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球壳和球体的转动惯量求解

薄球壳转动惯量

令薄球壳质量为m 质量面密度为24R m πρ= 球壳可被看作由许多个小圆环构成

如右图所示选取其中一小圆环考虑，该小圆环的质量 θθπρρRd R dS dm ??==)sin (2

则该质量元的转动惯量

θθπρθd R dm R dJ 342sin 2)sin (==

整个球壳的转动惯量

40340

343

24/)cos 33/3(cos 2sin 2sin 2m R R d R d R dJ J =-====???ππ

πθθπρθ

θπρθ

θπρ

球体转动惯量

如右图所示的球面坐标系中选取任一体积元作为质量元，该体积元的体积

φθφφθφd drd r dr rd d r dV sin sin 2=??= 其质量：

φθφππd drd r R

m dV R m

dm sin 3434233== 对OZ 轴的转动惯量：

φθφπφd drd r R

m dm r dJ 3432sin 34)sin (== 整个球体的转动惯量： ??????===V R mR d r R m d dr dJ J ππ

φφπθ023*******sin 34 θθ

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表

对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。角加速度与合外力矩的关系：

角加速度与合外力矩式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量的表达式为I=∑ mi*ri^2，若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成I=∫r^2dm=∫r^2ρdV(式中mi表示刚体的某个质元的质量，ri表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。)转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。平行轴定理平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加

(完整word版)转动惯量计算公式

1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材：341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ? ? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： ()) s cm (kgf 2g w 1 22 22 1?? ??? ???????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)

6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 ???? ??++=2221g w 1R J i J J t J 1，J 2-分别为Ⅰ轴， Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)； R-齿轮z 分度圆半径(cm)； w-工件及工作台重量(kgf)。马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩： 0f amax M M M M ++= (2) 最大切削负载时所需力矩： t 0f t a M M M M M +++= (3) 快速进给时所需力矩： 0f M M M += 式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m)； M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m)； M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m)。在采用滚动丝杠螺母传动时，M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下： (4) 加速力矩： 2a 106.9M -?= T n J r (kgf·m) s T 17 1= J r —折算到马达轴上的总惯量； T —系统时间常数(s)； n —马达转速( r/min )；当 n = n max 时，计算M amax n = n t 时，计算M at n t —切削时的转速( r / min )

新版-转动惯量计算公式

转动惯量计算公式 1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材：341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ?? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： ()) s cm (kgf 2g w 122 221??? ??? ??????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)

转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量与刚体定轴转动定律先阐明几个概念：刚体：简单的说，即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型，刚体的特征是有质量、大小和形状，而在处理时我们往往不考虑其形变（但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况）。力矩：和力类似，并不好直接定义，可以简单的认为是力乘以力臂或者M F r =?（关于叉乘，请自行百度）。转动惯量：度量转动时惯性的量。详见后文。下面是准备工作：定理：无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证： ①考虑两个质点的系统：如图，由牛顿第三定律， 120F F +=，且1221()F F r r - 而，合力矩=1221121()0F r F r F r r ?+?=?-= 成立。 ②假设，含k 个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含（k+1）个质点的无外力系统，

分为两组，一组含k 个质点，另一组则为第（k+1）个质点。含k 个质点的一组，其内力的合力矩为而该组任一质点与第（k+1）个质点的相互作用合力矩也为 0 故含（k+1）个质点的无外力系统其内力的合力矩为 0 因而，无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 0 推论：对系统施加M 的外力矩，有i M M =∑ （i M 为系统内第i 个质点所受力矩。）证：将施加外力的质点纳入系统，由上，则有，0i M M -+=∑ 故，i M M =∑ 刚体定轴转动定律：M I β= （M 为合外力矩，β为角加速度，I 为转动惯量（见下）。） ①考虑只有一个质点，由牛顿第二定律： ()r F ma m a a θ==+ （其中，,r a r a r θ⊥）则 2 ()()[()()]r F r m a a ma m r r m r r r r mr θθββββ ?=+==??=-= 『1』 ②考虑多个质点时，对于系统中第i 个质点，

转动惯量

转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成 (式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。)[2] 转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。 2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达. 设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量

常用物体的转动惯量与扭矩的计算

附录1.常用物体转动惯量的计算角加速度的公式a = (2n /60) /t 转矩T=J* a =J*n*2 n /60) /t a -弧度/秒t-秒T -Nm n-r/min 图i矩形结构定义以a-a为轴运动的惯量: 惯量的计算: / W 为为为位位位单单单量积度质体密 m v / m 1 2 公式中: 以b-b为轴运动的惯量: 圆柱体的惯量图2圆柱体定义 m = Vx3 V=Lxhxw 矩形体的计算

m = Vx3 Di r =— 2 J旳严尽匹 2 8 m = Vx3 4 _ m x (Do2+ Di2) Jx— ----------------- m '(Po2+D2) _L2> 1t 4+_3 > 摆臂的惯量 TTD I2 "T~ xt (Di2r、 3 丿空心柱体惯量图3空心柱体定义

图4-1摆臂1结构定义图4-2摆臂2结构定义J = m.R2 曲柄连杆的惯量

图5曲柄连杆结构定义带减速机结构的惯量图6带减速机结构定义齿形带传动的惯量J = m R? + rm n2 J M:电机惯量 J L :负載惯量 J L^M :负载惯量折算到电机侧的惯量M L :负载较矩 J R:减速机折算到输入的愤量 R :减速比 r]R :减速机效率 R= — = - = Ry.&L 3w= R X3L 9L Q}L ■总-惯量: ■折算到电机侧的力矩: M, Mz"%彷R片 R J M卡J R +J I J W ■根据能量守恒定律；

图7齿形带传动结构齿轮组减速结构的惯量 J M :电机惯量 J L :负载惯量 Mi :负载力矩 J PM :电机侧带轮惯量 □PM :电机侧带轮直径 N TM :电机侧带轮齿数 JPL :负载侧带轮惯量 □PL :负载带轮直径 N TL :负载带轮齿数 q :减速机效率 me :皮带质量 M L J M :电机惯量 J L :负載惯量 M L :负载扭矩 J GM :电机側齿轮惯量 N IM :电机侧齿轮齿数 J GL :负载齿轮惯量 N R :负载齿轮齿数 n :减速机效率图8齿轮组传动结构滚珠丝杠的惯量 J 叫叭皿6ljwljml JpL> D R L + 6M = /?x Q L CO JW = R^UJ L D PL 时7> ■折算到电机扭矩: /Wi. T M 二 R=— eM=RxQL N TM ■折算到电机力矩:

转动惯量计算过程

转矩给定百分之十的卷取电机转速曲线，电机参考转速2000rpm，电机参考转矩3008Nm ，根据公式M-Mf=J*△ω/△T 。 △ω=0.09484*2000*2*π÷60=19.863 rad/s △T=2s M=0.1*3008=300.8Nm 300.8－M f＝J*〔19.863÷2 〕①

转矩给定百分之十五的卷取电机转速曲线，电机参考转速2000rpm，电机参考转矩3008Nm ，根据公式M-Mf=J*△ω/△T 。 △ω=0.14735*2000*2*π÷60=30.861rad/s △T=2s M=0.15*3008=451.2Nm 451.2－M f＝J*〔30.861÷2 〕② 根据式①②得到J=27.351 kg·m2M f＝29.161 Nm

根据圆柱刚体绕圆心轴旋转的转动惯量公式：J=mr2÷2 ，假设钢卷外径D1米，内径D2米，带钢宽度b米，密度ρkg/m3, 传动比i 。钢卷的实时转动惯量 J1=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 钢卷的实时转动惯量转换到电机侧 J2=J1÷i2=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 ÷i2③ 例如钢卷外径D1=1米，钢卷内径D2=0.508米，带钢宽度b=1米，密度ρ=7800kg/m3，传动比i=8，线加速度10米每分钟每秒，那么J2=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 ÷i2 =3.14*1*7800*(1-0.0666) ÷32÷64=11.17 kg·m2 此时的转动惯量总和：J=27.351+11.17=38.521kg·m2 角加速度：△ω/△T=10÷（π* D1）*i *2π÷60=2.667 rad/s2 转动惯量力矩：M= J*△ω/△T=38.521*2.667=102.7355Nm

转动惯量公式表

转动惯量公式表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径对于立方体当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外，β为。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。

转动惯量计算方法

实验三刚体转动惯量的测定转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。实验目的： 1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法； 2、熟悉电子毫秒计的使用。实验仪器：刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。仪器描述：刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。实验原理：空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物

体）后的总转动惯量用J 表示，则试样的转动惯量J 1 ： J 1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知： T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力 1．测量承物台的转动惯量J o 未加试件，未加外力（m=0 , T=0）令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2 m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得 J o = 21 2212mr mgr ααααα--- (6) 测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。 2．测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8) ∴ J = 23 4434mr mgr ααααα--- (9) 注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。 3．测量的原理设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2 2 1t α (10) 测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2 由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11) θ2=ωo t 2 + 2 22 1t α (12) 得 2 2 11222112) (2t t t t t t --= θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2）

转动惯量实验报告

转动惯量实验报告一．实验目的 (1) 学会用落体法转动实验仪测定刚体的转动惯量； (2) 研究刚体的转动惯量与形状、大小及转轴位置的关系。三．实验仪器描述本实验所用NNZ-2型刚体转动实验仪由主机和测量仪表与拉线牵引台辅机及待测刚体球、环、盘、棒等组成。主机包括基础转盘和测量传感器；辅机由转数表和计时表、拉线、悬臂及砝码。四．实验内容 1.测量基础转盘的转动惯量 2.测量圆环(戒圆盘)的转动惯量 3.测双球的转动惯量并用球体验证平行移轴定理。五．测量及实验步骤 1.测量基础转盘的转动惯量：将主机上的霍尔传感器输出端插头和电磁铁及电插头，插入辅机的对应插口。将砝码托盘上的挂线穿过悬臂上的滑轮并使其一端固定在转轴上。（1）调节好主机和辅机的高度，使拉线与悬臂轴线平行，为此，悬臂上设有两个定位钉，使拉线通过两个定位钉即可。（2）打开辅机上的电源开关，这时电磁铁会自动将基础转盘锁住。我们已将转数设为16个脉冲，即测量转2周的转动时间。（3）绕线与测试准备--测试键-完成测试：主机因电磁铁失电而解锁，砝码从静止开始下落，刚体转动2周后，电磁铁自动吸合，重新锁紧转动的刚体，并显示刚体转动2周的下落时间。绕线键-主机解锁，重新绕线，绕线合适位置后完毕按下准备键，仪表全部数据归零，做好测量准备，主机（转动刚体）通过电磁铁被锁紧；按下测试键,再次测试转动2周的时间。这里要特别强调，绕线到合适位置的含义。因为我们要测出刚体完整转动2

周的时间，霍尔传感器给出开始和结束讯号的位置就必须是同一位置，这是减少误差的重要环节。（4）测试在砝码托盘上放200g砝码，然后点按一下测试键，电磁铁失电，砝码带动刚体作匀加速转动，计时仪表开始计时，当刚体转动2周结束时，电磁铁将自动重新转盘锁住并停止计时。把这一时间记彔在表格上。按表格要求，重复测量5次。（5）在砝码托盘上放300g砝码，重复上述步骤。 2、测量圆环的转动惯量：（1）将圆环对准基本盘的定位钉将其放好。（2）按测量基础盘转动惯量的步骤（1）--（5）完成测量并记彔好有关数据。 3、用球体验证平行移轴定理：（1）将两个圆球分别放置在基础盘的对称的两个圆孔中。（2）按测量基础盘转动惯量的步骤（1）--（5）完成测量并记彔好有关数据。六、记录表格下面的记彔表格已表明实验的流程：对每个待测物体，每加一次力都重复5次测量,求出时间平均值。其它表格自行设计。

常见均质刚体转动惯量的研究

常见均质刚体转动惯量的研究胡辰（陕西理工学院物理与电信工程学院物理学104班，陕西汉中 72300）指导老师：王亚辉 [摘要]本文通过对常见均质刚体转动惯量的研究，利用刚体在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。通过对该模型转动惯量参量的变换，可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。这将方便了我们对转动惯量的计算和使用。 [关键词]均质刚体；转动惯量；模型引言转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。其量值取决于刚体的形状、质量分布及转轴的位置。对于转动惯量国内外主要集中于对其计算方法上的研究。文献中，对于转动惯量的计算主要有一下几种方法：积分法、质量投影法[1] 、垂直轴定理、平行轴定理、组合法[2] 、标度变换法[3] 、量纲分析法[4] 等。本文在刚体质量、转轴相同情况下，从形状入手。首先对常见均质刚体转动惯量进行计算与分析，利用不同刚体间在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。通过对该模型转动惯量参量的变换，便可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。这将使在使用过程中，我们只需要记住几个刚体模型转动惯量的表达式，就可以在应用中很方便地推出其它相关刚体的转动惯量，减小了工作量，使转动惯量使用更加容易和方便。 1 转动惯量概念的导出及其物理意义若各质点绕共同的Z 轴作圆周运动，质点系对Z 轴角动量写作 i i i z v m r L ∑= （1.1）将该式用于刚体，则刚体对轴角动量为 t v m L i i z ∑=，因i z i r t v ω=，故有 ()z i i z r m L ω∑= 2 等式右方括号内为各质元质量与其到转轴垂直距离平方成积之和， ∑2 i i r m 叫作刚体对它转动轴z 的转动惯量，用z I 表示[5] ?∑==dm r r m I i i z 22 （1.2）转动惯量的单位是：2 m kg ? ，量纲为2 ML 转动惯量的物理意义可从刚体对转动轴角动量与平动动量的对比中得出，转动惯量相当于惯性质量m ，转动角速度对应于平动速度v ，诸如此类的对应关系还有，如：转动动能 22ωI E k =对应于平动动能22νm E k =，动量守恒定律∑=c mv （常量）对应于 ∑=c I ω（常量）[6]，定轴转动定理αI M =对应于牛顿第二定律ma F =[7]。从这种相比

转动惯量的计算

说明：本文《转动惯量的计算》特地收集贡献出来供各位工程技术人员在参阅本人劣作《风机动平衡调试方法》时参考。深圳华晶玻璃瓶有限公司工程部（动力车间）李宜斌编辑 2010-10-21 转动惯量的计算转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。单个质点的转动惯量：I = m× r2. 质点系的转动惯量：I = Σ m i×r i2. 质量连续分布的刚体的转动惯量：I = ∫m r2dm。以上各式中的r理解为质点到转轴的距离。刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) ，得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一物体在运动中的属性m和r都是不变的，所以把关于m、r用一个变量K代替, K=mr^2 ,得 E=(1/2)Kw^2 .K就是转动惯量。分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？ 1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量 2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。 3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。 4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 。所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。补充转动惯量的计算公式：转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。对于杆：当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12。其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3。其中m是杆的质量，L是杆的长度。对于圆柱体：当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2，其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。转动惯量定理： M=Jβ。其中M是扭转力矩, J是转动惯量，β是角加速度

刚体定轴转动定律

例：均质球体对其直径的转动惯量解：dz r dV 2π= ，dz r dV dm 2ρπρ== 3 34R m πρ=，dm r dI 221 =， ????===dz r r dm r dI I 22 22121 ρπ =??--=-R R R z R dz z R 0 222222)()(21ρπρπ =?+-=+-R R R R dz z z R R 05554224)5132 ()2(ρπρπ252 mR = 三、两个定理 1、平行轴定理 m h 2 mh I I C O +=，C ：质心 02>mh ，C O I I > O C C I ：最小均质细杆2121 ml I C = 2/l m 、l 2mh I I C O += O C =22231 )2(121ml l m ml =+ 均质圆盘221 mR I C = 2mR I I C O +==22223 21mR mR mR =+， 2、薄板的垂直轴定理 ∑?=2 i i z r m I =∑+?)(2 2i i i y x m =∑∑?+?2 2 i i i i y m x m ， =x y I I +， x

第4节刚体定轴转动定律一、推导 i F +i f =i i a m ? βi i it i it it r m a m f F ?=?=+ ∑∑∑?=+β)(2i i it i it i r m f r F r ∑=it i F r M 合外力矩 ∑it i f r 合内力矩，∑it i f r 0≡ dt d I I M ωβ==，dt d I I M ωβ == 刚体定轴转动定律注意： 1、M ，I 对同一转轴的 2、(1)已知)(t θθ=，求22dt d I I M θβ== (2)已知M 及初条件求β、ω、)(t θθ= 二、I 的物理意义 βI M =，β I M =?a m F = 当0=M 时C =?=?ωβ0，转动惯性 M 一定，I 大，β小，转动惯性大；I 小，β大，转动惯性小转动惯量是刚体转动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度演示试验：两个刚性柱体，质量和外径相同例：均质圆盘（m ，R ），1m >2m ，阿特武德机求：盘的β，1m ，2m 的加速度a 解：a m T g m 111=- （1） a m g m T 222=- （2） 1 ββ2212 1mR I R T R T ==- （3） 1 βR a = （4） a a （3）ma mR T T 2 12121==-?β（5） m 2g 1 a m m m g m g m )2 1(2121++=-

球壳和球体的转动惯量求解

转动惯量公式表

(完整word版)转动惯量计算公式

新版-转动惯量计算公式

最新转动惯量计算公式

转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量

常用物体的转动惯量与扭矩的计算

转动惯量计算过程

转动惯量公式表

转动惯量计算方法

转动惯量实验报告

常见均质刚体转动惯量的研究

转动惯量的计算

刚体定轴转动定律