2014高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理 新人教A版

第十四节 定积分与微积分基本定理

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．定积分

(1)定积分的相关概念

在∫b

a f (x )d x 中，a ，

b 分别叫做积分下限与积分上限，区间

[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫b

a f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，

x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫b

a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x

＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质 ①∫b

a kf (x )d x ＝k ∫b

a f (x )d x .

②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b

a f 2(x )d x . ③∫

b a f (x )d x ＝∫

c a f (x )

d x ＋∫b

c f (x )

d x .

[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b

a f (t )d t 是否相等？

提示：相等．

2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．

3．定积分∫b

a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？

提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理

如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b

a f (x )d x ＝F (

b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b

a ，即 ∫

b a f (x )d x ＝F (x )|b

a ＝F (

b )－F (a )．

[自测·牛刀小试]

1.∫421

x

d x 等于( )

A ．2ln 2

B ．－2ln 2

C ．－ln 2

D ．ln 2

解析：选D ∫421x

d x ＝ln x |4

2＝ln 4－ln 2＝ln 2.

2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2

－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )

A.176

B.143

C.136

D.

116

解析：选A S ＝∫2

1(t 2

－t ＋2)d t ＝?

????

???13t 3－12t 2＋2t 21＝176

. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2

所围成的曲边梯形的面积为________．

解析：∫20x 2

d x ＝13x 3 |20＝83.

答案：8

3

4．(教材改编题)∫101－x 2

d x ＝________.

解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2

＝1在第一象限内部

分的面积，所以

∫101－x 2

d x ＝14π.

答案：14

π

5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋5

2

所围成的封闭图形的面积为________．

解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ? ????12，2，B ? ??

??2，12，

所以阴影部分的面积，

212

?

?

? －x ＋52－ ?

??

1x

d x ＝

? ??

??－12x 2＋52x －ln x 2

12

＝

15

8

－2ln 2. 答案：15

8

－2ln 2

[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π

0(sin x －cos x )d x ；

(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21? ??

??e 2x

＋1x d x ；

(5)

20

π?

sin 2

x

2

d x .

[自主解答] (1)∫21

(x 2

＋2x ＋1)d x ＝∫21

x 2d x ＋∫21

2x d x ＋∫21

1d x ＝x 3

3

|21＋x 2 |21＋x |2

1＝

193

. (2)∫π

0(sin x －cos x )d x

＝∫π0sin x d x －∫π

0cos x d x ＝(－cos x ) |π

0－sin x |π

0＝2.

(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2

＋x )d x

＝∫20x 2d x ＋∫2

0x d x ＝13x 3 |20＋12

x 2 |20

＝? ????13×23－0＋? ????12×22－0＝14

3

. (4)∫21? ??

??e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x

d x

＝12e 2x |21＋ln x |2

1＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2

＋ln 2. (5)

20

π?

sin 2

x

2

d x ＝

20

π?

? ??

??12－12cos x d x ＝

20

π?

12d x －1

2

20

π?

cos x d x

＝12x 20

π－1

2sin x 20

π＝π4－12＝π－24

. —————

——————————————

求定积分的一般步骤

计算一些简单的定积分，解题的步骤是：

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．

1．求下列定积分：

(1)∫2

0|x －1|d x ；

(2)

20

π?

1－sin 2x d x .

解：(1)|x －1|＝?

??

??

1－x ， x ∈[0，1x －1， x ∈[1，2]

故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫2

1(x －1)d x

＝? ????x －x 22 |10＋? ??

??x 2

2－x |21

＝12＋1

2＝1. (2) 20

π?

1－sin 2x d x

＝

20

π?

|sin x －cos x |d x ＝

40

π?

(cos x －sin x )d x ＋

24

ππ?

(sin x －cos x )d x

＝(sin x ＋cos x )40

π＋(－cos x －sin x ) 24

ππ

＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.

[例2] ∫10－x 2

＋2x d x ＝________.

[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2

＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形

的面积．

由y ＝－x 2

＋2x 得(x －1)2

＋y 2

＝1(y ≥0)， 又∵0≤x ≤1，

∴y ＝－x 2

＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.

∴∫10－x 2

＋2x d x ＝π4

.

在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2

＋2x d x 的值．

解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2

＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，

所以

∫20－x 2

＋2x d x ＝

π2.

—————

—————————————— 利用几何意义求定积分的方法

(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．

(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．

2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x

0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为

________．

解析：因为f (x )＝∫x

02sin ? ??

??π4－t d t

＝2cos ?

????π4－t |x 0＝2cos ? ??

??π4－x －2cos π4

＝sin x ＋cos x －1＝2sin ? ????x ＋π4－1≤2－1，

当且仅当sin ?

????x ＋π4＝1时，等号成立．

答案：2－1

[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )

A.10

3 B ．

4 C.

163

D ．6

[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为

∫40(x －x ＋2)d x ＝? ??

??23x 32－12x 2＋2x |40

＝163. [答案] C

若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？

解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫

2

f (x )d x ＝∫10

x d x ＋∫2

1

(－x ＋2)d x ＝23x 3

2 |10＋?

????2x －x 2

2 |21 ＝7

6.

—————

—————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图．

(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．

3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2

和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成

的图形(阴影部分)的面积为( )

A.2

3 B.1

3 C.1

2

D.14

解析：选D 由?????

y ＝14

，

y ＝x 2

?x ＝12

或

x ＝－1

2

(舍)，所以阴影部分面积 S ＝

120

?

? ????14－x 2d x ＋112

?? ??

??x 2－14d x ＝? ????14x －13x 31

20

＋? ????13

x 3－14x 112

＝1

4

.

[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2

，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？

[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2

，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ， 则s ＝∫50

0v d t ＝∫50

0(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2

) |50

＝20×50－0.2×502

＝500(m)，

即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． —————

——————————————

1．变速直线运动问题

如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b

a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝

b 所经过的路程为－∫b

a

v (t )d t .

2．变力做功问题

物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b

a F (x )d x .

4．一物体在力F (x )＝?

??

??

10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向

运动了4米，力F (x )做功为( )

A ．44 J

B ．46 J

C ．48 J

D ．50 J

解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫4

2(3x ＋4)d x

＝10x |2

0＋?

??

??

???32x 2＋4x 42 ＝20＋26＝46.

1个定理——微积分基本定理

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．

3个注意——定积分的计算应注意的问题

(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.

易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点

[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，

B ? ??

??1

2

，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．

[解析] 由题意可得 f (x )＝?????

10x ，0≤x ≤1

2

，10－10x ，1

2

所以y ＝xf (x )＝?????

10x 2

，0≤x ≤1

2

，10x －10x 2

，1

2

与x 轴围成图形的面积为120

?

10x 2

d x ＋

112

?

(10x －10x 2

)d x ＝103

x

3120

＋?

????5x 2－103x 31

12

＝54

. [答案] 5

4

[易误辨析]

1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．

2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．

3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]

1．由曲线y ＝x 2

，y ＝x 3

围成的封闭图形面积为( ) A.

1

12

B.1

4 C.1

3

D.

7

12

解析：选A 由????

?

y ＝x 2

，y ＝x 3

，

得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫1

0(x 2

－x 3

)d x

＝13－14＝112

.

2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2

，则a ＝________.

解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2

. 又? ??

??23x 32′＝x ，即23x 3

2 |a 0＝a 2

，

即23a 3

2＝a 2

.所以a ＝49. 答案：49

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e

1

1＋ln x

x

d x ＝( )

A ．ln x ＋12ln 2

x

B.2e －1

C.32

D.12

解析：选C ∫e 1

1＋ln x x d x ＝? ????ln x ＋ln 2

x 2e 1＝32

. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )

A.2π

5

B.43

C.32

D.π2

解析：选 B 由题中图象易知f (x )＝－x 2

＋1，则所求面积为2∫1

0(－x 2

＋1)d x ＝

2? ????－x 3

3＋x 10＝43

.

3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫3

0f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )

A ．±1 B. 2 C ．± 3

D ．2

解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2

＋b )d x ＝? ??

??13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，

则9a ＋3b ＝3(ax 2

0＋b )， 即x 2

0＝3，x 0＝± 3.

4．设f (x )＝?

??

??

x 2

， x ∈[0，1]，

2－x ， x ∈1，2]，则∫2

0f (x )d x ＝( )

A.34

B.45

C.56

D ．不存在

解析：选C 如图．

∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫2

1(2－x )d x

＝13x 3 |10＋? ????2x －12x 2 |21

＝13＋? ?

???4－2－2＋12

＝5

6

. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2

，则此物体达到最高时的高度为( )

A.160

3 m B.803 m C.40

3

m D.

203

m 解析：选A v ＝40－10t 2

＝0，t ＝2，∫2

0(40－10t 2

)d t ＝?

????40t －103t 3 |2

0＝40×2－103×8＝1603 (m)．

6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π

3

，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图

形的面积为( )

A.12 B ．1 C.32

D. 3

解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分

33

ππ-

?

cos x d x ＝

sin x

33

ππ-

＝

32－? ??

??

－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．设a ＝∫π

0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x

＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．

解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π

0＝2，

∴y ＝x ·2x

＋2x －2. ∴y ′＝2x

＋x ·2x

ln 2＋2.

∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 2

8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫4

1(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于

________．

解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |4

1＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解

得q ＝3，所以S 5＝

23

1－351－3

＝2423

. 答案：2423

9．(2013·孝感模拟)已知a ∈?

?????0，π2，则当∫a

0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝

________.

解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a

＝sin a ＋cos a －1

＝2sin ?

????a ＋π4－1，

∵a ∈??????0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ?

????a ＋π4－1取最大值．

答案：π4

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)

20

π?

sin 2

x d x ；

(2)∫32? ??

??x ＋

1x 2

d x ；

(3)

120

?

e 2x

d x .

解：(1)

20

π?

sin 2

x d x ＝

20

π?

1－cos 2x

2

d x ＝? ??

??12x －14sin 2x 20

π

＝?

??

??π4－14sin π－0＝π4.

(2)∫32? ??

?

?x ＋

1x 2

d x ＝∫32?

??

??x ＋1x

＋2d x ＝? ????12x 2＋2x ＋ln x |3

2 ＝? ??

??92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)

1

20

?

e 2x

d x ＝12

e

2x

120

＝12e －12

. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2

与x 轴所围图形为

面积相等的两部分，求k 的值．

解：抛物线y ＝x －x 2

与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝∫1

(x －x 2

)d x ＝? ??

??x 22－13x 3 |10＝16. 又?????

y ＝x －x 2

，y ＝kx ，

由此可得，抛物线y ＝x －x 2

与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，

S

2

＝∫1－k 0(x －x 2

－kx )d x

＝?

????1－k 2

x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.

又知S ＝16，所以(1－k )3

＝12，

于是k ＝1－ 312＝1－34

2

.

12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2

向点A (2,4)移动，直线OP 与

曲线y ＝x 2

围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2

及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．

解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则∫x

0(kx －x 2

)d x ＝∫2

x (x 2

－kx )d x ，

即? ????12kx 2－13x 3 |x 0

＝? ??

??

13x 3

－12kx 2

|2

x

， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －? ????13

x 3－12kx 2，

解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为? ??

??43，169.

1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在1

2

s ～6 s 间的运动路程为________． 解析：由题图可知，

v (t )＝???

??

2t 0≤t ≤1，

2 1≤t ≤3，13t ＋1 3≤t ≤6，

因此该物体在1

2

s ～6 s 间运动的路程为

s ＝

612

?

v (t )d t ＝

112

?

2t d t ＋∫312d t ＋∫63? ??

??1

3t ＋1d t

＝t

2

1

12

＋2t |3

1＋? ??

??16t 2＋t |63＝494(m)．

答案：494

m

2．计算下列定积分： (1)

31

-?

(3x 2

－2x ＋1)d x ；

(2)∫e 1? ??

??x ＋1x ＋1x 2d x .

解：(1)

31

-?

(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2

＋x )

31

-＝24.

(2)∫e 1? ????x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e

1

＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－? ????1e －11

＝12e 2－1e ＋32

. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1

3

x 所围成图形的面积．

解：由??

?

y ＝x ，

y ＝2－x ，

得交点A (1,1)；由?

???

?

y ＝2－x ，y ＝－1

3x ，得交点B (3，－1)．

故所求面积S ＝∫10? ????x ＋13x d x ＋∫31? ????2－x ＋13x d x

＝? ????23x 32＋16x 2 |10＋? ????2x －13x 2 |3

1

＝23＋16＋43＝13

6

. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：

m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝????

?

t 2

0≤t ≤10，4t ＋60 10

140 20

某公司拟购

买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？

解：由变速直线运动的路程公式，

可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫60

20140d t

＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 1

3

(m)<7 676(m)．

∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．

六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题

一、六招破解函数最值问题

函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：

1．配方法

配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af (x )2

＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．

[例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2

(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． [解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2

－2. 令t ＝e x ＋e －x ，则f (t )＝t 2－2at ＋2a 2

－2.

因为t ≥2，所以f (t )＝t 2

－2at ＋2a 2

－2＝(t －a )2

＋a 2

－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2

； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2

－2.

[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．

2．换元法

换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a 2

＋b 2

＝1及部分根式函数形式的最值问题．

[例2] 设a ，b ∈R ，a 2

＋2b 2

＝6，则a ＋b 的最小值是________．

[解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2

＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R . 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3

[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量

α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 得到的．

3．不等式法

利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：

a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b

2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤? ??

??a ＋b 22≤a 2＋b 2

2(a ，b 为实数)．

[例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x (0

[解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1

－x 2＋x ，

令t ＝3x ＋1，则x ＝

t －1

3

，t ∈(1,4)，

f (x )变为

g (t )＝

t

－? ????t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9

－? ??

??t ＋4t ＋5，

因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t

≥4,0<－? ??

??t ＋4t ＋5≤1，

9

－? ??

??t ＋4t ＋5

≥9，所以f (x )的最

小值为9.

[答案] 9

[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．

4．函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．

[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．

[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈? ????0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈? ??

??1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0

e

时，t 无解；

②当0

??1e ＝－1e ； ③当1e ≤t

e

时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .

所以f (x )min

＝????? －1e ，0

e ，t ln t ，t ≥1

e

.

[答案] f (x )min

＝?????

－1e ，0

e ，t ln t ，t ≥1

e

[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．

5．导数法

设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．

[例5] 函数f (x )＝x 3

－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.

[解析] 因为f ′(x )＝3x 2

－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．

又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17

[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．

6．数形结合法

数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避

免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．

[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝?????

a ，a ≥

b ，b ，a

函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x

∈R )的最小值是________．

[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2

，解得x ≥12

.

所以f (x )＝????

?

|x ＋1|，x ≥12

，

|x －2|，x <1

2

，其图象如图所示．

由图形，易知当x ＝1

2

时，函数有最小值，所以

f (x )min ＝f ? ????12＝??????1

2

＋1＝32

.

[答案] 3

2

[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．

二、巧用数形结合妙解3类求参数问题

数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．

通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．

1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值 [例1] 已知函数f (x )＝?????

|lg x |，0

2x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )

＝f (c )，则abc 的取值范围是( )

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0

[答案] C

[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．

2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围 [例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2

＋2(m 2

＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2

－m ＋2)x ＋m . (1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；

(2)设函数h (x )＝?

??

??

f x ，x ≥0，

g x ，x <0，

是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非

零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2

＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，① 因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根， 由p (x )＝0，

得m ＝－x 2＋7x ＋1

＝－

x ＋12

－2x ＋1＋8

x ＋1

＝2－(x ＋1)－

8

x ＋1

， 因为1

所以－16

3

当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根， 所以实数m 的取值范围是－16

3

(2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2

＋2(m 2

＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2

－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减． 记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．

2014年北京市高考数学试卷(理科)

2014年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0） 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．

2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足 1 z i z +=（i 的虚数单位）的复数z= A 、 1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122 i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种 不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p == 3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 3 2 1x x ++，则(1)(1)f g += A 、3- B 、1- C 、1 D 、3 4、5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A 、-20 B 、-5 C 、5 D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题 ①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧? ④()p q ?∨ 中，真命题是 A 、①③ B 、①④ C 、②③ D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的 S 属于 A 、[-6,-2] B 、[-5,-1] C 、[-4，5] D 、[-3,6] 7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加 工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

2013年北京高考理科数学试题及标准答案

绝密★启封前 机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}101A =-， ，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限 （3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 （4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ?

2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （

4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞

6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣

7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为：

11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．

2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学（理科）试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.

2014年湖南省高考数学试卷(文科)解析

2014年湖南省高考数学试卷（文科） (扫描二维码可查看试题解析) 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2014?湖南）设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（） 2．（5分）（2014?湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（） 3．（5分）（2014?湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分 4．（5分）（2014?湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增 5．（5分）（2014?湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）B 6．（5分）（2014?湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则 7．（5分）（2014?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

8．（5分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） 9．（5分）（2014?湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（） ． ﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1 2121 10．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） [，[， 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）（2014?湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为． 13．（5分）（2014?湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）（2014?湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离 和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是． 15．（5分）（2014?湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=． 三、解答题（共6小题，75分） 16．（12分）（2014?湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和． 17．（12分）（2014?湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： （a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，）， （，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b） 其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败． （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； （Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 18．（12分）（2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．

2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案

2014年北京市高考数学（理科）试题及答案 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.

2014年湖南高考语文试题及答案

以下是查字典语文小编给大家整理编辑的2014年湖南高考语文试题及答案，一起来看看吧! 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 语文 本试题卷共七道大题，22小题，共8页。时量150分钟。满分150分。 一、语言文字运用(12分。每小题3分) 家风是一个家族世代相传沿袭下来的体现家族成员精神风貌、道德品质、审美格调和整体气质的家族文化风格。一个家族之链上某一个人物出类拔( )、深( )众望而为家族其他成员所宗仰追慕，其懿行( )言便成为家风之源，再经过家族子孙代代接力式的( ) 守祖训，流风余韵，绵延不绝，就形成了一个家族鲜明的家风。 1.下列汉字依次填入语段中括号内，字音和字形全部正确的一组是 A.萃孚fóu 佳恪gé B.粹负fú 佳恪kè C.粹负fù 嘉恪gé D.萃孚fú 嘉恪kè 【答案】 D 【解析】出类拔萃：拔：超出;类：同类;萃：原为草丛生的样子，引申指同类丛聚。后以出类拔萃形容卓越出众，不同一般。萃字从草不从米，据义定形。 深孚众望：使大家信服，符合大家的期望。孚：使人信服、信任、相信。读fú，褒义词。 深负众望：指辜负了大家的期望。负：辜负，读fù，贬义词。 懿行嘉言：嘉，美好的意思，不能写作佳。常指有益的言论和高尚的行为。2009年湖南卷字音题曾考过嘉言懿行(yì)。 恪守：谨慎而恭敬遵守。恪读kè ，形声不能套读半边。 试题分析：本题属于一题多考，既考字音、字形，又考成语运用。题目新颖，含金量极高。 考点：识记现代汉语普通话常用字的字音。能力层级为识记A。 考点：识记并正确书写现代常用规范汉字。能力层级为识记A。 考点：正确使用词语(包括熟语)。能力层级为表达运用E。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 D.15 输出 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“2 2 a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 7.已知圆()()2 2 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(文科)

2014年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分） 1．（5分）设命题p:?x∈R,x2+1＞0,则￢p为（） A．?x0∈R,x02+1＞0 B．?x0∈R,x02+1≤0 C．?x0∈R,x02+1＜0 D．?x0∈R,x02+1≤0 2．（5分）已知集合A={x|x＞2},B={x|1＜x＜3},则A∩B=（） A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）下列函数中,既是偶函数又在区间（﹣∞,0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（）A．B．C．D． 6．（5分）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11 7．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（） A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]

8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（5分）若0＜x1＜x2＜1,则（） A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1 C．x2＞x1D．x2＜x1 10．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的取值范围是（） A．[4,6]B．[﹣1,+1]C．[2,2]D．[﹣1,+1] 二、填空题（共5小题,每小题5分,共25分） 11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）在平面直角坐标系中,曲线C:（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P（﹣1,0）且斜率为k的直线,则k的取值范围是． 15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数,则a=．

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（） A．7 B．3 C．8 D．9 3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D． 4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（） A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10 5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2） 2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（） A．B．C．D． 6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2） 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D． 8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009

2013年高考理科数学湖南卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 答案：B 解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B． 2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法 答案：D 解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样． 3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B ，则角A等于()． A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 答案：D 解析：由2a sin B 得2sin A sin B sin B，故sin A ，故A＝ π 3 或 2π 3 .又△ABC为锐角 三角形，故A＝π3 . 4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件 2, 1, 1. y x x y y ≤ ? ? +≤ ? ?≥- ? 则x＋2y的最大值是()． A． 5 2 -B．0 C． 5 3 D． 5 2 答案：C 解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分． 令x＋2y＝d，即 1 22 d y x =-+， 由线性规划知识可得最优点为 12 , 33 ?? ? ?? ，所以d max＝ 145 333 +=. 5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B 解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)，

(北京市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)

数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页） 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = （A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} （2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是 （A ）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ （3）曲线1cos , 2sin x y θθ=-+??=+? （θ为参数）的对称中心 （A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上 （4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输 出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 （5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{} n a

数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页） 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-?? -+??? ≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为 （A ）2 （B ）2- （C ） 12 （D ）1 2 - （7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,1,D ．若1S ,2S ,3 S 分别是三棱锥D ABC – 在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠ （D ）32S S =且31S S ≠ （8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学 生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人 （D ）5人

2014年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案

2014年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（） A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i 2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（） A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20 5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④ 6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（） A． B． C．pq D．﹣1 9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（） A．x=B．x=C．x=D．x= 10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（） A．（﹣）B．（）C．（）D．（） 二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是． 12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．

2014年北京高考word版数学文试卷

绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 （2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = （3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15

（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 （6）已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ （7）已知圆()()2 2 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

2019年北京卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数z =2+i ，则z z ?= （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+???（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 45 （D ） 65 （4）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为 （A ）?7 （B ）1 （C ）5 （D ）7

（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2?m 1= 52lg 2 1E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）10 10.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10 ?10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2 2 1||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）函数f （x ）=sin 2 2x 的最小正周期是__________． （10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=?3，S 5=?10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长 为1，那么该几何体的体积为__________．

2014年湖南高考作文题目.doc

2014年湖南高考作文题目 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信

念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。 以下为2014年湖南高考作文题： 被誉为“最美乡镇干部”的某乡党委书记，在一个其他人不肯去、去了也待不到两年的地方，一干就是八年，以坚定的信念和顽强的意志，率领村民发奋图强，将穷乡僻壤建设成了美丽的乡村。面对洒满心血与汗水的山山水水，也深有感触地说：“心在哪里，风景就在哪里。”根据上面的材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。

2014年北京高考数学真题及答案(文科)

绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）若集合{0,1,2,4} I B=，则A B= A=，{1,2,3} （A）{0,1,2,3,4}（B）{0,4} （C）{1,2}（D）{3} （2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是 （A）e x y x = y- =（B）3 （C）ln y x = =（D）|| y x （3）已知向量(2,4) a b b，则2-= =- = a，(1,1) （A）(5,7)（B）(5,9) （C）(3,7)（D）(3,9) （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为Array（A）1 （B）3 （C）7 （D）15 数学（文）（北京卷）第1 页（共13 页）

数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 13 页） （5）设,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知函数26 ()log f x x x = -．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(0,1) （B ）(1,2) （C ）(2,4) （D ）(4,)+∞ （7）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)A m B m - (0m >)．若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=°，则m 的最大值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条 件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（,,a b c 是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟