试题解析：（1）对称轴,a x -=当5-≤-a 或5-≥-a 时，)(x f 在[]5,5-上单调， ∴55a a ≥≤-或
（2）27100()27100
a a g a a a +≤?=?-
偶函数
考点：1、分类讨论思想； 2、函数的单调性和奇偶性.
函数定义域、值域、解析式、图像
练习卷（二）参考答案
1．D 【解析】
试题分析：依题意，使函数有意义，则10x -≥且20x -≠，所以1x ≥且2x ≠，因此该函数的定义域为[1,2)(2,)+∞U ，故选择D.
考点：函数的定义域.
2．B 【解析】因为2x 01f (x)lg(2x 1)x 2
2x 102
->?=+-∴∴<?，选B 3．A 【解析】
试题分析：函数x y =的定义域为R ，函数
)1,0(log y ≠>=a a a x a 化简之后为,x y =其定义域为R ；函数2x y =化简之后为x y =；函数2)(x y =化简之后虽为x y =，但其定义域为}0x {x ≥，所以选A .
考点：相等函数的概念，两个函数相等应满足两点：（1）解析式化简之后相同，（2）定义域相同.
4．D 【解析】A,B,C 不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x 的取值范围内存在自变量0x ，有两个y 值与之对应，不符合函数的概念；D 符合函数概念；故选D
5．D 【解析】
试题分析：因为1,0()1,0x x x
f x x x x x +>?=+=?--
考点：①将含绝对值的函数转化为分段函数；②考查识图能力．
6．A 【解析】阴影部分的面积随着h 的增大而减小，所以函数()S h 是减函数；排除A 和C;又因为阴影部分下宽上窄，所以开始随着h 的增大，S 减少的快，随后，随着h 的增大，S 减少的幅度逐渐变小。故选A.
7．C 【解析】
试题分析：函数2243(2)1,y x x x =-+=--对称轴为2x =，故
m a x m i (0)3,1y f y ===-
. 考点：二次函数的单调性
8．D 【解析】
试题分析：
.514)4(,4)2()2(2=+==-=-f f 故选D . 考点：分段函数和复合函数.
9．D 【解析】
试题分析：函数244y x x =--2(2)8x =--，当2x =时，8y =-，令
2444y x x =--=-，得0x =或4x =，若函数442--=x x y 的定义域为[0,]m ，值域为[8,4]--，则需满足24m ≤≤，故选择D.
考点：二次函数的性质及数形结合的数学思想.
10．C 【解析】
试题分析：(){}{}lg 33A x y x x x ==+=>- ，{}2B x x =≥，故A 选项错误，B 选项错误，B A ?，所以A B B = ，故C 选项正确，A B A = ，D 选项错误，故选C. 考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系
11．1e
【解析】试题分析：11
111()ln
1,(())(1)e .f f f f e e e e -==-=-==. 考点：1.分段函数；2.指数、对数运算.
12
．{|12x x x <<>或
【解析】21322l o g (1)2
22x x x x e -≥>??或,所
以2212121019
x x x x x ≥?<?->?或或,所以不等式2)(>x f 的解集
为
{|12x x x <<>或.
13．(0,1)(1,2] 【解析】试题分析：由已知240,01x x x ?-≥?>≠?且解得22,01
x x x -≤≤??>≠?且故答案为(0,1)(1,2] .
考点：函数的定义域.
14．0,)(≥=
x x x f
【解析】略
15．（1）见试题解析；（2）见试题解析；（3）1,7-。
【解析】
试题分析：（1）先求定义域，再用偶函数的定义可证2()21f x x =-是偶函数，（2）利用减函数的定义，按照取值、作差、变形、判断符号、下结论的过程进行证明，注意利用平方差公式进行变形，（3）根据图像
可知()f x 在0=x 处取到最小值，在2=x 处取到最大值。
试题解析：（1）证明：函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x R ∈，都有
22()2()121()f x x x f x -=--=-=，∴()f x 是偶函数．
（2）证明：在区间(,0]-∞上任取12,x x ，且12x x <，则有
22221212121212()()(21)(21)2()2()()f x f x x x x x x x x x -=---=-=-?+，
∵12,(,0]x x ∈-∞，12x x <，∴12120,x x x x -<0,+<
即1212()()0x x x x -?+>
∴12()()0f x f x ->，即()f x 在(,0]-∞上是减函数．
（3）解：最大值为(2)7f =，最小值为(0)1f =-．
考点：（1）偶函数定义；（2）减函数定义及利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数图像求最值。
16．（1）4=m ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
试题分析：（1）把()5,1代入函数()x f ，可求得4=m ；
论；
（3）函数在()2,0上单调减，利用单调性的定义证明，取值，作差，变形，定号下结论；
试题解析：（1）把()5,1代入函数()x f 得()511=+=m f ，解得4=m
∴()x f 是奇函数；
（3）函数在()2,0上单调递减，证明如下：
取2021<<因为2021<< ∴函数在()2,0上单调递减.
考点：函数性质的综合应用．
17．（1）单调递增区间为：[]6,1，单调递减区间为：[)1,4-；（2）最大值为()354=-f ，最小值为：()12-=f ；（3）46≥-≤a a 或.
【解析】
试题分析：（1）当1-=a 时，求出函数的对称轴，可得函数的单调区间；
（2）当2-=a 时，求出函数的对称轴，利用函数在区间[]6,4-上的单调性，确定函数的最大值和最小值；
（3）求出函数的对称轴，利用函数在区间[]6,4-上是单调增函数，确定对称轴和区间之间的关系，求出实数a 的取值范围.
试题解析：（1）当1-=a 时，()11322
2+-=+-=x x x y ，因为x ∈[]6,4-，所以函数的单调递增区间为：[]6,1，单调递减区间为：[)1,4-.
（2）当2-=a 时，()12342
2--=+-=x x x y ，因为x ∈[]6,4-，所以函数的单调递增区间为：[]6,2，单调递减区间为：[)2,4-，所以函数的最大值为()354=-f ，最小值为：()12-=f .
（3）由()22
2332a a x ax x y -++=++=可得：函数的对称轴为：a x -=，因为函数在[]6,4-上是单调函数，所以46≥-≤a a 或.
考点：二次函数性质的综合应用．
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都
冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常
⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数
求函数的定义域和值域的方法
解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f
函数的定义域、值域及解析式
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念
高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型
高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3） 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
（一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-
函数定义域和值域
1．函数的定义、定义域、值域 2．两个函数相等的条件 (1)定义域相同． (2)对应关系完全一致． 知识点二函数的表示及分段函数 1．函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 知识梳理 1.函数与映射的概念 函数映射 两个集合A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯 如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个元素x，在集合B中都有
求()x f 与()x g 的解析式。 1.(绍兴质检)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1 D.x ＋1或－x －1 3.(湖州一模)f (x )＝???? ????13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ???? ?? f ? ????19＝( ) A.－2 B.－3 C.9 D.－9 4.(全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2x D.y ＝ 1x 5.(铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 2 0，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝x －1x B.f (x )＝e x －1 C.f (x )＝x ＋4 x D.f (x )＝tan x 6.下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )的图象的是( )
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
复合函数定义域与值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义 域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为
必修一 函数的定义域及值域
个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、 3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a5、函数的定义域和值域答案
函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析
定义域及值域类型总结(全,含答案)
◎求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； （5）*三角函数中的正切x y tan =的定义域为? ?? ??? ∈+ ≠Z k k x x ，2 π π； （6）已知函数()x f 的定义域为D ，求函数()[]x g f 的定义域，只需()D x g ∈； （7）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()x f 的定义域，只需(){}x g y y x =∈，即求()x g 的值域。 （8）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 的定义域，只需()1D x g D x ∈?∈，()21D x D x t ∈?∈?。 （9）已知函数()x f 或()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 与别的函数的复合函数的定义域，按（6）、（7）的方法求()[]x t f 的定义域，再与别的函数定义域的交集。 （10）已知()x f 的解析式，求()[]x f f 的定义域，先求出()x f 的定义域D ，让()D x f ∈，求出x 的范围。 如果()x f 的定义域是D x ≠，则让()D x f ≠求出1D x ≠，最终D x ≠且1D x ≠。 例：求下列函数的定义域 1、)2-lg(=2x x y 2>0数学必修一定义域值域知识点总结
数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.
例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;
函数的定义域和值域课件
函数的定义域和值域 学习目标： 1．了解构成函数的要素有定义域、对应法则和值域，会求一些简单函数的值域； 2．通过本节的学习，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯； 活动方案 活动一（目标：理解函数定义域的概念，复习巩固上一节课的定义域的相关内容，并能 熟练求出一个给定的函数的定义域。） 题型一：简单函数的定义域 巩固检测1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）21()1f x x = -； 小结：求简单函数的定义域时常考虑哪些因素？ 题型二：函数由两个及以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时的定义域 求下列函数的定义域： 巩固检测2．（1）y = （2）1()f x x = 小结：此种情况如何求定义域？ 题型三：复合函数的定义域 例1．（P24.5）若2 ()f x x x =- （1）此函数的输入值是谁？ （2）求(0),(1),(1)f f f x +； （3）函数(1)y f x =+的输入值又是谁？(2)y f x =呢？ 例2．求下列函数的定义域： （1）若()y f x =的定义域为]1,4?-?，则2()y f x =的定义域是 。 （2）若函数(1)y f x =+的定义域是]2,3?-?，则(21)y f x =-的定义域 是 。 活动二（目标：理解函数值域的概念，并能熟练准确地求出一个给定的函数的值域。） 阅读课本P23中间关于值域的内容，思考以下问题： （1）函数的值域是怎样定义的？ （2）函数的值域与定义中集B 有怎样的包含关系？ （3）函数的定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，这三者之间的关系怎 样？
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形
函数的定义域及值域
函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)＝x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围； 2. 设f (x )=lg(x 2 －2x +a )的定义域为R ，求a 的取值范围； 3.设函数y = 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.
题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y ＝ 2x －1 x ∈[1，3] (2) y ＝ －3x +1 x ∈[－1，2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[－1，1] 最大值为2,最小值为－4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y ＝x 2－5x ＋6 x ∈[－2，1] ⑵y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[1，3] ⑶y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[2，4] (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[3，5] (5) f(x)= x 2－2ax －2 x ∈[－2，4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值.
高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数 教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法 教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解 一、指数函数的概念 一般地，函数x y a =()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意：为何规定0a >，且1a ≠? 你知道么？
图象 性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x =0时y =1 ④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1; 当x ＞0时,y ＞1 ④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1; 当x ＞0时,0＜y ＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2； （2）23 0.6 - 和34 0.6 - . 【分析与解答】（1）因为指数2x y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3 1.72 2>. （2）因为指数函数0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334 ->-，所以23 3 40.60.6-->. 求下列函数的定义域与值域。 （1）1 4 2 x y -= （2）23x y -?? = ? ?? （3）1 42 1x x y +=++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。 【解】（1）由404x x -≠?≠ 所以定义域为}{ ,4x x R x ∈≠且 1 41 0214 x x -≠∴≠-Q 所以值域为{} 0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。 2331322x x x y --≥?????? ∴==≥= ? ? ??? ?? ?? Q 故值域为{} 1y y ≥
数学定义域和值域
函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)；(2)；(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3．值域: （先考虑其定义域） 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出； 2.分离常数法：可将其分离出一个常数； 3.观察法：利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y m i n = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
函数定义域值域及表示
函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
函数值域定义域值域练习题
函数值域定义域值域练 习题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
一．选择题（共18小题） 1．（2007?河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=的实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣2，4）D．[﹣2，4] 2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[0，1] 3．（2010?重庆）函数的值域是（） A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）4．（2009?河东区二模）函数的值域是（） A．（0，+∞）B．C．（0，2）D．（0，）5．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（） A．（2，26）B．[1，26）C．（1，26）D．（1，26] 6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（） A．[1，2]B．[3，4]C．[2，3]D．[1，6] 7．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（） A．[2，22]B．[6，22]C．[0，20]D．[6，24] 8．函数的值域是（） A．{y|y∈R且y≠1} B．{y|﹣4≤y＜1} C．{y|y≠﹣4且y≠1} D．R 9．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（） A．[0，3]B．[1，3]C．[﹣1，0]D．[﹣1，3）10．函数的值域为（） A．[2，+∞）B．C．D．（0，2] 11．函数的值域为（）
A．[4，+∞）B．（﹣∞，4]C．（0，+∞）D．（0，4] 12．函数的定义域为（） A．[3，5）B．（﹣5，3]C．[3，5）∪（5，+∞）D．[3，+∞） 13．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D． 14．已知，则f（x）的定义域是（） A．[﹣2，2]B．[0，2]C．[0，1）∪（1，2]D． 15．函数f（x）=（x﹣）0+的定义域为（） D．（，+∞）A．（﹣2，）B．（﹣2，+∞）C．（﹣2，）∪（， +∞） 16．定义域为R的函数y=f（x）的值域为[a，b]，则函数y=f（x+a）的值域为（）A．[2a，a+b]B．[a，b]C．[0，b﹣a]D．[﹣a，a+b] 17．函数的值域是（） A．[1，2]B．[0，2]C．[﹣，﹣1]D．[﹣，1] 18．已知y=4x﹣3?2x+3的值域为[1，7]，则x的取值范围是（） A．[2，4]B．（﹣∞，0）C．（0，1）∪[2，4]D．（﹣∞，0]∪[1，2]二．填空题（共11小题） 19．（2013?安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_________．20．（2012?四川）函数的定义域是_________．（用区间表示）21．求定义域：． 22．若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b= _________． 23．函数y=的值域是_________． 24．函数的值域为_________． 25．函数的值域为_________．
函数定义域、值域、解析式习题及答案
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域
三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是
