济南外国语学校高中部2010年面向全省招生考试数学试题

济南外国语学校高中部2010年面向全省招生考试

数 学 试 题（10.5）

时间：100分钟 满分：100分

一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1、下列运算中，结果正确的是 ( ) （A ）12

4

3

a a a =? （B ）5210

a a a

=÷

（C ）5

3

2

a a a =+ （D ）a a a -=-54

2、不等式组??

?

??+-≤>+232

01x x x ，该该不等式组的最大整数解是( ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在

3、下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（ ）

4、如图两个全等的正六边形ABCDEF ，PQRSTU ，其中点P 位于正六边形

ABCDEF 的中心，如

果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是（ ）

A ．2

B ．1

C ．3

D ．4

5、如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的

边长均为1厘米， 则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．

A ．

B ． D ．

C.

（A ）

2

1

（B ）22 （C ）2 （D ）22

6、6y x =-与函数()4

0y x x

=

>的图象交于A 、B 两点，设点A 的坐标为()11,x y ，则边长分别为1x 、1y 的矩形面积和周长分别为（ ） A. 4，12 B. 4，6 C. 8，12 D. 8，6

7、如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y ＝kx 2

＋bx －1的图像大致是（ ）

8、

.如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中一定正确的是 A ．②④ B ．①③

C ．②③

D ．①④

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二．填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）

(第8题图）

A

B C D E F

B

B 9、对于任何实数，我们规定符号

c a d

b 的意义是：

c a d

b =b

c a

d -．按照这个规定请你

计算：当0132=+-x x 时，

21-+x x

1

3-x x 的值=

10、抛掷一红、一蓝两颗骰子，则向上的点数之和为7点的概率为

.

11、将点A （0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B ， 则点B 的坐标是 ．

12、如图，△ABC 中，D 是AC 边的二等分点，E 是BC 边的四

等分点，F 是BD 边的二等分点，若S △ABC =16，则S △DEF =

13、设α、β是方程0192

=++x x 的两根，则)1)(1(2

2

++++ββαα的值是 14、如图，在正方形ABCD 的边AB 上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD 的边长为1，那么第n 个正方形的面积

为 ． 15、设二次函数c bx ax y ++=2

，当x=3时取得最大值10，并且

它的图象在x 轴上截得的线段的长为4，则当x=1时y= . 三．解答题(共5大题，共48分，写出必要的解答步骤) 16、（本小题满分8分）

（1）化简求值： －|22－5|－22+18－

30tan 1

212+-+

（2）计算：已知4,6-=+=y x xy ,求 x

y y y

x

x +的值

17、（本小题满分8分）定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．

（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x 轴、y 轴的交点，其中0m >，且O A B △的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数.

18、（本小题满分10分）

九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金

材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验:

请根据以上图案回答下列问题:

(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m ,当AB 为1m ,长方

形框架ABCD 的面积是 m 2；

(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m ,设AB 为x m ,长方形框架ABCD 的面积为

S ＝ (用含x 的代数式表示)；当AB ＝ m 时, 长方形框架ABCD 的面积S 最大；

在图案(3)中，如果铝合金材料总长度为l m ，设AB 为x m ，当AB ＝________m 时，长方形框架ABCD 的面积S 最大.

(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律． 探索：如图案(4)，如果铝合金材料总长度为l m 共有n 条竖档时，那么当竖档AB 多少时，长方形框架ABCD 的面积最大?

图案（1） 图案（2） 图案（3）

图案（4）

…

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19、（本题满分10分）

如图所示，以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？

并在此条件下求sin∠CAE的值.

20、（本题满分12分）

如图，抛物线y = —2x 2 +x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．

（1）求线段AB长；

（2）证明：OP=PC；

（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，⊿OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，⊿PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使⊿PBC成为等腰三角形的点P的坐

标；如果不可能，请说明理由．

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2010年面向全省招生考试数学试题答案

一、D 、C 、B 、B 、B 、A 、B 、D 二、9、1 10、

6

1

11、 )4,4(- 12、3 13、64 14、12

1

-n 15、0

三、16、解：（1）原式=22-5-4+32-（2+1）2

+

3

3

=52-9-3-22+33

=-12+32+

3

3

(2) 由题意知x ＜0，y ＜0 原式=x

y y

y

x x

--+--

=x xy y y xy x -+- =-)(

x

y

y x xy + =xy

xy y x xy

2)(2-+-

=3

62-

17、解：（1） 特征数为[22]k -，的一次函数为22y x k =+-，

20k ∴-=，

2k ∴=

（2） 抛物线与x 轴的交点为12(0)(20)A m A -，，

，，与y 轴的交点为(02)B m -，． 若14OBA S =△，则

4221

=??m m ，∴122,2m m ==-（舍）

； 若24OBA S =△，则4222

1

=??m ，∴2m =．

综上，2m =．

∴抛物线为(2)(2)y x x =+-，它与x 轴的交点为(20)(20)-，，，

，与y 轴的交点为(04)-，，∴所求一次函数为24y x =--或24y x =-，

∴特征数为[24]--，

或[24]-，

18、解：（1）

3

4

； （2）－x 2

＋2x ，1，

8

l ； （3）设AB 长为x m ，那么AD 为3nx l -，S =x ·3nx l -=－x l x n 3

32+， 当x ＝n l

2时，

S 最大 19、1）连接OD 、BD

∵ΔBDC 是Rt Δ, 且E 为BC 中点。 ∴∠EDB=∠EBD.

又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°

∴∠EDB+∠ODB=90° ∴DE 是⊙O 的切线； （2）∵∠EDO=∠B=90°,

若要AOED 是平行四边形，则DE ∥AB,D 为AC 中点。 又∵BD ⊥AC,

∴ΔABC 为等腰直角三角形。 ∴∠CAB=45°. 过E 作EH ⊥AC 于H. 设BC=2k ， 则EH=

,5,2

2

k AE k =

∴sin ∠CAE=

EH AE == 20、解：（1）A(0,1),B(1,0), ∴AB=2

（2）∵AO=BO=1∴PN=NB=MO,△OPM ≌△PCN, ∴PC=OP

(3)当0

2时S=221m -

当2

2

（4）当0≤m ≤2

2时C 点在x 轴上方，如果PC=CB ，则角BCP=900

,此时P 与A 重合，即

P(0,1) 当

2

2

1,22(-P