《导数及其应用》单元测试题(文科)12.26
《导数及其应用》单元测试题
一、选择题
1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()
(
)f x f x g x g x -=--=
，，且0x >时，
()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）
（A ） 10<b （D ） 2
1 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ． 2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32 9．设2:()e ln 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则 M m -=＿＿． 13．点P 在曲线3 23 + -=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值 范围是 14．已知函数53 12 3 -++= ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三．解答题 15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围． 17．已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程； （2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围. 18．已知()R a x x a ax x f ∈+++-= 14)1(3 )(2 3 （1）当1-=a 时，求函数的单调区间。 （2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。 19．已知函数()2 a f x x x =+ ，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； （2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求 实数a 的取值范围． 解答 1． = ?='x x f 2 42)(πx x f 2 8)(π='2． [] = ?-?= '2 1)(x x x e e x e x f ， ()[] 1,012 <∴>?-x e e x x x 选(A) 3.(B)数形结合 4.A 由()b x b x x f -=-='22333)(,依题意，首先要求b>0, 所以 ( )( ) b x b x x f - + ='3)(由单调性分析，b x = 有极小值，由()1,0∈= b x 得. 5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 6．（D ）7．（D ）8．（C ）9．（B ） 10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ， = -)2()3(f f AB k f f =--2 3)2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 11． 1,e ??+∞???? 12．32 13．?? ? ? ??????? ??πππ ,432,014. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 15. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为 ??? ? ? -=-= 230(m) 35.44 1218＜＜x x x h . 故长方体的体积为).2 3 0() (m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜ 3 2时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。 从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 16．解：（1）2 ()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=?， ． 解得3a =-，4b =． （2）由（Ⅰ）可知，3 2 ()29128f x x x x c =-++， 2 ()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈， 时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈， ，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，． 17．解（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 0,()x g x =3;1,()m x g x +=………………………10分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? ,3220 m m m +>?-<<-?+ 函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线. 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………14分 18．（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a (),2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a