求解函数定义域、值域、解析式
【课堂笔记】
知识点一 定义域、值域的定义
在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。
(1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。
注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。
(2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。
(4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。
(5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。
(7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有
意义的公共部分的集合。
(8)复合函数的定义域问题:
①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出;
②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。
【例1】求下列函数的定义域
(1)1+=
x y (2)x y -=
21
(3)0)1(21-+-=
x x
y
【例2】 求下列函数的定义域
(1)x
y ++
=
11
11; (2)1
42
--=
x x y ;
(3)2
3
2
-75
1
x x y +-=; (4)1
110
32---+=
x x x y
【当堂检测】 1. 函数x
x x y 4
32+--=
的定义域为( )
A. [-4,1]
B. [)0,4-
C. (]1,0
D. [)(]1,00,4?- 2.函数x x x y +-=
)1(的定义域为( )
A. }0{≥x x
B. }1{≥x x
C. {0}}1{Y ≥x x
D. }10{≤≤x x 3.求下列函数的定义域 (1)23)(+=x x f (2)x x x f -+
+=211)( (3)x
x x f ++-=511)(
知识点二 抽象函数(复合函数)的定义域
1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系,在同一对应关系作用下,不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式,其制约条件是一致的,即都在同一取值范围内。
2. 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ,则函数)()(x g f 的定义域是指满足不等式b x g a ≤≤)(的x 的取值集合。一般地,函数)()(x g f 的定义域为],[b a ,指的是],[b a x ∈,要求)(x f 的定义域,就是求],[b a x ∈时)(x g 的值域。
【例1】已知)(x f y =的定义域为]2,0[,求 ①)(2
x f ;②)12(-x f ;③)2(-x f 的定义域。
【例2】已知函数)1(2
-x f 的定义域为]1,0[,求)(x f 的定义域。
【例3】已知函数)(x f 的定义域为]1,0[,求)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域。
【当堂检测】
1、已知)(x f 的定义域为]2,0[,求)1(+=x f y 的定义域。
2、已知)1(+=x f y 的定义域为]2,0[,求)(x f 的定义域。
3、已知函数)1(+x f 的定义域为[-2,3),求)21
(+x
f 的定义域。
知识点三 函数解析式求法
1.待定系数法
当已知函数)(x f 的类型时,要求函数)(x f 的解析式,可先由其类型设出解析式,然后根据已知条件列方
程(组)求解。如已知)(x f 为一次函数,且其图像经过点(0,1)和(1,0),可设b kx x f +=)((0≠b ),
将已知点的坐标代入得??
?=+=01b k b ,解得此方程组得???=-=1
1
b k ,故1)(+-=x x f 。
【例1】 设1613)13()2(2
-+=++x x x f x f ,求)(x f 。
【例2】已知函数2
)(x x f =,)(x g 为一次函数,且一次项系数大于0,若25204)]([2
+-=x x x g f ,
求)(x g 的解析式。
【当堂检测】
1、若2627)))(((+=x x f f f ,求一次函数)(x f 的解析式。
2、若)(x f 是二次函数,且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。
2.配凑法
已知)]([x g f 的解析式,要求)(x f 时,可从)]([x g f 的解析式中拼凑出“)(x g ”作为整体来表示,再将解析式两边的)(x g 都用x 代替即可。如已知1)1(2
++=+x x x f (此解析式中的)(x g = 1+x ),求)(x f 时,
可整理2
2
)1(1)1(+=++=+x x x x f ,用x 代替等号两边的1+x ,得2
)(x x f =。
【例3】 已知23)1(2
+-=+x x x f ,求)(x f ;
【当堂检测】
1. 已知x
x x x x f 1
1)1(22++=+,求)(x f
2. 已知2)1
()1(x
x x x f +=-,求函数)(x f 的解析式;
3.换元法
令)(x g t =,等价变换为用t 表示x 的解析式。然后求出)(t f 的解析式,最后用x 代替等式两边所有的
t 即可。如已知1)1(2++=+x x x f ,令1+=x t ,则1-=t x ,所以221)1(2)1()(t t t t f =+-+-=,故
2)(x x f =。
【例4】 若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-,求)(x f 。
【当堂检测】
1. 已知2)1(2
++=+x x x f ,求)3(),()3(+x f x f f 及
2. 已知),0(5)1(2
≠+=x x x x
f 求)(x f 的解析式。
3.已知函数x x x f 21
+=+)(,求函数)(x f 的解析式。
4.方程组法
当关系式中同时含有)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1
(x f 时,常将原式中的x 用x -(或
x
1
)代替, 从而得到另一个同时含)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1(x
f 的关系式,将这两个关系式联立,解方程组解出)(x f 。如已知)0()1()(2≠-=+x x x f x f ,求)(x f 的解析式时,可将原式中的x 用
x
1
代替,可得)0(1)()1(2≠-=+x x x f x f ,解方程组???
???
?
-=+-=+x x f x f x x
f x f 1
)()1(2)1()(2得x x x f 3132)(+-=。 【例5】 设x x
f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式。
【当堂检测】
1.若,,4)43()34(2
2
b a x x bf x af ≠=-+-求)(x f 的解析式。
2. 已知)1,0(1)1()(≠+=-+x x
x
x f x f ,求)(x f 的解析式。
5.特殊值法
所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再利用已知条件,求出未知的函数。至于取什么特殊值,根据题目特征而定。
【例6】设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对任意实数y x ,有)12()()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式。
知识点四 函数值域的求法【重点、难点】
1. 观察法
通过对函数解析式进行变形,利用熟悉的基本函数的值域,求函数的值域。如求函数1
1
2+=x y 的值域,由02
≥x 得112
≥+x ,再求倒数得11
1
02
≤+ (1)}5,4,3,2,1{,12∈+=x x y ; (2)1+=x y 2. 配方法 对二次函数型的解析式可先进行配方,在自变量的取值范围内,求出二次函数的值域的方法,这就是配方法。 【例2】求函数245x x y -+=的值域。 3. 换元法 通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数划归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。 【例3】 求函数12-+=x x y 的值域。 4. 分离常量法 将形如 )0(ad bc ac b ax d cx y ≠≠++= 且的函数分离常数,变形过程为b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx +-+=+-++=++)(,再结合x 的取值范围确定b ax a bc d +- 的取值范围,从而确定函数的值域。 【例4】 求函数2 41 5+-=x x y 的值域。 5. 判别式法 将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数,使用此法要特别注意自变量的取值范围。 【例5】 求函数1 22+--=x x x x y 的值域。 【当堂检测】 求下列函数的值域: (1)52+=x y (2))5,1[,642∈+-=x x x y (3)R x x x y ∈++-=,4 1 24 (4)12--=x x y (5)5 31 2++=x x y 。 知识点五 函数定义域、值域的逆向应用 1. 函数定义域的逆向应用 定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向,在定义域已知的情况下,根据函数类型列出相应关系式,求出参数的范围。 【例1】 (1)若函数1 2 )1()1()(22++ -+-= a x a x a x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 (2)判断k 为何值时,函数1 28 22 ++-=kx kx kx y 关于x 的定义域为R 。 2. 函数值域的逆向应用 【例2】求使函数1 2 22+--+=x x ax x y 的值域为)2,(-∞的a 的取值范围。 知识点六 数学思想方法 方法一 分类讨论思想 【例1】 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域是R ,求实数m 的取值范围。 方法二 函数与方程思想 【例2】 求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域。 方法三 转化思想 【例3】 求函数x x y 21--=的值域。 第二部分:【小试牛刀】 1. (全国考高Ⅰ)函数x x y + -=1的定义域( ) A. }1{≤x x B. }0{≥x x C. }01{≤≥x x x 或 D. }10{≤≤x x 2. (全国高考)函数x x x +-= )1(y 的定义域( ) A. }0{≥x x B. }1{≥x x C. {0}}1{Y ≥x x D. }10{≤≤x x 3.(上海高考)函数16 )(2-++-= x x x x f 的定义域____________. 4. (江西高考)函数x x x x f 4 3)(2+--=的定义域______________. 5.求下列函数的定义域: (1)2 322---= x x x y (2)x x y -?-=11; (3)x y --=113 (4)2253x x y -+-= 6. 复合函数求定义域 (1)已知函数)(x f 的定义域为]23,21[- ,求)0)(()()(>+=a a x f ax f x F 的定义域。 (2)已知函数)12(+x f 的定义域为(0,1),求)12(-x f 的定义域。 7. 已知x x f x xf 2)11 ()(2=-+,求函数)(x f 的解析式。 8.(1)已知64)1(2 -+-=-x x x f ,求)(x f 的解析式; (2)已知2 2 11)11(x x x x f +-=+-,求)(x f 的解析式; (3)设)(x f 的定义域在(1,+∞)上的一个函数,且有1)1(2)(-=x x f x f ,求)(x f 的解析式。