曲线的曲率与挠率的一些计算方法毕业论文

目录

摘要 (1)

1引言 (1)

2曲线曲率和挠率的定义及几何意义 (1)

3一般参数表示下曲线曲率和挠率的计算 (4)

4一般方程表示下曲线曲率和挠率的计算 (7)

5应用举例 (18)

结论 (20)

参考文献 (20)

致谢 (21)

曲线曲率与挠率的一些计算方法

周婷婷，数学计算机科学学院

摘要: 微分几何是研究一般的曲线和曲面的局部及整体性质的数学分支学科.而曲线在一点邻近的结构或形状主要表现为两方面,一是弯曲,二是扭曲.曲率就是刻画曲线在一点弯曲程度的,挠率就是刻画曲线在一点扭曲程度的.曲线的曲率和挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念.本文在回忆了曲线的曲率和挠率的定义以及几何意义之后，讨论了两种条件下的曲率和挠率的计算，并一一加以证明，得到了曲线的曲率与挠率的一些计算方法.最后用了几个实例对结果加以验算.

关键词：曲线;曲率;挠率

Calculations of the Curvature and Torsion of Curves Zhou Tingting, School of Mathematics and Computer Science

Abstract: Differential geometry which studies the local and the global properties of the general curve and surface is a branch of mathematics. The structure or shape of the curve near a point is mainly two aspects, one of which is the bending degree and the other is the distortions. The curvature depicted the bending degree of curves at a point, and the torsion described the distortions of curves at a point. The curvature and torsion of curves are the most basic and the most important two concepts in the theory of space curve. After recalling the definition and the geometric meaning of the curvature and torsion of curves ,this article discussed the calculations of the curvature and torsion under two conditions, and then we proved all of which, got some calculations of the curvature and torsion of curves. Finally, we used several examples to check the results.

Key words: Curve; Curvature; Torsion

1 引言

三维欧氏空间中的曲线的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度.对于空间中给定的一条曲线可以用不同的方法计算其曲率与挠率, 如文献[1]中给出的空间曲线论的基本公式--Frenet公式; 文献[3]中给出了利用空间曲线的一般方程计算的方法.今本文总结罗列各种计算曲率与挠率的方法,可以对日后的计算带来很大的方便.

本文首先在第二节叙述了与曲率和挠率有关的一些概念和基本公式;在第三节中,我们将用空间曲线论的基本公式计算其曲率与挠率;而在第四节中, 我们是利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率.在第五节中,我们又计算了某一类曲

线的曲率和挠率.

2 曲线曲率和挠率的定义 2.1 空间曲线的伏雷内标架

给出2C 类空间曲线()C 和()C 上一点p .设曲线()C 的自然参数表示是

(),r r s =其中s 是自然参数，得dr

r

ds

α== 是一单位向量.α称为曲线()C 上p 点的单位切向量.

由于1α=，则 αα⊥

，即r r ⊥

.在α

上取单位向量 r r

αβα

=

=

， (2.1)

β称为曲线()C 上p 点的主法向量.

再作单位向量γαβ=?，γ称为曲线()C 上p 点的副法向量.

我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架.

2.2 曲率和挠率的定义

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.

要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.

设空间中3C 类曲线()C 的方程为().r r s =曲线()C 上一点p ，其自然参数为

s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、1p 两点各作曲线()C 的单位切向量()s α和()s s α+?.两个切向量的夹角是??，也就是把点1p 的切向量()s s α+?平移到点p 后，两个向量()s α和()s s α+?的夹角为??.

我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.

定义2.1[]1

空间曲线在p 点的曲率为

()lim

s k s s

?

?→?=?， 其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.

再利用命题“一个单位变向量()r t (即()1r t =)的微商的模,()r t 的几何意义是()r t 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()C 的切向量α上去，则有

()k s α=

.由于r α=

，所以曲率也可表示为()k s r =

.

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.

对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转(离开密切平面)，所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率.

当曲线扭转时，副法向量(或密切平面)位置随着改变(如图一),所以我们用副法向量(或密切平面)的转动速度来刻画曲线的扭转程度(在一点离开密切平面的程度).

现在设曲线()C 上一点p 的自然参数为s ,另一邻近点1p 的参数为s s +?,在

p 、1p 两点各作曲线()C 的副法向量()s γ和()s s γ+?.此两个副法向量的夹角是

??.

再利用命题”一个单位变向量()r t (即()1r t =)的微商的模,()r t 的几何意义是()r t 对于t 的旋转速度”,把这个结果应用到曲线()C 的副法向量向量γ上去, 得到0

lim

s s

?

γ?→?=?

,此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大(离开所讨论点的密切平面的程度越大),副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度就越大.因此,我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.

根据（2.1）和曲率的定义,我们有()

r k s r

αα

βα

=

=

=

,即

()k s αβ=

. (2.2) 对γαβ=?求微商,有

()()k s αβαβαβββαβαβγ=?=?+?=?+?=?

,

因而αγ⊥ .又因为γ是单位向量,所以γγ⊥

.由以上两个关系可以推出

//γβ

. (2.3)

现在我们给出挠率的定义如下： 定义2.2[]1

曲线()C 在p 点的挠率为：

().s γγβτγγβ?+??

=??-??

，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度.

介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.

3 一般参数表示下曲线曲率和挠率的计算 3.1 Frenet 公式的推导

根据（2.3）及挠率的定义有

).s γτβ=-

（ （3.1）

另外，对βγα=?求微商,并利用（3.1和（2.2）,可以推导出

()()()()().

s k s k s s βγαγαγα

τβαγβατγ=?=?+?=-?+?=-+

（3.2） 公式（2.2）,（3.2）,（3.1）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式,即

(),()(),().k s k s s s αββατγγτβ?

=??=-+??=-??

这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微

商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵

()0()0()0()0k s k s s s ττ?? ?- ? ?-??

. 3.2 曲率的一般参数表示式的推导

若给出3C 类的空间曲线()C :(),r r s =则有

d r d s d s

r r ds dt dt

'=

= ,

2

2

,

2

22222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ??????

''=+=+=+ ? ? ???????

, 所以

2322ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ??????

'''?=?+=??? ? ?????????

,

由上式得

3

s i n ds r r r r dt θ??

'''?= ???

.

注意上式中,1,,

ds r r r r dt

=⊥=

,因而有3

r r k r ''''?=.由此得到曲率的一般参数表示式3

r r k r '''?='

.

定理3.1[]2

设自然参数曲线()s r r C =:的基本向量为α,β和γ,则C 的曲率为3

r r k r '''?=

'

.

3.3 挠率的一般参数表示式的推导

再由伏雷内公式的（3.1）式)s γτ

β=-

（,两边点乘β得r βτββ=-

,因而

()()62

21111,,,,111k k k k r k k k k r r τγβγβαβαααααγγγγγγγγγγ??

??????=-==?=?+ ?

? ? ? ?????????

????' ? ?

??????????=?+== ? ? ? ?'''???????

再把

,ds

r r

dt

'=

2

22,ds d s r r r dt dt ?

?''=+ ???

3

232

33,ds ds d s d s r dt dt dt dt γγγ?

?'''=++ ???

代入(),,r r r ''''''中得

()6

6,,,,,,ds r r r r dt γγγγγγ??

????

'''''''== ? ? ?

????

??

, 所以得到

()()

2,,r r r r r τ''''''='''?. 这是一般参数表示的挠率计算公式.

定理3.2[]2

设自然参数曲线()s r r C =:的基本向量为α,β和γ,则C 的挠率

为(

)()

2

,,r r r r r τ''''''='''?. 例3.1 求半径为a 的圆()()t a t a t r sin ,cos =的曲率和挠率. 解 直接计算得

()(),c o s ,s i n t a t a t r -=' ()(),s i n ,c o s t a t a t r --='' ()(),c o s ,s i n t a t a t r -='''

由定理3.1及定理3.2计算得曲线C 的曲率和挠率分别为 ()()

3

2

,,1

,0.r r r r r a r r r κτ'''''''''?=

===''''

?

4 一般方程表示下曲线曲率和挠率的计算

设曲线C 是两光滑曲面()()0,,,0,,==z y x G z y x F 的交线,且

???

??

?

?

?????????????z G y

G x G z F y F x

F 是满秩的.

4.1 计算曲线的曲率

定理4.1 设曲线C 是两光滑曲面()()0,,,0,,==z y x G z y x F 的交线,且

???

??

?

?

?????????????z G y

G x G z F y F x

F

是满秩的.则曲线C 的曲率()3

G

F G B F A s k ????-?=

.其中

;2222

22222222222γβγβαγαβαz G y z G y G x z G x y G x G A ??+???+??+???+???+??=

;2222

22222222222γβγβαγαβαz

F y z F y F x z F x y F x F B ??+???+??+???+???+??=

???? ????????=?z F y F x F F ,,,???

?

????????=?z G y G x G G ,,.

证明 设所求曲线为()()()()()s z s y s x s r C ,,:=,其中s 为弧长.则

()()()()()

()()(),,0,

,,0,

F x s y s z s

G x s y s z s ?=

??

=

?? （4.1） 将方程(4.1)式中的两式对s 求导,有

()()()

()()()0,0,dx s dy s dz s F F F x ds

y ds z ds dx s dy s dz s G G G x ds

y ds z ds ????++=?

?????????++=????? （4.2）

记向量

?

??? ????????=?z F y F x F F ,,,,,,G G G G x y z ??

????= ?????? （4.3） 则曲线C 的单位切向量()s T 的方向平行于G F ???的方向.在局部,选择弧长s 的增加方向,使得单位切向量()s T 的方向就是G F ???的方向,那么,有

()G F s T G F ???=??? （4.4）

又由(4.3)式知

G F ???=???

?

??????-????????-????????-????x G y F y G x F z G x F x G z F y G z F z G y F ,,. （4.5）

G F ???=2

12

2

2G F G F G F G F G F G F ???

?

???

??

???

??????-????+??? ??????-????+???? ??????-????x y y x z x x z y z z y . （4.6） 且由(4.4)式和(4.5)式可知

()ds s dx =1-???G F ???

? ??????-????y G z F z G

y F , ()ds s dy =1-???G F ??

? ??????-????z G x F x G

z F ,

()ds s dz =1-???G F ???

? ??????-????x G y F y G

x F . （4.7） 将(4.4)式两端对弧长s 求导,由Frenet 公式,有

G F ???()s k ()s N +??

?

?????G F ds d ()s T

,d d F G F G ds ds ????

=???+?? ? ?????

（4.8）

这里()s N 是单位主法向量.

将(4.4)式与(4.8)式两端分别作外积

2

G F ???()s k ()s B

()().???

?????? ?????????+??????????? ???????=G ds d F G F G F ds d G F

（4.9）. 这里,()s B 是单位副法向量.

因为

()()G F ds d G F F ds d G G F G F ds d

G F ????

?????-????=??

?????????

???????,,,,

G F ds d G F ???

?

?????-=,, （4.10）

()G F ????????

???? ??????G ds d F =-????

?????F G ds d G F ,,()F G F ???,,G ds d ?

=F G ds d G F ???

?

?????,,. （4.11）

将(4.10)式和(4.11)式代入(4.9)式,有

2G F ???()s k ()s B =F G ds d G F ???? ?????,,－G F ds d G F ???

?

?????,, .

（4.12） 由(4.3)式知

F ds

d

?=

ds d ???

? ????????z F y F x F ,, ()()()()()(),,22222222ds s dz z y F ds s dy y F ds s dx x y F ds s dz z x F ds s dy y x F ds s dx x F ???+??+??????+???+ ?

???=()()()???

?

??+???+???ds s dz z F ds s dy y z F ds s dx x z F 2

222 . （4.13）

G ds

d

?=

ds d ???

? ????????z G y G x G ,, ()()()()()(),,22222222ds s dz z y G ds s dy y G ds s dx x y G ds s dz z x G ds s dy y x G ds s dx x G ???+??+??????+???+ ?

???=

()()()???

?

??+???+???ds s dz z G ds s dy y z G ds s dx x z G 2

222 . （4.14） 则由(4.5)式和(4.14)式,有

??

?

?????G ds d G F ,,

=()

G F ???G ds

d

? =???? ??????-????y G z F z G y F ()()()???

? ?????+???+??ds s dz z x G ds s dy y x G ds s dx x G 2222

＋??? ??????-????z G x F x G z F ()()()???

?

?????+??+???ds s dz z y G ds s dy y G ds s dx x y G 2

222 ()()()???

?

????+???+??????? ??????-????+ds s dz z G ds s dy x z G ds s dx x z G x G y F y G x F 2222 （4.15）

=????????????? ??????-????+?????? ??????-????+?????? ??????-????x z G x G y F y G x F x y G z G x F x G z F x G y G z F z G y F 2222()ds s dx ＋ ????????????? ??????-????+????? ??????-????+??????? ??????-????y z G x G y F y G x F y G z G x F x G z F y x G y G z F z G y F 2222()ds s dy ＋ ??

?????????? ??????-????+?????? ??????-????+??????? ??????-????2222z G x G y F y G x F z y G z G x F x G z F z x G y G z F z G y F ()ds s dz . 由(4.5)式和(4.13)式,有

??

? ?????F ds d G F ,,

=???? ??????-????y G z F z G y F ()()()???

?

?????+???+??ds s dz z x F ds s dy y x F ds s dx x F 2222 ＋??? ??????-????z G x F x G z F ()()()????

?????+??+???ds s dz z y F ds s dy y F ds

s dx x y F 2

222 ()()()???

?

????+???+??????? ??????-????+ds s dz z F ds s dy y z F ds s dx x z F x G y F y G x F 2222 （4.16）

=??

??????????? ??????-????+?????? ??????-????+?????? ??????-????x z F x G y F y G x F x y F z G x F x G z F x F y G z F z G y F 2222()ds s dx ＋

()＋

ds s dy y z F x G y F y G x F y F z G x F x G z F y x F y G z F z G y F ????????????? ??????-????+????? ??????-????+??????? ??????-????2222

??

?????????? ??????-????+?????? ??????-????+??????? ??????-????2222z F x G y F y G x F z y F z G x F x G z F z x F y G z F z G y F ().ds s dz 又由(4.3)式和(4.12)式,有

2G F ???()s k ()s B =,,,,,x G

F ds d

G F x F G ds d G F ????? ?????-?? ????? ?

???? ???

?

????? ?????-????? ?????????? ?????-???

?? ?????z G F ds d G F z F G ds d G F y G

F ds d

G F y F G ds d G F ,,,,,,,,,

（4.17） 由(4.15)式和(4.16)式,有

x G

F ds d

G F x F G ds d G F ????

? ?????-???

?? ?????,,,, ?

???

???????-???????? ??????-????+???? ??????-??????????? ?

?????-????=x G x y F x F x y G z G x F x G z F x G x F x F x G y G z F z G y F 222222

＋??

????? ???????-????????? ??????-????x G x z F x F x z G x G y F y G x F 22()

ds s dx ＋ ?

??? ??????-??????? ??????-????+???? ???????-???????????? ?

?????-????x G y F x F y G z G x F x G z F x G y x F x F y x G y G z F z G y F 222222??

????? ???????-????????? ??????-????+x G y z F x F y z G x G y F y G x F 22()ds s dy ＋

?

??? ???????-???????? ??????-????+???? ???????-???????????? ?

?????-????x G z y F x F z y G z G x F x G z F x G z x F x F z x G y G z F z G y F 2222

()

ds s dz x G z F x F z G x G y F y G x F ??

????? ??????-???????? ??????-????+2222 （4.18）

令 .,,x

G

y F y G x F z G x F x G z F y G z F z G y F ????-????=????-????=????-????=

γβα （4.19） 将(4.7)式、(4.19)式代入(4.18)式,有

x G

F ds d

G F x F G ds d G F ????? ?????-???

?? ?????,,,, 1

-???=G

F

αγ

αβα????

???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????x G x z F x F x z G x G x y F x F x y G x G x F x F x G 22222222222.2222222222222??

?

???? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβx G z F x F z G x G y z F x F y z G x G y F x F y G （4.20） 同理,有

y

G

F ds d

G F y F G ds d G F ???

?? ?????-????? ?????,,,, 1

-???=G

F

αγ

αβα????

???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????y G x z F y F x z G y G x y F y F x y G y G x F y F x G 22222222222.2222222222222??

?

???? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβy G z F y F z G y G y z F y F y z G y G y F y F y G （4.21）

z G

F ds d

G F z F G ds d G F ????? ?????-???

?? ?????,,,, 1

-???=G

F

αγ

αβα????

???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????z G x z F z F x z G z G x y F z F x y G z G x F z F x G 22222222222.2222222222222??

?

???? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβz G z F z F z G z G y z F z F y z G z G y F z F y G

（4.22） 将(4.20)式、(4.21)式和(4.22)式代入(4.17)式,有

()()－１

G

F s B s k

G F ???=???2

?????? ???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????αγαβαx G x z F x F x z G x G x y F x F x y G x G x F x F x G 22222222222,2222222222222???

???? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβx G z F x F z G x G y z F x F y z G x G y F x F y G αγ

αβα???? ???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????y G x z F y F x z G y G x y F y F x y G y G x F y F x G 22222222222,2222222222222???

???? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβy G z F y F z G y G y z F y F y z G y G y F y F y G αγ

αβα???? ???????-?????+???? ???????-?????+??????? ?

?????-????z G x z F z F x z G z G x y F z F x y G z G x F z F x G 22222222222

.2222222222222???

???????? ??????-????+???? ???????-?????+???? ??????-????+γβγβz G z F z F z G z G y z F z F y z G z G y F z F y G

（4.23） 由(4.3)式,(4.23)式可变为

3

G F ???()s k ()s B

=22222α???? ?????-???G x F F x G +2αβ???? ??????-????G x y F F x y G 22+2αγ???? ??????-????G x z F

F x z

G 22 +22222β???? ?????-???G y F F y G +2βγ???? ??????-????G y z F F y z G 22+22222γ???

? ?????-???G z F F z G . =F z G y z G y G x z G x y G x G ????

?

????+???+??+???+???+??222222222222222γβγβαγαβα

G z F y z F y F x z F x y F x F ????? ????+???+??+???+???+??-222222222222222γβγβαγαβα （4.24）

令 ;2222

22222222222γβγβαγαz

G y z G y G x z G x y G x G A ??+???+??+???+???+??= （4.25）

.2222

22222222222γβγβαγαβαz F y z F y F x z F x y F x F B ??+???+??+???+???+??= （4.26）

则

()()G B F A s B s G F ?-?=???κ3

（4.27）

两端取向量长度,得曲线的曲率为 ()3

G

F G B F A s ????-?=

κ. （4.28）

4.2 计算曲线的挠率

定理4.2设曲线C 是两光滑曲面()()0,,,0,,==z y x G z y x F 的交线,且

???

??

?

?

?????????????z G y

G x G z F y F x

F

是满秩的.则曲线C 的挠率

()2

G

B F A G ds d B B ds d G F ds d A A ds d F

G B F A ?-???? ?

??-?-?+???-?=τ,

其中

???? ????????=?z F y F x F F ,,,???

?

????????=?z G y G x G G ,,;

()()()()()(),,22222222ds s dz z y F ds s dy y F ds s dx x y F ds s dz z x F ds s dy y x F ds s dx x F F ds d

???+??+??????+???+ ????=? ()()()???

?

??+???+???ds s dz z F ds s dy y z F ds s dx x z F 2

222; ()()()()()()ds s dz z y G ds s dy y G ds s dx x y G ds s dz z x G ds s dy y x G ds

s dx x G G ds d

???+??+??????+???+ ????=?22222222, ()()()???

?

??+???+???ds s dz z G ds s dy y z G ds s dx x z G 2

222. ;222222222222222γβγβαγαz

G y z G y G x z G x y G x G A ??+???+??+???+???+??=

.222222222222222γβγβαγαβαz

F y z F y F x z F x y F x F B ??+???+??+???+???+??=

证明 将(4.27)式两端关于弧长s 求导,有

()()

()-???s B s k G F ds

d 3

3G F ???()s k ()()s N s τ .G ds

d B B ds d G F ds d A A ds d F ?-?-?+?= （4.29）

将(4.27)式和(4.29)式两端作外积,得

6

G F ???()s k 2()()s T s τ

().??? ???-?-?+???-?=G ds d B B ds d G F ds d A A ds d F G B F A （4.30）

对(4.30)式两端向量取长度,有

6

G

F ???()s k 2()s τ

().???

???-?-?+???-?=G ds d B B ds d G F ds d A A ds d F G B F A （4.31）

则曲线的挠率为

()2

G

B F A G ds d B B ds d G F ds d A A ds d F

G B F A ?-???? ?

??-?-?+???-?=

τ. （4.32）

这里,B A G ds

d

F ds d

G F ,,,,

,????分别由(4.3),(4.13),(4.14),(4.25),(4.26)式计算. A ds d ,B ds d 计算

式分别为下面(4.33),(4.34)式:

=A ds d

+???? ????222αx G ds d +???? ????222βy G ds d +???? ????222γz G ds d ???

? ?????αβx y G ds d 22 ???? ?????+???? ?????+βγαγy z G

ds d x z G ds d 2222. （4.33）其中

???

?

???????? ??????-???????? ????=???? ????'2

22222 ).1y G z F z G y F x F ds d x F ds d α

ds dx z F x y G x F y G x z F x F y F x z G x F z G x y F x F x F ???? ?????????-???????-???????+???????+??=2222222222222332222αααααds dy z F y G x F y G y z F x F y F x z G x F z G y F x F y x F ???? ????????-???????-???????+??????+???+222222222222222232222ααααα.222222222222222222223ds dz z F z y G x F y G z F x F y F z G x F z G z y F x F z x F ???

? ?????????-??????-??????+???????+???+ααααα???

?

??????? ??????-???????? ????=???? ????'2

22222 ).2z G x F x G z F y F ds d y F ds d β

ds dx

x F x z G y F z G x F y F z F x G y F x G x z F y F x y F ???? ?????????-??????-??????+???????+???=222222222222222232222βββββds dy x F y z G y F z G y x F y F z F y x G y F x G y z F y F y F ???? ?????????-???????-???????+???????+??+2222222222222332222βββββ.222222222222222222223ds dz x F z G y F z G z x F y F z F z x G y F x G z F y F z y F ???

? ????????-???????-???????+??????+???+βββββ???

?

???????? ??????-???????? ????=???? ????'2

22222 ).3x G y F y G x F z F ds d z F ds d γ

ds dx

y F x G z F x G x y F z F x F x y G z F y G x F z F x z F ???? ????????-???????-???????+??????+???=222222222222222232222γγγγγds dy y F y x G z F x G y F z F x F y G z F y G y x F z F y z F ???? ?????????-??????-??????+???????+???+222222222222222232222γγγγγ3222

22

2

2

22322

2

2

2222.F F F G F G F F F G F G F d z

z

z x z y z y z x z y z x

z x z y d s

γγγ

γγ??????????

???

??+++-- ???????????

?????????????????? ??????-???????? ??????-???????? ?

????=???? ?????'z G x F x G z F y G z F z G y F x y F ds d x y F

ds d 22 ).4αβ+????????????-???????-???????+????????+ ?

?????????-????????-????????+????????+???=ds

dx x F x z G x y F z G x F x y F z F x G x y F x G x z F x y F z F

x y G x y F y G x z F x y F y F x z G x y F z G x y F x y F x y F ααααββββαβ22222222222222222223

+????????????-????????-????????+????????+ ?

????-?????-?????+????+??ds dy x F y z G x y F z G y x F x y F z F y x G x y F x G y z F x y F z y x y y y z x y y y z x y z y x y x y ααααββββαβ22222222222.222222222222222222223ds

dz x F z G x y F z G z x F x y F z F z x G x y F x G z F x y F z F z y G x y F y G z F x y F y F z G x y F z G z y F x y F z x y F ???????????-????????-????????+???????+ ?

?????????-???????-???????+????????+????ααααββββαβ?????

????? ??????-???????? ??????-???????? ?????=???? ?????'x G y F y G x F y G z F z G y F x z F ds d x z F ds d 22 ).5αγ+???????????-????????-????????+???????+ ?

?????????-????????-????????+????????+???=ds dx y F x G x z F x G x y F x z F x F x y G x z F y G x F x z F z F x y G x z F y G x z F x z F y F x z G x z F z G x y F x z F x z F ααααγγγγαγ22222222222222222223+????????????-???????-???????+????????+ ?

????????-????????-????????+???????+????ds dy y F y x G x z F x G y F x z F x F y G x z F y G y x F x z F z F y G x z F y G y z F x z F y F y z G x z F z G y F x z F y x z F ααααγγγγαγ222222222222222222223.22222222222222222223ds dz y F z x G x z F x G z y F x z F x F z y G x z F y G z x F x z F z F z y G x z F y G z F x z F y F z G x z F z G z y F x z F x z F ???

?????????-????????-????????+????????+ ?

?????????-???????-???????+????????+???ααααγγγγαγ?????????? ??????-??????? ??????-???????? ?

????=???? ?????'x G y F y G x F z G x F x G z F y z F ds d y z F

ds d 22 ).6βγ+???????????-????????-????????+???????+ ?

?????????-???????-???????+????????+????=ds dx y F x G y z F x G x y F y z F x F x y G y z F y G x F y z F x F

x z G y z F z G x F y z F z F x G y z F x G x z F y z F x y z F ββββγγγγβγ222222222222222222223+???

?????????-???????-???????+????????+ ?

?????????-????????-????????+????????+???ds dy y F y x G y z F x G y F y z F x F y G y z F y G y x F y z F x F y z G y z F z G y z F y z F z F y x G y z F x G y z F y z F y z F ββββγγγγβγ22222222222222222223

ds

dz y F z x G y z F x G z y F y z F x F z y G y z F y G z x F y z F x z y z z z x y z z z x y z x z y z y z ????????????-????????-????????+????????+ ?????-?????-?????+????+??ββββγγγγβγ22222222222. =B ds d

+???? ????222αx F ds d +???? ????222βy F ds d +???? ????222γz F ds d ???

? ?????αβx y F ds d 22 ???

? ?????+???? ?????+βγαγy z F ds d x z F ds d 2222. （4.34）

5 应用举例

例5.1 求圆柱螺线C :()()bt t a t a t r ,sin ,cos =的曲率和挠率. 解 直接计算得到

()()b t a t a t r ,c o s ,s i n -=', ()()0,s i n ,c o s t a t a t r --='', ()()0,c o s ,s i n t a t a t r -=''',

由定理3.1及定理3.2计算得曲线C 的曲率和挠率分别为 223

b a a r r r κ+='

''?'=;()()

222

,,r r r b a b r r τ''''''==+'''?.

例5.2 设曲线C 是椭球面14

322

22=++z y x , 与平面02=+z x 的交线,求曲线C 的曲率和挠率.

解 记 ()=z y x F ,,014

32222=-++z y x ,()=z y x G ,,02=+z x , （5.1）

则

(

)

1,0,2,21,32,=

???

?

??=?G z y x F , （5.2）

由（5.1）式,有

0,0,0,21,32,122222222

2=???=???=???=??=??=??y

z F

x z F x y F z F y F x F ,

.0,0,0,0,0,022222222

2=???=???=???=??=??=??y z G

x z G x y G z G y G x G （5.3） 由(4.19)式,得

2

,,,

y z x y αβγ=

- （5.4）

由（5.3）式和（5.4）式,及(4.25)式、(4.26)式,可以得到 2222412

0,,3333

A B x y z x

z ==

++- （5.5） 则由定理4.1和定理4.2计算得 2

3

2222222213436233432?

?

? ??-++-++=

xz z y x xz z y x κ,0=τ.

例 5.3 设曲线C 是单叶双曲面19

1642

22=-+z y x 与平面0=x 的交线,求曲线

C 的曲率和挠率.

解 记 ()()0,,,019

164,,2

22===--+=x z y x G z y x z y x F ， （5.6） 则

()2,,,1,0,0

,289x y z F G ??

?=-?= ???

（5.7） 由（5.6）式有

,0,0,0,92,81,21222222222=???=???=???-=??=??=??y

z F

x z F x y F z F y F x F

.0,0,0,0,0,022222222

2=???=???=???=??=??=??y z G

x z G x y G z G y G x G （5.8） 由(4.19)式,得

21

0,,,98

z y αβγ==-=- （5.9）

由（5.8）式和（5.9）式,及(4.25)式、(4.26)式,可以得到

22

110,,162288

A B z y ==

- （5.10）