离散数学习题答案
离散数学习题答案
习题一及答案：（P14-15）
14、将下列命题符号化：
（5）李辛与李末是兄弟
解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p
（6）王强与刘威都学过法语
解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是
p q ∧
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班
解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →
（11）下雪路滑，他迟到了
解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→
15、设p ：2+3=5.
q ：大熊猫产在中国.
r ：太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值：
（4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→
解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??，
(())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→?
()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→???
19、用真值表判断下列公式的类型：
（2）()p p q →?→?
解：列出公式的真值表，如下所示：
20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→
解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：
()10p q q ?∨??????00
p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（2）()()p q q r ?→∧∧
解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧
()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，
所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：
（2）()()p q p r ∧∨?∨
解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：
（1）()p q r ∧∨
解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧
()()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?
∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧
()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567
m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
（1）()()p q p r ∨∨?∧
解：公式的真值表如下：
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨
习题三及答案：（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→
结论：s
证明：
① p 前提引入
② p q ?∨ 前提引入
③ q ①②析取三段论
④ q r ?∨ 前提引入
⑤ r ③④析取三段论
⑥ r s → 前提引入
⑦ s ⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：
（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→
结论：p u →
证明：用附加前提证明法。
① p 附加前提引入
② p q ∨ ①附加
③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入
④ r s ∧ ②③假言推理
⑤ s ④化简
⑥ s t ∨ ⑤附加
⑦ ()s t u ∨→ 前提引入
⑧ u ⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：
（1）前提：p q →?，r q ?∨，r s ∧?
结论：p ?
证明：用归谬法
① p 结论的否定引入
② p q →? 前提引入
③ q ? ①②假言推理
④ r q ?∨ 前提引入
⑤ r ? ③④析取三段论
⑥ r s ∧? 前提引入
⑦ r ⑥化简
⑧r r ∧? ⑤⑦合取
由于0r r ∧??，所以推理正确。
17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。
解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。
则前提：()p q r ∧?→，p ，q s →，s ?
结论：r
证明：
① q s → 前提引入
② s ? 前提引入
③ q ? ①②拒取式
④ p 前提引入
⑤ p q ∧? ③④合取引入
⑥ ()p q r ∧?→ 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
习题四及答案：（P65-67）
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：
（2）有的火车比有的汽车快。
解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()()(,))x y F x G y H x y ??∧∧
（3）不存在比所有火车都快得汽车。
解：设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()(()(,)))x F x y G y H x y ??∧?→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧?
9、给定解释I 如下：
(a) 个体域为实数集合R 。
(b) 特定元素0a
-=。
(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈。
(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R -
-
=<∈。 给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：
（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ??→
解：解释是：(0)x y x y x y ??-
=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x 14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧ 解：取解释I 如下：个体域为全总个体域， ()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1； 取解释'I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释' I 下真值是0； 故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。 习题五及答案：（P80-81） 中，构造下面推理的证明： 15、在自然推理系统N ξ （3）前提：(()()) xG x ?? ?∨，() x F x G x 结论：() ? xF x 证明： ①() ??前提引入 xG x ②() ??①置换 x G x ③() G c ?②UI规则 ④(()()) ?∨前提引入 x F x G x ⑤()() ∨④UI规则 F c G c ⑥() F c③⑤析取三段论 ⑦() ?⑥EG规则 xF x 22、在自然推理系统N 中，构造下面推理的证明： ξ （2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山 则前提：(()()) ? G c ?→，() x F x G x 结论：() ? F c 证明： ①(()()) ?→前提引入 x F x G x ②()() →①UI规则 F c G c ③() ?前提引入 G c ④() F c ?②③拒取式 中，构造下面推理的证明： 25、在自然推理系统N ξ 每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人 类集合） 解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海 则前提：(()()) F c H c ?∧→，()() ∧ x G x H x I x x F x G x ?→，(()()()) 结论：() I c 证明： ①()() ∧前提引入 F c H c ②() F c①化简 ③() H c①化简 ④(()()) ?→前提引入 x F x G x ⑤()() →④UI规则 F c G c ⑥() G c②⑤假言推理 ⑦()() ∧③⑥合取引入 G c H c ⑧(()()()) ?∧→前提引入 x G x H x I x ⑨()()() ∧→⑧UI规则 G c H c I c ⑩() I c⑦⑨假言推理 习题六及答案 习题七及答案：（P132-135） *22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试 （1）画出R 的关系图； （2）说明解：（1） （2）R 是反自反的，不是自反的； R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对 称的； R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。 26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示： （1）求23,R R 的集合表达式； （2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。 解：（1）由R 的关系图可得{1,5,2,5,3,1,3,3,4,5R = 所以{}23,1,3,3,R R R =?=，{323,1,3,3,3,5R R R =?=， 可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n R =当； （2）{}A r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=， {1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,,4,5,s R R -== {}232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,,4,5t R R R === 46、分别画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。 （1）{A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤= 解：哈斯图如下： A 的极大元为e 、f ，极小元为a 、f ； A 的最大元和最小元都不存在。 48、设,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下： 112211221212,,,A B, ,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?∈??∧ 证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性： 1111 11 1111 112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴任取，则： 为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又， ，故具有自反性 （2）反对称性： 1122112222111212 2121122112 122112 1122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有： （1）（2），又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故具有反对称性 （3）传递性： 1122331122223311221212 22332323 122313 122313 13131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故具有传递性。 综合（1）（2）（3）知T 具有自反性、反对称性和传递性，故T 为A B ?上的偏序关系。 习题九及答案：（P179-180） 8、 S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b S ?*?∈*=为有理数集，为上的二元运算，有 （1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？ （2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。 解：（1） ,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律 ()()(),a,b c,d ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律 2a,b s a,b a,b a ,a,b ad b ∈*=+≠∴*任取，则有： 运算无幂等律 （2） ()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1y 0y 0 101010 x y =?∈=?∈?=?-=?∴????+==???-==??∴???==??∴**∴*令对均成立 则有：对均成立 对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元， 运算的单位元为， ()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x y x y x y =?∈=?=?-=?=?????-=+=???? -=?∈=?∈令，若存在使得对上述等式均成立， 则存在零元，否则不存在零元。 由由于不可能对均成立， 故不可能对均成立，故不存在零元； a,b ,a,b *,e 10 1x ax 1a a ay b 0b y a a 0a,b 1b a a,b ,a a x y x y ==?=?=????≠??+=??=-?? ∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0）当时，的逆元不存在； 当0时，的逆元是 11、{}S 12S S ?=***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。 （3）x y x y *=大于等于和的最小整数； 解：（3）由*运算的定义可知：x y=max(x,y)*， x,y S,x y S S S ∈*∈**有，故运算在上满足封闭性，所以运算与非空集合能构成代数系统； x,y S,x y=max(x,y)=max(y,x)=y ,x ∈***任取有所以运算满足交换律； x,y,z S,x y)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x (y z),∈*****任取有(所以运算满足结合律；x S x 1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,∈***任取，有所以运算的单位元是1； x S x 10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,∈***任取，有所以运算的零元是10； 16、 }}1212V 1,2,3,,1,x y V 5,6,,6x y V V x y x y =??=**设其中表示取和之中较大的数。， 其中表示取和之中较小的数。求出和的所有的子代数。 指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。 }{}}{}{}{}{}{}}111V 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1V 1,2,3,,1,1,,1V 1,,1,1,2,,1,1,3,,1?????????解：（1）的所有的子代数是：； 的平凡的子代数是：； 的真子代数是：； {}{}{}{}{}222V 5,6,,66,,6V 5,6,,66,,6V 6,,6*****（2）的所有的子代数是：，； 的平凡的子代数是：，； 的真子代数是：。 习题十一及答案：（P218-219） 1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由 解：（a ）、（c ）、（f ）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界； （b ）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在； （d ）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在； （e ）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。 2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1，2，3，4，5}； （2）L={1，2，3，6，12}； 解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。 4、设L 是格，求以下公式的对偶式： （2）()()()a b c a b a c ∨∧≤∨∧∨ 解：对偶式为：()()()a b c a b a c ∧∨≥∧∨∧，参见P208页定义11.2。 9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。 解： （a ）图：a,d 互为补元，其中a 为全下界，d 为全上界，b 和c 都没有补元； （c ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ； （f ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，b 和e 互为补元，c 和d 都没有补元。 10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。 解： （a ）图：是一条链，所以是分配格，b 和c 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格； （c ）图：a,f 互为补元，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ，所以任何元素皆有补元，是有补格；(),c b d c a c ∨∧=∨= ()()c b c d f d d ∨∧∨=∧=()()()c b d c b c d ∴∨∧≠∨∧∨，所以∨对∧运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格； （f ）图：经过分析知图（f ）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f ）对应的格是分配格；c 和d 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧? ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧?? 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}} 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 离散数学习题三 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：p s r r q q ,,,p →∨?∨? 结论：s 证明：① p 前提引入 ②q ∨?p 前提引入 ③ q （①②析取三段论） ④r q ∨? 前提引入 ⑤ r （③④析取三段论） ⑥s r → 前提引入 ⑦ s （⑤⑥假言推理） 12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：s)(r q r),(q p →→→→ 结论：s q)(p →∧ 证明：①q)(p ∧ （附加前提） ② p （①化简规则） ③ q （①化简规则） ④r)(q p →→ 前提引入 ⑤r q → （②④假言推理） ⑥ r （③⑤假言推理） ⑦s)(r q →→ 前提引入 ⑧s)(r → （③⑦假言推理） ⑨ s （⑥⑧假言推理） 13、前提：s r ,q p q,q)p (→∨∧→? 结论1：r 结论2：s 结论3：s ∨r （1）证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。 证明：（1）①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→? 1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨?? ②s ∨ → ∨ → ? ((→ ∨ ∧ s)) p( q) r( q) q) (p ∧ ? ? ∨ ∨ ∧ ? ? ? ∨ ∨ ? q) r( q) ∨ s 1 p s)) p ( q) ((? ③s) ∨ ∨ → ∨ ?r → → ∧ (p q) s)) ((∨ ( r( q) q) p( ? ∧ ∨ ∧ ? ? ? ?r ∨ ∨ ? ∨ ∨ r( q) ∨ s 1 p s)) ((? p q) ( q) 即结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）s) ∨ ∧ ∧ ∧ → (→ ? r( p( (p q) q) q) ∧ ? ∨ ? ∧ ? ∨ ∧ ∧ ∧ ? ? ? ∨ ? ∨ ∧ ∧ (∨ (p q) p( q) ( s) r s) q r p ( q) q) ( q) (p ∨ ? ∧ 0? ? ∨ ∧ s) (p r ( q) 即推任何结论的推理都是正确的。 14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：q → p， → (q r) p, r→ 结论：s 证明：①r) →前提引入 p→ (q ②p 前提引入 ③r) (q→①②假言推理 ④q 前提引入 ⑤r③④假言推理 r→⑤附加律 ⑥s 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理： 前提：q → ， →s p→ (q p, r) s→ 结论：r 证明： ①s 附加前提引入 ②p s前提引入 → ③p①②假言推理 ④r) →前提引入 p→ (q ⑤r q→③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 即根据附加前提证明法，推理正确。 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B 的。 17、集合上的三种特殊元是、 及。 18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别 是：，，，。 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q)）的真值表。 答案： 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： ４. 写出下列式子的主析取范式: 答案： )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧? 5． 构造下列推理的论证:p ∨q, ｐ→?r ， s →t, ?s →ｒ， ?t ? ｑ 答案: ①s →ｔ 前提 ②t 前提 ③ｓ ①②拒取式I12 ④s →ｒ 前提 ⑤ｒ ③④假言推理I １１ ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论Ｉ10 6. 用反证法证明:ｐ→(?(r ∧s ）→?q ）, p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨ ７. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F （ x )：ｘ是鱼 Ｗ（ x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8． 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( ｘ ):x 是有理数 R （ x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令Ｍ(ｘ)：x 是人 Ｃ（x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 １０. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥ｘ。 答案: 令P(x):x 是正实数 Ｓ（ｘ,y): x+y ≥x １１． 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x ）:x 是人 Q （ｙ）: y 是课外活动 S(ｘ,ｙ）:ｘ参加y ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→?? 第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以 . 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8 《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 欢迎共阅 一、填空题 1设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3},B={1,2},则A-B ＝____________________; ?(A)-?(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|?(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a ,b },B={1,2},则从A 到B 的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________. 4.6设A 、7.设R 8.9.设集合 R 1?R 2 R 1210.11设A ∩13.14.设一阶逻辑公式G=?xP(x)??xQ(x)，则G 的前束范式是_______________________________. 16.设谓词的定义域为{a ,b },将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17.设集合A ＝{1,2,3,4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)},S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ?S ＝_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________. 二、选择题 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝ 图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f离散数学复习题及答案
离散数学复习题参考带答案
(完整word版)离散数学期末练习题带答案
离散数学试题及答案精选版
离散数学习题三 含答案
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学题库
离散数学试题与答案
离散数学课后习题答案第二章
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
离散数学题库及答案
离散数学复习题及标准答案
离散数学部分答案
离散数学复习题参考带答案
《离散数学》练习题和参考答案
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》试习题及答案
离散数学图论部分经典试题及答案
- 离散数学练习题(含答案)(最新整理)
- 离散数学期末测试卷I及答案
- 中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
- 离散数学章练习题及答案
- 离散数学期末练习题 带答案
- 离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案
- 离散数学函数复习题答案
- 离散数学图论部分经典试题及答案
- 华南理工《离散数学》命题逻辑练习题(含答案)(最新整理)
- 离散数学练习题(含答案2)(1)
- 中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
- 离散数学章练习题及答案
- 离散数学试题与答案
- 《离散数学》练习题和参考标准答案
- 离散数学复习题参考带答案
- 《离散数学》复习题及答案
- 离散数学练习题及答案
- 离散数学练习题含答案
- 《离散数学》练习题和参考答案
- 最新离散数学练习题(含答案)