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《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)

第一章

【1】填空题 (1) 二阶行列式

2a ab b

b

=___________。

(2) 二阶行列式

cos sin sin cos αα

α

α

-=___________。

(3) 二阶行列式

2a bi b

a a bi

+-=___________。

(4) 三阶行列式x

y z

z

x y y

z

x =___________。

(5) 三阶行列式

a b

c c

a b c a b

b

c a

+++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2

a b -;4.3

3

3

3x y z xyz ++-;5.4abc 。

【2】选择题

(1)若行列式12

5

1

3225x

-=0,则x=()。

A -3;

B -2;

C 2;

D 3。

(2)若行列式11

1

1011

x x x

=,则x=()。

A -1

, B 0

, C 1

, D 2

(3)三阶行列式2

31

503

2012985

23

-=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。

(4)行列式

0000

0000a b

a b b a b a

=()。

A 44

a b -;B (

)

2

2

2a b

-;C 44b a -;D 44

a b 。

(5)n 阶行列式0100

0020

0001000

n n - =()。

A 0;

B n !;

C (-1)·n !;

D ()

1

1!n n +-?。

答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。

【3】证明

33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az

bz ax a b z

x y bz ax bx ay by az

y

z

x

++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数:

(1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1)

12n (n-1);(2)1

2

n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:

(1)152332445166a a a a a a ;(2)215316426534a a a a a a ;(3)615243342516a a a a a a 答案:(1)正号;(2)负号。 【7】根据定义计算下列各行列式:

(1)0

000100020

0300040005

0000

;(2)11142223323341

44

0000000

a a a a a a a a ;(3)000100

20

0100000

n n -

(4)0

00100

0200

100000

000n n

-

答案:(1)5!=120;(2)

()()114414412233233211223344112332441422334114223341

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=-

-+;

(3)(1)

2

(1)!n n n --?;(4)(1)(2)

2

(1)!n n n ---。

【8】计算下列行列式:

(1)1312

153404115136----;(2)

3

111

13111131

1113

;(3)

1111123414

9

16

182764

; (4)2

2223

3

3

3

1111a b c d a b c d a b c d 。 答案:(1)-136;(2)48;(3)12;

(4)(b-a )(c-a )(d-a )(c-b )(d-b )(d-c ) 【9】计算下列n 阶行列式:

(1)10001110000110000011 ;(2)11111222

1

2331

23n

(3)123n -103n

-1-20

n -1-2-3

n

;(4)3222232222322223

; (5)1

232

341112121n n n n n n ---

答案:(1)1+1

2(1)0

n n n +?-=?

?为奇数为偶数

;(2)1;(3)n !

(4)2n+1;(5)

n n-1n-1

n+1n 2

?

()

2

(-1)。 【10】计算下列行列式:

(1)1112121

22231

32312n

n

n n n n n

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ------------

;(2)

000000

0000000000a b a b a a b b a

(n 阶);

(3)

2(1)0000000000000a a h a h a n h a nh

a

a a a a a

a

+++-+---

(4)

11

22300000000000001

1

1

1

1

n

n a a a a a a a ----

答案:(1)n=2时,行列式等于b b 2121(-)(a -a );n ≥3,行列式为0; (2)1(1)

n n

b ++-n

a ;

(3)1(1)(2)2

n

n a nh a ++;

(4)1

(1)(1)

n

n

i i n a =-+∏

【11】计算n+1阶行列式:

1

20111100

1001

n

a a a

(i a ≠0;i=1,2, n ) 答案:1211

n

n i i

a a a a =-∑

(0;1,2,,)a i n ≠= . 【12】解下列线性方程组:

(1)12341234

123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+-+=-??---=-??+++=?;(2)1234512345123451

23451234546450

4650

44606440

4640

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??++++=??++++=??++++=??++++=?。

答案:(1)12341,2,3,1x x x x ====-; (2)123450x x x x x =====.

【13】计算n 阶行列式

1

2

3a x a a a

a

a x a a D a a a x a a

a

a a

++=

+ 于是12

1

11111n n n D ax x x x x a -??

=++++ ??? 【14】证明

()2cos 10001

2cos 100012cos 00sin 1sin 0002cos 10

1

2cos n n D θθθθ

θ

θθ

+=

=

由归纳假设,得

()sin 1sin n n D θθ

+????

=

【15】计算五阶行列式

123451

23451

2345123451

234

5

x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a a a a a x =

可以得到()1231

231

2311

1

2

31n n n

n

i

n i i i i i i n

x a a a a x a a a

a a x a x a x a a a a x ==??=+?- ?-??∑∏

【16】证明

12

3121111111111

111111

1

1

1n

n n i i

n

a a D a a a a a a =++??=

+=?+ ???

+∑

证明:略

【17】.证明

'''111213111213212223212223313233313233111213111213'''212223212313233()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

()

()

a t a t a t a t a t a t d

a t a t a t a t a t a t dt

a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a a t a t a t =++223'''313233()()

()()()

t a t a t a t a t

答案与提示:

提示将左边行列式按定义写成和的形式,再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】.计算n阶行列式:

(1)

21

111

21

222

21

333

21

1sin sin sin

1sin sin sin

1sin sin sin

1sin sin sin

n

n

n

n

n n n

???

???

???

???

-

-

-

-

(2)

12

111

12

222

12

cos cos cos1 cos cos cos1 cos cos cos1 n n

n n

n n

n n n

???

???

???

--

--

--

答案与提示:

(1)

(1)

2

11

(sin sin)2cos sin

22

n n

i j i j

i j

j i n j i n

??????

-

≤≤≤≤

+-

-=

∏∏

(2)n n-1(1)

2

11

(cos cos)2sin sin

22

n n

i j i j

i j

j i n j i n

????

??

-

≤≤≤≤

+-

-=

∏∏

()

2

(-1)

【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:

(2)

123

111

221232

222

331231

22

12

110001

000

111

000

x x x

a b c

a b x x x c

a b x x x c

x x x

(3)

11

111111

11

222222

11

11!111

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n n

a a

b a b b

a a

b a b b

a a

b a b b

--

--

--

++++++

(0,1,2,,1)

i

a i n

≠=+

(4)

a b a b a b b a b a

b

a b

a

答案与提示:

(2)222213232()()()x x x x x x ---;(3)11

()j j i j i n b a a bj ≤≤+-∏

(4)22()n a b - 【20】.证明下列等式:

(1)

110001

00010

1n n αβ

αβαβ

αβαβαβαβ

αβ

++++-=+-+ ;

(2)

cos 100002cos 100cos 012cos 00

12cos n α

αααα

= 。

答案与提示:

(1)提示:将左边行列式展开可得递推公式,由此递推公式可得结论。 (2)提示:用归纳法证。 【21】

3 0

4 02 2 2 20 -7 0 0

5 3 -2 2

D =(01403)设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为( ) 【22】

(96503)五阶行列式

1 a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0

0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a

d -== .

第二章

【1】填空题设A 是三阶方阵,*

A 是A 的伴随矩阵,A 的行列式A =

1

2

,则行列式1*(3)2A A --=___________。

【2】假设A=(ij a )是一个n 阶非零矩阵,且A 的元素ij a (i ,j=1,2, ,n )均为实数。已

知每一个元素ij a 都等于它自己的代数余子式,求证A 的秩等于n ,且当n ≥3时A =1或-1。 【3】判断下列结论是否成立:若成立,则说明理由;若不成立,则举出反例。 (1) 若矩阵A 的行列式A =0,则A=0; (2) 若A E -=0,则A=E ;

(3) 若A ,B 为两个n 阶矩阵,则A B A B +=+; (4) 若矩阵A ≠0,B ≠0,则AB ≠0.

【4】设A ,B 为n 阶方阵,问下列等式在什么条件下成立? (1)222()2A B A AB B +=++; (2)22()()A B A B A B +-=-; 【5】计算AB 和AB-BA 。已知

(1)311212123A ????=??????,111210101B -??

??=-?????? (2)111a b c A c b a ????=??????,111a c B b b c a ????=??????

。 答案:(1)622610812AB -????=????-??,222200442AB BA -??

??-=??

??--??

数学史话线性代数发展史简介

数学史话线性代数发展史简介 数学史话—线性代数发展史简介 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的,它是文明史的有价值的组成部分,人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 从事数学研究,发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。学习那些伟大的数学家们的思想,使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。 V. Z.卡兹 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时是影响政治家和神学家的学说。 M(Kline 一、了解数学史的重要意义 数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。与其他文化一样,数学科学是几千年来人类智慧的结晶。在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成,因此,数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习,往往难以了解数学的全貌

和数学思想产生的过程。正因为如此,许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水,学了很多却理解得很少。 数学和任何一门科学一样,有着自身发展的丰富历史,是积累性的科学。数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量,历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉,照亮着人类社会发展和进步的历程。 通过了解一些数学史,可以使我们了解数学科学发生、发展的规律,通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程,探究数学科学发展的规律和文化内涵,帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。 二、代数学的历史发展情况 数学发展到今天,已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟 通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。本节简要介绍一下代数学的历史发展情况。 “代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔?花拉子米(al-Khwarizmī,约780,850)一本代数教程,书名的直译为《还原与对消的计算概要》(其书名中的al-jabr 这个词意为“还原”,它所指的意思是把方程式一边的负项移到方程另一端“还原”为正项;al-muqabala意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文词“algebra”就是阿拉伯文“al-jabr”的讹用。

线性代数选择题(考试用题)

线性代数选择题道(含答案) 1.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 4.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则 必有() A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 5.下列矩阵中是正定矩阵的为() A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 6.下列矩阵中,()不是初等矩阵。 A. 001 010 100 ?? ?? ?? ?? ?? B. 100 000 010 ?? ?? ?? ?? ?? C. 100 020 001 ?? ?? ?? ?? ?? D. 100 012 001 ?? ?? - ?? ?? ??

西南大学线性代数作业答案

西南大学线性代数作业答案

第一次 行列式部分的填空题 1.在5阶行列式ij a 中,项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2.排列45312的逆序数为 5 。 3.行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 . 4.行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5.行列式25 11 22 14--x 中,x 的代数余子式是 — 5 。 6.计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1.计算三阶行列式 3 811411 02--- 解:原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)× (—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4 2.决定i 和j ,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解:i =8,j =5。

3.(7分)已知0010413≠x x x ,求x 的值. 解:原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得:x 1=0;x 2=2 所以 x={x │x ≠0;x ≠2 x ∈R } 4.(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解,求λ。 解:()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5.用克莱姆法则求下列方程组: ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解:因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=)(r r r r r r D 所以方程组有唯一解,再计算: 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是:

线性代数

线性代数 线性代数计算库使用BLAS、LAPACK、ATLAS1和cpplapack2库。BLAS和LAPACK 这两个库有很多函数,满足通常对线性代数的需求。 常见参数: trans: 转置标志 m: 行数 n: 列数 alpha: 系数 beta: 系数 A、B:矩阵(数组) lda、ldb: leading dimension of A、B。 incx、incy: 增量 x、y: 向量 work, lwork, ipiv: 计算过程中需要的临时空间 info: 返回信息 : 向量与矩阵相乘dgemv(trans,m,n,alpha,A,lda,x,incx,beta,y,incy)计算y:=alpha*A*x+beta*y, 或者y:=alpha*A’*x+beta*y 矩阵与矩阵相乘dgemm(transa,transb,m,n,k,alpha,A,lda,B,ldb,beta,C,ldc)计算 C:=alpha*op(A)*op(B)+beta*C, 其中 op(X)表示 x 和x’ 中的一个 LU 分解dgetrf(m,n,A,lda,ipiv,info) 对矩阵A进行LU分解,A=P*L*U 其中 P 是置换矩阵,L 是对角线为1的下三角矩阵

U是上三角矩阵 QR 分解dgeqr2(m,n,A,lda,tau,work,info) 对矩阵 A 进行 QR 分解, A=Q*R Q 是正交矩阵,R 是上三角矩阵 矩阵求逆先dgetrf(m,n,A,lda,ipiv,info) LU分解 再dgetri(n,A,lda,iniv,work,lwork,info) 通过 inv(A)*L=inv(U) 解出 inv(A) ; 还可通过解方程组 A*X=I,I为单位阵,来求A的逆参见“求解线性方程” 特征值与特征向量dgeev(jobvl,jobvr,n,A,lda,wr,wi,vl,ldvl,vr,ldvr,work,lwork,info)右特征向量 v(j) 满足: A*v(j)=lambda(j)*v(j) 其中 lambda(j) 是特征值 左特征向量 u(j) 满足: u(j)**H*A=lambda(j)*u(j)**H 其中 u(j)**H 是 u(j) 的共轭变换 SVD 分解dgesvd(jobu,jobvt,m,n,A,lda,S,U,ldu,vt,ldvt,work,lwork,info)其中 A=U*SIGMA*transpose(V) U,V是矩阵 A 的左右奇异值向量, SIGMA是主对角线元素不为0,其余为0的矩阵 其对角线元素是A的奇异值。 求解线性方程先dgetrf(m,n,A,lda,ipiv,info) LU分解A=P*L*U 再dgesv(n,nrhs,A,lda,ipiv,B,ldb,info)计算 A*X=B 最小二乘算法1.一般最小二乘 dgels(trans,m,n,nrhs,A,lda,B,ldb,work,lwork,info) 如果trans=’N’,m>=n:解 minimize||B-A*X||; 如果trans=’N’,m=n:解 A**T*X=B; 如果trans=’T’,m

线性代数作业

普通高等教育“十五”国家级规划教材线性代数 标准化作业 山东理工大学数学中心 2011.2

学院班级姓名学号 第一章行列式作业 1、按自然数从小到大为标准次序,求下列排列的逆序数: (1)1 3…(2n-1)2 4…(2n); (2)1 3…(2n-1)(2n) (2n-2)…4 2. 2、填空题 (1)排列52341的逆序数是________,它是________排列; (2)排列54321的逆序数是________,它是________排列; (3)1~9这九数的排列1274i56j9为偶排列,则i=______ ,j=_______; (4)四阶行列式中含有因子a11a23的项为________________; (5)一个n阶行列式D中的各行元素之和为零,则D=__________. 3、计算行列式212 111 321 10 x x x x x x - 展开式中x4与x3的系数. 4、计算下列各行列式的值: (1) 2116 4150 1205 1422 D - - = -- -- ;(2) 111 1 222 111 1 222 111 1 222 111 1 222 D=;

(3) 1 12 23 3 100 110 011 0011 b b b D b b b -- = -- -- ;(4) 222 b c c a a b D a b c a b c +++ =; (5) 1111 1111 1111 1111 a a D b b + - = + - ;

(6)10 2 20030 2004D = . 5、用克拉默法则解方程组 1231231 23241,52,4 3. x x x x x x x x x +-=?? ++=??-++=? 7、已知齐次线性方程组有非零解,求λ。 1231231 23230,220,50. x x x x x x x x x λ++=?? +-=??-+=?

线性代数 行列式

第一章 行列式 1. 排列与逆序数 (1)排列 把n 个不同的元素排成一列, 就叫作这n 个元素的全排列,简称排列。 比如231645就是这6个元素的一个排列. 注:不同的n 级排列共有n!个。 (2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中,若一对数t s j j ,,大前小后,即t s j j >,则t s j j ,构成了一个逆序。一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数,记为)(1n j j τ。如231645的逆序数为4,记作τ(231645)=4,τ(123) =0。 ②排列n j j 1中,交换任两个数的位置,其余不变,则称对排列做了一次对换。 ③逆序数为奇(偶)数的排列,称为奇(偶)排列。 注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。 2. n 阶行列式的定义 行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则 n i i i i i nj j j j j nn n n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1) (1) (2122212121 11121121) 1() 1()(ττ∑∑-=-==?=? 计算步骤; (1)取数相乘,来自不同行不同列 (2)冠以符号,) (21)1(n j j j τ- (3)全部相加, n n nj j j j j n a a 1211) (! ) 1(τ∑-、 注:(1)当n=1时,定义11111a a D == (2)n D 是一个数值,是n!项的代数和 (3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线,相应的nn a a a ,,,2211 称为主对 角元。另一条对角线称为行列式的副对角线。 3. 行列式的性质 (1) 转置:行列式行与列互换,行列式的值不变(互换后的行列式叫做行列式的转置)

线性代数的起源发展及其意义

线性代数的起源发展及其意义 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支,在现代科学的各个领域都有应用。由于费马和笛卡尔的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在中国出现较晚,在清代时才传入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859年,清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”,之后一直沿用。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪,而第一块基石(二、三元线性方程组的解法)则早在两千年前出现。

线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分; 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数,非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里,一个向量是一个有方向的线段,由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量,比如力,也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。作

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数上机作业题答案

线性代数机算与应用作业题 学号: 姓名: 成绩: 一、机算题 1.利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 (1)计算A +B ,A -B 和6A (2)计算()T AB ,T T B A 和()100 AB (3)计算行列式A ,B 和AB (4)若矩阵A 和B 可逆,计算1 A -和1 B - (5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入: A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为: A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 (1)输入: A+B 结果为:

ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入: A-B 结果为: ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入: 6*A 结果为: ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 (2)输入: (A*B)' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122

80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: B'*A' 结果为: ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入: (A*B)^100 结果为: ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 (3)输入: D=det(A) 结果为: D = 5121 输入: D=det(B) 结果为:

线性代数

1线性方程组 1. 三种行初等变换 倍加变换(某一行的倍数加到另一行)对换变换(两行交换) 倍乘变换(某一行所有元素乘以同一个非零数) 2. 行等价 一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。 行变换可逆。 3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价,则它们有相同的解集。 4. 简化行阶梯矩阵 a) 非零行的先导元素为0 b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素 一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。 5. 对应于主元列的变量称基本变量,其他变量称自由变量。 6. 向量的平行四边形法则 若R2中的向量u,v用平面上的点表示,则u+v对应于u,v,0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。 [思考:即使u,v不是R2而是R3甚至R n中的向量,上述结论是否仍然成立?] 7. 向量方程 x1a1+x2a2+...+x n a n=b 和增广矩阵如下的线性方程组 [a1 a2 ... a n b] 和矩阵方程 Ax=b 有相同的解集。 8. 方程Ax=b有解的条件:b是A的各列的线性组合。 9. 设A为mxn矩阵,以下命题等价: a) 对R m中每个b,Ax=b有解 b) R m中的每个b都是A的列的一个线性组合 c) A的各列生成R m(R m = Span{A各列}) d) A在每一行都有一个主元位置(注意是A的每一行,*不*是A的增广矩阵的每一行)

10. 方程Ax=0有非平凡解的条件:至少有一个自由变量。 11. 如果非齐次方程有多个解,其解可表示为一个向量(这个向量也是非齐次方程的特解)加上相应的齐次方程的解。 或者说:非齐次方程解=该方程特解+对应的齐次方程的通解 12. 若一组向量v1,v2,...,v n组成的向量方程 x1v1+x2v2+...+x n v n = 0 仅有平凡解,则这些向量线性无关;否则这些向量线性相关。 同样,仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解,A的各列线性无关。 13. 单个的零向量线性相关,因为0x=0有非平凡解;同理,单个的非零向量线性无关。含有零向量的向量组必定线性相关。 14. 向量集线性相关,则其中至少一个向量是其他向量的线性组合;但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。 15. 若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组必定线性相关。 16. 仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断:看一个是否是另一个的倍数就可以了。 17. 矩阵A与向量x的积,就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。下式中,A为矩阵,x为向量,x n为向量元素,a n为矩阵列。 Ax =x1a1+x2a2+...+x n a n 18. 设u,v是R3中的线性无关向量,那么span{v}是过零点和v的直线,span{u,v}是过u,v,0的平面。 19. 矩阵乘法Ax=b的另一种理解是,将矩阵A作用于向量x,产生新向量b。解方程Ax=b就是求出R n 中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。 20. 符号T:R n->R m说明T的定义域是R n,余定义域是R m。T(x)的集合是T的值域。 21. 由R n到R m的每个线性变换都是矩阵变换,反之亦然(每个矩阵变换都是线性变换)。即对于线性变换R n->R m,存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax(对R n中一切x )。 A可按下式求得: A = [T(e1) T(e2) ... T(e n)] 其中e j是单位矩阵I n的第j列。A称为线性变换T的标准矩阵。 22. 若T的值域是整个余定义域,T是满射;若T是一对一的,T是单射。 23. 线性映射T是一对一的条件:Ax=0仅有平凡解。 24. 若T为线性变换,A为T的标准矩阵,那么: 当且仅当A的列生成R m时,T把R n映上到R m(即将R n映射到R m上,满射); 当且仅当A的列线性无关时,T是一对一的。

线性代数发展简史论文范文

华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称:线性代数 专业班级: 成员组成: 联系方式: 2011年11月6日

摘要:代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支,是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。 关键词:高等代数行列式矩阵向量 线性代数发展简史 1 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中,字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性方程组的同时,还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。 线性代数是高等代数的一大分支,是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中,字母的含义也推广了,它不仅用来表示数,也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说,线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上,更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但从数学史上来看,优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。 行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。1764年,法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的

线性代数真题987-203选择题

二、选择题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则* A 等于 ( C ) (A)a . (B) 1a . (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解 1 *n A A -=. 2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中( ) (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关. (C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r n A =

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式

线性代数发展史

线性代数发展史 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题,则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的,那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题,而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展,这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践,正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 行列式 行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693 年4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年,瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系 统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐,但对数学有浓厚的兴趣,后来终于成为法兰西科学院院士。特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人。1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()

线性代数实践课作业

华北水利水电学院 行列式的计算方法 课程名称:线性代数 专业班级:电子信息工程 2012154班 成员组成: 联系方式: 2013年10月27日

摘要: 行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本`最常用的工具.本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.尤其在讨论方程组的解,矩阵的秩,向量组的线性相关性,方阵的特征向量等问题时发挥着至关重要的作用,所以掌握行列式的计算方法显得尤其重要。 关键词: 行列式,范德蒙行列式,矩阵,特征值,拉普拉斯定理,克拉默法则。 The calculation method of determinant Abstract: Determinant is an important research object of linear algebra, is one of the most basic of linear algebra ` the most commonly used tools. In essence, the determinant is described in n dimensional space, a parallel polyhedron volume which is formed by the linear transformation, it is widely used in solving linear equations, the matrix, the calculation of calculus, etc. Especially in the discussion of solving systems of nonlinear equations, matrix rank, vector linear correlation, the problem such as characteristic vector of play a crucial role, so to master the calculation method of determinant is especially important Key words: Determinant vandermonde determinant, matrix, eigenvalue, the Laplace's theorem, kramer rule.

线性代数发展史

线性代数发展史 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样(虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情)。因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家,微积分学奠基人之一莱布尼兹( Leibnitz ,1693 年)。 1750 年克莱姆( Cramer )在他的《线性代数分析导言》( Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques )中发表了求解线性系统方程的重要基本公式(既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则)。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比( Jacobi )也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西 (Cauchy) ,他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言,最早利用矩阵概念的是拉格朗日( Lagrange )在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为 0 ,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯( Gauss )大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。(这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值;研究了代换理论, 数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积(既 v x w 不等于 w x v )的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》( Die lineale Ausdehnungslehre )一书中提出的。(1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵,或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物

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