初中奥数讲义_圆与圆附答案
【例题求解】
【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF 为过点A的公切线，若O2D=2
2，那么∠BAF= 度．
(重庆市中考题)
思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．
注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．
(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．
【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )
A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠
CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．
【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．
(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；
(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．
(重庆市中考题)
思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA 对应三角形的联系．
【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=2
4，大、小两圆半径差为2．
(1)求大圆半径长；
(2)求线段BF的长；
(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．
(宜宾市中考题)
圆专题讲义
与圆有关的证明及计算 1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙ O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点 CBF=∠CAB．ACF在的延长线上，且∠ （1）求证：直线BF是⊙O的切线； CBF=，求BC和BF的长．（2）若AB=5，sin∠ 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA
平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长． 是的中点，过点D作是⊙O的直径，DO4．如图，已知△ABC内接于⊙，AC．ECA 的延长线、F直线BC的垂线，分别交CB、 的切线；）求证：EF是⊙O（1 ，求⊙O的半径．EF=8（2）若，EC=6 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； P=，求⊙Osin∠的直径．，（2）若BC=3
6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径． 7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点 E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？
(完整版)直线与圆专题讲义教师版
一、 知识梳理 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++= 的距离为：d = 2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为 1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ， 则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 3．两条直线的位置关系： 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 2 22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率 4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 5．圆的方程： ⑴标准方程：①2 2 2 )()(r b y a x =-+- ；②2 22r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)042 2>-+F E D 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离） ①?=R d 点在圆上；②? 初中数学专题讲义-圆(一) 一、课标下复习指南 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．7．点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外?d＞r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d＜r． 8 直线和圆 相离相切相交 的位置 图形 公共点的 0 1 2 个数 公共点 无切点交点 名称 直线名称无切线割线 圆心到直 线的距离 d＞r d＝r d＜r d与半径 r的关系 9．切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (会过圆上一点画圆的切线) 10．切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 11．切线长和切线长定理 切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 二、例题分析 例1 已知：如图14－1，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ． 图14－1 (1)若AB ＝32，OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长． 分析 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题． 解 ∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB (1)∵AB ＝32，∴AC ＝BC ＝3． ∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2． ∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1． (2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝∠BOD ． ∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°． ,2 160cos cos R OA AOC OA OC = ?=∠?=οΘ .2 1 21R R R OC OD CD =-=-=∴ 说明 如图14－1，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ， 则AB ＝2R ·sin n °＝2h ·tan n ° ;222h R -= CD ＝R －h ； 的长＝ ?180 πR n 例2 已知：如图14－2，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长． 人教版必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 与圆有关的专题综合讲义（六） 例1如图，半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E，过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若E为半径OB的中点，求线段OF的长度． 例2 如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？ （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=_________． 例3 如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）．连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E． （1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上； （2）当P为BC的中点时，求点G的坐标； （3）如图2，连接PD，设△PAB的内切圆半径为r，求证：． 例4 如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E． （1）当BC=6且∠ABC=60°时，求的长； （2）求证：AE=BE． （3）过A点作AM∥BP，求证：AM是⊙O的切线． 例5 如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题． （1）求证：直线FB是⊙O的切线； （2）若BE=cm，则AC=_________cm． 例6 如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD． （1）若C（3，m），求m的值； （2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？ 若不变证明并求其值；若变化，请说明理由． 圆的复习 知识要点 第一部分：【圆的知识点复习】 1、圆有关的公式： 周长：2c R π=面积2s R π=弧长180n R l π=扇形面积2 360n R l π= 2、圆的有关概念： <1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆， 其中，定点为圆心，定长为半径。 同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。 圆既是轴对称图形<经过圆心的任一条直线都是对称轴）， 又是中心对称图形<圆心是对称中心）。 <2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． <3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角． <4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧 称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． <5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3、点与圆的位置关系： 点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外?r d >； 点在直线上?r d =； 点在直线内?r d <。 4、圆的确定： 确定圆的基本条件：<1）圆心——确定圆的位置 <2）半径——确定圆的大小 确定圆的方式：<1）已知圆心的位置与半径的长度 <2）已知直径及其位置 <3）不在同一直线上的三点 5、三角形的外心和内心： 1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。b5E2RGbCAP 2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。 p1EanqFDPw 说明：<1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。DXDiTa9E3d <2）三角形的内心到三边的距离是相等的。 注：锐角三角形的外心在该三角形的内部 直角三角形的外心为斜边的中点 钝角三角形的外心在该三角形的外部 6、圆的有关性质： <1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 一、 圆的定义 1、动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 ①圆心:确定圆的位置——圆心相同的圆叫做同心圆 确定圆需要两个条件 ②半径：确定圆的大小——半径相等的圆叫做等圆 2、静态定义圆心为O ，半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长 r 的点的集合． （1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径 r ）． 圆的特点 （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 考点1:证明一些点共圆 题型1：直角三角形 例1、如图，在中BD ⊥AC,CE ⊥AB,证明BCDE 在同一个圆上 题型2：矩形、正方形 例2证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上. 考点2：利用半径相等构造等腰三角形求角度 例3：如图，CE 是⊙O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B ，若BD=OD ，∠AOC=114o，求∠AOD 的度数。 2． 圆心、半径 固定的端点O 叫做圆心． 线段OA 叫做半径，一般用r 表示． 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 3． 弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 考点3：求弦的最值 例4、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例5、⊙O 所在平面上的一点P 到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半 径是多少？ 4． 圆弧（弧） 1、优弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的分类 2 、半圆 3、劣弧 等弧：能够重合的弧叫做等弧，不是长度相等的弧 例6、 判断下列说法的正误 (1)弦是直径 (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径 (5)半圆是最长的弧 (6)直径是最长的弦； (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; (8)半径相等的两个圆是等圆 变式训练： 1.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 3、⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ A 知识梳理 1点到直线距离公式: 教学内容 点P （x o ，y o ）到直线1: ax by c 0的距离为：d ax o by o C 2.已知两条平行线直线l i 和12的一般式方程为 l i : Ax By C , 0 , l 2 : Ax By C 2 ， 则l i 与丨2的距离为 d C l C 2 I 3?两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l i ：y i 2：y k 1x b, k 2x b 2 k1 k2,b1 b2 k i k 2 1 丨1,丨2有 斜率 4. 5. 已知 圆的方程: l i ：A i x+B i y+C i =0, |2：A 2X +B 2y+C 2=0, l i 丄|2的充要条件是 A i A 2+B 1 B 2=O 。 ⑴标准方程：①（X a ）2 (y b)2 r 2 ?，② ⑵一般方程：x 2 2 y Dx Ey 0 ( D 2 E 2 4 F 0) 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 6?圆的方程的求法： ⑴待定系数法； 7?点、直线与圆的位置关系： ⑴点与 圆的位置关系： ①d R 表示圆 A=CM0 且 B=0 且 D 2+E 2 — 4AF>0 ; ⑵几何法。 （主要掌握几何法） （d 表示点到圆心的距离） 点在圆上；②d R 点在圆内；③d R （d 表示圆心到直线的距离） ③d R 相离。 ⑵直线与圆的位置关系： ①d R 相切；②d R 相交; ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径，且 点在圆外。 ①d R r 相离；②d R r ④d R r 内切；⑤0 d R 外切；③R r d 内含。 R r 相交; 8、直线与圆相交所得弦长|AB| 2J r 2 d 2 9. 过圆x 2+y 2=r 2 上的点M （X o ,y o ）的切线方程为: 10. 以A （x i , y 2）、B （x 2,y 2）为直径的圆的方程 是 2 x o x+y o y=r 2 ; (x — x i )(x — X 2)+(y — y i )(y — y 2)=0; 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点１： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3： 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念) 弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高) 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高,半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为ｄ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d>r ；②点在圆上?d=ｒ;③点在圆内? ｄ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ＡＢC 中,∠A ＣB ＝90°,A Ｃ=２，BC =4,CM 是ＡB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙Ｃ有怎样的位置关系,并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径,?=∠84EOD ，ＡE 交⊙O 于Ｂ，且AB=OC,求∠A 的度数。 M A B C D O E B C 圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 （1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°， ∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2， 在△AOE中，AE=AB=4cm， 则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形． 2.（2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长． 【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）， ∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3.（2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A．4 B． C． D． 【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ：勾股定理． 【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题． 椭圆专题复习 ★知识梳理★ 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆2212516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． ［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】 3. 如果方程x 2+ky 2 =2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 圆内接多边形 解题关键：抓住点在圆上，即圆上的点到圆心距离为半径这一本质. 【例题讲解】 例题1、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，求圆的半径 . 答案：由题意可知，圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆 心与上面正方形的距离为x ，则BO ＝16－x ，BC ＝16，AD ＝8，40＝16＋x ，故BC2＋BO2＝AD2＋AO2，则可以得到方程： 16＋（16－x ）2＝（16＋x ）2＋82，解之得x ＝3，所以能将其完全覆盖的圆的最下半径为R2＝162＋(16－x ）2＝517即为所求。 例题2、如图，在半径为2，圆心角为60°的扇形内接一个正方形，分别求出以下两种接法的正方形边长. F D C B A O 60° E E 60°O A B C D F 答案： 4 例题3、如图，3个正方形在⊙O 直径的同侧，顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上，正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上，顶点D 在PC 上，正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上，顶点F 在QG 上，正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O上.若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（） A.12 5 B.2＋1 C.6 D.22 O H E G F Q P D C B A 答案：C. 【巩固练习】 1、如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的正方形CDEF，则该圆的半径为. D E F O C B A 第1题 2、如图，三个相邻的正方形内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则正方形BEFG的边长为. 第2题 3、如图，用3个边长为1的正方形组成一个轴对称图形，则能将其完 初三数学圆的经典讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线 , 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试 1 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 2 3 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 M A B C 共圆模型 模型1 共端点,等线段模型 如图①,出现“共端点,等线段”时,可利用圆定义构造辅助圆. 如图②,若OA ＝OB ＝OC ,则A 、B 、C 三点在以O 为圆心,OA 为半径的圆上. 如图③,常见结论有:∠ACB ＝ 12∠AOB ,∠BAC ＝1 2 ∠BOC . 模型分析 ∵OA ＝OB ＝OC . ∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等. ∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心,OA 为半径的圆上. ∵∠ACB 是AB 的圆周角,∠AOB 是AB 的圆心角, ∴∠ACB ＝1 2∠AOB . 同理可证∠BAC ＝1 2 ∠BOC . (1)若有共端点的三条线段,可考虑构造辅助圆. (2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题. 模型实例 如图,△ABC 和△ACD 都是等腰三角形,AB ＝AC ,AC ＝AD ,连接BD . 求证:∠1＋∠2＝90°. 证明 图① O A C B 图② B O C A 图③ O A B C 2 1B C D A 证法一:如图①, ∵AB ＝AC ＝AD . ∴B 、C 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的⊙A 上. ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中,∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二:如图②, ∵AB ＝AC ＝AD .∴∠BAC ＝2∠1.∵AB ＝AC , ∴B 、C 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的⊙O 上. 延长BA 与圆A 相交于E ,连接CE . ∴∠E ＝∠1.(同弧所对的圆周角相等.) ∵AE ＝AC ,∴∠E ＝∠ACE . ∵BE 为⊙A 的直径,∴∠BCE ＝90°. ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜 1.如图,△ABC 为等腰三角形,AB ＝AC ,在△ABC 的外侧作直线AP ,点B 与点 D 关于AP 轴对称,连接BD 、CD ,CD 与AP 交于点E .求证:∠1＝∠ 2. 证明 ∵A 、D 关于AP 轴对称,∴AP 是BD 的垂直平分线. ∴AD ＝AB ,ED ＝EB .又∵AB ＝AC . ∴C 、B 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的圆上. ∵ED ＝EB ,∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2. 2.己知四边形ABCD ,AB ∥CD ,且AB ＝AC ＝AD ＝a ,BC ＝b ,且2a ＞b ,求BD 的长. 图① 2 1C D A B 图② 12 B A C E D 1 2 P B A C E D A D 21 P E C B 圆专题复习讲义 一．选择题（共7小题） 1．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（） A．B．2C．2D．3 2．如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C 的度数是（） A．50°B．60°C．25°D．30° 3．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（） A．15°B．25°C．30°D．50° 4．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（） A．25°B．35°C．15°D．20° 5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（） A．15°B．35°C．25°D．45° 6．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（） A．55°B．110°C．120°D．125° 7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（） A．100°B．110°C．120°D．130° 二．填空题（共3小题） 8．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=°． 9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=度． 10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=． 三．解答题（共6小题） 11．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O 于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 圆与圆的位置关系专题讲义 一、基本概念 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法： 1．通过两圆交点的个数确定； 2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定； 3．通过两圆的公切线的条数确定． 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论： 二、典型例题 例1 如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=2 2，那么∠BAF= 度． 例1图例2图 例2 如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( ) ． A．2∶5 B．1：2 C．1：3 D．2∶3 例3 如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N． (1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE； (2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长． 例4 如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD 并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=2 4，大、小两圆半径差为2． (1)求大圆半径长； (2)求线段BF的长； (3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切． 例5 已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A ，B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点 A ，CP 及其延长线交⊙P 于点D ，E ，过点E 作EF ⊥CE 交C B 的延长线于F ． （1）求证：B C 是⊙P 的切线； （2）若CD=2，CB=22，求EF 的长； （3）若k=PE ：CE ，是否存在实数k ，使△PBD 恰好是等边三角形?若存在，求出是的 值；若不存在，请说明理由． 三、同步练习 （一）填空题 1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ． 2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． 3．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ． （二）选择题 4．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) ． 题图第3题图 第 4 九年级上册圆专题讲义 知识点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 知识点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD），半径相等，直径等于半径的2倍. （3）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）. （4）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. （5）等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. （6）等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 1 2 知识点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 例1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm 练习1.如图1，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm （图1）（图2）（图3） 练习2.如图2，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______ 练习3.如图3，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______ 练习4.今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章 算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，OC 是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，CD=1，AB=10，求直径” 与圆有关的计算 【基础知识回顾】 一、正多边形和圆： 1、各边相等，也相等的多边形是正多边形 2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示 3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形 【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】 二、弧长与扇形面积计算： Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式： L= S扇= = 【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形， 2、原公式中涉及的角都不带学位 3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择 4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】 三、圆柱和圆锥： 1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S圆柱侧= ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R 高位h，则有： ⑴S圆柱侧= 、 ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱= 【名师提醒：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条 2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n若l=2r，则n= c=3r,则n= c=4r则n= 】 【典型例题解析】 考点一：正多边形和圆 例1 （2012?咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的 考点42 椭圆【思维导图】 【常见考法】 考点一 椭圆的定义及运用 1．已知1F ?2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．线段 C ．圆 D ．椭圆 2．已知椭圆22 143 x y +=上一点(),P x y 到其一个焦点的距离为3，则点P 到其另一个焦点的距离等于（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D 3．把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成2018等份，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于2017个点，F 是椭圆的一个焦点，则这2017个点到F 的距离之和为______. 4．椭圆22 1259 x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于______ 5．点1(1,1),A F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上一动点，则1||PA PF +的最大值是 ___________． 考法二 焦点三角形的周长及面积 1．过椭圆2 212 x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ?的周长为（ ） A ．8 B ． C ．4 D ． 2．椭圆 22 1 259 x y +=的焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，已知12 PF PF ⊥，则 12 F PF △的面积为 A．9B．12 C．10D．8 3．已知椭圆C： 22 1 6439 x y +=的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，若16 PF=，则 12 PF F ∠的 余弦值为（） A． 3 10 B． 7 10 C． 2 5 D． 3 5 4．设P是椭圆 22 1 169 x y +=上一点，12 , F F分别是椭圆的左、右焦点，若 12 ||.||12 PF PF=，则 12 F PF ∠的 大小_____. 考法三离心率 1．椭圆 22 1 2516 x y +=的离心率为。 2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的上顶点为B，右顶点为A，若过原点O作AB的垂线交椭圆的右准 线于点P，点P到x轴的距离为 2 2a c ，则此椭圆的离心率为。初中数学专题讲义-圆(一)
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