四川省成都市“五校联考”2019届高三上学期九月联考试题 数学(理)

成都市“五校联考”高2019级第五学期九月考试题

数学（理）

时间120分钟总分150分

命题人：陈维军 审题人：张尧 何军

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．已知集合{}1,A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是

A ．1

A i ∈

B ．

11i

A i

-∈+C ．5i A ∈D ．i A -∈ 2．已知集合{}|2,0x M y y x ==>，{}

2|lg(2)N x y x x ==-，则M

N 为

A ．（1，2）

B ．（1，+∞）

C ．2，+∞）

D ．1，+∞）

3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

A ．①③

B ．②④

C ．①②

D ．③④

4．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增， 若实数a 满足)2()2

(|

1|->-f f a ，则a 的取值范围是

A ．)2

1,(-∞B ．),2

3()2

1,(+∞-∞ C ．)2

3,21( D ．),2

3(+∞

5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数

A ．21()21

x x f x -=+B ．cos ()x f x x =()22x ππ

-<< C ．()x f x x

=

D ．22

()ln(1)f x x x =+ 6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 7．下列命题中是假命题的是

A ．,R ??∈，使函数()sin(2)f x x ?=+是偶函数;

B ．,R αβ?∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+;

C ．,m R ?∈，使2

43

()(1)m

m f x m x -+=-?是幂函数，且在(0,)+∞上递减;

D ．,,lg()lg lg a b R a b a b +?∈+≠+． 8

如图所示，则=d c b a :::

A ．1:6:5:(8)-

B ．1:6:5:8

C ．1:(6):5:8-

D ．1:(6):5:(8)--

的图象，只需把函数()f x 的图象

10．若直线ax ﹣by +2=0（a ＞0，b ＞0

）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0截得的弦长为4

，则11

a b

+的最小值为（ ）

A .

B ．

C ．

32+ D ．3

2

+11．若点P 是曲线2

ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为

A ．1

B

C ．

2

D 12．已知函数?????<-+-+≥-+=0

)3()4(0

)1()(2

222

x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a R ∈，若对10x ?≠， 212()x

x x ?≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为

A ．8-

B ．6-

C ．6

D ．8

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）． 13．计算=+25.0log 10log 255__ ▲▲▲ ．

14．已知2()1log (14)f x x x =+≤≤，设函数2

2

()()()g x f x f x =+，

则max min ()()g x g x -=__ ▲▲▲ ．

15．若函数2()f x x =的定义域为D ，其值域为{}0,1,2,3,4,5，则这样的函数()f x 有__ ▲▲▲ ．个．（用数字作答）

16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点

123,,P P P ……10P ,则123(AF AP AP AP ++++10)AP =__ ▲▲▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222

x

x x m n =-=，函数()1f x m n =?+．

（1）若[0,]2

x π

∈，11

()10

f x =

，求cos x 的值；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求角B 的取值范围．

18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为R 的函数：

2123()1,(),()sin f x x f x x f x x =+==，42()log )f x x =

56()cos ,()sin 2.f x x x f x x x =+=-

（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A 为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A 的概率；

（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望E ξ．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，P A =1，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点． （1）求证：BE ∥平面PDF ；

（2）求证：平面PDF ⊥平面P AB ；

（3）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率e =，且点(2,1)P 在椭圆C 上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点A 、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．求AOB ?面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x mx =-()m R ∈．

（1）若曲线()y f x =过点(1,1)P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；

（3）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ?>

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分． 22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 外一点，过P 点作PC ⊥AB 于C ，交圆O 于D 点，P A 交圆

O 于E 点，BE 交PC 于F 点．

（1）求证：∠P =∠ABE ； （2）求证：CD 2=CF ·CP ．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为

???

?

??

?==.tan 1;tan 12??y x （?为参数），曲线C 2的极坐标方程为：1)sin (cos =+θθρ，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．

（1）求|AB |的值；

（2）求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．

2019届高三数学六校联考（理科数学）

参考答案

一.选择:（12×5=60）

二：填空(4×5=20)

13. 2 14 5 15. 243 16. 180

三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）()21cos cos cos 112222

x x x x f x x +-+-+

=()

111cos sin 2262x x x π-+=-+

………2分

()()3

11,sin 1065f x x π=∴-=，又

()

40,,,,cos 266365x x x πππππ????∈∴-∈-∴-=???????? ……4分

()()()

cos cos cos cos sin sin 666666x x x x ππππππ??∴=-+=---????

………6分

（Ⅱ）由2cos 2b A c ≤-得2sin cos 2sin B A C A ≤-…………………8分

()2sin cos 2sin B A A B A ∴≤+

(

)2sin cos 2sin cos cos sin B A A B A B A ∴≤+ ………10分

(

2sin cos ,cos 0,6A B A B B π?∴∴∴∈??

………12分 18． 解：（1）由题意得34(),()f x f x 是奇函数，256(),(),()f x f x f x 为偶函数，1()f x 为非奇非偶函

数，所以P （A ）=2

2261

15

C C =………………（4分）

（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为1,2,3,4

P （1ξ=）=1

3161

2C C =,P （ξ=2）=11331165C C C C =310,P （3ξ=）=111323111

654C C C C C C =320, P （4ξ=）=111

323111165431

20

C C C C C C C =………………（8分）

所以ξ的分布列为：

(10)

所以E ξ=112

?

+2?310+3?320+4?120=74

。………………（12分） 19． 解：（Ⅰ）证明：取PD 中点为M ，连ME ，MF ．

∵E 是PC 的中点∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME 平行且等于

．∵F 是AB 中点且ABCD 是菱形，∴AB 平行且等于CD ，∴ME 平行且等于

．

∴ME 平行且等于FB ∴四边形MEBF 是平行四边形．从而BE ∥MF ． ∵BE ?平面PDF ，MF ?平面PDF ，

∴BE ∥平面PDF ．……………………（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，DF ?平面ABCD ， ∴DF ⊥PA ．连接BD ，

∵底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△DAB 为正三角形． ∵F 是AB 的中点，∴DF ⊥AB ． ∵PA ∩AB =A ，∴DF ⊥平面PAB ．

∵DF ?平面PDF ，∴平面PDF ⊥平面PAB ．……………………（8分）

（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P （0，0，1），C （，3，0），D （0，2，0），

F （，，0）由（Ⅱ）知DF ⊥平面PAB ，

∴

是平面PAB 的一个法向量，设

平面PCD 的一个法向量为 由

，且由

在以上二式中令，则得x =﹣1，

，

∴

．设平面PAB 与

平面PCD 所成锐角为θ，则cos θ==

故平面PAB 与平面PCD 所成的锐角为60°．……………………（12分）

20． 解：（1

）由题意得：222224

11c e a a

b a b

c ?==?

?

?+=???=+?? ………2分

a b ?=?∴?=??所以椭圆C 的方程为22163x y += ………4分 （2）①法一、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k

则22

112222

12122

2

22163

06316

3x y x x y y x y ?+=?--?∴+=??+=??0022063

x y k ∴+?=………6分

又直线OP :12y x =

,M 在线段OP 上, 所以001

2

y x =所以1k =-………8分 法二、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为00()y y k x x -=-，

则00222220000()

(12)4()2()6016

3y y k x x k x k y kx x y kx x y -=-??

∴++-+--=?+=??

由题意，0?>所以00122

4()

12k y kx x x k

-+=-

+ ………6分 00022()12k y kx x k -∴=-+又直线OP :1

2

y x =,M 在线段OP 上,

所以0012

y x =，所以212()

21112k k k k --

=∴=-+ ………8分 法三、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+

则22222(12)426016

3y kx m

k x kmx m x y =+??

∴+++-=?+=??

由题意，0?>所以122

412km

x x k

+=-

+ ………6分 02212km x k ∴=-+()i 又直线OP :1

2y x =,M 在线段OP 上,

所以001

2

y x =()ii M 在直线AB 上∴00y kx m =+()iii

解()i ()ii ()iii 得：1k =- ………8分 设直线AB 的方程为y x m =-+，(0,3)m ∈

则222

2

34260163y x m

x mx m x y =-+??∴-+-=?+

=??，所以1221204326

3m x x m x x ?

??>??+=???-=

??

………9分

所以12|AB x x - ,

原点到直线的距离d =

…10分

OAB S ?∴=

=

当且仅当(0,3)m =

时，等号成立.，所以AOB ?

分 21． 解：（1）因为点P （1，﹣1）在曲线y =f （x ）上，所以﹣m =﹣1，解得m =1． 因为f ′（x ）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y =﹣1．……（3分） （2）因为f ′（x ）=﹣m =

．

①当m ≤0时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（1，e ）上单调递增，

则f （x ）max =f （e ）=1﹣me ． ②当

1

m

≥e ，即0＜m ≤时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＞0， 所以函数f （x ）在（1，e ）上单调递增，则f （x ）max =f （e ）=1﹣me ．

③当1＜

1

m

＜e ，即＜m ＜1时， 函数f （x ）在（1，1m ）上单调递增，在（1

m ，e ）上单调递减，

则f （x ）max =f （1

m

）=﹣lnm ﹣1．

④当1

m

≤1，即m ≥1时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＜0，

函数f （x ）在（1，e ）上单调递减，则f （x ）max =f （1）=﹣m ． 综上，①当m ≤时，f （x ）max =1﹣me ； ②当＜m ＜1时，f （x ）max =﹣lnm ﹣1；

③当m ≥1时，f （x ）max =﹣m ．……（8分）（分类时，每个1分，综上所述1分） （3）不妨设x 1＞x 2＞0．

因为f （x 1）=f （x 2）=0，所以lnx 1﹣mx 1=0，lnx 2﹣mx 2=0， 可得lnx 1+lnx 2=m （x 1+x 2），lnx 1﹣lnx 2=m （x 1﹣x 2）．

要证明x 1x 2＞e 2

，即证明lnx 1+lnx 2＞2，也就是m （x 1+x 2）＞2． 因为m =，所以即证明＞

，

即ln

＞

．令

=t ，则t ＞1，于是lnt ＞

． 令f （t ）=lnt ﹣（t ＞1），则f ′（t ）=﹣

=

＞0．

故函数f （t ）在（1，+∞）上是增函数， 所以f （t ）＞f （1）=0，即lnt ＞

成立．所以原不等式成立．…（12分）

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、证明：（Ⅰ）090AEB ACP ∠=∠=，所以在Rt ACP ?中，

90;P PAB ∠=-∠在Rt ABE ?中,90;ABE PAB ∠=-∠所

以

.P ABE ∠=∠……………………………….5分

（Ⅱ）在ADB Rt ?中，2CD AC CB =?，由①得BCF ?∽PCA ?,

∴

BC CF

PC AC

=

, ∴2CD BC AC CF CP

=?=?,所以CD 2=CF ·CP 。………………….10分

23． 解：(Ⅰ)21:(0),C y x x =≠2:10C x y +-=,则2C 的参数方程为：

1,2(2.2

x t y ?=--???

?=+??为参数）

，代入1C 得0222=-+t t ， 104)(2122121=-+=-=∴t t t t t t AB …………6分

(Ⅱ)221==?t t MB MA . ……….10分 24

．

解

：（

Ⅰ

）

a =时，

()|1|||f x x x =+-=1,

121,101,0x x x x -<-??

+-≤

，……（2分）

∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意；……（3分）

当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得1

02

x -≤<；……（4分）

当0x ≥时，()10f x =>符合题意．……（5分） 综上，()0f x ≥的解集为1

[,)2

-+∞．……（6分）

（Ⅱ）设()|1|||u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图：……（8分）

易知()y u x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．……（10分）