性质1 如果()B x 右整除()A x ；则多项式()B x 整除()A x .

证明由等式()()()A x B x C x =两端取行列式，得到多项式()()()A x B x C x =即 ()B x 整除()A x ，证毕.

性质2 ()A x 与()B x 右相伴，则多项式()A x 与 ()B x 至多相差一个比例因子.

证明如果 ()A x =0 或 ()0B x = 由性质1知()0B x =或()0A x =，即这时

()()0A x B x ==.如果()0A x ≠，由矩阵等式()()()

A x C x

B x =知()()()0A x

C x B x =≠，()0B x ≠.同样由()0B x ≠知()0A x ≠.又由右相伴性，有()C x 和1()C x 适合()()()A x C x B x =，1()()()B x C x B x =得1()()()()A x C x C x B x =，由()0A x ≠,得到11()()()()1C x C x C x C x ==，由()C x 与1()C x 均为多项式，故()0C x k =≠（k 为常数），11()C x k

=，11()()()()B x C x A x A x k ==，证毕. 性质3 多项式矩阵()U x 右整除任意同阶多项式矩阵的充要条件是()U x 为可逆多项式矩阵.

证明设 ()U x 右整除任意同阶多项式矩阵，则()U x 右整除单位矩阵E ，即有()V x 使得()()V x U x E =.即()V x 为可逆的多项式矩阵.反之，设()U x 可逆，则对任意的多项式矩阵()A x 有1()(()())()A x A x U x U x -=，即()U x 右整除()A x ，证毕.

4 多项式矩阵的最大公因子与互素

定义5 设 ()A x ,()B x 为多项式矩阵，如()C x 同时是()A x 与()B x 的右因子，则称()C x 为 ()A x 与()B x 的右公因子.

定义 6 设()D x 为 ()A x 与()B x 的右公因子且()A x 与()B x 任意右公因子右整除()D x ，则()D x 称为()A x 与()B x 的右最大公因子.

显然，两个多项式矩阵的右最大公因子之间存在着右相伴的关系.

定义7 如果单位矩阵E 是()A x 与()B x 的一个右最大公因子，则称()A x 与()B x 右互素.

定理[2]4设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，则其右最大公因子()D x 存在，且可表为()()()()()D x P x A x Q x B x =+ 其中()P x ，()Q x 为n 阶多项式矩阵.

定理[]35 设()A x ,()B x 为多项式矩阵，则以下条件等价：

（1）()A x 与()B x 右互素；

（2）()A x 与()B x 的所有右最大公因子均为可逆多项式矩阵；

（3）存在()P x 与()Q x ，使得()()()()P x A x Q x B x E +=.

推论1 设()A x ,()B x 为n 阶多项式矩阵,若()A x 与()B x 为互素多项式,则()A x 与()B x 右互素. 推论2 可逆多项式矩阵与任意同阶多项式矩阵右互素.

定理6 设()A x ,()B x ,()C x 为n 阶多项式矩阵,如果()A x 与()B x 右互素,()A x 与()C x 右互素,且()A x 与()B x 可交换，则()A x 与()B x ()C x 右互素.

证明因为()A x 与()B x 右互素，故存在多项式矩阵()P x 与()Q x 使()()()()P x Q x R x B x E +=

上式两边同乘()C x ，得 ()()()()()()()P x A x C x R x B x C x C x +=，因为()A x 与()B x 可交换，可得()()()()()()()P x C x A x R x B x C x C x +=故()A x 与()B x ()C x 的任一右公因子也是()C x 的右公因子，因而也是()A x 与()C x 的右公因子，由于()A x 与()C x 右互素，故右公因子只是可逆的多项式矩阵，即()A x 与()B x ()C x 的右公因子均为可逆的多项式矩阵，由定理5，()A x ()B x 与()C x 右互素.

推论1如果12(),(),,()m A x A x A x ,12(),(),,()n B x B x B x 都是n 阶多项式矩阵,而()i A x 与()j B x 互素且可相互交换,1,,,1,2,,i m j n == ,那么12()()()m A x A x A x 与12()()()n B x B x B x 右互素.

证明因为11(),()A x B x 右互素，1()A x 2（x ）,B 右互素，且)(1x A 与)(1x B 可交换，由定理6,可知1A （x ）与2B 1B （x ）（x ）右互素，又1A （x ）与3B （x ）

右互素，同理，1A （x ）与123B B B （x ）（x ）（x ）右互素.依此继续可得:1()A x 与12()()()n B x B x B x 右互素.令12()()()()n D x B x B x B x = ,则1()A x 与D （x ）右互素，类似可得()i A x 与D （x ）右互素，同理，有12()()()m A x A x A x 与()D x 右互素，证毕.

推论2 设()A x 与()B x 右互素,且()A x 与()B x 可交换那么()A x ()B x 与()A x +()B x 右互素.

证明因为()A x 与()B x 右互素,则存在多项式矩阵()P x ,()R x 使得()()()()P x A x R x B x E

+=所以 P （x ）[A （x ）+B （x ）]+[R （x ）-P （x ）]B （x ）=E

R （x ）[A （x ）+B （x ）]+[P （x ）-R （x ）]A （x ）=E

故()()A x B x +与()B x 右互素; ()()A x B x +与()A x 右互素;由定理6，()()A x B x +与()A x ()B x 右互素,证毕.

定理7 设()A x ,()B x ,()C x 为n 阶多项式矩阵,如果()C x 右整除()A x ()B x , ()A x 与()B x 右互素, ()B x 与()C x 可交换,则()C x 右整除()B x .

证明由于()A x 与()C x 右互素,存在()P x ,()R x 使()()()()P x A x R x C x E +=上式右乘()B x 得

()()()()()()()P x A x B x R x C x B x B x +=

又因为()C x 与()B x 可交换，故有()()()()()()()P x A x B x R x B x C x B x +=，因为()C x 右整除上式

左端，故()C x 也右整除()B x ，证毕.

定理8 设()A x ，()B x 为n 阶多项式矩阵，()D x 为()A x 与()B x 的右最大公因子

则有

（1）所有与()D x 左等价的多项式矩阵均是()A x 与()B x 的右最大公因子.

（2）若()D x 非奇异，则()A x 与()B x 的全部右最大公因子均等价.

证明（1）设11()()(),()()()A x A x D x B x B x D x ==，再令*()D x 与

D （x ）左等价则存在可逆矩阵()L x ，使得*

D （x ）=L （x ）D （x ）从而可得 11()(()())()()A x A x L x L x D x -=，11()(()())()()B x B x L x L x D x -=，

所以*

D （x ）为A （x ）与B （x ）的一个右公因子.再设()C x 为()A x 与B （x ）的任一右公因子，则

()C x 为()D x 的一个右因子，从而()C x 为*()D x 的右因子，于是*D （x ）是A （x ）与B （x ）的一个右最大公因子.

（2）设1()D x 是A （x ）与B （x ）的任一右最大公因子，则1()D x 与D （x ）右相伴，又因为()D x 非

奇异.由定理1 ，知1()D x 与()B x 左等价.

定理9 设A （x ），()B x ，()C x 为n 阶多项式矩阵，那么

(1) 若D （x ）是A （x ）与()B x 的一个右最大公因子，则()()D x R x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个右最大公因子.

（2）若*

()D x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个右最大公因子，则必存在n 阶多项式矩阵1()D x ，使

得*1D D R =（x ）（x ）（x ）并且当R （x ）非奇异时1()D x 为A （x ）与B （x ）的一个右最大公因子. 证明（1）显然，()()D x R x 是()()A x R x 与()()B x R x 的一个右公因子，另一方面,由定理4知，存在n 阶多项式矩阵()P x ，()Q x 使得()()()()D x P x A x Q x B x =+，从而()()()()()()()()D x R x P x A x R x Q x B x R x =+,所以()()A x R x 与()()B x R x 任一右公因子均是()()D x R x 的右因子，于是()()D x R x 是()()A x R x 与()()B x R x 的一个右最大公因子.

(2) 设*()D x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个右最大公因子，则存在n 阶多项式矩阵1()A x 与

1B （x ）使得**11()()()(),()()()()A x R x A x D x B x R x B x D x ==，同时存在n 阶多项式矩阵*()P x 与

*Q （x ）使得*****()()()()()()()(()()()())()

D x P x A x R x Q x B x R x P x A x Q x B x R x =+=+，再令**1()()()()()D x P x A x Q x B x =+ ，则A

（x ）与D （x ）的任一右公因子皆为1()D x 的右因子.又因*1()()()

D x D x R x =，所以1111()()()()(),()()()()()A x R x A x D x R x B x R x B x D x R x ==，若R （x ）非奇异，则1111()()(),()()()A x A x D x B x B x D x ==从而1()D x 为

A （x ）与

B （x ）的一个右公因子，于是1()D x 为A （x ）与B （x ）的一个右最大公因子，证毕.

5 多项式矩阵的最小公倍式

5.1 多项式矩阵的左最小公倍式的求法

定义8 设A （x ），B （x ）为n 阶多项式矩阵.如果存在n 阶多项式矩阵()N x 使得A （x ）与B （x ）

均为()N x 的右因子.则称()N x 为A （x ）与B （x ）的一个左公倍式；如果存在n 阶多项式矩阵()

M x 适合以下两个条件，则称()M x 为A （x ）与 B （x ）的一个左最小公倍式：

（1）()M x 为A （x ）与B （x ）的一个左公倍式，（2）若()N x 为A （x ）与B （x ）的任一个左公倍式，

则()M x 为()N x 的一个右因子.

显然两个多项式矩阵的任两个左最小公倍式均右相伴.类似的，可以定义多项式矩阵的右最小公倍式.

定理10 设A （x ），B （x ）为n 阶多项式矩阵，并且A （x ）与B （x ）均非奇异，则A （x ）与

B （x ）必然存在左最小公倍式.

证明首先，证明A （x ）与B （x ）的左公倍式必存在.

作2n n ×矩阵()H B x ????-??

A(x)（x ）=，由于A （x ）与B （x ）非奇异，则()H x 的秩(()).r H x n =于是存在2n 阶可逆矩阵()U x 与n 阶可逆矩阵()V x 使得()()()()C x U x H x V x O ??=????

，其中()C x 为n 阶多项式

矩阵.因此1()()()()()C x D x U x H x V x O O -????==????????

其中D （x ）为n 阶多项式矩阵.现将 ()U x 分块成11122122()()()()U x U x U x U x ??????

，其中()ij U x 为n 阶多项式矩阵，,1,2i j =.那么11122122()()()()()()()()()U x U x A x D x U x H x U x U x B x O ??????==??????-?

?????. 因此2122()()()()U x A x U x B x O -=.记2122M U A U B ==（x ）（x ）（x ）（x ）（x ）

.则()M x 为A （x ）与B （x ）的一个左公倍式.

其次，证明21()U x 与22()U x 左互素.设0D （x ）

为21U （x ）与22U （x ）的一个左最大公因子，则存在'21()U x 与 '22()U x 使得''2102122022()()(),()()()U x D x U x U x D x U x ==.于是

11121112''0212221

22()()()()()()()()()()E O U x U x U x U x U x O D x U x U x U x U x ??????==????????????，又因为U （x ）可逆，由定理2，知0()E O O D x ??????

可逆，从而21U （x ）与22U （x ）左互素. 最后，证明()M x 为A （x ）与B （x ）的一个左最小公倍式.

设()G x 是A （x ）与B （x ）任一个左公倍式，则存在n 阶多项式矩阵()X x ，()Y x 使得

()()()G x X x A x =，()()()G x Y x B x =.

现设*

D （x ）为M （x ）与G （x ）的一个右最大公因子.则存在n 阶多项式矩阵1M （x ）

与1G （x ），使得**11()()(),()()()M x M x D x G x G x D x ==.

由定理9（2）知存在n 阶多项式矩阵12(),()D x D x 使*12()()()()().D x D x A x D x A x ==所以

*21111

()()()()()()()()U x A x M x M x D x M x D x A x ===*22112()()()()()()()()U x B x M x M x D x M x D x B x ===. 由此可得21112212()()(),()()()U x M x D x U x M x D x ==.所以1()M x 为21()U x 与22U （x ）的一个左因子.又因为21()U x 与22U （x ）左互素，所以1()M x 可逆.因此

*1111()()()(()())(),G x G x D x G x M x M x -==于是()M x 为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式.证毕.

上面定理的证明实际上提供了一个具体求两个多项式矩阵左最小公倍式的方法.具体步骤如下：

作23n n ×矩阵,()O B x O E ????-??

2n A(x)E （H （x ），E ）=那么 11121112221222122()()()()()()()((),)()()()()()n U x U x D x U x U x A x E O U x H x E U x U x O U x U x B x O E ??????==??????-??????，而U （x ）可

逆，它可以表为有限个初等多项式矩阵的乘积.即用初等变换把H （x ）化成()D x O ??????

时，2n E 变成可逆矩阵11122122()()(),()()U x U x U x U x U x ??=?

???

此时2122()()()()U x A x U x B x =即为A （x ）与B （x ）的一个左最小公倍式. 例1 求()A x 与()B x 的一个左最小公倍式，其中2

11(),()1x x x A x B x x x x

x ??-??==????+????. 解对矩阵()()A x E O B x O E ????-??

作初等行变换得： 22210010

11100001110010000111100100001110001x x x x x

x x x x x x x x x x --??-??????-+?????????→????-+-+--????----????有限次初等变换设22111(),(),01

1x x x x U x V x x x ????-+-+==????-???? 则有2322()()()()x x x U x A x V x B x x

x ??+==????为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式. 5.2 多项式矩阵的左最小公倍式的性质

与右最大公因子类似，左最小公倍式也有以下性质.

定理11 设()A x ，

()B x 为n 阶多项式矩阵并且()A x 与()B x 均非奇异，()M x 为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式，则有

（1）所有与()B x 左等价的多项式矩阵均为()A x 与()B x 的左最小公倍式；

（2）若()M x 非奇异，则()A x 与()B x 的所有左最小公倍式均左等价.

证明（1）设()N x 是与()M x 左等价的任一矩阵，则存在可逆的n 阶多项式矩阵()L x ，使得 ()()()N x L x M x =.显然()N x 为()A x 与()B x 一个左公倍式.因为()M x 为()A x 与B （x ）的一个左最小公倍式，故()M x 为()A x 与()B x 的任一左公倍式的右因子.又因为1()()()M x L x N x -=，故()N x 为()A x 与()B x 任一左公倍式的右因子.于是()N x 为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式.

(2) ()A x 与()B x 任两个左最小公倍式均右相伴，因为()M x 非奇异，由定理1知，()A x 与 ()B x 的所有左最小公倍式均左等价.证毕.

定理12 设()A x ，()B x ，()R x 为n 阶多项式矩阵且均非奇异，则有

（1）若()M x 为()A x 与()B x 的左最小公倍式，则()()M x R x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个左最小公倍式.

（2）若()N x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个左最小公倍式且()N x 非奇异，则存在1()N x 使得

1()()(),

N x N x R x =并且1()N x 为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式. 证明（1）设()M x 为()A x 与()B x 的一个左最小公倍式，则存在n 阶多项式矩阵()U x ，()V x 使得()()()M x U x A x =，()()()M x V x B x =，故

()()()()()M x R x U x A x R x =,()()()()()M x R x V x B x R x =.

因此()()M x R x 为()()A x R x 与()()B x R x 的一个左公倍式.

现设()G x 为()()A x R x 与()()B x R x 的任一左公倍式，则存在n 阶多项式矩阵()X x ，()Y x 使得 ()()()()G x X x A x R x =，()()()()G x Y x B x R x =.令1()()(),G x X x A x =则1G G R =（x ）（x ）（x ）。因为()R x 非奇异，所以1()()(),G x Y x B x =故1()G x 为()A x 与()B x 的一个左公倍式.因此()M x 为1()G x 右因子.于是()()M x R x 为()G x 的右因子.由定义知()()M x R x 为()()A x R x 与()()B x R x 左最小公倍式.

（2）设0()N x 是()A x 与()B x 的一个左最小公倍式，则由（1）知0()()N x R x 是()()A x R x 与

()()B x R x 的一个左最小公倍式.由定理11（2）知，()N x 与0()()N x R x 左等价.即存在可逆的n 阶多项式矩阵()L x 使得0()()()().N x L x N x R x =现令10()()()N x L x N x =，则1()()(),

N x N x R x =且()x 1N 与0N （x ）

.再由定理11中（1）知，1()N x 是()A x 与()B x 的一个左最小公倍式.

6 多项式矩阵的分解

为了方便研究多项式矩阵的分解问题，首先引入素多项式矩阵的概念.

定义9 设()A x 为n 阶多项式矩阵，并且()A x 的次数(()) 1.A x ?≥如果任给n 阶多项式()B x ， ()C x ，由()()()A x B x C x =可推出()B x 或()C x 可逆，则称()A x 为素多项式矩阵.

定理13 设()A x 为n 阶多项式矩阵，则()A x 为素多项式矩阵的充要条件为()A x 的标准形为(1,,1,()),diag a x 其中()a x 为P[x]中的不可约多项式.

证明（1）必要性.设()A x 是素多项式矩阵.由于()A x 的次数1,A ?（（x ））≥则()A x 非奇异，所以由文献[1]知，存在可逆矩阵()P x 与()Q x ，使得

1112()()()((),(),,()).n P x A x Q x diag d x d x d x --= 其中1()

(),i i d x d x +∣且()i d x 为首一多项式，1,2,,1i n =- .这样，1()()((),,())()n A x P x diag d x d x Q x = .若1(())1,n d x -?≥则?n （d (x)）≥1，设11()()((),,(),1),()(1,,1,())()n n B x P x diag d x d x C x diag d x Q x -== ，那么()()()A x B x C x =.此时1()()()(),()()().n n B x P x d x d x C x d x Q x == 显然()B x 与()C x 均不可逆.这与()A x 为素多项式矩阵矛盾.所以11()() 1.n d x d x -=== 因此()()(1,,1,(n A x P x d i a g d x Q x = 最后来证明()n d x 不可约，若()n d x 是P[x]中的可约多项式，

则可设()()(),n d x f x g x =且??（f(x)）

≥1,(g(x))≥1. 现令()()(1,,1,()),()(1,,1,())(),B x P x diag f x C x diag g x Q x == 则()()()A x B x C x =.显然

()B x 与()C x 均不可逆，同样，与()A x 为素多项式矩阵相矛盾.

（2）充分性.若()A x 的标准形为(1,,1,()),diag a x 其中a(x)不可约多项式，则()(()),A x k a x =其

中k P ∈且0k ≠.若A B C =（x ）（x ）（x ）则()()()(()),B x C x A x k a x ==而(())k a x 仍是[]P x 中的不可约多项式，所以()B x 与C （x ）

中必有一个非零常数，即()B x 与()C x 中必有一个可逆.从而 ()A x 为素多项式矩阵.证毕.

定理14 设()A x 为n 阶多项式矩阵，并且(()) 1.A x ?≥则()A x 可以分解为如下的形式：

1212()()()()()(),k a a a k A x P x A x A x A x Q x = 其中()i a i A x 为素多项式矩阵，i a 是正整数，1,2,,i k = .

证明存在可逆矩阵P(x)与()Q x ，使得1112()()()((),(),,())n P x A x Q x diag d x d x d x --= ，其中

1()()i x d x +?i d 且()i d x 为首一多项式，, i=1,2,

n-1.记()(1,1,(),1,,1),i i D x diag d x = 对于每一个,1,i i n ≤≤设1212()()()()it i i i i a a a i i i it d x p x p x p x = 为()i d x 在P[x]中的标准分解式()(1,,1,(),1,,1).1,2,,,ij ij i A x diag p x j t == 则()ij A x 是素多项式矩阵，并且

1212()()()().it i i i i a a a i i i it D x A x A x A x = 又12()()()()()(),n A x P x D x D x D x Q x = 于是()A x 具有如下形

式：1212()()()()()(),k a

a a k A x P x A x A x A x Q x = 其中, 12k A (x),A (x),A (x)是素多项式矩阵.证毕.

7 结论

本文主要研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件以及多项式矩阵的整除性，右最大公因子，互素与左最小公倍式的性质.特别是给出了求两个多项式矩阵左最小公倍式的方法.最后得出了多项式矩阵的分解定理.其中主要结果如下：

1 设()A x ,()B x ,()C x 为n 阶多项式矩阵,如果()A x 与()B x 右互素,()A x 与()C x 右互素,且()A x 与()B x 可交换，则()A x 与()B x ()C x 右互素.

2 如果12(),(),,()m A x A x A x ,12(),(),,()n B x B x B x 都是n 阶多项式矩阵,而()i A x 与()j B x 互素且可相互交换,1,,,1,2,,i m j n == ,那么12()()()m A x A x A x 与12()()()n B x B x B x 右互素.

3 设()A x 与()B x 右互素,且()A x 与()B x 可交换那么()A x ()B x 与()A x +()B x 右互素.

4设()A x ,()B x ,()C x 为n 阶多项式矩阵,如果()C x 右整除()A x ()B x , ()A x 与()B x 右互素, ()B x 与()C x 可交换,则()C x 右整除()B x .

5设A （x ），B （x ）为n 阶多项式矩阵，并且A （x ）与B （x ）均非奇异，则A （x ）与B （x ）必然存在左最小公倍式.

6设()A x 为n 阶多项式矩阵，并且(()) 1.A x ?≥则()A x 可以分解为如下的形式：

1212()()()()()(),k a a a k A x P x A x A x A x Q x = 其中()i a i A x 为素多项式矩阵，i a 是正整数，1,2,,i k = .

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.《高等代数》[M].高等教育出版社，1998，8-342.

[2] 杨昌兰.λ-矩阵的最大公因子[J].曲埠师范大学学报.1997.（2）：53-63.

[3] 杨昌兰.λ-矩阵的若干性质[J].山东轻工业学院学报1997.11（1）：61-63.

[4] 懂增福.《矩阵分析教程》[M].哈尔滨工业大学出版社，2003，59-61.

[5] Wang Mingsheng.C.P.Kwong.On multivariate polynomial matrix factorization problems [J].Math.control Signals systems(2005)17:277-311.

致谢

经过本学期的近四个月的努力，我终于可以完成我有生以来最重要的毕业论文.它可以说是我大学四年所学知识的一个展台，也可以说是为我的大学生活划上圆满句号的标志.在大学四年的学习生涯中，我的老师们给予我孜孜不倦的教诲，我的同学在学业上与我共同成长，共同进步.我非常感谢他们.

在本论文的撰写过程中，我能够从一开始的茫然不知所措到现在此论文的出稿，得益于我的指导老师刘金旺教授在百忙之中抽出大量的宝贵时间为我的论文的撰写进行详细而周密的指导，使我得以顺利的完成这一重要的任务.现在，看看自己的论文正稿，我百感交集.我的老师为我付出了无私的师爱，我唯有在今后的人生道路上，更加的努力，争取在学术上有所成就，这样才能算是对老师最好的回报.最后，我再次向我的指导老师刘金旺教授和帮助过我的同学们表示由衷的感谢和诚挚的祝福！