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线性代数练习册附答案

第1章矩阵习题

1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==0

11y x

x ； (2)

?+=-=?

?cos sin sin cos 11y x y y x x

2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.

3. 设????? ??--=111111111Α，???

? ??--=150421321

B ，求3AB -2A 和A T B .

4. 计算

(1) 2

210013112????

? ??

(2) ????

? ???????

??1)1,,(2

22212

11211y x c b b b a a b a a y x

5. 已知两个线性变换 3213

32123

11542322y

y y x y y y x y y x ++=++-=+=???

??,

???

??+-=+=+-=323

3122

11323z

z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.

6. 设f (x )=a 0x m

+ a 1x

m -1

+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A

m -1

+…+ a m E .

当f (x )=x 2

-5x +3，???

??--=3312A 时，求f (A ).

7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2

= O ，则A = O .

(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .

7. 设方阵A 满足A 2

-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．

8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：

(1)???

??------=132126421321A

(2)?????

? ??------=033414312101

10122413B .

9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.

? ??--=121121322101A ~

22r r -???

??---1211233

02101~13c c +???

??--131123302001=B .

10. 设ΛAP P =-1，其中???? ??--=11

41P ，???

? ??-=2001Λ，求A 9

11. 设???

??-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .

12. 设

102

212

533

, 利用初等行变换求A-1.

复习题一

1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（）. (A ) ACB =E ； (B ) CBA =E ； (C ) BAC =E ； (D ) BCA =E .

2. 设????

??=3332

232221

131211a a a a a a a a a A ,????

??+++=133312

3211311312

2221

a a a a a a a a a a a a B , ?

???

? ??=1000010101P ,???

??=1010100012P ，则必有 ( ) .

(A ) AP 1P 2=B ；（B ）AP 2P 1=B ； (C ) P 1P 2A =B ； (D ) P 2P 1A =B .

3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设

???????

?=00

010*******

1000

1P ，?????

?=10

000010010

000

012P ，则C -1=（）. (A) A -1P 1P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.

4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（）. (A) A -E 不可逆； (B) A -2E 不可逆； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.

5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求C n .

6. 证明：如果A k

=O ，则(E -A )-1

=E +A +A 2+…+A k -1

，k 为正整数.

7.设A ,B 为三阶矩阵,?????

? ?

?=710

00410

003

1A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .

8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1

-???

??O O B A .

9. 设???

???

??=-000

00000000000

012

n n a

a a a X （021≠n a a a ），求X -1.

第2章行列式

习题

1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组

???

??=-+-=-+-=+-0

13222321

321321x x x x x x x x x

2.当x 取何值时，00104

3≠x

x x

3.求下列排列的逆序数：

(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).

4. 证明： 3232a c

b a b a a

c b a b a a

b a

=++++++.

5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.

6. 计算下列行列式:

(1)

11111111111111------

(2)

x x y x y y x y x

+++

(3)

111

101111011110

(4) 1

312

111x x x x x x

（5）n

n a a a D +++=

1111

1121

，其中021≠n a a a ．

7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：|A*|=|A|n-1，(n ≥2)．

8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算|-2A*B-1|．

9.设???

? ??--=11101

2112A ，利用公式求A -1.

复习题二

1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．

2.设??????

?-=22

000200003

40043A ，求A -1

．

3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3?1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．

4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：AB E E

A B

E -=．

第3章向量空间

习题

1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．

2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.

3. 判别下列向量组的线性相关性:

(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；

(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T .

4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．

5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.

6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.