第五讲环形道路上地行程问题

第五讲

环形道路上的行程问题

一、知识要点和基本方法

1．行程问题中的基本数量关系式：

速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间．

2．相遇问题中的数量关系式：

速度和×相遇时间＝相遇路程；

相遇路程÷速度和＝相遇时间；

相遇路程÷相遇时间＝速度和．

3．追及问题中的数量关系式：

速度差×追及时间＝追及距离；

追及距离÷速度差＝追及时间；

追及距离÷追及时间＝速度差．

4．流水问题中的数量关系式：

顺水速度＝船速十水速；

逆水速度＝船速一水速；

船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．

5．应该注意到：

（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；

（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．

二、例题精讲

例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200

米，是王林每分钟所跑路程的8

9

．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，

问至少要经过几分钟两人才能相遇？

分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．

解追及距离＝400米；

返及时的速度差＝200÷8

9

－200．

由公式列出

追及时间＝400÷（200÷8

9

－200）

＝400 ÷（225－200）

＝400 ÷ 25

＝16（分）．

答至少经过16分钟两人才能相遇．

例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在 C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．

图5-1

分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的 3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法

如下．

解 A 到 D（A→C→B→D）的距离：

100 × 3＝300（米）．

半个圆圈长：300－80＝220（米）．

整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．

答这个圆的周长是440米．

例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？

分析半圆的周长是

．．（米）=72（厘米）．

1442=072

÷

先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为

÷（．．）= 8（分）．

7255+35

再考虑往返的情况，则有表5－1．

此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．

解由题意可知

它们从出发到初次相遇经过时间

＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．

第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在

上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．

答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，

例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1倍，在离出发点 30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？

图5－2

分析根据题意画出示意图5－2．

观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了 15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．

解（70－30）÷4

＝40 ÷ 4

＝10（秒），

［（30＋15）÷ 2＋15］÷ 10

．÷10

＝375?

．（厘米/秒）．

＝375?

答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米

例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

图5-3

分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．

解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方

3 × 90＝270（米），

故有

72x ＝65x ＋ 270，

解得

x ＝2707

在这段时间内乙走了

72×2707＝277717

由于正方形边长为90米，共四条边，所以由 277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717

， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．

答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．

例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．

解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．

由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以

图5-4

AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．

若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则

290x y +=．

且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以

()7010

x x y y +-= 解方程组 290x y += ()7010

x x y y +-=

得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为

602156370107

?+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30

千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637

小时． 例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙速是甲速的23，甲跑第二圈时，速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了15

．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米．问：这个椭圆形跑道周长多少米？

分析 可设跑道周长为L ，第一次相遇时，甲跑了35L ，乙跑了25L ．又设甲速为a ，则乙速为23a ，而跑第二圈时，甲速为113a ??+ ???，乙速为12153

a ??+ ???．利用相向运动公式求出第二个相遇点，利用两个相遇点之差等于190米列方程求L ．

解 如图 5－5（1）及图 5－5（2），

图5－5（1） 图5－5（2）

设跑第一圈甲速为a （米/秒），于是乙速为23

a （米/秒）．又设跑道全长为L （米），则甲、乙第一次相遇点在按甲前进的方向距出发点为35

L ．甲跑完第一圈（L ），乙跑了23L ．当乙继续跑余下的13L 路程时，甲已折返，且以14133a a ??+= ???的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23

L 的距离．这时，乙折返以2141355a a a ??+= ???跑着．从这时起，甲、乙速度比为445:335

a a ÷=．所以，甲跑了余下的

3L 的58：，而乙跑了余下的3L 的38，即乙跑了折返后的3388L L ?=．此时与折返后的甲第二次相遇，因此有

3119058

L L -= 即

1919040

L = 所以 L=400（米）．

答 跑道周长400米． 练 习 题

A 组

1. 甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次．问

乙跑完一圈用多少秒？

2. 甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑

305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处？

3. 有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而

跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米？

4. 甲、乙两人同时从A 点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80

米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A 点相遇？

5. 小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后

一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？

6. 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行

驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？

7. 两只小爬虫甲和乙，从图5－6上A 点同时出发，沿长方形ABCD 的边，分

别按箭头方向爬行，在离C 点32厘米的E 点它们第一次相遇；在离D 点16厘米的F 点第二次相遇，在离A 点16厘米的 G 点第三次相遇，问长方形的边 AB 长多少厘米？

图5－6 图5－7

8. 周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A 、B 两点（如图5－7）．甲、

乙两人分别在A 、B 两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A 地时，乙恰好又跑到B 地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米？

B 组

9. 绕湖环行一周是2 700米，小张、小王、小李从同一地点出发绕湖行走，小

李沿反方向行走，小张的速度是135米/分，小王的速度是 90米/分，小李的速度是 45米/分．当小张和小李相遇后，马上转身反向而行，不久与小王相遇。问出发后多少时间，小张和小王相遇？

10. 小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车从乙村往甲村去，他们同时出发，

1小时后在途中相遇，他们分别继续前进，小李到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上了小张，他们又分别继续前进，当小李到达乙村后又马上折回，问：追上后多少分钟，他们再次相遇？

11. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，王

以 4千米/时的速度每走1小时后休息5分钟J 张以6千米/时的速度每走50分钟后休息10分钟，问两人出发多少时间后第一次相遇？

12. 小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖而走．小张速度是每小时

5．4千米，小王速度是每小时4．2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周行程是多少千米？

13. 游船顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上，每小时前进5千米，两条游

船同时从同一地方出发，一条顺流而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回，结果，1小时后它们同时回到出发点，问在这1小时内有多少时间这两条游船的前进方向相同？

14. 在 400米环形跑道上，A 、B 两点相距 100米（如图 5－8所示）．甲、乙两

人分别从A 、B 两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒钟．那么，甲追上乙需要的时间是多少秒．

图 5－8 图5－9

15. 在图5－9中，正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上的速度是 90

千米/时，在 BC 上的速度是 120千米/时，在 CD 上的速度是 60千米/时，在 DA 上的速度是 80千米/时．从 CD 上一点P ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 的中点相遇．如果从PC 的中点M ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 上一点 N 处相遇二求

A N

B N 至的距离至的距离

16. 某游艇在一条河流中逆水航行，有一乘客随身带有的空心玻璃球在A 桥处失

落于水中，但经过20分钟到C 处才发现；游艇掉头寻找空心玻璃球，直至更下游的B 桥下才拾得．已知A 、B 两桥相距2千米，求河水的流速．

测 试 题

1. 如图5－10，在一圆形的跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向行走（如箭头所示）．6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点．又再过8分钟，小明与小强再次相遇．问：小明环行一周要多少分钟？

图 5－10 图 5－11

2. 如图5－11，一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫

A、B、C分别在这3个点上．它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行．A

的速度是10厘米/秒出的速度是5厘米/秒（的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

3. 上午8点08分，小明从家里骑自行车出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，

在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米．问：这时是几点几分？

4. 图5－12中，甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶

点上，同时开始沿逆时针方向沿池边行走．甲每分钟走50米，乙每分钟走44米，问：甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形）？

图 5－12 图 5－13

5. 如图5－13，阴影部分表示学校校园．长方形ABCD表示校园外紧靠围墙的

小路．AD—320米，AB—250米．小明、小亮分别从A、C两地同时出发，两人都按顺时针方向跑，速度分别是每秒3．5米和2．5米．问：出发后多久小明才能第一次看见小亮？

6. 如图5－14是一座立交桥俯视图，路面宽20米．AB=CD=100米．阴影部分

为四个四分之一圆形的草坪．现有甲、乙两车分别在A、D两处按箭头方向行驶，甲车速56千米/时，乙车速50千米/时．问：按行车路线（用虚线表示），甲车要追上乙车需要多少分钟？（甲的行车路线为A→B→C→D→）

图5-14

环形道路上的行程问题

行程问题专题训练（环形道路上的行程问题） 一、知识梳理 1．行程问题中的基本数量关系式： 速度×时间=路程；路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间． 2．相遇问题中的数量关系式： 速度和×相遇时间=相遇路程； 相遇路程÷速度和=相遇时间； 相遇路程÷相遇时间=速度和． 3．追及问题中的数量关系式： 速度差×追及时间=追及距离； 追及距离÷速度差=追及时间； 追及距离÷追及时间=速度差． 4．流水问题中的数量关系式： 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速-水速； 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2． 5．应该注意到： (1)顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似； (2)在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似。因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题． 二、例题精讲 例1、李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林 每分钟所跑路程的．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇? 分析：由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差=追及时间”． 解：追及距离=400米； 追及时的速度差．由公式列出 追及时间 （分）．

答：至少经过16分钟两人才能相遇． 例2、如图所示，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B 点80米．求这个圆的周长． 分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．可知，第二次相遇时两人合起来的行程是第一次相遇时合起来的行程的3倍，可知，每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以第二次相遇时亮亮走的行程(A→c→B→D)应该是第一次相遇时走的行程(A直接到C)的3倍。 解：第二次相遇时亮亮走的距离：100×3=300(米)． 半个圆圈长：300-80=220(米)． 整个圆圈长：220×2=440(米)． 答：这个圆的周长是440米． 例3、如图所示，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？ 解：设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有 ， 解得 在这段时间内乙走了 （米）． 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由

五年级数学—环形路上及行程问题

五年级奥数——环形路上的行程问题 1、环形运动问题： 环形周长=（大速度+小速度）×相遇的时间 环形周长=（大速度-小速度）×相遇的时间 环形运动的追及问题和相遇问题：同时同向起点运动，第一次相遇，速度快的比速度慢的多跑一圈。在环形跑道上同时同向，速度快的在前，慢的在后。 不是封闭的跑道追及问题，速度慢的在前，快的在后。 1.两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑，甲分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙，如果两人同时同地反向而跑，经过多少钟 后两人相遇？ 2.甲，乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟 80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处，问几分钟后，甲第1次追上乙？ 3.如图，A、B是圆的直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C离A点50米；第2次在D点相遇，D点离B点3O米.求这个圆的周长是多少米？ 4.在一个长800米的环行湖边上，小明，小张两人同时从同一点出发，反向跑步，5分钟两人第一次相遇，小明每分钟跑100米，张静每分钟跑多少米？如果两人同时从同一点出发，同向跑步，多少分钟后小明能追上张静？(湘麓P29) 5.有一条长400米的环形跑道，甲乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10钟后第一次相遇，若甲比乙快，那第甲乙二人的 速度分别是多少米？(湘麓P29)

6.跑马场一周之长为1080。甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶， 经过45分钟，甲追上乙，如果甲的速度分钟减少50米，乙的速度每分钟增加30米，从 同一地点同时背向而行，则经过3分钟两人相遇。求原来甲，乙两人每分钟各行多少米？(湘麓P30) ※7.在300米的环形跑道上，甲，乙两从同时从起跑线出发反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中想遇多少次？(湘麓P30) 8.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。 ①小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是 多少米/分②小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次 追上小王？ 9.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇。问小张和小王的速度各是多少？ 10.甲和乙在环湖路上晨跑，环湖路一周是1800米，甲分钟跑160米，乙分钟跑的路程是甲的1.25倍，如果两人同时同地同向出发，需要多少分钟两人第一次相遇？如果两人同 时同地反向出发，需要多少分钟两人第一次相遇？(湘麓P31) 11.甲，乙两名自行车运动员在周长为6000米的湖边道路上进行训练，甲每分钟行400米，如果两人同时同地反向而行，6分钟相遇，问乙的速度是每分钟多少米？(湘麓P31) 12.甲，乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲分钟走125米，乙的速度是甲的 2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？(湘麓P31)

第4讲环形行程问题1

典型例题 1 甲、乙两人同时从同一地点出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，过了4分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米？ 举一反三 1 1、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80米，小兰每分钟跑50米，过了20分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米？ 2、王叔叔和李叔叔同时从运动场的同一地点出发，同向绕运动场跑道赛跑，王叔叔 每分钟跑300米，李叔叔每分钟跑280米，过了20分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道 一周长多少米？ 3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000米的环形广场竞走，已知第一位 运动员每分钟走125米，第二位运动员的速度是第一位运动员的2倍。第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？ 典型例题 2 兄妹二人在周长60米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，兄每秒走 1.3米，妹每秒走 1.2米。他们第10次相遇时需要多长时间？ 举一反三 2 1、姐弟二人在周长420米的圆形花圃边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐 每分钟走60米，弟弟每分钟走40米。他们第五次相遇时需要多长时间？ 2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。她们从同一地点背向绕水池行进。小红每分 钟行200米，小玲每分钟行160米。已知环形跑道一周的长为1080米。他们第8次相遇小红走了多少米？

3、甲、乙二人绕圆形场地跑步。场地一周的长是300米，他们从同一地点出发背向 而行。甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，他们第6次相遇时甲比乙一共多走多少米？ 典型例题 3 一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。甲每分钟跑250，乙每分钟跑200米，现在甲在以后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 举一反三 3 1、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40米，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 2、绕湖一周的长是500米，小许和小张顺时针绕湖竞走。小许每分钟走180米，小张每分钟走160米，现在小许在小张前面100米，小许第一次追上小张需要多少分钟？ 3、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？ 典型例题 4 甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人最少用多少分钟在A点相遇？ 举一反三 4 1、甲、乙两人同时从同一出发点出发，绕周长为990米的圆形跑道跑步，甲每分钟 跑90米，乙每分钟跑110米，这两人最少用多少分钟在原来的出发点相遇？ 2、小明和小亮同时绕周长为720米的环形跑道行走，小明每分钟行90米，小亮每分钟行80米，他们同时从A点绕跑道顺时针行走。他们最少要用多少分钟在A点相遇？

第4讲-环形行程问题1

典型例题 1 甲、乙两人同时从同一地点出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米，过了 4 分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米？ 举一反三1 1、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80 米，小兰每分钟跑50 米，过了20 分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米？ 2、王叔叔和李叔叔同时从运动场的同一地点出发，同向绕运动场跑道赛跑，王叔叔每分钟跑300 米，李叔叔每分钟跑280 米，过了20 分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道一周长多少米？ 3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000 米的环形广场竞走，已知第一位运 动员每分钟走125 米，第二位运动员的速度是第一位运动员的 2 倍。第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？ 典型例题2 兄妹二人在周长60 米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米。他们第10 次相遇时需要多长时间？ 举一反三2 1、姐弟二人在周长420 米的圆形花圃边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐每分钟走60 米，弟弟每分钟走40 米。他们第五次相遇时需要多长时间？ 2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。她们从同一地点背向绕水池行进。小红每分 钟行200 米，小玲每分钟行160 米。已知环形跑道一周的长为1080米。他们第8 次相遇小红走了多少米？ 3、甲、乙二人绕圆形场地跑步。场地一周的长是300 米，他们从同一地点出发背向而行。甲每分钟行80米，乙每分钟行70 米，他们第 6 次相遇时甲比乙一共多走多少米？ 典型例题3 一个圆形荷花池的周长为400 米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。甲每分钟跑250，乙每分钟跑200 米，现在甲在以后面50 米，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 举一反三3 1、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600 米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40 米，甲第二次追上乙需要多少分钟？

行程问题例题

行程问题例题 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【分析与解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+1 2 ＝ 3 2 圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即 100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为3 2 圈，所以此圆 形场地的周长为480米． 行程问题分类例析 河北欧阳庆红

行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问 题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及, 追及距离 慢 快 S S S+ =.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行 72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行使 48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了h x) ( 60 25 -.（如图1） 依题意，有72x+48) ( 60 25 - x=360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 图

《环形跑道》行程问题

第二十五讲环形跑道行程问题 知识要点 在封闭的环形道上（圆形）同向运动属于追及问题，反向运动属于相遇问题。同时同地同向出发，其追及路程就是环形道一周的长。 典型例题 例1 .如图，在一圆形跑道上。小明从A点出发，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问小明环形一周要多少时间？ 例2 甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第1次追上乙？ （400－100）÷（100－80）=15（分）

例3 如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？ 例4 甲乙从360米的环形跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

例5 已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC边上D点（距C点30米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C 点多远？（上海奉贤小升初口奥试题）

例6 一个边长为100米的正方形跑道，甲乙二人分别在跑道相对的两个顶点逆时针同时起跑，甲的速度是每秒7米，乙的速度是每秒5米，他们在转弯处都要耽误5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了几米

例6.三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示的方向出发，甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？ ?甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于2号环形道的上方。它们共爬行了3个“半环形”。

《行程问题解析》.(DOC)

，行程问题从运动形式上分可以分为五大类： 五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。 下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。

1. 直线上的相遇与追及 上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。 例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题） 「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。大家不妨自己动手试着做一做。 除了像刚才例题1那样一次性的追及与相遇过程外，还有很多相遇与追及问题是在往返过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题： 例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006年小升初考题）「思路解析」相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示

行程问题之环形跑道

环形路上的行程问题 1、环形运动问题： 环形周长=（大速度+小速度）×相遇的时间 环形周长=（大速度-小速度）×相遇的时间 环形运动的追及问题和相遇问题：同时同向起点运动，第一次相遇，速度快的比速度慢的多跑一圈。在环形跑道上同时同向，速度快的在前，慢的在后。 不是封闭的跑道追及问题，速度慢的在前，快的在后。 1.两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑，甲分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙，如果两人同时同地反向而跑，经过多少钟后两人相遇？ 2.甲，乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处，问几分钟后，甲第1次追上乙？ 3.如图，A、B是圆的直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C离A点50米；第2次在D点相遇，D点离B点3O米.求这个圆的周长是多少米？ 4.在一个长800米的环行湖边上，小明，小张两人同时从同一点出发，反向跑步，5分钟两人第一次相遇，小明每分钟跑100米，张静每分钟跑多少米？如果两人同时从同一点出发，同向跑步，多少分钟后小明能追上张静？(湘麓P29) 5.有一条长400米的环形跑道，甲乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10钟后第一次相遇，若甲比乙快，那第甲乙二人的速度分别是多少米？(湘麓P29)

6.跑马场一周之长为1080。甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过45分钟，甲追上乙，如果甲的速度分钟减少50米，乙的速度每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟两人相遇。求原来甲，乙两人每分钟各行多少米？(湘麓P30) ※7.在300米的环形跑道上，甲，乙两从同时从起跑线出发反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中想遇多少次？(湘麓P30) 8.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。 ①小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分②小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 9.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇。问小张和小王的速度各是多少？ 10.甲和乙在环湖路上晨跑，环湖路一周是1800米，甲分钟跑160米，乙分钟跑的路程是甲的1.25倍，如果两人同时同地同向出发，需要多少分钟两人第一次相遇？如果两人同时同地反向出发，需要多少分钟两人第一次相遇？(湘麓P31) 11.甲，乙两名自行车运动员在周长为6000米的湖边道路上进行训练，甲每分钟行400米，如果两人同时同地反向而行，6分钟相遇，问乙的速度是每分钟多少米？(湘麓P31) 12.甲，乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？(湘麓P31)

七年级第十讲行程问题经典例题

第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆 流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分 钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行 使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )( 60 25-.（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25-x =360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体 会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度 是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 图1

行程问题(题)

一、 相遇与追及 1路程和路程差公式 【例11如下图，某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口 A 南边560米的 B 点, 乙在路口 A ?甲向北，乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距 A 的距离相等?再继续行 走24分钟后，二人距 A 的距离恰又相等?问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【题型】解答 【考点】行程问题 【难度】3星 【关键词】2003年，明心奥数挑战赛 【解析】 本题总共有两次距离 A 相等，第一次：甲到 A 的距离正好就是乙从 A 出发走的路 程.那么甲、乙两人共走了 560米，走了 4分钟，两人的速度和为： 560 4 140 （米/分）。第二次：两人距 A 的距离又相等，只能是甲、乙走过了 以北走的路程 乙走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了 20（米份），甲速 20 ,解这个和 60（米/分）. A 点，且在A 点 米，共走了 140 ,显然 题，甲速 560 4 24 28（分钟），两人的速度差： 甲速要比乙速要快；甲速 （140 20） 2 80（米 / 分），乙速 【答案】甲速80米/分，乙速60米/分 2、多人相遇 【例21有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现 在甲从 东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6分钟后，甲 又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米 ？ 行程问题 【难度】2星 甲、丙6分钟相遇的路程： 560 28 140 80 乙速 【考点】 【解析】 100 75 甲、乙相遇的时间为： 1050 80 75 东、西两村之间的距离为: 100 80 【题型】解 答 6 1050 （米）; 210（分钟）; 210 37800 （米）. 【答案】 3、多次相遇 【例31甲、乙两车分别同时从 A 、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95千米处相遇.相 遇后继续 前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25千米处相遇.求 A 、B 两 地间的距离是多少千米？ 【考点】行程问题 37800米 【难度】2星 【题型】解答 【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ） ： B ■车 处2次制遇

奥数行程问题--环形跑道

行程问题——环形跑道 环形跑道问题就是封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰好是一圈的长度。 1、相遇问题： 题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。 解题规律：两人相遇时一起走一圈（跑道周长）。之后每见面一次，就一起走1圈；见面n次，两人一起走n个周长。 2、追及问题： 题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。 解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会追上慢的，此时快的人比慢的人多走1圈（路程差为跑道周长）。之后每追上一次，就多走1圈；追上n次，快的就比慢的多走n个周长。 3、需要处理的问题： a、环形跑道中速度、时间、路程之间的关系处理。 b、多次追及问题的处理。 c、不同地点出发的追及问题。 1、一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，现在甲在乙后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 2、一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑140米，两人同时反向出发，经过几分钟两人相遇？

3、上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线 起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，小亚第一次追上小胖时，小胖跑了多少米？ 4、幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑 线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第2次追上晶晶时，冬冬跑了多少圈？ 5、甲、乙二人骑自行车从环形公路上的同一地点出发，背向而行。 现在已知甲走一圈的时间为75分钟，如果在出发后第50分钟甲、乙两人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？ 6、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 7、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米， 乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过几分钟两人相遇？ 8、在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而 行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲的速度是多少米/秒？ 9、环形跑道的周长是800米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲的速度是每分钟400米，乙的速度是每分钟375米。多少分钟后两人第一次相遇？甲乙两名运动员各跑了多少米？甲乙两名运动 员各跑了多少圈？

五年级奥数环形路上的行程问题

学生课程讲义 在环形道路上的形成问题本质上讲就是追击问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动时就是追击问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和;当二人(或物)反向运动时就是相遇问题,相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。 例1、如图所示，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发,45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇? 随堂练习1 甲，乙两运动员在周长为4０0米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟８0米，甲的平均速度是乙的1．25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙? 例2、如图所示，是一个圆形中央花园，A、Ｂ是直径的两端。小军在Ａ点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第１次在C点相遇,C点离Ａ点有50米；第2次在D点相遇,Ｄ点离B点有3０米。问这个花园一周长多少米？ 随堂练习2 如图所示,A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A,明明在点Ｂ，相向而行。他们在C点第一次相遇,C点离A点100米；在D点第二次相遇,D点离B点80米。求圆的周长。 例3、如图所示,是一个边长为100米的正方形跑道。甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑,甲的速度每秒7米,乙的速度每秒5米。他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？ 随堂练习3 如图所示，有一条长方形跑道，甲从A点出发,乙从Ｃ点出发，同时按逆时针方向奔跑。甲速每秒6.２5米,乙速每秒5米。跑道长１０0米，宽6０米。当甲、乙每次跑到拐点A、B、C、D时都要停留5秒。问当甲第一次追上乙时，甲、乙各跑了多少米？ 例4、已知等边三角形ABＣ的周长为360米,甲从A点出发,按逆时针方向前进,每分钟走55米,=。乙从BC边上D 点（距C点３0米）出发,按顺时针方向前进,每分钟走５0米。两人同时出发，几分钟相遇?当乙到达A点时，甲在哪条边上,离C点多远? 随堂练习4 如图所示,三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为2１0厘米。甲、乙两只爬虫分别从Ａ、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 课后巩固 １、甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习散步。已知甲跑一圈用１2分钟,乙跑一分钟用15分钟。如果他们分别从圆形跑道直径两端同时出发,那么出发多少分钟甲追上乙? 2、某市有一条环形公路，按逆时针方向行驶的公共汽车每隔10分钟从车站发出一辆，王师傅驾驶的货车用公共汽车 的速度按顺时针方向行驶在同一公路上,在半小时中,王师傅最多能遇到几辆公共汽车？ 3、有一条长4００米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发，反向而行。1分钟后第一次相遇,若二人同时同地出发， 同向而行，则1０分钟后第一次相遇。若甲比乙快，那么甲、乙二人的速度分别是多少？ 4、一环形跑道周长为２40米，甲与乙同向,丙与他们背向,三人都从同一地点出发，每秒钟甲跑8米，乙跑5米，丙 跑７米,出发后三人第一次相遇时，丙跑了几圈? ５、在一圆形跑道上。甲从A点、乙从B点同时出发反向而行。6分钟后两人相遇。再过４分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，则甲跑一圈用时多少分钟?乙跑一圈用时多少分钟? 6、甲、乙两人沿4０0米环形跑道练习跑步。两人同时从跑道上同一点A向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度每 秒增加２米;乙比原来速度每秒减少2米，结果都用24秒同时回到原地,则甲原来的速度是多少？ ７、两辆电动车在周长为3６0米的圆形道上不断行驶，甲车每分钟行驶２0米。甲、乙两车分别从相距90米的Ａ、

小学六年级奥数教案：行程问题

小学六年级奥数教案：行程问题 第一讲行程问题 走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度×时间 ; 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.

当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， ` 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差.

例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间. 此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此 所用时间=9÷6=(小时). ( 小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是 面包车速度是 54-6=48(千米/小时). 城门离学校的距离是

学生-行程问题之环形跑道问题

行程问题之环形跑道问题

2 、幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 3、一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇 4、两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 5、林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？ 6、甲乙两人绕周长为1000米的环形跑道广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍，现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？

求此圆形场地的周长？ 举一反三 1、如图，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点6O 米.求这个圆的周长. 2、如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A 与C 同时出发，绕圆周相 向而行．它们第一次相遇在离A 点8厘米处的B 点，第二次相遇在离C 点处6厘米的D 点，问，这个圆周的长是多少? 第一次相遇 第二次相遇 D C B A 3、A 、B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇，在D 点第二次相遇．已知C 离A 有75米，D 离B 有55米，求这个圆的周长是多少米？ 二、环形跑道——变道问题 【例 1】如图是一个跑道的示意图，沿ACBEA 走一圈是400米，沿ACBDA 走一圈是275米，其中A 到B 的直线距离是75米．甲、乙二人同时从A 点出发练习长跑，甲沿ACBDA 的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA 的大圈跑，每100米用21秒，问： ⑴ 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ ⑵ 发多长时间甲、乙再次在A 相遇？

行程问题——环形路(教师版)

行程问题——环形路（教师版） 一、【本讲知识点】 在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。 二、【本讲经典例题】 【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇 ; 分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙； 2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇.【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇 ` （1）（2） 分析与解答： 根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。（250-200）×45=2250（米）。 同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。 【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇 '

分析与解答：具体分析见例题。 环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米）， 、 两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟）， 即经过6分钟后两人相遇。 【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙 分析与解答：具体分析过程略。15分钟。 【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米 ` 分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。 【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D 离B有30米。问这个花园一周长多少米 分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。 ） 分析与解答：具体分析过程见例题。440米。 【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问：小明环行一周要多长时间

上海五年级数学讲义1数学2-学生-行程问题之环形跑道问题

数学辅导讲义 学员学校：年级：小五课时数：2 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注 课题行程问题之环形跑道问题 授课时间：备课时间： 教学目标理解环形跑道问题即是一个封闭线路上的追及问题，通过对环形跑道问题分析，培养学生的逻辑思维能力 重点、难点1、环形跑道问题中的数量关系及解题思路的分析 2、理解环形跑道问题，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈，正确将环形跑道问题转化成追及问题。 考点及考试要求 应用题 教学内容

知识精要 本次课中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向 而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点直径两端同向：路程差nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和nS nS-0.5S 行程问题之环形跑道问题解题关键是： 环形跑道问题就是封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰好是一圈的长度。 1、掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题 热身练习 1、环形跑道的周长是800米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲的速度是每分钟400米，乙的速度是每分钟375米，多少分钟后两人第一次相遇？甲、乙两名运动员各跑了多少米？甲、乙两名运动员各跑了多少圈？

奥数行程问题大全

奥数行程问题 一、多人行程的要点及解题技巧 行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”： 这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t) 三个关系： 1.简单行程：路程=速度×时间 2.相遇问题：路程和=速度和×时间 3.追击问题：路程差=速度差×时间 牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。 如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程” 例：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？ 分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米） 第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟） 第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米） 我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。 总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！ 二、奥数行程：追及问题的要点及解题技巧 1、多人相遇追及问题的概念及公式 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 2、多次相遇追及问题的解题思路