如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=°,D是BC边上任意一点,求证BD CD=AD
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD2+CD2=2AD2
2、在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA2+PB*PC的值为多少？
解：过点A作AN⊥BC于N。(不妨设P在NC上）
AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}
3、在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，
则三角形ABC的面积是_____
解：
∵AD是中线，BC=6，AD=3
∴∠BAC=90°
∴BA2+AC2=BC2=36
∵AB+AC=8
∴AB2+2AB*AC+AC2=64
∴2AB*AC=64-36=28
AB*AC=14
1/2AB*AC=7
∴△ABC 的面积=7
4、在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___
5、在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF
等于多少？
解：假设AC、BD的交点是O，连接PO
S△APO＝(1/2)AO*PE
S△DPO＝(1/2)DO*PF
所以PE+PF＝2S△APO/AO + 2S△DPO/DO
根据勾股定理，AO＝DO＝5/2
所以PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/5
6、E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？解：两点之间直线最短
在AD上做AF=AP=3
连接FB
这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是根号下（3^2+4^2）=5
7、如图：已知DE=m,BC=n,∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CE2
解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90°
所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2
又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2
所以有BD2+CE2=m2+n2
8、已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠
BPC的度数。
解：将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'
所以△CPB全等于△CP'A
所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA
所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP
因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°
因为CP=CP'=2
所以PP'等于2倍根号2
因为AP'=BP=1 AP=3
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于2倍根号2
所以角AP'P=90°
所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°
9、如图，CD是△ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。
10、（1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线
上(CG>BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。
（2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．
探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．
解：(1)线段MD 、MF 的关系是MD=MF ，DM ⊥MF 。
延长DM 交CE 于N ，连结FD 、FN 。由正方形ABCD ，得AD//BE ，AD=DC ，所以∠DAM=∠MEN 。 因为AM=EM ，∠AMD=∠E （……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
所以∠DCF=∠FEN ，易得△DCF ≌△NEF ，所以FD=FN ，∠DFC=∠NFE 。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF ，DM ⊥MF 。
11、 矩形ABCD 中，AB=20，BC=10。若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM+MN
的值最小，求这最小值。 解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B 点关于AC 的对称点E,连接AE 交CD 于F,连接CE,过E 作EN 垂直AB 交CD 于G 交AC 于M,连接MB,所以BM ＋MN ＝NM ＋EM ，显然EN 垂直AB 时值最小．
由于CEF 为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC 斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.
12、已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E 在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是
k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探
索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置. A B C D P E 图1 A B C
D P
(E)C D A B C D A B C D A B A B C D 图2
（2）若k=2，则n= 时，顶点
．．P．第一次回到原来的起始位置；若k=3，则
n= 时，顶点
．．P．第一次回到原来的起始位置.
（3）请你猜测：使顶点
．．P．第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.
分析：这是一道面动滚动型问题，正△PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。
解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.
12、设x、y为正实数，且X+Y=4 。求根号下X的平方加1
加上根号下Y平方加4的最小值？
解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)
则T>0
T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4)
=x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)
因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy
因为x,y都是正实数所以4x^2+y^2≥4xy（当且仅当2x=y时取等号）
所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4)
=21-2xy+2√(xy+2)^2
= 25
因为T>0,所以T≥5（当且仅当2x=y时取等号）
即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)
13、正△ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正
△RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将△RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为CM
解：在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。
在BC上，CA上也一样。
一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米
13、在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,
则PA+PE的最小值。