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第九章重积分练习题目答案

第九章重积分

一、填空题 2

211

x dx e

dy --??

、二次积分的值是

1(1)2

1222

2)dx x y z dz ++??

、三次积分的值是

3z xoy Ω=

、设空间区域是由上半球面面所围成，则三重

)x y z dv Ω

++=

???积分（25

4(,)y dy f x y dx π

2、二次积分的另一种积分次序是

(,)x dx f x y dy π

sin 5y

x dy dx x

??、二次积分之值1

x y

dy e dx ??、二次积分之值

1(1)2

e -

(,)x

dx f x y dy ??

17、二次积分的另一种积分次序是

(,)(,)y y

dy f x y dx dy f x y dx +

320

(,)x x

dx f x y dy -??

18、二次积分的另一种积分次序是

113

(3)

(,)(,)x x dx f x y dy dy f x y dy -+

9(),()x y

f x e dy f x dx =

?、设则1(1)2

e -

10:14,D

D x y f D f dxdy ≤+≤??、设区域是上的连续函数，将

化成极坐标系下的二次积分为

()d f r rdr πθ?

11z dv Ω

=???、求 28)

π-

222

:1z x y z Ω≥++≤其中

12．设xoy 平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在Ｄ

上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式为()??=

d y x Q σ

,u ．

解：根据二重积分的定义，得薄片D 上电荷Q 的二重积分表达式为()??=D

d y x Q σ

13．由平面

42=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重

积分表示V =??-

dxdy y x )3

1(．

解：将平面方程13

=++

z y x 化为截距式得14

=++z y x ，表示该平面上三个坐标

轴的定点分别为()()??

?0,43

0,0,0,3,1,0,0C B A ,所以积分区域D 由直线13

,0,0=+

==y x y x 围成，有平面方程得()3

421,y x z y x f --

==，所以四面体

O B C A -的体积表示为

dxdy y x )3

14．由二重积分的几何意义计算??

--D

d y x R

σ2

（2

2:R y

x D ≤+）= ．

解：积分表达式为??

--D

d y x R

σ2

，2

2:R y

x D ≤+

由222y x R z --=得2

R z

y x =++，所以2

x R z --=

的几何意义表示

以原点O 为球心，R 为半径的上半球面。又D ：2

:R y x D ≤+表示以O 为圆心，半径为R 的圆面，所以??

--D

d y x R

σ2

的几何意义表示以原点O 为球心，R 为半径的半球

体的体积，因此有

223

421R d y x R D

πσ??

-- 15．??

D d y x f I σ),(．y y x D 2:22≤+，写出I 的累次积分式．

解：y y x D 2:2

≤+化为()112

≤-+y x ，表示积分区域为以点()1,0为圆心，1

=R 为半径的圆面，如习题4图所示，由此得I 的累次积分式为

()()

()

--+---=

11112

,),(y y D

dx y x f dy d y x f I σ

或()?

--+--=

11112

,),(x

dy y x f dx d y x f I σ

16．若dr r r f r d dy y x f dx a

a ???

?--=

)sin ,cos (),(2

θθθβ

，则

=),(βα),2

(

ππ

．

17设Ｄ：122≤+y x

,则由估值不等式得 ??

≤++≤D

dxdy y x )14(2

18由二重积分的几何意义得到

??≤+1

2y x d σ

= .

19交换??

-10

),(x

dy y x f dx 的次序为 .

20设D=dxdy e

y x x y x D

??-≤≤≤≤2

},2,20),{(= .

21D ：422≤+y x ，则σd e

x ??+2

2= 。

22.交换?

?-=

πθθθcos 20

)sin ,cos (a rdr r r f d I 的次序为。

23.设Ω由z=22y x +与平面z=1围成闭区域，把I=???Ω

dv z y x f ),,(化为直角坐标系下的三

次积分为。

24.设Ω由z 2=22y x +与柱面22y x +=1围成的在第一卦限内的闭区域把I=???Ω

dv z y x f ),,(化为直角坐标系下的三次积分为。

二、选择题

1．若D 是由kx y =)0(>k ，0=y 和1=x 围成的三角形区域，且

dxdy xy 15

，则=k （ A ）

A ．1

B ．3

4 C ．3

1 D ．3

2．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ?

θθθsin 20

)sin ,cos (化为直角坐标

系下的二次积分，则=I （ D ）

A ．??

--+--1111112

),(y

y dx y x f dy B ．??

---20222

),(x

x x

x dy

y x f dx C ．??

----1

222

),(y

y y

y dx

y x f dy D ．??

--+--11

11112

),(x

y x f dx 3．二次积分

2),(x dy

y x f dx 交换

积

分

次

序

为

（ C ）

A ．??

014),(y

dx y x f dy B ．??

40),(y

dx y x f dy

C ．??

),(y

dx y x f dy D ．??

24),(y

y x f dy

积分20

a dx dy ?的值是（）．

(A)

a π, (B) 4a π, (C)

a π, (D)

a π

5设1D :1x y +≤, ,0x y ≥; 2D : 1x y +≤, k

x y

k D I e

dxdy +=

??(1,2,3)k =则

（）

(A) 1I = 2I (B) 21I =2I

6.设1D :34x ≤≤, 02y ≤≤, 则二重积分2

()

dxdy x y +??

的值为（）．

(A) 10ln

(B)16ln

(D)25ln

7由2y x =及直线1y =所围成的均匀薄片Ｄ（密度ρ＝１）对直线l ：1y =-的转动惯量

为（）．（Ａ） 2

(1)D

y dxdy +?? （Ｂ）

(1)D

y dxdy -??

（Ｃ）

(1)D

x dxdy -?? （Ｄ）

(1)D

x dxdy +??

8.设Ω是锥

体z ≤ (0)z ≥介于1z =和2z =之间的部分,则三重积分

222

()D

f x y z dv ++???

化为三次积分为[ ]

(Ａ)

222

0()z

a dz d f r z rdr π

?+?

? (Ｂ)

400

()sin d d f r r dr π

π????

（Ｃ）22

()d rdr f r z dz π

?+?

?? （Ｄ）22

()sin d d f r r dr π

ππ????

解（4）(C) 积分区域{(,)|02cos ,0}2

D a π

ρθρθθ=≤≤≤≤

，在极坐标系中

原式 2

2cos 2

2cos 220

·[

a a d d d π

θθ

θρρρθ=

3134cos

d a a π

πθπ=?

．

(5) (D)．因为被积函数 (,)x y

f x y e +=为,x y 的偶函数, 而1D 正好是2D 的

． (6) (A)．2

()

dxdy x y +??

=422

()

dy dx x y +??

2dx x

x ??-

?+???=4

ln 2x x ?

? ?

+??

=10ln

(7) （Ａ）．

(8) （Ａ）．先用截面法，再对二重积分利用极坐标化为累次积分 9.D=}2

,1),{(22-≥≤+x y x Y x 则σd y x D

)(2

2??+=( )

(A)?-1

21dx

dy y x x

)(2

112

---+ (B)

---2

11?

+12

2)(dx y x

(C)

1dx

dy y x x )(2

+ (D)

1dx

dy y x )(12

10.改换??

---1

112

),(y

dx y x f dy 的次序，则下列结果正确的是（）

（A ）??2

1),(x

dy y x f dx （B ）??2

1),(x x

dy y x f dx

（C ）??31

1),(x x

dy y x f dx （D ）??1

),(x x

dy y x f dx

11．Ω由不等式2

x z +≥

，1)1(222≤+++z y x 确定，则???Ω

dv z y x f ),,(=（）

（A ）?

≤+2

),,(y x dxdy z y x f dz

（B ）???

≤+2

),,(z

y x dxdy z y x f dx

（C ）???-≤+2

2),,(z

z y x dxdy z y x f dx

（D ）???-≤+2

z y x fdxdy dz

+???

-≤+1

z y x fdxdy dz

12． Ω为锥球：12

≤++z y x ，则???

++dv z y x 2

=（）

（A ）???Ω

dxdydz （B ）ρ?ρ?θπ

πd d d sin 20

（C ）ρθρ?θπ

πd d d sin 20

?? （D ）ρ?ρ?θπ

d d d sin 20

三．计算题：

1.??+D

x d e

σ23．2||,2||:≤≤y x D ．

解：??

??-+-+=

232

23y

x D

x e

dx d e

dx e y x 2

22321--+????

???= ()()

()

()()

16131212

----+--+---+--+--=

+--=-?=-=??e

e e e

dx e

e x x x x

2.??+D

d y x σ)(2

．1||||:≤+y x D ．

解：由1||||:≤+y x D 可知积分区域如习题6.（2）图所示

由于对称性，()dy y x

dx d y x x

x D

???--+=+11

2)(σ

()()()()3

2323432232243

821311*********

34102

032

3211

1032

?? ??+-+-=??? ??+-+-=??

????-----+-=?

? ??+=???--x x x x dx

x x x dx

x x x x x x dx

y y x x

3.??

dxdy y

21．10,10:≤≤≤≤y x D ．

解：dy y

dx dxdy y

211

4arctan 10

πππ=

===?

dx x dx

4.??

--D

dxdy y x )2(2

1．2

,:x y x y D ==．

解：积分区域如习题6.（4）图所示，是x 型区域，联立???==2

y x

y 得交点坐标()()1,1,0,0 ()dy

y x dx dxdy y x x

--=

--1

)2(2

120

1110141671212127221

212211

04321022

??? ??++-=??

? ??++-=??

? ??

--=??dx x x x x dx

y xy y x x

5.计算二重积分,??D

xyd σ其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域.

解如图,D 既是—X 型，也是—Y 型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分

为两部分来计算，故选择后者.

dy xydx xyd y y

-+??

2122

σdy

y y y dy y x y y ?

-+--+=????

??=

12])2([21

2346234421-??????-++=y y y y .8

55= 6 交换二次积分?

?-x

dy y x f dx 10

),(的积分次序.

解题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以

???

--=

dx y x f dy

dy y x f dx

.),(),(

7.交换二次积分?

dy y x f dx 2

),(1

0的积分次序.

解题设二次积分的积分限:,,102x y x x ≤≤≤≤ 可改写为:,

,10y x y y ≤≤≤≤

所以

???

y y

dx y x f dy dy y x f dx .),(),(10

102

8．交换下列累次积分的积分顺序： ⑴??

--a

x a dy y x f dx 2

),(．

解：??

--a a

x a dy y x f dx 2

),(表示积分区域为以原点O 为圆心，半径为a 的半圆面，如

习题5（1）图所示，所以??

-----=a y

a y

a a

a x a dx y x f dy dy y x f dx 0

),(),(

⑵?

),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ．

解：?

??-+

),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 的积分区域如习题 5.(2)图所示，其中

()?

1,y

dx y x f dy I ，()?

2,y

dx y x f dy I

作为整体()?

?-=

dy y x f dx I

9．运用极坐标变换计算下列二重积分： ⑴??

dxdy y x 2

2．1:2

2≤+y

x D ．

解：作极坐标变换，()πθθ

θ20,10sin ,cos 4≤≤≤≤==r r y x

θσrdrd d r

x ==+2

πθ

θπ

220

dr r d rdrd r dxdy y x D D

⑵??+D

dxdy y x )(2

．y y x D 6:2

2≤+．

解：将θθsin 4,cos ==y r x 代入by y x =+2

2中得

θsin 2

br r

=，所以()πθ

≤≤=0sin b r

由对称性知?

???=

?=+θ

πθsin 0

232

32)(b D

b rdr r d dxdy y x

⑶??++D

d y x σ)1ln(22．4:2

2≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．解：积分区域如图所示

??? ?

≤≤≤≤==20,20sin ,cos πθθ

θr r y r x

(

)

rdr r d d y x D

++2

21ln )1ln(π

(

)()

()()()[]()()[]()

45ln 54

1055ln 52

11ln 12

111ln 2

2020

---=+-++=++?

????

θθπ

d d r r r r

d r d

10．在直角坐标系中计算下列三重积分：

⑴dxdydz z xy V

???．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．

解：15

9685

131

????

dz z dy y xdx

dxdydz z xy V

⑵dxdydz z y x V

???++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2

++z y x 围成．

解：由2

++z y x 得该平面与三个坐标轴的交点分别为

??? ??

??? ????? ??2,0,0,0,2,0,0,0,2πππC B A

由0=z 得x y -=

，所以2

0π

≤

≤x ，x y -≤

≤2

0π

，y x z --≤

≤2

0π

所以()??????---++=++x

x V

dz z y x dy dx dsdydz z y x 2

sin )sin(π

()

()()()

()d

x dx x y x dy

y x dx dy

z y x dx x

x x

?-=

? ??-=

+=??

???+--=++-=--------20

2020

sin 1sin 2sin sin cos cos 2cos cos π

ππ

πππ

()20cos π

x x +=

()

10.02

+-+=π

11 化三重积分???Ω

dxdydz z y x f ),,(为三次积分,其中积分区域Ω为由曲面

x z +=及22x z -=所围成的闭区域.

解注意到题设两曲面的交线?????-=+=2

222x

z y

x z 为一圆,122=+y x 故Ω在xOy 面上的投影

为圆域:D 12

2≤+y

x 或2

2111

1:x

y x

x D -≤≤????

?--≤≤-

对D 内任一点),,(y x 有22222x z y x -≤≤+ 所以 ?

??-+=

22),,(x

x D

dz z y x f dxdy I .),,(2

221111

dz z y x f dy

dx x

x x

?-+----=

12 计算,22???Ω

+dv z x 其中Ω是由曲面22z x y +=与4=y 平面所围成.

解将Ω往zOx 平面投影得投影域zx D 是个圆域，而Ω的左界面为22z x y +=，右界面为4=y .故

???

+Ω

x D

dy z x dzdx

dv z x

.)4(2

222

dzdx z x z x z x +--=

≤+

采用极坐标计算这个二重积分得

.15

128)4(2)4(2

220

2ππ

-=?-=

???

dr r r rdr r r d dv z x

注:若将Ω往xOy 面投影，再计算则比较复杂. 13．在柱面坐标系下计算三重积分

d x d y d z y x V

???+)(2

2，其中V 由旋转抛物面

)(2

y x z +=

及平面2=z 所围成的立体．

解：使用极坐标??

??===z z r y r x θθsin cos ， dz rdrd dV θ=，

r y

x =+，曲面z y

x 22

2=+变为z r z r

2,22

所以πθ20,20,20≤≤≤

≤≤≤r z

???

dxdydz y x I )(2

πθπ

1641220

420

=??????=?=

r dz rdr

r dz d

14．在球面坐标系中计算三重积分

d x d y d z

y x z

y x V

???

++++2

22c o s ，2

2222

4:ππ

≤++≤z y x V ．

解：使用球坐标??

???===φθφθ

φcos sin sin cos sin r z r y r x ，φθφd drd r dV sin 2

r z

y x =++，积分区域为球壳

由2

222

4ππ

≤++≤z

y x 得ππ2≤≤r ，且πθ20≤≤，πφ≤≤0

所以 dr r r

d d I φφθπ

ππ

sin cos

[]()π

φπφφθ

φφθπ

cos 2cos sin sin cos sin 0200

2200

2=?-?=+?=

??=?

???

r r r d d dr

r r d d

15．运用三重积分求半径为R 的球体的体积．

解：球体2

22:r z y x V ≤++，利用球坐标??

???===φθφθφcos sin sin cos sin r z r y r x

则R r ≤≤0，πθ20≤≤，π?≤≤0，于是球体积为

???

d drrd r dxdydz V φθφsin 2

???

dr r d d 0

sin ππ

φφθ

()3

1cos 2R

πφππ

-?=

四．应用题

1．现有一平面薄片，占有xy 平面上的区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x u ，且

),(y x u 在D 上连续，求该平面薄片的重心表达式．

解：根据力学知识，物体的质量连续分布时，质心坐标为 ??=

xdm x c ，??=

ydm y c

对于面密度为()y x ,μ的平面落片，()dxdy y x dm ,μ=，故该平面落片的质心表达式为

()()????=

c dxdy

y x dxdy

y x x x ,,μμ，()()????

D c dxdy

y x dxdy

y x y y ,,μμ

2 设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量ρ），两直角边长分别为b a 、，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.

解设三角形的两直角边分别在x 轴和y 轴上，对y 轴的转动惯量

y I ??=D

dxdy x

? ??

-=b y a b

dx x dy 10

??? ??

b dy b y a

1ρ.12

ρb a =

同理,对x 轴的转动惯量

x I ??

dxdy y 2

.12

ρab =

3 求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.

解如图，由对称性，有

,442

22??

--=D

dxdy y x a V

其中D 为半圆周,22

x ax y -=及x 轴所围成的闭区域.

在极坐标中，积分区域.cos 20,20:θπθa r D ≤≤≤≤

???

-=-=θ

θcos 20

202

4444a D

rdr r a d rdrd r a V

.322

332

)sin 1(3

3232

??? ??-=

θθπ

a d a

4．运用三重积分求球面z z y x 22

22=++和锥面（以z 轴为轴，顶角为?90）所围部分的体积．

解：球面方程为z z y x 22

>++化为()112

22=-++z y x ，表示球心在()1,0,0处，

半径1=R ，球面通过原点O ，内接锥面的顶点也在原点O ，利用球坐标，则球面方程为

cos 2=r ，锥面方程为

=?，要求体积的区域是

450,20,cos 20≤≤≤≤≤≤?πθ?r ，故有

??θ20

cos 20

sin dr r d d V

()π

π?

??π?

?π

??π?

=??

??--=?

-=-=?=?

? ??==?

14134cos 4

16cos cos 316cos sin 3

8231sin 2sin 20

450

cos 20

345

0cos 20

d d d r dr

r d

5.求曲面z z y x 8)(2222=++围成部分的体积．

解：利用球坐标??

??===φθφθ

φcos sin sin cos sin r z r y r x ，原方程化为φcos 84r r =

所以φcos 83=r ，3cos 2φ=r ，由于0>z ，则有 3cos 20φ≤≤r ，πθ20≤≤，2

0π

φ≤

≤

???

V d drd r V φθφsin 2

φφθ

cos 20

3sin dr r d d

cos 20

333

1sin 2π

φφφπ

d r

()

πφφπφ

φφππ

8sin 2

1316sin sin 316cos sin 3

=?=?

?d d

6．一段铁丝刚好围成三角形ABC ，其中)0,0(A 、)0,1(B 、)1,0(C ，三边上点),(y x 处的线密度为y x +，求这段铁丝的质量．

解：AB 段 0y =，1dl dx =，密度10x y x x ρ=+=+= 所以 11110

A B m dl xdx ρ=

AC 段 0x =，2dl dy =，密度20x y y y ρ=+=+= 所以 11220

A C m dl ydy ρ==

BC 段 3dl ==

，密度31x y ρ=+=

所以 1

330

1BC m dl ρ=

故这段铁丝的质量 1m =+7. 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.

解取球心为坐标原点，球的半径为z a ,轴与轴l 重合，则球体所占空间闭区域

|),,{(2

a z y x z y x ≤++=Ω

所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量为

z I ???

dv y x ρ)(2

2???

Ω+=)

sin sin cos sin (2

22222θ?θ?ρ

r r

θ??d drd r sin 2

θ??d drd r ???

sin ?

?=a

dr r d d 0

sin π

π?

?θ

ρ?

?=π

?πρ0

sin 5

2d a

ρπa .5

M a =

其中ρπ3

4a M =为球体的质量.

五．证明题

1.证明

---=

a x

b y

a x

b a

dx x f e

x a dx x f e

dy 0

)

)()()(

其中a 、b 均为常数, 且0>a .

证等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0

所以

dx x f e

a x

b ?

-0

)

()(dx dy x f e dy x f e

x a x b a

a x

b ?

???=

--0

)(0

)

()()(.)()(0

)

(dx x f e

x a a

a x

b ?

--=

2.证明不等式 ,

2)sin (cos 12

≤+≤

dxdy x y 其中.10,10:≤≤≤≤y x D

证因为D 关于y x =对称，所以dxdy

y dxdy x D

??=

cos cos ，故

dxdy

x x dxdy x y D

+)sin (cos )sin (cos 2

又由于)4

sin(2sin cos 222π+

=+x x x 及102

≤≤x 而D

的面积为 1. 由二重积分性质,有

.2)sin (cos

≤

+≤

??dxdy x y D

3.求证：?

??-=

dx x g a g x f dx y g x f dy 0

0)]()()[()()(

高等数学(同济五版)第九章-重积分-练习题册

第九章重积分第一节作业一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2；（B ）I 1〈I 2；（C ）I 1=I 2；（D ）I 1=4I 2。答：（）三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第二节作业一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则

?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ?? ?? ? ????? +----=1 10 2210 10 2 2 101 02210 10221 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设答：（） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 2 2222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设答：（）三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的由直线其中求

第十章重积分练习题(答案)

1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.

高等数学习题册解答_10.重积分(青岛理工大学)

第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值 dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2.4..312.4.= -) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。解： dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 .34.21a π 81 =a 3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I 5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222)]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D a dxdy y x f a ),(1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ

第九章二重积分习题课

第九章二重积分习题课高等数学课讲教案主讲人课题第九章重积分习题课目的任务使学生进一步理解本章的知识要点，熟练重积分的计算。重点难点本章知识要点的进一步理解，重积分计算的熟练掌握。教学方法讲授法使用教具提问作业备课时间年月日上课时间年月日查阅抽查一、本章内容小结 1. 二重积分的定义及其几何意义 1) 重积分的定义: 2) 说明: n * 二重积分是和式的极限值，故是一个数，这个数只与被积函数 f(,,,),,,iii,1i 及积分区域有关，与积分变量的字母无关，即有 f(x,y) f(x,y)d,,f(s,t)d,,,,,DD * 和式的极限若存在，则与区域D如何划分及点如何选无关，为此常选方便(,,,)ii计算的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割区域，则，此时二重d,,dxdy 积分 f(x,y)d,,f(x,y)dxdy,,,,DD

D * 若函数在有界闭区域上连续，则函数在上的二重积分总存在，称 f(x,y)f(x,y) D函数在上可积。 f(x,y) 3) 重积分的几何意义. 2. 二重积分的性质: 注意性质所适用的条件，中值定理的几何意义 3. 二重积分的计算法: 二重积分的计算法采用累次积分，即把二重积分化为二次积分，通过两次定积分的计算即求得二重积分值，分以下两种情况。 y,x,1) 在直角坐标系下:将区域划分为型或型计算. 2) 在极坐标系下:将区域按照与极点的位置来划分并计算. * 两种坐标系的适用范围、面积元素、表达式及变量替换对照表如下: 直角坐标极坐标积分区域矩形、三角形或任意形圆形、环形、扇形 dxdyrdrd,面积元素 x,rcos,y,rsin,变量替换 f(x,y)dxdyf(rcos,,rsin,)rdrd,积分表达式 ,,,,DD * 计算二重积分关键步骤是确定累次积分的上、下限，而上、下限的确定关键在于正确画出积分区域草图和正确运用不等式表示积分区域，把不等式小的一端列为积分下限，大的一端为积分上限。注意:先一次积分的上、下限一般是后面积分变量的函数，且最后一次积分的上、下限应是常数。 d,,rdrd,* 若在极坐标系中要注意，不能丢:正确写出积分区域的边界曲线在r 极坐标系下的方程;选正确公式。 4. 二重积分的应用:

重积分部分练习题

(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0；（B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )

第十章重积分自测题(答案)

第十章《重积分》自测题一、单项选择题 1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小顺序为（ B ）。（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3．改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序，则下列结果正确的是（A ）（A ）??21 1),(x x dy y x f dx （B ）??2 1 1 ),(x x dy y x f dx （C ）??31 1),(x x dy y x f dx （D ）??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2 D I y x dxdy = -?? 的值为（ D ）（A ） 23 ；（B ） 43 ；（C ） 2115 ；（D ） 4615 5．设D ：2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D f x y dxdy ??可化为（ D ）。（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ；（B ）sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ；（C ）sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? ＋sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ；（D ） sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? ＋ cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6．Ω由不等式2 2 y x z +≥，222 (1)1x y z ++-≤确定，则???Ω dv z y x f ),,(=（D ）

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第九章重积分一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部，则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域，则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ，则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?

重积分部分练习题

重积分部分练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）1 4 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0；（B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 01 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)20 1 (,)dy f x y dx -?? 答 ( )

(3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)21 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分2 1 1 02 (,)y dy f x y dx ??可交换积分次序为 (A)10010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +? (B)11 210 2 (,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++??? (C)1 0(,)dx f x y dy ? (D)222cos 0 sin (cos ,sin )d f r r rdr π θθ θθθ?? 答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为 (A)1 2 20 1 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+???? (B)2 1 2200 1 (,)(,)x x dy f x y dx dy f x y dx -+?? ?? (C)120 (,)y dy f x y dx -? (D)2120 (,)x x dy f x y dx -?? 答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)D f x y dxdy ??化成累次积分为 (A)2cos 0 (,)d F r dr πθ θθ?? (B)2cos 0 (,)d F r dr πθ π θθ-??

习题册重积分答案

第十章总积分习题解答第12次课二重积分的概念及性质 1、略 2、根据这三点可知区域： 2 120ln()10[ln()]ln() x y x y x y x y ≤+≤?<+

第13次课二重积分的计算法 1、（1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤ 1 1 22221 1 8 ()()3 D x y d dy x y dy σ--+=+=???? 或者：根据对称性质： 2222882()233D D D y d x y d x d σσσ==+==?????? （2）根据积分区域： 0000 cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos ) 22() 232 x xdx x y dy x x x dx x x xdx x x xdx π π π π π π π π ππ+=-=---+=-+=? ???? （3）根据积分区域 3 2 22 2 22 0235222 22 2 00 2(4)311264 (4)(4)(4)335 15 D xy d xdx y dy x x dy x d x x σ==-=- --=--= ??? ?? （4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤ 1 110 1 12200()4()4()14 4((1)(1))2(1)23 y D D x y dxdy x y dxdy dy x y dx y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-= ?????? ?? P45

二重积分练习题

二重积分自测题（一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域，记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ，则 ??=D dxdy x f )(（）

(完整版)重积分习题及答案

第九章重积分 (A) 1．填空题 (1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<

重积分习题参考答案Word版

重积分习题参考答案习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1.(1)4 0(,)x dx f x y dy ??或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 2012 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2 122 012 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)1 01(,)x dx f x y dy -?或1 1(,)y dy f x y dx -?； (4)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2.(1)4 02 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 102(,)y dy f x y dx -??; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3.(1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4.(1)92； (2)21122e e -+. 5.335 . 6.(1)20(cos ,sin )b a d f r r rdr πθθθ??； (2)2cos 20 2(cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -??; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+??;

二重积分练习题,DOC

二重积分自测题（一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域，记：??σ+=D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22，则（） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（） A ．??-+212 2 ),(x x dy y x f dx B ．??-212 0),(dy y x f dx C ．??-+1 22 2 ),(x x dy y x f dx D ．??+1 02 2 ),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分??=4 02),(x x dy y x f dx （） A ．??404 12 ),(y y dx y x f dy B ．?? -4 0412),(y y dx y x f dy C ．??4041),(y dx y x f dy D ．??402 12 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分??=-202 2 x y dy e dx （） A ．)1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 12--e 6．设D 由 141 22≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2 2 11，??σ+=D d y x I )(222， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（）

二重积分习题答案

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第八章二重积分习题答案练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习题八一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×）二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序

二重积分(习题)

第九章二重积分习题9-1 1、设??+= 1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 322 2)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有 0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1 ),(2),(D D d y x f d y x f σσ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos .

解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

[整理]三重积分重积分习题.

第九章重积分第六讲三重积分、重积分应用习题课教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分．教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时教学过程一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 2 2y x --及z=x 2+y 2 所围成的闭区域. 分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标

平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2 2y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将Ω投影到xoy 平面上，由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有22y x z +=≤222y x z --= ，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?，于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2 表示为z= 2ρ，z=2 22y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为 Ω：??? ? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz

§-9-重积分习题与答案

第九章重积分 A 1、填空题 1）交换下列二次积分的积分次序（1） ()=??-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2） ()=??dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3） ()=??dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4） ()=??---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5） ()=??dy y x f dx e x 1ln 0,______________________________________________ （6） ()()=??---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx x y ??-2 022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ??+=的值则。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 ??+=的大小________________________________ 5）设()?????? ≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D ??+-=2sin 1 ___________________________________________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ???Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I 7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分

重积分练习题及答案

重积分练习题 A 一、填空题 1. 2 22 x y R σ+≤=?? 3 23 R π； 2. 1 (1)x y x y d σ+≤++=?? 2；（对称性及积分性质3） 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 1 (,)(,)(,)x y f x y dx f x y dy f x y dy =+?，其中D 为 ,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 (1)2 120 (,)y y dy f x y dx -=?? 1 220 1 (,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+? ?? ； (2) 1 20 (,)x x dx f x y dx -=? ? 1 220 1 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+? ??? ； 5. 将二重积分 (,)D f x y d σ?? 转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20 (cos ,sin )d f d π θ θρθρθρρ?? ，其中 D 为0,y y == 6. 将三重积分 (,,)f x y z dv Ω ??? 化为三次积分 1 10 (,,)x xy dx dy f x y z dz -? ? ?，其中Ω为z xy =， 1,0x y z +==所围成的封闭区域； 7. 将三重积分 (,,)f x y z dv Ω ???化为柱面坐标系下的三次积分 21 (cos ,cos ,)d d f z dz π ρ θρρρθρθ? ?，其中Ω 为z = ，z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域；解： 3321 21 1111()10ln 322 x x D xydxdy dx xydy x x dx x ==-=-??? ?? 2. 计算二重积分 ()D x y dxdy +??，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域；解：1 1 12200022 177 ()()()2824y y y y D x y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==?????? 3. 计算二重积分 D ，其中D : 22(1)1x y -+≤；解：极坐标系下，由对称性 2cos 2 3220 01632 2cos 39 D d d d π πθ θρρθθ===?? ? 4. 计算二重积分 2211D xy dxdy x y +++??，其中D :221,0x y x +≤≥；

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