高等数学函数的极限与连续习题及答案

1、函数

()1

2++=x x x f 与函数

()1

13--=

x x x g 相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴

()12

++=x x x f 与()11

3--=x x x g 函数关系相同，

但定义域不同，所以()x f 与()

x g 是不同的函数。

2、如果

()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．

错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n

n x 1-=是有界数列，但极限不存在

4、

a a n n =∞

→lim ，a a n n =∞

→lim ．

错误 如：数列()n

n a 1-=，1)1(lim =-∞

→n n ，但n n )1(lim -∞

→不存在。

5、如果()A x f x =∞

→lim

，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．

正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．

正确 ∵1lim

=α

β

，是 ∴01lim lim =??

?

??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2

x 是同阶无穷小．

正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim

2

02

2020=?????

? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01

sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x

x x x x x x ．

错误 ∵x

x 1

sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x x

x =??

?

??+→11lim 0

．

错误 ∵e x x

x =??

?

??+∞

→11lim

10、点0=x 是函数x

x

y =的无穷间断点．

错误

=-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x

x x

∴点0=x

是函数x

x y =

的第一类间断点．

11、函数()

x f x

1

=

必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x

1

=在0=x 处不连续

∴函数()x f x

1

=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值

二、填空题：

1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x

e

f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；

（２）()x f 2

sin 1-的定义域是（ ,()2

x x k x k k Z πππ?

?≠≠+∈????

）；

（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<

e （2）∵1sin 102<-

（3）∵1lg 0<

2、函数()??

?

??≤<-=<<-+=40300

0222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）． 3、设()2

sin x x f =，()12

+=?x x ，则()[]

=?x f （

()

2

21sin +x ）．

4、n

x

n n sin lim ∞→＝（ x ）． ∵x x n x n x n n x n x n n n n =?==∞→∞→∞→sin

lim 1

sin lim sin lim

5、设()11cos 1121

1x

x x f x x x x π-<-???

=-≤≤??

->??，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）．

∵

()10

10

lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0

101=-=+→+→x x f x x

6、设()?????=≠-=00

cos 12x a

x x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．

∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f x

x x ===-→021

cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．

∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0

lim ()0x f

8、函数()

2

11

-=

x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．

∵()

∞=-→2

1

11

lim

x x ，()

011

lim

2

=-∞

→x x

9、若(

)

01lim

2=--+-+∞

→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 2

1

-

）． ∵

(

)

b

ax x x x --+-+∞

→1lim

2()(

)

(

)

b

ax x x b

ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞

→111lim

222

欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±

，

上式化简为

()

()()2

211212112lim lim lim

1x x x b

ab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，1

2b =-

10、函数

()x x f 111

+=

的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()342

22+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．

12、若2sin 2lim =+∞→x x

ax x ，则=a （ 2 ）．

()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=??? ?

?+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→x

x x 1

sin lim （ 1 ），

()=-→x x x 1

01lim （ 1

-e ），=??? ?

?+∞→kx

x x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim

=?=∞→∞→x x x

x x x 111sin

lim 1sin lim ==∞→∞→x x x x x x

14、

limsin(arctan )x x →∞

=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞

=（ 0 ）

三、选择填空：

1、如果a x n n =∞

→lim ，则数列n x 是（ b ）

a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数

()()

1log 2++=x x x f a 是（ a ）

a ．奇函数

b ．偶函数

c ．非奇非偶函数

∵

()()

1

1log 1)(log 2

2

++=+-+-=-x x x x x f a

a

3、当0→x 时，1-x

e 是x 的（ c ）

a ．高阶无穷小

b ．低阶无穷小

c ．等价无穷小 4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数）

，则函数()x f 在该邻域内（ c ） a ．极限存在 b ．连续 c ．有界

5、函数()

x f x

-=

11

在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x

6、设函数()x f x

x

sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）

a ．１

b ．－１

c ．不存在 ∵1sin lim sin lim

sin lim

000000-=-=-=-→-→-→x x x x x x

x x x

根据极限存在定理知：()x f x 0

lim →不存在。

7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在，则函数()x f 在0x 点（ c ） a ．有定义 b ．无定义 c ．不一定有定义

∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列１，１，

21，２，31，３，…，n

1

，n ，…当∞→n 时为（ c ） a ．无穷大 b ．无穷小 c ．发散但不是无穷大

9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的（ b ）

a ．充分条件

b ．必要条件

c ．充分必要条件 10、点0=x

是函数1

arctan x

的（ b ）

a ．连续点

b ．第一类间断点

c ．第二类间断点 ∵

00

1lim arctan

2x x π→-=- 001lim arctan 2

x x π→+=

根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点0=x

是函数x

1

sin

的（ c ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 四、计算下列极限：

1、()n

n n

n 31lim -+∞→ 解 ()3

1))1(3131(lim 31lim =-?+=-+∞→∞→n n n n n n

n

2、0tan 3lim

sin 2x x

x

→

解 0

tan 3lim sin 2x x x →2

323lim 0==→x x x （∵x x 2sin ,0→～2,tan3x x ～x 3） 3、

??

? ??+--+∞→x x x x x lim

4、()

n n n n

n --++∞

→22

1lim

解 ()()()

n

n n n n

n n n

n

n n n

n n

n n

n n -+++-+++--++=--++∞

→∞

→2

2

22

22

2

2

111lim

1lim

5、x

x x x x sin lim 2

300+++→

6、11sin lim 20

-+→x x

x x

7、1

1

lim 0

--→x x x

8、1lim

1

--→x x

x x

9、3

0tan sin lim x x x x →-

(∵

2

10,1cos 2x x x →-:,sin x :)

10、x

x x 2cos 1lim

0--→

解

()2

122

1lim

2cos 1lim

20

00

0-

==--→-→x x x

x x x

(∵x x cos 1,0-→～

22

1x ) 11、1lim 1x

x x x →∞-??

?+??

解

1

21111lim lim 111x

x x x x x e x x e e x -→∞→∞??

- ?-????=== ?+????+ ???

12、??

?

??+

∞

→x x x 11ln lim 解 ???

??+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =??? ?

?+=??? ??+=∞→∞→x

x x

x x x

13、x

x x

x x cos cos lim

+-∞→

解 cos 1cos lim lim 1cos cos 1x x x x x x x x x x

→∞→∞-

-==++

14、???

?

?---→1112lim 21x x x

解 2211121111lim lim lim 111

12x x x x x x x x →→→-??-==-=- ?---+?? 15

、x 解

lim lim 1x x →∞→∞==16、x x x cos 1sin lim 0

0-+→ 解

000000sin sin lim lim lim x x x x x x →+→+→+===

17、()???

? ??+++?+?∞

→11321211lim n n n Λ 解 ()???? ??+++?+?∞→11321211lim n n n Λ