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简谐运动5

机械振动和机械波

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按照考纲的要求，本章内容可以分成两部分，即：机械振动；机械波。其中重点是简谐运动和波的传播的规律。难点是对振动图象和波动图象的理解及应用。

机械振动

典型的简谐运动 1．弹簧振子

（1）周期k

m T π2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是k m T π2=。

这个结论可以直接使用。

（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例1】有一弹簧振子做简谐运动，则（）

A ．加速度最大时，速度最大

B ．速度最大时，位移最大

周期：g L

T π2=

机械振动

简谐运动

物理量：振幅、周期、频率运动规律

简谐运动图象

阻尼振动无阻尼振动受力特点

回复力：F= - kx

弹簧振子：F= - kx

单摆：x L

= 受迫振动

共振

在介质中

的

传播

机械波

形成和传播特点类型横波纵波 vT =λ

x=vt

干涉衍射

C ．位移最大时，回复力最大

D ．回复力最大时，加速度最大解析： C 、D

【例2】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．

解析：如图所示，设振子的平衡位置为O ，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为0x ，根据胡克定律及平衡条件有

00mg kx -= ①

当振子向下偏离平衡位置为x 时，回复力（即合外力）为

0()F mg k x x =-+回 ②

将①代人②得：F kx =-回，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．

【例3】如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A 是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大？

解析：（1）最大振幅应满足kA=mg ， A =

（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：F m -mg=mg ，F m =2mg 【例4】弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动．B 、C 相距20 cm ．某时刻振子处于B 点．经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：

（1）振动的周期和频率；

（2）振子在5 s 内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B 点的加速度大小跟它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值．【例5】一弹簧振子做简谐运动．周期为T

A ．若t 时刻和（t +△t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T /2的整数倍

D ．若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍

C ．若△t ＝T ／2，则在t 时刻和（t －△t ）时刻弹簧的长度一定相等

D ．若△t ＝T ，则在t 时刻和（t －△t ）时刻振子运动的加速度一定相同解析： D 选项正确。 2．单摆。

（1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

（2）当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期g

l T π

2=，与摆球质量m 、振幅A 都无关。其中l 为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长

和摆线长。

（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 和小球半径r 的差。

【例6】已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L /4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？

解析：该摆的周期为：g

l T T T 2

32221π

=+=

【例7】固定圆弧轨道弧AB 所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a 、b 分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：t a ＿＿t b ，E a ＿＿2E b 。

解析： t a = t b ； E a >2E b 。三、简谐运动的图象

1．简谐运动的图象：以横轴表示时间t ，以纵轴表示位移x ，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线．

2．振动图象的含义：振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律．点评：关于振动图象的讨论

（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．

（2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性．

【例9】劲度系数为20N ／cm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A 点对应的时刻

A ．振子所受的弹力大小为0．5N ，方向指向x 轴的负方向

B ．振子的速度方向指向x 轴的正方向

C ．在0～4s 内振子作了1．75次全振动

D 。在0～4s 内振子通过的路程为0．35cm ，位移为0 解析： B ．

【例10】摆长为L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t =0），当振动至

t 23π=

时，摆球具有负向最大加速度，则单摆的振动图象是图中的（）

解析： D 正确。四、受迫振动与共振 1．受迫振动

物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2．共振

当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

【例12】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（）

A．逐渐增大

B．先逐渐减小后逐渐增大；

C．逐渐减小

D．先逐渐增大后逐渐减小

解析： D。

【例13】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（）

A．各摆的振动周期与a摆相同

B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长

D．以上说法均不正确

解析： A、B。

简谐运动的图象专项练习

1．一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（）

A．速度为正的最大值，加速度为零

B．速度为零，加速度为负的最大值

C．位移为正的最大值，动能为最小

D．位移为正的最大值，动能为最大

2．如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为（）

A．v变大，a变小 B．v变小，a变小

C．v变大，a变小 D．v变小，a变大

3．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度α的方向应为（）

A．v为正，a为负 B．v为负，a为正

C．v、a都为正 D．v、a都为负

4．如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为（）

A．加速度 B．位移 C．速度 D．回复力

5．如下图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列说法中正确的是（）

A．再过1s，该质点的位移是正的最大 B．再过1s，该质点的速度方向向上

C．再过1s，该质点的加速度方向向上 D．再过1s，该质点的加速度最大

6．一质点作简谐运动的图象如下图所示，则该质点（）

A．在0至0.01s内，速度与加速度同方向

B．在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向

C．在0.025s末，速度为正，加速度为负

D．在0.04s末，速度为零，回复力最大

7．如下图所示，下述说法中正确的是（）

A．第2s末加速度为正最大，速度为0 B．第3s末加速度为0，速度为正最大

C．第4s内加速度不断增大 D．第4s内速度不断增大

8．一个做简谐振动的质点的振动图象如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是（）

A．t4 B．t3 C．t2 D．t1

9．如下图所示为一单摆做间谐运动的图象，在0.1～0.2s这段时间内（）

A．物体的回复力逐渐减小 B．物体的速度逐渐减小

C．物体的位移逐渐减小 D．物体的势能逐渐减小

10．一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时

刻作计时起点（t 为0），经

周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b 所示的几个振动图象中，正确反映振子振动情况（以向右为正方向）的是（）

11．弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t 1至t 2这段时间内（）

A ．振子的速度方向和加速度方向都不变

B ．振子的速度方向和加速度方向都改变

C ．振子的速度方向改变，加速度方向不变

D ．振子的速度方向不变，加速度方向改变

12．如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s 内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为（）

A ．4m/s ，4m

B ．0.4m/s ，4cm

C ．0.4m/s ，0．4m

D ．4m/s ，0.4m 13．如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图象，则振动系统在（）

A ．t 1和t 3时刻具有相同的动能和动量

B ．t 1和t 3时刻具有相同的势能和不同的动量

C ．t 1和t 5时刻具有相同的加速度

D ．t 2和t 5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1

14．从如下图所示的振动图象中，可以判定弹簧振子在t= s时，具有正向最大加速度；t= s时，具有负方向最大速度；在时间从 s至 s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从 s至 s内振子的速度在+x方向上并不断增大．

15．如下图所示为两个弹簧振子的振动图象，它们振幅之比A A∶A B= ；周期之比T A∶T B= ．若已知两振子质量之比m A∶m B=2∶3，劲度系数之比k A∶k B=3∶2，则它们的最大加速度之比为．最大速度之比．

16．一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示．在t=1．25s时小球的加速度的大小为，方向；在t=2．75s时小球的加速度大小为，速度的方向为．

参考答案

1．B、C 2．C 3．A 4．C 5．A、D 6．A、D 7．A、B、C 8．D

9．A、C、D 10．D 11．D 12．C 13．B、D

14．0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.6

15．2∶1；2∶3；9∶2；3∶1

16．6m/s2；向上；0；向下

17．0．1s；0．1m/s

机械波

目标：

1．掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点（规律）；

2．掌握描述波的物理量——波速、周期、波长；

3．正确区分振动图象和波动图象，并能运用两个图象解决有关问题

4．知道波的特性：波的叠加、干涉、衍射；了解多普勒效应

重点：机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关系；空间距离和时

难点：波的图象及相关应用

一、机械波

1．机械波的产生条件：①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相互作用力）。

2．机械波的分类

机械波可分为横波和纵波两种。

（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。

（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的疏密波、声波等。

说明：地震波既有横波，也有纵波。

3．机械波的传播

（1）在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式：v=λ f。

（2）介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。

（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。

（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

4．机械波的传播特点（规律）：

（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。

（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。

5．机械波的反射、折射、干涉、衍射

一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

（1）干涉产生干涉的必要条件是：两列波源的频率必须相同。

【例1】如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有

A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱

B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C．a质点的振动始终是最弱的， b、c、d质点的振动始终是最强的

D．再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

解析： B、C

【例2】如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为 5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是（）

A．C、E两点都保持静止不动

B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm

C．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动

D．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm

解析： B选项正确。D选项正确。

（2）衍射。

①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。

②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。

（3）波的独立传播原理和叠加原理。

独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。

波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。前者是描述波的性质：同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况：每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业：各个老师要留的作业与其他老师无关，是独立的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。

6．多普勒效应

当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。

【例4】a为声源，发出声波；b为接收者，接收a发出的声波。a、b若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是

A．a静止，b向a运动，则b收到的声频比a发出的高

B．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的高

C．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的低

D．a、b都向相互背离的方向运动，则b收到的声频比a发出的高

答案：A

二、振动图象和波的图象

1．振动图象和波的图象

振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。

（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。

（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。

（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：

4．波的传播是匀速的

在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。n 个周期波形向前推进n 个波长（n 可以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=λ f ，也可以使用v=s/t ，后者往往更方便。

5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）

任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A ，在半个周期内经过的路程都是2A ，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A 了。

6．起振方向

介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。【例5】在均匀介质中有一个振源S ，它以50H Z 的频率上下振动，该振动以40m/s 的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻S 的速度方向向下，试画出在t =0.03s 时刻的波形。

解析：从开始计时到t =0.03s 经历了1.5个周期，波分别向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S 的速度方向向上，所以波形如右图所示。

简谐振动

简谐横波

7．波动图象的应用：

（1）从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。（2）波动方向<==>振动方向。方法：

【例8】如图是一列波在t 1=0时刻的波形，波的传播速度为2m/s ，若传播方向沿x 轴负向，则从t 1=0到t 2=2.5s 的时间内，质点M 通过的路程为______，位移为_____。解析：路程12×4A +2A =250cm=2.5m 。位移为0。

（3）两个时刻的波形问题：设质点的振动时间（波的传播时间）为t ，波传播的距离为x 。

则：t =nT +△t 即有x =n λ+△x （△x=v △t ）且质点振动nT （波传播n λ）时，波形不变。

①根据某时刻的波形，画另一时刻的波形。

方法1：波形平移法：当波传播距离x =n λ+△x 时，波形平移△x 即可。

方法2：特殊质点振动法：当波传播时间t =nT +△t 时，根据振动方向判断相邻特殊点（峰点，谷点，平衡点）振动△t 后的位置进而确定波形。

②根据两时刻的波形，求某些物理量（周期、波速、传播方向等）【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v =0.5m/s ，画出该时刻7s 前及7s 后的瞬时波形图。解析：λ=2m ，v =0.5m/s ，T =

=4 s.所以⑴波在7s 内传播

的距离为x =vt =3.5m=1

43λ⑵质点振动时间为14

T 。方法1 波形平移法：现有波形向右平移

λ可得7s 后的波形；

现有波形向左平移

λ可得7s 前的波形。由上得到图中7s 后的瞬时波形图（粗实线）和7s 前的瞬时波形图（虚线）。

方法2 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T /4前和3T /4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。

【例12】一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M 、N 之间，并知此波的周期为T ，Q 质点速度方向在波形中是向下的。则：波源是_____；P 质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时．．．．．．．．．．，P 点已经振动的时间为______。

解析：由Q 点的振动方向可知波向左传播，N 是波源。

【例14】已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。t 2-t 1 = 0.02s 。求：

（1）该波可能的传播速度。

（2）若已知T < t 2-t 1<2T ，且图中P 质点在t 1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。

解析：（1）如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了λ

? ?

+31n ，所以波速()1231t t n v -÷??? ??+=λ=100（3n +1）m/s （n =0，1，2，…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v =100（3n +2）m/s （n =0，1，2，…）

（2）P 质点速度向上，说明波向左传播，T < t 2-t 1 <2T ，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v =500m/s

四、针对训练

1．（2004年全国理综卷）一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图1是t =1s 时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？

A ．x =0处的质元

B ．x =1m 处的质元

C ．x =2m 处的质元

D ．x =3m 处的质元

4．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的 a 、b 两点，相距14.0 m ，b 点在 a 点的右方.当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若 a 点的位移达到正极大时，b 点的位移恰为零，且向下运动.经过1.00 s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而 b 点的位移恰达到负极大.则这简谐横波的波速可能等于

A.14 m/s

B.10 m/s

C.6 m/s

D.4.67 m/s

5．简谐横波在某时刻的波形图线如图所示，由此图可知 A ．若质点 a 向下运动，则波是从左向右传播的 B ．若质点b 向上运动，则波是从左向右传播的 C.若波从右向左传播，则质点 c 向下运动 D ．若波从右向左传播，则质点d 向上运动

6．如图所示，O 是波源，a 、b 、c 、d 是波传播方向上各质点的平衡位置，且Oa =ab =bc =cd =3 m ，开始各质点均静止在平衡位置，t =0时波源O 开始向上做简谐运动，振幅是0.1 m ，波沿Ox 方向传播，波长是8 m ，当O 点振动了一段时间后，经过的路程是0.5 m ，各质点运动的方向是

A ．a 质点向上

B ．b 质点向上

C ．c 质点向下

D ．d 质点向下

9．如图所示，一列沿 x 正方向传播的简谐横波，波速大小为 0.6 m/s ，P 点的横坐标为96 cm ，从图中状态开始计时，求：

（1）经过多长时间，P 质点开始振动，振动时方向如何？（2）经过多少时间，P 质点第一次到达波峰？参考答案：

1．A 2．ABC 3．AC 4．BD 5．BD 6．A 7．BD 8．BC

9．解析：开始计时时，这列波的最前端的质点坐标是24 cm ，根据波的传播方向，可知这一点沿 y 轴负方向运动，因此在波前进方向的每一个质点开始振动的方向都是沿 y 轴负方向运动，故P 点开始振动时的方向是沿 y 轴负方向，P 质点开始振动的时间是

（1）t =

.024.096.0-=?v x =1.2 s （2）用两种方法求解

质点振动法：这列波的波长是λ=0.24 m ，故周期是 T =

.024

.0=

=0.4 s 经过1.2 s ，P 质点开始振动，振动时方向向下，故还要经过4

T 才能第一次到达波峰，因此所用时间是1.2 s+0.3 s=1.5 s.

波形移动法：质点P 第一次到达波峰，即初始时刻这列波的波峰传到P 点，因此所用的时间是

t ′=

.006

.096.0-=1.5 s

教学后记

机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关系；空间距离和时间的

关系；波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系）是考查重点，高考多以选择题出现，且每年必考，这部分复习以小题型为主。

RLC联谐振频率及其计算公式

RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。

图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。

7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时， Z = R 为最小值，电路为电阻性。

高中物理竞赛辅导讲义-7.1简谐振动

7.1简谐振动一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?

高一物理必修1第一章单元测试卷及答案

高一物理周考试卷 1.下列说法中正确的是（A C ） A．四川汶川县发生8.0级强烈地震是在2008年5月12日14时28分指的是时刻 B．转动的物体其上各点的运动情况不同，故转动的物体一定不能当做质点C．停泊在港湾中随风摇摆的小船不能被视为质点 D．当物体沿直线朝一个方向运动时，位移就是路程 2、发射到地球上空的人造地球通讯卫星，定点后总是在地球赤道上某一位置的上空，关于人造地球通讯卫星的运动，下列说法中正确的是（ AB ） A．以地面卫星接收站为参考系，卫星是静止的 B．以太阳为参考系，卫星是运动的 C．以地面卫星接收站为参考系，卫星是运动的 D．以太阳为参考系，卫星是静止的 3、关于位移和路程，下列说法正确的是（AC ） A．在某段时间内物体运动的位移为零，该物体不一定是静止的 B．在某段时间内物体运动的路程为零，该物体不一定是静止的 C．指挥部通过卫星搜索小分队深入敌方阵地的具体位置涉及的是位移 D．高速公路路牌标示“上海80 km” 涉及的是位移 4、下列事例中有关速度的说法，正确的是（ D ） A．汽车速度计上显示80km/h，指的是平均速度 B．某高速公路上限速为110km/h，指的是瞬时速度 C．火车从济南到北京的速度约为220km/h，指的是瞬时速度 D．子弹以900km/h的速度从枪口射出，指的是瞬时速度 5、下列关于加速度的描述中，正确的是（ A ） A．物体速度很大，加速度可能为零 B．当加速度与速度方向相同且减小时，物体做减速运动 C．物体有加速度，速度就增加 D．速度变化越来越快，加速度越来越小 6．一架超音速战斗机以2.5马赫的速度(音速的2.5倍)沿直线从空中掠过，下边的人们都看呆了，一会儿众说纷纭，其中说法正确的是 ( bc ) A．这架飞机的加速度真大 B．这架飞机飞得真快 C．这架飞机的加速度不大 D．这架飞机的速度变化真大

简谐振动特性研究实验

实验一、简谐振动特性研究与弹簧劲度系数测量【实验目的】 1. 胡克定律的验证与弹簧劲度系数的测量； 2. 测量弹簧的简谐振动周期，求得弹簧的劲度系数； 3. 测量两个不同弹簧的劲度系数，加深对弹簧的劲度系数与它的线径、外径关系的了解。 4. 了解并掌握集成霍耳开关传感器的基本工作原理和应用方法。【实验原理】 1. 弹簧在外力作用下将产生形变（伸长或缩短）。在弹性限度内由胡克定律知：外力和它的变形量成正比，即：（1）（1）式中，为弹簧的劲度系数，它取决于弹簧的形状、材料的性质。通过测量和的对应关系，就可由（1）式推算出弹簧的劲度系数。 2. 将质量为的物体挂在垂直悬挂于固定支架上的弹簧的下端，构成一个弹簧振子，若物体在外力作用下（如用手下拉，或向上托）离开平衡位置少许，然后释放，则物体就在平衡点附近做简谐振动，其周期为：（2）式中是待定系数，它的值近似为，可由实验测得，是弹簧本身的质量，而被称为弹簧的有效质量。通过测量弹簧振子的振动周期，就可由（2）式计算出弹簧的劲度系数。 3. 磁开关（磁场控制开关）：如图1所示，集成霍耳传感器是一种磁敏开关。在“1脚”和“2 脚”间加直流电压，“1脚”接电源正极、“2脚”接电源负极。当垂直于该传感器的磁感应强度大于某值时,该传感器处于“导通”状态，这时处于“”脚和“”脚之间输出电压极小，近似为零，当磁感

强度小于某值时，输出电压等于“1脚”、“2脚”端所加的电源电压，利用集成霍耳开关这个特性，可以将传感器输出信号输入周期测定仪，测量物体转动的周期或物体移动所经时间。【实验仪器】 FB737新型焦利氏秤实验仪1台，FB213A型数显计时计数毫秒仪【实验步骤】 1. 用拉伸法测定弹簧劲度系数：（不使用毫秒仪）（1）按图2,调节底板的三个水平调节螺丝，使重锤尖端对准重锤基准的尖端。（2）在主尺顶部安装弹簧，再依次挂入带配重的指针吊钩、砝码托盘，松开顶端挂钩锁紧螺钉，旋转顶端弹簧挂钩，使小指针正好轻轻靠在平面镜上（注意：力度要适当，若靠得太紧，可能会因摩擦太大带来附加的系统误差），以便准确读数。这时因初始砝码等已使弹簧被拉伸了一段距离。（可参考说明书中的装置图）

物理竞赛讲义十四振动、波

当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。简谐波的波动方程和它的解——波函数在播的传播方向上，平衡位置为x 的质点在t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式——波函数y （x 、t ）。对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式： ] )(2c o s [])( 2c o s [])(c o s [000),(φλ νπφλπφ?+± =+± =+± =x t A x T t A v x t A y t x 机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。在坐标系建立后，波函数y （x 、t ）描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻偏离平衡位置的位移。波（振）幅A ，从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。波长λ，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2π）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。周期T ，从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。频率ν，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。圆频率ω，从波动角度讲，2π秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2π秒内完成的全振动的个数。波速v ，媒质中质点的振动状态在波传播方向上的传播速度，由媒质的情况决定。位相 ω（t ±x/v ）+φ0 ，在波的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻的振动状态。 φ0 ，平衡在坐标原点处的媒质质点，在t=0时刻的振动状态。频率和角频率：作振动的物体在单位时间内完成全振动的次数。通常用符号f 或υ表示，它是表示振动快慢的物理量。频率的单位是赫兹，符号是Hz 。1Hz=1s -1。常见的秒摆的频率是f=0.5Hz 。角频率又称圆频率，用符号ω表示，它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点的射影作的是简谐运动，而且质点圆周运动的角频率是其射影的简谐运动的频率的2π倍，也就是在2πs 内质点射影作的简谐运动的次数恰与质点的匀速圆周运动的角频率相对应，用公式表示为ω=2πf=2π/T 。角频率的单位是弧度/秒，单位符号rad/s 。参考圆：实验证明做匀速圆周运动的质点在x 轴上的射影的运动与作简谐运动的振子具有相同的运动规律。在初等数学阶段，我们常用质点的匀速圆周运动来描述简谐运动，这个圆叫参考圆。

物理竞赛简谐运动习题-2

机械振动学案-----1 1．如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为 1m 的A 物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a 。现有质量为2m 的B 物体，从高为h 处自由落下，试求：（1）B 物体和A 物体发生完全非弹性碰撞，弹簧振子的振幅和初位相各为多少？周期多大？（2）B 物体和A 物体发生弹性碰撞，弹簧振子的振幅和周期多大？写出振动方程（只考虑一次碰撞）。 2．一弹簧振子,两端为质量都是0.1kg m =、大小不计的物体A 、B ．中间为一静止长度为0l ,劲度系数为0k ,质量可以忽略的理想弹簧,现此振子自某一高度、A 端在下,竖直的自由下落至一水平桌面．开始下落时,A 距桌面的高度为2m H =,开始时弹簧无伸长或压缩,A 与桌面发生弹性碰撞后跃离桌面,当A 第二次接触桌面时,发现弹簧的压缩达到最大．求（1）弹簧的劲度系数0k 之值；（2）A 第二次与桌面接触时的速度． B h 图（a ）

3、如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg ，电梯静止时弹簧伸长=0.10m ，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t 变化的图线。 4、假设地球为质量分布均匀的球体，半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，沿地球直径开凿一隧道，将一质量为m 的物体从隧道口由静止释放。（1）计算此物体由隧道口落至地心的时间；（2）计算此物体运动的最大速度。 5、如图（a ）所示,质量为m 的圆盘,悬于劲度系数为k 的弹簧下端, 在盘上方高 h mg k =处有一质量也为m 的圆环,由静止开始自由下落,并与盘发生完全非弹性碰撞,碰撞时间很短,求圆环开始下落到圆盘向下运动至最低点共经历多少时间？ 0l l ?s t π=l ?图（a ）

简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dv dt =d2X dt2 =F m =-k m x(1) 可令k m =ω2 代入（a）,得 d2X dt2=?ω2X或d2X dt2 +ω2X=0 显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’= dX "dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 udu =?ω2 Xdx 得 12u 2=? 12ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’= 2 x 2 =dx dt 再次分离变量， C1? ω2 x 2=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X= C1ωcos z (7)式左边化为 d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X= C1ωcos(ωt+ωC2),

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导 [摘要]：本文从简谐运动的概念出发，用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。从逻辑上对机械振动一章的知识有了一个整体的认识。 [关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆 [正文] 课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（ x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。由定义可知，质点的位移时间关系为t A x sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt dx v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv a sin 2 (3) 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为： ma F ………………（4）由（3）（4）可知： t mA F sin 2 (5) 将（1）式代入（5）式可得： x m F 2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7) 其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，

高三物理简谐运动的公式描述.docx

简谐运动的公式描述教案教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4) 知道简谐运动的位移公式为x=A sin （ωt＋），了解简谐运动位移公式中各量的物理含义． (5) 了解位相、位相差的物理意义． (6) 能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1) 通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1— 3— 1 中数据的比较，并描出z— t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简，科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点 ,难点 1.简谐运动位移公式x=Asin（ω t ＋）的推导 2.相位 , 相位差的物理意义 .. ●教学过程教师讲授简谐振动的旋转矢量法。y 在平面上作一坐标轴 OX，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量 A t=0 ,矢量与坐标轴的夹角等于初相矢量 A 以角速度w 逆时针作匀速圆周运动，研究端点M 在 x 轴上投影点的运动， 1.M 点在 x 轴上投影点的运动 x=Asin（ω t＋）为简谐振动。 x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，简谐运动的三角函数表示回答下列问题 a:公式中的 A 代表什么 ? b:ω叫做什么 ?它和 f 之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相? M A t M 0 o x P x

高一物理上学期第二周周测试题

铅山致远中学2016-2017学年度上学期高一第二周物理周测卷一、选择题（40） 1．下列物理量表示物体运动快慢的是（） A.位移 B.速度 C.加速度 D.速度变化量 2．一物体以初速度v0=20m/s沿光滑斜面匀减速向上滑动，当上滑距离x0=30m时，速度减为v0，物体恰滑到斜面顶部停下，则斜面长度为（） A．40 m B．50 m C．32 m D．60 m 3．以下说法正确的是（） A．“一江春水向东流”的参照系是江岸 B．匀变速直线运动一定是单向直线运动 C．运动物体的路程总大于或等于位移的大小 D．速度变化的方向为正方向，加速度方向可以为负方向 4．一质点沿直线Ox方向作加速运动，它离开O点的距离x随时间t变化的函数关系为x=5+2t3（m），该质点在t=0到t=2s时间段的平均速度为（） A．12m/s B．10.5m/s C. 24m/s D．8m/s 5．以下说法正确是（） A．物体沿直线单方向运动时，通过的路程就是位移 B．路程为0时位移一定为0;位移为0，路程不一定为0 C．速度大小与位移成正比，与时间成反比 D．速度大小不变的物体，其加速度必定不变评卷人得分二、多选题打点计时器在纸带上打出点痕，下列关于纸带上的点痕的说法正确的是（）A．点痕记录了物体运动的时间 B．点痕记录了物体在不同时刻的位置和某段时间内的位移 C．点痕在纸带上的分布情况，反映了物体的质量和形状 D．点痕在纸带上的分布情况，反映了物体的运动情况 7．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列说法中对于减小实验误差有益的是（） A．选取计数点，把每打五个点的时间间隔作为一个时间单位 B．使小车运动的加速度尽量小些 C．舍去纸带上密集的点，只利用点迹清晰、点间间隔适当的那一部分进行测量、计算 D．选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验 8．2016年法国欧洲杯于当地时间 2016年6月10日至7月10日在法国境内9座城市的12座球场内举行。6月16日，A组次轮瑞士对阵罗马尼亚在王子公园球场开始首场较量。第57分钟，罗德里格斯角球发到禁区，穆罕默迪禁区左侧凌空抽射，足球沿着弯刀弧线直挂球门远角，为本队扳平了比分。以下说法正确的是（） A．分析穆罕默迪在球场上跑动轨迹时，可以把他看成质点 B．球迷们在观看远角进球时，可以把足球看成质点 C．穆罕默迪在制造角球时，可以把足球看成质点 D．穆罕默迪在躲过对方防守时，可以把防守球员看成质点 9．如图所示是一辆汽车做直线运动的x - t图象，对相应的线段所表示的运动，下列说法正确的是（）

单摆作简谐运动的周期公式可以应用简谐运动周期公式推出

单摆作简谐运动的周期公式可以应用简谐运动周期公式推出。可以看出：单摆的振动周期跟摆长的平方根成正比，跟该处重力加速度的平方根成反比。单摆的这就是单摆的振动周期公式，是荷兰物理学家惠更斯最早确定的。这个公式只适用于单摆最大偏角很小的情况。当最大偏角增大时，振幅随之增大，单摆的周期也将增大。下表是单摆的偏角增大时实际周期与简谐振动周期的比值的变化情况。

显然，最大偏角越小，应用公式计算的周期值与实际周期越相符。当最大偏角为5° 时，误差为万分之五， 10°时误差为万分之十九，将近千分之二，30°时误差就接近百分之二了。这说明单摆的摆角很小时，它的实际周期就近似等于简谐振动周期周期为2秒的单摆叫做秒摆。由于重力加速度跟地球的纬度与距地心的高度有关，所以世界各地秒摆都有些差异。若重力加速度g取9.8m·s -2 则秒摆摆长为l=0.993m。秒摆重力加速度一、首先是与地球的因素有关，如： 1、物体处在地面的位置。如，由于地球自转的原因，重力是地球对物体万有引力的一个分力，还有一个分力是供给物体绕地球自转所需要的向心力。 1）赤道处物体，随地球转动的线速度大，需要的向心力大，则分得的重力小，重力加速度就小。 2）向两极位置去时，物体的随地球转动的线速度变小，需要的向心力变小，则分得的重力重力变大，重力加速度就变大。 3）到极点时，物体的随地球转动的线速度最小，需要的向心力最小，则分得的重力最大，

重力加速度就最大。 2、物体离地面的高度，越高，重力加速度越小，因为重力是地球对物体万有引力的一个分力，而且这个万有引力的主要分量就是重力，万有引力的大小与距离的平方成反比，物体离地面越高，物体与地球中心的距离越大，万有引力越小，重力就越小，所以加速度越小； 3、如果是地面打的一个深洞，则越深，重力加速度越小，物体处于地球中心时，理论上说重力加速度是“0”这是根据理论力学的原理得到的。二、与外来星体的吸引力有关，如太阳、月亮对地球的吸引，使得物体受的重力减小，使重力加速度变小。

高中物理竞赛辅导机械振动和机械波

高中物理竞赛辅导机械振动和机械波 §5．1简谐振动 5．1．1、简谐振动的动力学特点假如一个物体受到的回复力回F 与它偏离平稳位置的位移x 大小成正比，方向相反。即满足：K F -=回的关系，那么那个物体的运动就定义为简谐振动依照牛顿第二是律，物体的加速度 m K m F a -== 回，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平稳位置的位移大小成正比，方何相反。现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平稳时的位置记作O 点。现把物体拉离O 点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。当物体运动到离O 点距离为x 处时，有 mg x x k mg F F -+=-=)(0回式中0x 为物体处于平稳位置时，弹簧伸长的长度，且有mg kx =0，因此 kx F =回讲明物体所受回复力的大小与离开平稳位置的位移x 成正比。因回复力指向平稳位置O ，而位移x 总是背离平稳位置，因此回复力的方向与离开平稳位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平稳位置的位移，并不确实是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平稳位置O 为圆心，以振幅A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0?,那么在时刻t ，参考圆上的质点与O 的连线跟x 的夹角就成为 0?ω?+=t ，它在x 轴上的投影点的坐标 )cos(0?ω+=t A x 〔2〕这确实是简谐振动方程，式中0?是t=0时的相位，称为初相：0?ω+t 是t 时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为ωA ，其方向与参考圆相切，那个线速度在x 轴上的投影是 0cos(? ωω+-=t A v 〕〔3〕这也确实是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为2 ωA ，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是图5-1-1 图5-1-2

高一物理周测

高一物理周测（2014.5.17）出题人：王禹一、不定项选择题（每小题10分）： 1.如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度v=1m/s，小球由A 点运动到B点恰好是半个圆周。那么在这段运动中线的拉力做的功是（） A．0 B．0.1J C．0.314J D．无法确定 2．如图2所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B间有相互作用的摩擦力，则摩擦力做功的情况是. (A)A、B都克服摩擦力做功 (B)摩擦力对A不做功，B克服摩擦力做功 (C)摩擦力对A做功，B克服摩擦力做功 (D)摩擦力对A、B都不做功 3.质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（） A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功 C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功 4．同一恒力按相同的方式施与物体上，使它分别由静止开始沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力做的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则两者的关系是（） A、W1> W2, P1> P2 B、W1= W2, P1 < P2 C、W1= W2, P1> P2 D、W1< W2, P1 < P2 5．汽车上坡的时候，司机必须换档，其目的是（）A．减小速度，得到较小的牵引力B．增加速度，得到较小的牵引力 C．减小速度，得到较大牵引力D．增加速度，得到较小的牵引力 6．质量为500g的小球从高空自由下落，经2s落到地面，在小球下落过程中重力的平均功率是 2 g10/ m s （） A．5W；B．10W；C．50W；D．100W 7．质量为2 t的汽车，发动机的功率为30 kW，在水平公路上能以54 km/h的最大速度行驶，如果保持功率不变，汽车速度为36 km/h时，汽车的加速度为（）A．0.5 m/s2 B．1 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2 m/s2 图2

简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式【正文】：考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标图2 图3 图4

系。则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得： k m T π 2= 二零一一年三月九日图5

高中物理竞赛——振动与波习题

高中物理竞赛——振动与波习题一、简谐运动的证明与周期计算物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U 型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力∑F 系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k 就有了，求周期就是顺理成章的事。本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U 型管横截面积为S ，则此瞬时的回复力 ΣF = ρg2xS = L mg 2x 由于L 、m 为固定值，可令：L mg 2 = k ，而且ΣF 与x 的方向相反，故汞柱做简谐运动。周期T = 2π k m = 2π g 2L 答：汞柱的周期为2πg 2L 。学生活动：如图6所示，两个相同的柱形滚轮平行、等高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ，且木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→力矩平衡和ΣF 6= 0结合求两处弹力→求摩擦力合力… 答案：木板运动周期为2π g 2L μ 。巩固应用：如图7所示，三根长度均为L = 2.00m 地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB 是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠

简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标系。图2 图 3 图4

则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得： k m T π 2= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）图5

高一物理阶段测试卷及答案(必修一前三章)汇总

高一物理阶段性测试卷一．选择题（共9小题） 1．（2013?增城市一模）在下面研究的对象中可以被看作质点的是（） A．研究张继科打出的弧旋乒乓球 B．研究在女子万米比赛中的“长跑女王”特鲁纳什?迪巴巴 C．研究在跳水比赛中的吴敏霞 D．研究李娜打出去的ACE球 2．（2011?上海）受水平外力F作用的物体，在粗糙水平面上作直线运动，其v﹣t图线如图所示，则（） A．在0～t1秒内，外力F大小不断增大 B．在t1时刻，外力F为零 C．在t1～t2秒内，外力F大小可能不断减小 D．在t1～t2秒内，外力F大小可能先减小后增大 3．如图所示，高处有一根长为L的木棒，在棒下方距棒下端h处有一点P．现在使棒自由下落，则棒通过P点所用的时间为（）

A．B．C．D． 4．（2013?山东）如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C 将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A 与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（） A．：4 B．4：C．1：2 D．2：1 5．（2010?山东）如图所示，质量分虽为m1，m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（m1在地面，m2在空中），力F与水平方向成θ角．则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是（） A．N=m1g+m2g ﹣FsinθB．N=m1g+m2g ﹣Fcosθ C．f=FcosθD．f=Fsinθ

6．（2012?聊城模拟）如图所示，质量为M 的小车放在光滑的水平面上．小车上用细线悬吊一质量为m的小球，M＞m．现用一力F水平向右拉小球，使小球和车一起以加速度a向右运动时，细线与竖直方向成α角，细线的拉力为T；若用另一力F′水平向左拉小车，使小球和车一起以加速度a′向左运动时，细线与竖直方向也成α角，细线的拉力为T′．则（） A．a′=a， T′=T B．a′＞a， T′=T C．a′＜a， T′=T D．a′＞a， T′＞T 7．（2006?崇明县二模）滴水法测重力加速度的过程是这样的．让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里．调整水龙头．让前一滴水到盘子而听到声音时后一滴恰离开水龙头．测出n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h．即可算出重力加速度．设人耳能区别两个声音的时间间隔为O.1s，声速为340m/s，则（）A．水龙头距人耳的距离至少为34m B．水龙头距盘子的距离至少为34m C．重力加速度的计算式为g= D．重力加速度的计算式为g=

全国高中物理竞赛简谐运动问题解题导引

简谐运动问题解题导引山西太原61中学（030027）王东升摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。关键词：简谐运动解题导引简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法简谐运动的基本判据：（1）动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= －kx 其中k ——回复力系数（2）运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm k 或ω=T π2求出振动周期。例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1）当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+ 2 x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2）对m 2： k （x 0+ 2 x ）－2F －m 2g=m 2a 2 （3）由位移关系有： a 1=2a 2 （4）由以上各式可得 F=m 1g+2 11 4m m m +kx （5）所以，m 1所受的合力 F 合 = F －m 1g = 2 11 4m m m +kx （6）可见，F 合∝x ，且方向与x 相反，因此，m 1的运动是简谐运动。回复力系数 m 1 m 2 k 图—1

高一物理圆周运动测试题

2016学年高一物理《圆周运动》单元测试班别：__________ 姓名：__________ 学号：_________ 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于做圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是（） A. 线速度大的角速度一定大 B. 线速度大的周期一定小 C. 角速度大的半径一定小 D. 角速度大的周期一定小 2. 关于曲线运动的说法中正确的是（） A ．做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上 B ．速度变化的运动必定是曲线运动 C ．受恒力作用的物体不做曲线运动 D ．加速度变化的运动必定是曲线运动 3. 关于质点做匀速圆周运动的下列说法中，正确的是（） A. 由2 v a r =可知，a 与r 成反比 B. 由2a r ω=可知，a 与r 成正比 C. 由v r ω=可知，ω与r 成反比，v 与r 成正比 D. 由2T πω=可知，ω与T 成反比 4. 如图所示，当正方形薄板绕过其中心点O 并与板垂直的轴转动时，板上的A 、B 两点（） A. 角速度之比:2A B ωω B. 角速度之比:2A B ωω= C. 线速度之比:2A B v v = D. 线速度之比:2A B v v = 5. B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一个转轴上，其半径之比为:3:2B C R R =, A 轮半径大小与C 相同，使它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来。a b c 、、分别为三轮边缘上的三点，则a b c 、、三点在运动过程中的（） A. 线速度大小之比为3：2：2 B. 角速度之比为3：3：2 C. 转速之比为2：3：2 D. 向心加速度大小之比是9：6：4

简谐振动及其周期推导与证明

简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动。位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一般式：)cos(?ω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：?ωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dt d φω=；初相：位移一般式中?表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得： )cos(2?ωω+-=t A a 又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式： kx x m F -=-=2ω 由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式：k m T π 2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力系数，切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式： L x ≈≈≈θθθtan sin ，而单摆运动的回复力为 F=mgsin θ，

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。一、周期公式法由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。例1如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力可表示为：(1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式： (2)

例2如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。二、刚体角加速度法绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩