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北京师范大学959量子力学答案(2003-2012)

北京师范大学959量子力学答案(2003-2012)
北京师范大学959量子力学答案(2003-2012)

简述建立量子力学基本原理的思想方法

简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要:量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程,它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述,供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词:量子力学;力学量;电子;函数 作者简介 0引言 19世纪末,由于科学技术的发展,人们从宏观世界进入到微观领域,发现了一系列经典理论无法解释的现象,比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后,上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性,从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科,它主要研究原子、分子、凝聚态物质,以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论,它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一,而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设,成功地解释了氢原子光谱,但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年,德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设,即德布罗意关系。1927年,戴维孙和革末将电子作用于镍单晶,得到了与x射线相同的衍射现象,从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动,它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性,将波(平面波)粒( p,E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的,而是在一个变化的力场中运动,德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的

量子力学期末考试试卷及答案集复习过程

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分) 1.黑体辐射中的紫外灾难表明:C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量; B. 黑体在紫外线部分不辐射能量; C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式; D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2.关于波函数Ψ的含义,正确的是:B A. Ψ代表微观粒子的几率密度; B. Ψ归一化后,ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度; C. Ψ一定是实数; D. Ψ一定不连续。 3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片; B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片; C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的; D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ是该方程的一个解,则:A A. * ψ 一定也是该方程的一个解; B. * ψ 一定不是该方程的解; C. Ψ与* ψ 一定等价; D.无任何结论。 5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D粒子不能穿过势垒。 6.如果以∧ l表示角动量算符,则对易运算] , [ y x l l 为:B A. ih ∧ z l 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7.如果算符 ∧A 、∧B 对易,且∧ A ψ =A ψ,则:B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态; B. ψ一定是 ∧ B 的本征态; C.*ψ一定是∧ B 的本征态; D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8.如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易,则意味着 ∧ A :C A. 一定处于其本征态; B.一定不处于本征态; C.一定守恒; D.其本征值出现的几率会变化。 9.与空间平移对称性相对应的是:B A. 能量守恒; B.动量守恒; C.角动量守恒; D.宇称守恒。 10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ,则 n=5能级能量为:D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23 )h ω下, 简并度为:B A. )1(21 +N N ;

量子力学简明教程

量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材: 周世勋,《量子力学教程》,高教出版社,1979 2、主要参考书: [1] 钱伯初,《量子力学》,电子工业出版社,1993 [2] 曾谨言,《量子力学》卷I,第三版,科学出版社,2000 [3] 曾谨言,《量子力学导论》,科学出版社,2003 [4] 钱伯初,《量子力学基本原理及计算方法》,甘肃人民出版社,1984 [5] 咯兴林,《高等量子力学》,高教出版社,1999 [6] L. I.希夫,《量子力学》,人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言,《量子力学习题精选与剖析》,上、下册,第二版,科学出版社,1999 [8] 曾谨言、钱伯初,《量子力学专题分析(上)》,高教出版社,1990 [9] 曾谨言,《量子力学专题分析(下)》,高教出版社,1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958;(《量子力学原理》,科学出版社中译本,1979) [11]https://www.wendangku.net/doc/652702213.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965;(《非相对论量子力学》,人民教育出版社中译本,1980)

第一章绪论 量子力学的研究对象: 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置,而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗? 十九世纪末期,物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时,一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明: 机械运动(v<

11大物C量子力学基础选择题答案

量子力学基础选择题 (参考答案) 1.下面的各种物体如果对光都没有透射,那么,哪种是绝对黑体?() A.不辐射可见光的物体; B.不辐射任何光强的物体; C.不反射可见光的物体; D.不反射任何光线的物体 答(D) 2.实验发现热辐射的波长与温度有关,它们的关系是:() A.温度越高,辐射波长越短 B.温度越高,辐射波长越长 C.温度越低,辐射波长越短 D.温度与波长变化呈线形关系 答(A) 3.黑体辐射的峰值波长与黑体本身温度T的关系:() A. λm与T成正比 B. λm与T2成正比 C. λm与T4成正比 D. λm与T成反比 答(D) 4. 为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了:( B ) A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 答(B) 5.普朗常数的数值和单位: () A.6.626 ?10-34焦耳/秒 B.6.626 ?10-34焦耳?秒 C.6.626 ?10-36焦耳/秒 D.6.626 ?10-36焦耳?秒 答(B) 6.原子半径的数量级是: () A.10-10 cm B.10-8 m C.10-10 m D.10-13 m 答(C) 7.已知金属钠的逸出功是2.30eV,光电效应中波长为2000A的紫外线照射钠时,光电子的最大动能越为(eV):() A.1.50 B.3.90 C.15.0 D.39.0 答(B) (hc/λ-W)

8.设某金属的逸出功为A ,h 和C 分别为普朗克常数和光速,则该金属光电效应的红限波长为:( ) A.hc/A B.h/A C.A/h D.A/hc 答(A ) 9.氢原子光谱赖曼系和巴尔末系的系限(最短)波长分别是:( ) A.R/4和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R 答(D ) 10.氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是:( ) A.13.6V 和10.2V B.-13.6V 和-10.2V C.13.6V 和3.4V D.-13.6V 和-3.4V 答(A ) 11.若赖曼系帕邢系巴尔末系第一条谱线的波长分别为λ赖 ,λ帕和λ巴,则它们之间满足:( ) A. λ赖>λ帕>λ巴 B. λ赖<λ帕<λ巴 C. λ赖< λ巴<λ帕 D. λ巴<λ赖<λ帕 答(C ) 12.如果粒子以速度运动v 时的德布罗意波长为λ,当它的速度增至2v 时,其德布罗意波长应是: ( ) A. 2 λ B. 3λ C. λ /2 D. λ/3 答(C ) 13.微观粒子的状态用波函数表示,对波函数模的平方的统计解释是:( ) A 、表示微观粒子在时刻的坐标位置; B 、表示时刻,坐标处物质波的强度; C 、表示时刻,坐标处物质波的振幅; D 、表示微观粒子时刻在处单位体积中出现的几率。 答(D ) 14.波函数的三个标准条件是:( ) A.连续、归一、有限; B.单值、连续、有限; C.单值、归一、有限; D.单值、连续、归一。 答(B ) 15.定态薛定谔方程的解是波函数:( ) A .()(,)iEt r t r e ψ-ψ=; B .()(,)()r t r T t ψψ=; C .()(,)r t r ψψ=; D .(,)iEt r t e -ψ=。 答(A )

量子力学练习题

一. 填空题 1.量子力学的最早创始人是 ,他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设,解决了 的问题。 2.按照德布罗意公式 ,质量为21,μμ的两粒子,若德布罗意波长同为λ,则它们的动量比p 1:p 2= 1:1;能量比E 1:E 2= 。 3.用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长,若电子的能量E= kT 2 3(k 为 玻尔兹曼常数),要能看到它的德布罗意波长,则电子所处的最高温度T max = 。 4.阱宽为a 的一维无限深势阱,阱宽扩大1倍,粒子质量缩小1倍,则能级间距将扩大(缩小) ;若坐标系原点取在阱中心,而阱宽仍为a ,质量仍为μ,则第n 个能级的能 量E n = ,相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5.处于态311ψ的氢原子,在此态中测量能量、角动量的大小,角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=;L= ;L z = ,轨道磁矩M z = 。 6.两个全同粒子组成的体系,单粒子量子态为)(q k ?,当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ;玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ;费米体系 7.非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E , )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ , 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?; 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值, 。

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分) 1.黑体辐射中的紫外灾难表明:C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量; B. 黑体在紫外线部分不辐射能量; C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式; D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2.关于波函数Ψ 的含义,正确的是:B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度; B. Ψ归一化后, ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度; C. Ψ一定是实数; D. Ψ一定不连续. 3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片; B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片; C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的; D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4.对于一维的薛定谔方程,如果 Ψ是该方程的一个解,则:A A. *ψ 一定也是该方程的一个解; B. *ψ一定不是该方程的解; C. Ψ 与* ψ 一定等价; D.无任何结论. 5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒. 6.如果以∧ l 表示角动量算符,则对易运算] ,[y x l l 为:B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7.如果算符 ∧A 、∧B 对易,且∧ A ψ =A ψ,则:B A. ψ 一定不是∧B 的本征态; B. ψ一定是 ∧ B 的本征态; C.*ψ一定是∧ B 的本征态; D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1. 设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为( 6.125ο A )。 2. 索末菲的量子化条件为=nh pdq ),应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E ( ηωn )。 3. 德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍 射实验所证实,德布罗意关系(公式)为( ηω=E )和( k p ρηρ = )。 4. 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=( r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ), () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 5. 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ( r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ),=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 6. t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ )。 7. 按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w =2 ),几率流密度= ( () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi )。 8. 设)(r ρψ描写粒子的状态,2)(r ρψ是( 粒子的几率密度 ),在)(r ρψ中F ?的平均值为F =( ??dx dx F ψψψψ* *? ) 。 9. 波函数ψ和ψc 是描写( 同一 )状态,δψi e 中的δi e 称为( 相因子 ), δi e 不影响波函数ψ1=δi )。 10. 定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为 零)的状态。 11. )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 ( 21E E = ),这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。 12. ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。 13. ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态,其能量一般为( 分立 )谱。 14. 3.t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ )。 15. 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=h v , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2 c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 6 1051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题: 1、波函数的标准条件:单值、连续性、有限性。 2、|Ψ(r,t)|^2的物理意义:t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易,它们具有共同的确定值。 二、简答题: 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符。综上所述,在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态,这种说法确切吗? 答:不确切。针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素? 答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、

第二题: 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球, 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即 2004ze U r r πε=-() )(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域, r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域,)(r U 可由下式得出, ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题(在题中的空格处填上正确答案)1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________;宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中,│ψ│2对一个电子来说,代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________,它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1,ψ2,ψ3,…。 正交性的数学表达式为,归一性的表达式为。1106、│ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动, (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ; (2)体系的本征值谱为____________________,最低能量为____________ ; (3)体系处于基态时,粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ; (4)势箱越长,其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ; (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动, 则其本征函数集为____________,本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ,y ,z )= _________________________;当粒子处于状态 ψ 211 时,概率密度最大处坐标是 _______________________;若体系的能量为 2 247ma h ,其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子,其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____,E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动,可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子,其势能为V =kx 2/2,它 的 薛 定 谔 方 程 是

量子力学期末考试试题和答案A

2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明:(共25分) 1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。 (4分) 2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分) 3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。(4分) 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 (5分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。(6分) 二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A ,且0????=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示; 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、(15分)设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ,求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值; 2、0>t 时体系的波函数,并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里,H H H '+=???)0(,C 是一个常数,1<

量子力学试题2008年含答案

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题(A 卷) (说明:考试时间120分钟,共6页,满分100分) 计分人: 复查人: 一、填空题:(每题 4 分,共40 分) 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为:E=h ν, p=/h λ 。 3.根据波函数的统计解释,dx t x 2 ),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 。 4.量子力学中力学量用厄米算符表示。 5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为:[],x p i =h 。 6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量 F 所得的数值,必定是算符F ?的本征值。 7.定态波函数的形式为:t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。 9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10.每个电子具有自旋角动量S ρ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为:2 η ± 。

二、证明题:(每题10分,共20分) 1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系: 证明: z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =

西南大学《量子力学基础》填空题及答案

35、普朗克在经典物理解释黑体辐射遇到无法逾越的困难时提出了著名的量子假设,它的基 本内容是物体吸收或者发射电磁辐射,只能以“量子”的方式进行,每个“量子”的能量为。ε=hv 36、N个粒子体系的薛定谔方程是 37、量子力学中,态和力学量的具体表示方式称为表象。 38、量子力学中的态迭加原理是指如果和是体系的可能状态,那么它们的线性迭加:(C1、C2,是复数)也是这个体系的一个可能状态。 39、力学量算符在动量表象中的微分形式是 40、爱因斯坦将普朗克的辐射的量子理论推广为辐射场就是由光量子组成的,圆满地解释了实验现象。 41、自旋角动量算符的定义式为 43、一空气中的尘埃,其质量为,速度为,其德布罗意波长为 44、表示力学量的算符都是线性厄密算符 45、量子力学中,表示力学量算符的矩阵是厄密矩阵。 46、量子力学中用厄米算符表示力学量,是因为厄米算符的本征值是实数,其本征函数具有正交性和完备性等性质。 47、全同性原理的内容是在全同粒子组成的体系中,交换任意两个粒子不改变体系的物理状态 48、光的波粒二象性是指光具有波动-粒子两重性,爱因斯坦光子理论较之普朗克量子假设的发展是电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量为hν的微粒形式出现,而且以这种形式以速度在空间运动,即光子。 49、对于运动着的宏观粒子,德布罗意公式也适用,为什么我们不考虑它们的波动性?其理由为对于运动着的宏观粒子,其德布罗意波长在数量级上相当于(或略小于)晶体中的原子间距,比宏观限度要短的多,所以我们不考虑它们的波动性。 50、粒子的质量为m,它在有心力场中的势能为,其中k为常数,则粒子的定态薛定谔方程为。

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律:C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明:由普朗克黑体辐射公式: ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= , 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ, 令kT hc x λ= ,再由0=λρλd d ,得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ,即得 97.4=kT hc m λ,将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2.在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解:010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ,求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解:010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ,1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量。 (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ,玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ,求动能的量子化间隔E ?,并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解:(1)方法1:谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =,相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以,能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2:一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω,其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ,动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ,则相积分为

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解:由德布罗意波粒二象性的关系知: E h =ν; p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子(26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ),故: 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。 解:对于氦原子而言,当K 1=T 时,其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中,其中α为实常数,求: 1.归一化系数; 2.动能平均值。 (22 x e dx /∞-α-∞ = α?) 解:1.由归一化条件可知: 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零,则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? =(= = 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二:对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题,用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为: 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量,则: 0dE 1d 2 = ω ; 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知: 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得: 1T 4 = ω

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