第24课 三角形的基本知识和比例变换
[考点透视]
已知三角形两边求第三边的取值范围及其简单的实际应用.利用三角形的内角和定理及推论.求角的度数或证角相等.利用三角形三等边的不等关系和外角与内角的关系证明线段和角的不等关系.求多个角的度数;利用比例性质,求代数式的值.或证明三角形中的线段比例问题. [课前回顾]
1.三角形的三条边之间的不等关系定理:三角形两边的和大于第三边; 推论:三角形两边的差小于第三边.
2.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
推论1:直角三角形的两个锐角互余. 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
3.比例变换:
(1)比例的基本性质:如果d c b a ::=,那么bc ad =.
(2)合比性质:如果d
c b
a =,那么
d
d
c b b a ±=±.
(3)等比性质:如果
)0(≠+++===n d b n
m
d c b a , 那么b
a n
d b m c a =++++++ .
[课堂选例]
例 1 如图所示,ABC ?中,C ∠的度数一
定,(1)试证另两个角的外角平分线的夹角为定值;(2)当C ∠等于90°,求D ∠的度数.
分析 题(1)就是要证∠D 的度数为定值.
根据已知条件,运用三角形内角和定理及推论2,用含有C ∠的代数式表示∠D.即可证明∠D 的度数一定. A D
C B F 证明:(1)EAB ∠ ,FBA ∠为ABC ? 的两
个外角,
ABC C EAB ∠+∠=∠∴ BAC C FBA ∠+∠=∠∴
(三角形内角和定理推论2) AD ,BD 分别平分EAB ∠,FBA ∠
)(21
21ABC C EAB DAB ∠+∠=∠=
∠∴
)(2
1
21BAC C FBA DBA ∠+∠=∠=
∠∴ )(2
1
21BAC ABC C C DBA DAB ∠+∠+∠+∠=∠+∠∴
?=∠+∠+∠180BAC ABC C (三角形
内角和定理)
?+∠=
∠+∠∴902
1
C DBA DAB 又?=∠+∠+∠180DBA DAB D
C
C D ∠-?=∠+?-?=∠∴2
1
90)2190(180 C ∠ 的度数一定
C D ∠-
?=∠∴2
1
90一定 解: (2)当?=∠90C 时,
?=??-
?=∠45902
1
90D 例2 已知△ABC 的三条边长的长分别是
5,12,23+x .周长是偶数,求整数 x 和△ABC 的周长.
分析 要求整数x ,其关键是求12+x 的取
值范围,还要利用三角形三条边之间的不等式关系定理:b a c b a +<<-,即51223512+<+<-x .解连不等式可得x 的取值范围,再求整数x.问题即可解决.
解:在ABC ?中,由三角形三条边的不
等关系定理得:51223512+<+<-x
解得:53
5
< 3,2=∴x 或4 又19323512+=+++x x 为偶数. ∴x 只能为奇数. 即3=x . ABC ?∴的周长为28. 例3 已知:ABC ?中,AN 是A ∠的外角 平分线,P 为AN 上任意一点,求证:PC PB AC AB +<+ 分析 要证线段的不等关系.自然联想到 运用三角形的三条边之间的不等关系定理,但所给线段不在同一三角形中,则要添设辅助线构造三角形将不等关系转化. E A P N 证明:延长BA 到E ,使AE=AC 并连结PE , AN 平分EAC ∠ CAN EAN ∠=∠∴ 在△EAP 和△CAP 中, CAN EAN AC AE ∠=∠=,,AP 公共 CAP EAP ???∴ PC PE =∴ 在△BPE 中,BE PE PB >+(三角形两边的和大于第三边) 而AE AB BE += AE AB PC PB +>+∴ PC PB AC AB +<+∴ 例4 如图,D 是ABC ?的C ∠的外角平分 线与BA 的延长线的交点,求证:B BAC ∠>∠ D A B C E 分析 在△ADC 中,∠BAC 为外角,∠DCA 为内角,可以得到∠BAC>∠DCA.在 ?BCD 中, ∠DCE 为外角,B ∠为内角,有B DCE ∠>∠,如有∠DCA=∠DCE,即可得证;事实上,CD 平分ACE ∠. 证明:CD 平分ACE ∠, DCE DCA ∠=∠∴ 在△ACD 中,∠BAC 为外角,∠DCA 为内角. DCA BCA ∠>∠∴(三角形内角和定理推论3) 又在DBC ?中,DCE ∠ 为外角.B ∠ 为内角. B DCE ∠>∠∴ B BA C ∠>∠∴ [课堂小结] 1.三角形的三条边之间的不等关系定理与内角和定理是解决三角形边角问题基础. 2.证明线段和角的不等关系时,如果线段与线段之间,角与角之间没有联系,也就不能直接证明.应该设辅助线构造适当的三角形把分散的角和边集中到一个三角形中,从而将不等关系转化. 3.例3运用了转化的数学思想,并且运用了构造三角形的方法. [课后测评] 一.选择题 1.已知三角形三条边的长分别是2,3和a ,则a 的取值范围是( ) A .32<a D .51< 2.已知ABC ?的三个内角C B A ∠∠∠,,满足关系式A C B ∠=∠+∠3,则此三角形( ) A .一定有一个内角为45° B .一定有一个内角为60° C .一定是直角三角形 D .一定是钝角三角形 3.若 k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++,则k 的值为( ) A .1- B .1-或3 1 C .3 1 D .4 1 A F 1 B E 二.填空题 4.如图,已知D F E C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠?=∠,601= . 5.在ABC ?中,2,9==BC AB ,并且AC 为奇数,那么ABC ?的周长是 . 三.解答题 6.已知a ,b,c 为ABC ?的三边.且1:7:2)()()(=-=+=-b c b a a c ,24=++c b a ,判断ABC ?的形状. 7.等腰三角形的周长为20,一腰上的中线分等腰三角形为两三角形的周长差是2,求它的腰长. C D 8.已知:D 是ABC ?中AC 边上一点,E 是BC 边延长线上一点,求证:CDE ADB ∠>∠. A D B C E 9.如图,已知在ABC ?中,,AC AB >AD 是A ∠的平分线,点P 为AD 上任意一点.求证:PC PB AC AB ->-. A P D C 三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC, (4) 10.如图5所示,在△ ABC 中,/ ,AD, A. 110° B . 100 ° C .190° 11 .如图6所示,BD 平分/ ABC DE// BC, CD?分别平分/ BAC ?/ ACB ?则/ ADC 等于() D . 120° 且/ D=30° ,则/ AED 的度数为( ) 三角形基本知识训练 、选择题(12*3 ' =36') A . 19cm 或 11cm B . 19cm 或 14cm C . 11cm 或 14cm D . 10cm &如图所示,一扇窗户打开后,用窗钩 AB 可将其固定,这里所运用的几何原理是( ) A .三角形的稳定性;B.两点之间线段最短; C.两点确定一条直线; D.垂线段最短 9. 如图4所示, 在△ ABC 中,/ BAC=80,/ B=35°, AD 平分/ BAC 则/ ADC 的度数为( ) 1. 2. 如图2所示,AB// CD / A=55° 3. A. 55° B . 25° 三角形中,最大的内角不能小于( A . 30° B . 60° C . 90° A.Z B B . Z A C .Z BCD 和 Z A D .Z BCD 5、以下列长度的三条线段为边, 能构成三角形的( ) A 、7 cm, 8 cm, 15 cm B 、15 cm, 20 cm, 5 cm C 、6 cm, 7 cm, 5 cm D 、7 cm, 6 cm, 14 cm 6.若三角形的三边长分别为 1, a , 8,且a 为整数, 则a 的值为 如图1所示,已知 AB 丄BD, AC 丄CD, / A=35°,则/ D 的度数为( (1) A. O C=80°,则/ 35° ) ACB=90,与/ 1互余的角有( D . 15° D . 45 ° (3) 4.如图3所示,△ ABC 为直角三角形,/ 7.在等腰三角形 ABC 中,它的两边长分别为 8cm 和3cm,则它的周长为( 8 D . 9 A . 6 B . 7 C .95° 55° ABC=40 八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识,这些知识点之间的结构如下图所示: 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1.等腰三角形的性质: 等腰三角形两腰_______;等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中,等边对_____);等腰三角形三线合一,这三线是指________________、________________、________________,也就是说这三线为同一条线段;等腰三角形是________图形,它的对称轴有_________条。 2.等腰三角形的判定: 有____边相等的三角形是等腰三角形;有_____相等的三角形是等腰三角形(即在同一个三角形中,等角对_____)。 3.等边三角形的性质: 等边三角形各条边______,各内角_______,且都等于_____;等边三角形是______图形,它有____条对称轴。 4.等边三角形的判定: 有____边相等的三角形是等边三角形;有三个角都是______的三角形是等边三角形;有两个角都是______的三角形是等边三角形;有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5.直角三角形的性质: 直角三角形两锐角_______;直角三角形斜边上的中线等于_______;直角三角形两直角边的平方和等于________(即勾股定理)。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6.直角三角形的判定: 有一个角是______的三角形是直角三角形;有两个角_______的三角形是直角三角形;两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 有关三角形知识点总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据) 2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论) 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.(90°角和互余关系) 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。 2 、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。 D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 21D C B A D C B A (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. ⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意: (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部. 最新初中数学三角形经典测试题含答案 一、选择题 1.如图,90ACB ∠=?,AC CD =,过D 作AB 的垂线,交AB 的延长线于E ,若2AB DE =,则BAC ∠的度数为( ) A .45° B .30° C .22.5° D .15° 【答案】C 【解析】 【分析】 连接AD ,延长AC 、DE 交于M ,求出∠CAB=∠CDM ,根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ,求出AB=DM ,求出AD=AM ,根据等腰三角形的性质得出即可. 【详解】 解:连接AD ,延长AC 、DE 交于M , ∵∠ACB=90°,AC=CD , ∴∠DAC=∠ADC=45°, ∵∠ACB=90°,DE ⊥AB , ∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM , ∵∠ABC=∠DBE , ∴∠CAB=∠CDM , 在△ACB 和△DCM 中 CAB CDM AC CD ACB DCM ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ACB ≌△DCM (ASA ), ∴AB=DM , ∵AB=2DE , ∴DM=2DE , ∴DE=EM , ∵DE ⊥AB , ∴AD=AM , 114522.522 BAC DAE DAC ??∴∠=∠= ∠=?= 故选:C . 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键. 2.如图,在矩形ABCD 中, 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上,得到折痕,AE 那么BE 的长度为( ) A .1 B .2 C .32 D .85 【答案】C 【解析】 【分析】 由勾股定理求出AC 的长度,由折叠的性质,AF=AB=3,则CF=2,设BE=EF=x ,则CE=4x -,利用勾股定理,即可求出x 的值,得到BE 的长度. 【详解】 解:在矩形ABCD 中,3,4AB BC ==, ∴∠B=90°, ∴22345AC =+=, 由折叠的性质,得AF=AB=3,BE=EF , ∴CF=5-3=2, 在Rt △CEF 中,设BE=EF=x ,则CE=4x -, 由勾股定理,得:2222(4)x x +=-, 解得:32x = ; ∴32 BE =. 故选:C . 【点睛】 一、基础知识 1、三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (三角形有三条边,三个角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点) 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义 3、三角形的分类:(1)按边分类:等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (2)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 定义:三角形的中线:三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 性质: 性质1:三角形的中线是线段; 性质2:三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点(重心) 性质3:直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。 如果三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 性质4:中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 性质5:三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分; 性质6:重心定理:三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍; 性质7:重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; 题型: 1.三角形的下列线段中,能将三角形的面积分成相等两部分的是( ) A: 中线B: 角平分线C: 高D: 中位线 2.三角形的重心是三角形三条()的交点。 A: 中线B: 高C: 角平分线D: 垂直平分线 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________ . 4.如图,AD是△ABC的边BC上的中线,BE是△ABD的边AD上的中线,若△ABC 的面积是16,求△ABE的面积 5.如图,AD是△ABC的中线,CE是△ACD的中线,DF是△CDE的中线,如果△DEF 的面积是2,那么△ABC的面积为() 6.一定在△ABC部的线段是() A: 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B: 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C: 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D: 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 、填空 1(1)全等三角形的_________ 和__________ 相等;(2)两个三角形全等的判定方法 有: _______________ ;另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用:__________ __________________ ⑶如右图,已知AB=DE,/ B=Z E, 若要使△ ABC^A DEF,那么还要需要一个条件, 这个条件可以是:_________________________ ,理由是:. 这个条件也可以是:__________ ,理由是: ⑷如右图,已知/ B=Z D=90°,,若要使厶AC^A ABD那么还要需要一个条件, 全等三角形测试题 这个条件可以是: ,理由是: 这个条件也可以是: ,理由是: 这个条件还可以是,理由是: 2. 如图5, 贝EAC= 3. 如图6, "ABC 也"ADE,若/ B=40 °,/ EAB=80 °,/ C=45 ° , ,/ D= ,/ 已知AB=CD D DAC=。 ,AD=BC,则也, 也。 AB丄AC, BD丄 CD 4.如图 C 则图中全等三角形有 5.如图,若AO=OB,/ 1 = / 2,加上条件,则有△ AOC BOC。 6. 如图 6, AE=BF , AD // BC , AD=BC ,则有△ ADF 也 ,且 DF= 。 7. 如图7,在4 ABC 与厶DEF 中,如果 AB=DE , BE=CF ,只要加上/ =Z AB=DE ,要说明厶 ABC DEF , 还缺条件? 还缺条件? 还缺条件? B ) ③三边对应相等的两三角形全等;④有两边对应相等的两三角形全等。 A . 4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 2. 如图,已知 AB=CD AD=BC 则图中全等三角形共有( ) A . 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3. 具备下列条件的两个三角形中,不一定全等的是 ( ) (A )有两边一角对应相等 (B )三边对应相等 (C )两角一边对应相等(D )有两边对应相等的两个直角三角形 3. 能使两个直角三角形全等的条件() (A )两直角边对应相等(B )一锐角对应相等 (C )两锐角对应相等(D )斜边相等 4. 已知△ ABC ◎△ DEF ,/ A=70。,/ E=30 °,则/ F 的度数为 () (A ) 80°( B ) 70°( C ) 30°( D ) 100° 5. 对于下列各组条件,不能判定△ ABC ◎△ ABC 的一组是() A) / A= / A B= / B AB=A ' B ' B) / A= / A AB=A ' B ', AC=A ' C ' C) / A= / A ' , AB=A ' B ' , BC=B ' C ' D) AB=A ' B ' , AC=A ' C ' , BC=B ' C ' 6. 如图,△ ABC ◎△ CDA ,并且AB=CD ,那 么下列结论错误的是() (A )Z DAC= / BCA ( B ) AC=CA (C )Z D= / B (D ) AC=BC ①全等三角形对应边相等; ②三个角对应相等的两个三角形全等; 则在下列条件中,无法判定△ (A ) AD=AE (C ) BE=CD 或 //,就可证明厶 ABC DEF 。 8已知如图,/ B= / DEF , 1) 若以“ ASA ”为依据, 2) 若以“ AAS ”为依 据, 3) 若以“ SAS ”为依据, 二、选择 D 在 AB 上, E 在 AC 上,且/ B= / C , A D E C F 7.如图, 八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图,在正方形ABCD 中,AB=9,点E 在CD 边上,且DE=2CE ,点P 是对角线AC 上的一个动点,则PE+PD 的最小值是( ) A 、3√10 B 、10√3 C 、9 D 、9√2 【变式训练】 1、如图,在矩形ABCD 中,AD=4,∠DAC=30°,点P 、E 分别在AC 、AD 上,则PE+PD 的最小值是( ) A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、 8√3 3 - 2、如图,∠AOB=30°,P 是∠AOB 内一定点,PO=10,C ,D 分别是OA ,OB 上的动点,则△PCD 周长的最小值为 3、如图,∠AOB=30°,C ,D 分别在OA ,OB 上,且OC=2,OD=6,点C ,D 分别是AO ,BO 上的动点,则CM+MN+DN 最小值为 4、如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B ,D 作AB ⊥BD ,DE ⊥BD ,连结AC ,CE . (1)已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x .用含x 的代数式表示AC+CE 的长; (2)请问点C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小并求出它的最小值; % (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式√x 2 +4+√(8?x )2+16 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ,则它的周长为 (2)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ,则它的腰长为 (3)已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ,则它的底边为 ! 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ,则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°,则它的各个内角的度数为 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 D E C 6x B D A 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一:三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中,若7836A '∠=o ,5724B '∠=o ,则C ∠= . (2) 在ABC △中,BC 边不动,点A 竖直向上运动,A ∠越来越小,B C ∠∠,越来越大.若A ∠减少α度,B ∠增加β度,C ∠增加γ度,则αβγ,,三者之间的等量关系是 . (3)如图,在Rt ADB △中,90D ∠=o ,C 为AD 上一点,则x 可能是 ( ) A.10o B20o C.30o D40o (4)如图, 在锐角△ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高,? 且CD 、BE 交于一点P , 若∠A=50°,则∠BPC 的度数是( ) (A )150° (B )130°(C )120°(D )100° (5)四边形ABCD 中,如果∠A+∠C+∠D=280°,则∠B 的度数是( ) (A )80° (B )90°(C )170°(D )20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) (A )9 (B )8 (C )7 (D )6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1.已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B -∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
八年级上册三角形基础知识测试题
浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习
有关三角形知识点总结
中考 三角形知识点复习归纳总结
最新初中数学三角形经典测试题含答案
七年级三角形知识点汇总
全等三角形基础知识测试题
特殊三角形常见题型
与三角形有关的角知识点归纳
三角形知识点总结(1)