江苏省2015年高考一轮专题复习特训
不等式
一、填空题
1、(江苏省诚贤中学2014届高三12月月考)已知实数y x ,满足约束条件
??
?
??≤+++≥≥0
,12,
0k y x x y x (k 为常数)
,若目标函数y x z +=2的最大值是311,则实数k 的值是 ▲ . 答案:-3
2、(江苏省张家港市后塍高中2014届高三12月月考)已知点P 的坐标
4
(,)1x y x y y x x +≤??
≥??≥?
满足,过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点,
则AB 的最小值为 ▲ .
答案:
3、(江苏省诚贤中学2014届高三12月月考)设正实数z y x ,,满足
04322=-+-z y xy x ,则当z
xy
取得最大值时,2x y z +-的最大值为____ 答案:2
4、(江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研)若动点(,)P m n 在不等
式组24
00
x y x y +≤??
≥??≥?
表示的平面区域内的动点,则11n z m +=+的取值范围是
▲ .
答案:1
[,5]3
5、(江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考)设x ,y 是正实数,且x+y=1,则
的最小值是 .
答案:1
4
6、(江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研)已知()()1,2,4,a x b y =-=,若
a b ⊥,则93x y +的最小值为 ▲ . 答案:6
7、(江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研)已知点Q b a p 与点),((1,0)在直线0132=+-y x 的两侧,则下列说法 (1)0132>+-b a (2)0≠a 时,
a
b
有最小值,无最大值 (3)M b a R M >+∈?+22,使恒成立 (4)且0>a 1≠a ,时0>b , 则
1-a b 的取值范围为(-),3
2
()31,∞+?-∞ 其中正确的是 (把你认为所有正确的命题的序号都填上) 答案:(3)(4)
8、(江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考)设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是 ▲
9、(江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考)设y x ,均为正实数,且
33
122x y
+=++,则xy 的最小值为 ▲ 答案:16
10、(江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考)已知不等式组y x y x x a ≤??
≥-??≤?
,,
表示的平面区域S 的面积为4,若点S y x P ∈),(,则y x z +=2 的最大值为6. 答案:6
11、(江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考)已知实数,x y 满足??
?
??≥≤≥-01
0y x y x
且目标函数by ax z +=2 )0,0(>>b a 的最大值是1,则ab 的最大值为
答案:8
1
12、(常州市武进区2014届高三上学期期中考)若实数x 、y 满足
()222x y x y +=+,则x y +的最大值是 ▲ . 答案:4
13、(苏州市2014届高三上学期期中)不等式
1
3x x
+<的解集为 ▲ . 答案:1(,0),2
??-∞+∞ ???
14、(苏州市2014届高三上学期期中)设0x ≥,0y ≥且21x y +=,则223x y +的最小值为 ▲ . 答案:34
15、(淮安、宿迁市2014届高三11月诊断)将一枚骰子(一种六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,向上的点数分别记为,m n ,则点(,)P m n 落在区域22x y -+-≤2内的概率是 ▲ . 答案:
3611
16、(苏州市2014届高三上学期期中)设0a b >>,则()
211a ab a a b ++-的最小值为 ▲ . 答案:4
17、(无锡市2014届高三上学期期中)定义运算()
()b a b a b a a b >?⊕=?≤?
,则关于正实
数x 的不等式14
2()(2)x x x x
⊕+≤⊕的解集为 。
答案:[1,2]
18、(兴化市2014届高三上学期期中)设实数y x ,满足??
?
??≤-≥-+≤--020520
2y y x y x ,则
xy
x y u 2
2-=的取值范围是___
答案:??
?
???-23,38.
提示:令x y t =
,则t
t u 1-=. 19、(兴化市2014届高三上学期期中)已知函数()()R x k x x kx x x f ∈++++=,1
1
2
4
24.则()x f 的最大值与最小值的乘积为
3
2
+k . 解析:()()1
11112
422424++-+=++++=x x x k x x kx x x f ,而2
421x x ≥+ 所以31
1
02
42≤++≤x x x 当1≥k 时,()()1,32
min max =+=
x f k x f ; 当1 max min =+=x f k x f . 因此()()3 2 min min +=?k x f x f . 20、(徐州市2014届高三上学期期中)如果22log log 1x y +=,则2x y +的最小值是 。 答案:4 21、(扬州市2014届高三上学期期中)已知实数x ,y 满足5030x y x x y -+≥?? ≤??+≥? ,则目 标函数2z x y =+的最小值为 ▲ . 答案:-3 22、(常州市武进区2014届高三上学期期中考)若关于x ,y 的不等式组 10, 10, 10x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于3, 则a 的值为 ▲ . 答案:5 23.(2012江苏卷14)已知正数a b c , ,满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,则b a 的取值范围是 . 【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥, ,()c b c c b c a ln ln ln =-≤,得到 ln ,1a c b a b e c c c ≥≥>,得到c b <.又因为b a c ≤-35,所以35 a b c +<,由已知a c b -≤4,得到4a b c +> .从而b b a ≤+4 ,解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式 的等价变形,做到每一步都要等价.本题属于中高档题,难度较大. 24、(江苏2011年5分)在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x x f 2 )(= 的图象交于P 、Q 两点,则线段PQ 长的最小值是 ▲ 【答案】4。【考点】函数的图象及性质的应用,基本不等式的应用。 【分析】根据函数的对称性,设经过原点的直线与函数的交点为2(, )x x ,2(, )x x --, 则PQ 4。 本题也可以直接画图结合函数的对称性可知,当直线的斜率为1时,线 段PQ 长的最小,最小值为4。 25.(江苏2010年5分)设实数x ,y 满足3≤2 xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最 大值是 ▲ 。。来源 【答案】27。 【考点】基本不等式在最值问题中的应用,等价转化思想。 【分析】∵3≤2 xy ≤8,∴211183xy ≤≤;又∵4≤y x 2≤9,∴2 21681x y ??≤≤ ???,即 4 21681x y ≤≤。 ∵344221x x y y xy =?,∴3411168183x y ?≤≤?,即3 4227x y ≤≤。∴43y x 的最大值是 27。 二、解答题 1、(2014江苏卷21) D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明:(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分. 证明:因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>,1+x 2+y ≥0>, 所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy. 2、(2013江苏卷21) D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分。[来源:学#科#网] 已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥- 答案: D 证明: ∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a () )(22222b a b b a a --- () )2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥- 3、(海安县2014届高三上学期期中) 3、(海门市2014届高三11月诊断)某地发生某种自然灾害,使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个单位的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克 /升)满足()y m f x =,其中()2log (4),04 6 ,42 x x f x x x +<≤??=?>?-?,当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化....;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.... . (1)如果投放的药剂质量为4=m ,试问自来水达到有效净化....一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为m ,为了使在7天(从投放药剂算起包括第7天) 之内的自来水达到最佳净化....,试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 解:(1)由题设:投放的药剂质量为4=m , 自来水达到 有效净化.... 4()6f x ?≥ ………2分 3 ()2 f x ?≥ 204 3log (4)2x x <≤????+≥??或46 322 x x >?? ?≥?-? ………4分 04x ?<≤或46x <≤,即:06x <≤, 亦即:如果投放的药剂质量为4=m , 自来水达到有效净化....一共可持续 6 天; ………8分 (2)由题设:(0,7],6()18x mf x ?∈≤≤,0m >, ………10分 ()2log (4),046 ,42 x x f x x x +<≤?? =?>?-?, 2(0,4],6log (4)18x m x ∴?∈≤+≤,且6(4,7],6182 m x x ?∈≤≤-,………12分 26318 m m ≥?∴? ≤?且 6 6 5 318 m m ?≥???≤?, ………14分 36 56m m ≤≤?∴? ≤≤? , 56m ∴≤≤, 亦即:投放的药剂质量m 的取值范围为 [5,6]. ………16分 4、(淮安、宿迁市2014届高三11月诊断) 5、(苏州市2014届高三上学期期中)设a 、b 、c 均为实数,求证: a 21+ b 21+c 21 ≥ c b +1+a c +1+b a +1. 证明:∵,,a b c 均为实数, ∴2 1(a 21+b 21)≥ab 21≥b a +1 ,当a b =时等号成立; …………………4分 21(b 21+c 21)≥bc 21≥c b +1 ,当b c =时等号成立; ………………6分 21(c 21+a 21)≥ca 21≥a c +1. ……………………8分 三个不等式相加即得 a 21+ b 21+ c 21≥c b +1+a c +1+b a +1 , 当且仅当a b c ==时等号成立. 5、(兴化市2014届高三上学期期中)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为()x R 万元,且 ()?????? ? >-≤<-=10 ,3100010810 0,30 18.1022x x x x x x R . (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? 解:(1)由题意得???????>--??? ? ?-≤<--??? ? ?-=10,107.231000108100,107.23018.1022x x x x x x x x x W , 即??? ? ?? ? >??? ??+-≤<--=10 ,7.2310009810 0,103011.83x x x x x x W . (2)①当100≤ 11.83 -- =x x W 则()()109910811011.822x x x x W -+=-=-=' ∵100≤ ∴当90< 6.385 193 =万元. ②当10>x 时,??? ??+-=x x W 7.23100098387.2310002 98=?-≤x x . 当且仅当 x x 7.231000=,即109 100 >=x 取最大值38. 综上,当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 6、(扬州市2014届高三上学期期中)某小区有一块三角形空地,如图△ABC ,其中AC=180米,BC=90米,∠C=90?,开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所,在△ABC 内的P 点处有一服务站(其大小可忽略不计),开发商打算在AC 边上选一点D ,然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ,在△ADE 区域内绿化,在四边形BCDE 区域内修建运动场所.现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米,与BC 距离为100米.设DC=d 米,试问d 取何值时,运动场所面积最大? D C B 解法一:以C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CA 所在直线为y 轴建立直角坐标系, ···························· 2分 则(0,0)C ,(0,180)A ,(90,0)B ,(10,100)P ,(0,)D d . DE 直线方程:100 100(10)10 d y x --= --,①·········· 4分 AB 所在直线方程为2180x y +=,② ············· 6分 解①、②组成的方程组得,101800 120 E d x d -= -, ·········· 8分 ∵直线DE 经过点B 时2252d =,∴225 02 d <<, 11101800 ||(180)22120 ADE E d S AD x d d -= ?=?-?- ·········· 10分 =2 (180)5120d d -?-,设15120(,120)2d t -=∈, 2 (60)5ADE t S t +=?=36005(120)t t ?++, 3600 120t t + ≥(当且仅当60t =,即4k =时取等号),此时12060d t =-=, ∴当d =60时,绿化面积最小,从而运动区域面积最大. ···· 15分 解法二:如图,分别过点,P E 作AC 的垂线,垂足为,Q F ,设EF h =,则 若如图1所示,则10,100,100PQ CQ DQ d ===-, 由AFE ACB ??得 18090 AF h =,即2A F h =,从而1802CF h =-, 1802DF h d =--, 由DPQ DEF ??得 101001802d h h d -=--,解得180010120d h d -=- (若如图2所示,则10,100,100PQ CQ DQ d ===-,2AF h =,1802CF h =-, 2180DF h d =+-,由DPQ DEF ??得 101001802d h h d -=--,解得180010120d h d -=-) 由090h <<得225 02 d <<, 由11101800(180)22120 ADE d S AD h d d -= ?=?-?-(下同解法一) 7、(江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考) 某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全 面技术革新和营销策略改革,并提高定价到.x 元.公司拟投入2 1(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入1 5 x 万元作为浮动宣传费用.试 问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入...与总投入... 之和?并求出此时商品的每件定价. 解:(1)设每件定价为x 元,依题意,有25 (80.2)2581 x x -- ?≥?, 整理得26510000x x -+≤,解得2540x ≤≤. ∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.………7′ (2)依题意,25>x 时, 不等式211 25850(600)65 ax x x ≥?++-+有解, 等价于25>x 时, 15011 65a x x ≥ ++有解, ()150110306x x x +≥==当且仅当时,等号成立 , 10.2a ∴≥. ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.……14 8、(江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研) 某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%? 解:(1)设该商品价格下降后为x 元/件,销量增加到()4 k a x + -件,年收益()(3),5.57.54 k y a x x x =+ -≤≤- ,…………………………7分 (2)当2k a =时,依题意有2()(3)(83)(120%)4 a a x a x + -≥-?+-解之得 645x x ≥<≤或,…………………………12分 又5.57.5x ≤≤所以67.5x ≤≤ 因此当实际价格最低定为6元/件时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%。…………………………14分 9、(江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考) 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可 使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是 ). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的 费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元? 解: (1) (0) C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分) -----------------------16分 10、(江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研) 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米, x(米),外周长(梯形的上底线 ...... 段.BC与两腰长的和 ......)为 y(米). ⑴求y 关于x的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值. 解:⑴ 1 () 2 AD BC h =+,其中2 2 x AD BC BC x =+?=+, 2 h x =, ∴ 1 (2) 22 BC x x =+,得 18 2 x BC x =-,由 18 2 h x BC x ? =≥ ?? ? ?=-> ?? ,得26 x ≤< ∴ 183 2,(26) 2 x y BC x x x =+=+≤<; --------------------6分 60 ⑵18310.52 x y x = +≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)? ∴腰长x 的范围是 [3,4] ------10分 ⑶1832x y x = +≥=1832x x = ,即[2,6)x =时等号 成立.∴外周长的最小值为米 第 1 页 共 7 页 不等式、推理与证明训练题(十七) 一、选择题: 1.若02522>-+-x x ,则221442 -++-x x x 等于( ) A .54-x B .3- C .3 D .x 45- 2.若122+x ≤()1 4 2x -,则函数2x y =的值域是( ) A .1[,2)8 B .1[,2]8 C .1 (,]8 -∞ D .[2,)+∞ 3.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A .b a 11< B .b a 11> C .2a b > D .22a b > 4.如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A .最小值 21和最大值1 B .最大值1和最小值4 3 C .最小值4 3而无最大值 D .最大值1而无最小值 5.如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A .3 B .5 1 C .4 D .5 6.在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 60 2 D. 2004 7.设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|???? ??>=?????? <=( ) A .?? ? ??2131, B .??? ??∞+,21 C .??? ??∞+??? ??-∞-,,3131 D .??? ??∞+??? ??-∞-,,2131 8.下列表述正确的是( )。①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演 绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤。 9.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案:则第n 个图案中 有白色地面砖( )块. A.4n+2 B.3n+2 C.4n+1 D.3n+1 10.关于x 的不等式2 2155(2)(2)22 x x k k k k --+<-+的解集是 ( ) A .12x > B .12x < C .2x > D .2x < 11.已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( ) 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值 基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断. ∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy , 高考不等式经典例题 【例1】已知a >0,a ≠1,P =log a (a 3-a +1),Q =log a (a 2-a +1),试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3-a +1-(a 2-a +1)=a 2(a -1), 当a >1时,a 3-a +1>a 2-a +1,P >Q ; 当0<a <1时,a 3-a +1<a 2-a +1,P >Q ; 综上所述,a >0,a ≠1时,P >Q . 【变式训练1】已知m =a + 1a -2 (a >2),n =x - 2(x ≥12),则m ,n 之间的大小关系为( ) A.m <n B.m >n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m =a + 1a -2=a -2+1a -2 +2≥2+2=4,而n =x - 2≤(12)-2=4. 【变式训练2】已知函数f (x )=ax 2-c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f (1)=a -c ≤-1,-1≤f (2)=4a -c ≤5. 令f (3)=9a -c =γ(a -c )+μ(4a -c ), 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)=-53(a -c )+8 3(4a -c )∈[-1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式:①ab >0;② c a >d b ;③b c >a d .以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组 成多少个正确命题? 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a >d b ?bc -ad ab >0. (1)由ab >0,bc >ad ?bc -ad ab >0,即①③?②; (2)由ab >0, bc -ad ab >0?bc -ad >0?bc >ad ,即①②?③; (3)由bc -ad >0, bc -ad ab >0?ab >0,即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2+(m -2)x -2>0 (m ∈R ). 【解析】当m =0时,原不等式可化为-2x -2>0,即x <-1; 当m ≠0时,可分为两种情况: (1)m >0 时,方程mx 2+(m -2)x -2=0有两个根,x 1=-1,x 2=2 m . 所以不等式的解集为{x |x <-1或x >2 m }; (2)m <0时,原不等式可化为-mx 2+(2-m )x +2<0, 2020年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】 专题四数列与不等式 考向一等差数列与等比数列的计算问题 【高考改编☆回顾基础】 1.【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和,若,,则 . 【答案】 【解析】 设该等差数列的公差为, 根据题中的条件可得, 整理解得,所以. 2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3,理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3,则a4 = ___________. 【答案】8- 3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{}n a前6项的和为 . - 【答案】24 【解析】 【命题预测☆看准方向】 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中 项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合. 预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式,且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018年全国卷II 理】记为等差数列的前项和,已知 , . (1)求 的通项公式; (2)求,并求的最小值. 【答案】(1)a n =2n –9,(2)S n =n 2–8n ,最小值为–16. 【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2, a 3+ b 3=5,则{b n }的通项公式为 ________.【答案】b n =2n -1 【解析】设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q , 由a 2+b 2=2得d +q =3,① 由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.② 联立①②,解得?????d =3,q =0 (舍去)或? ????d =1,q =2. 因此{b n }的通项公式为b n =2n -1. 【例2】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=63 4,则a 8=________. 【答案】32 【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=, 351a a =,则公比q =_________, n a =_________. 【答案】 2 2 222n - 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 第五部分:不等式专题(线性规划,一元二次不等式,基本不等式) 不等式是高中数学重要的知识,考试中涉及的考点也很多,从江苏目前的高中数学要求来说,除了不等式证 明以外,其他形式的考察还是很多的。就内容来说,这部分分为高一难度和高考难度;从题型上来说,包含:线性规划,基本不等式,解不等式,不等式恒(能)成立,还有一些转化为不等式问题的题型。 高一难度的不等式问题主要是线性规划,基本不等式的常规考察,解不等式(包含含参形式),涉及常规函数 的不等式恒(能)成立问题。 1、线性规划 (1)掌握好线性规划,首先需要知道,线性规划的考题特点:已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程,问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以,有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式,将所求解问题转化为线性规划问题。 比如:已知等差数列{}n a ,2,185≤≥a a ,则12a 的取值范围是 (2)线性规划性的常规考题相对简单一些,从问题来说有三个常见形式:(1)截距型:by ax +;(2)距离型: ()()2 2b y a x -+-;(3)斜率型: a x b y --;如果直接考这几个类型倒还好。 比如:已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ,则y x +2的最大值是 , ()()2212-+-y x 的最小 值是 , 3 +x y 的取值范围是 。 (3)有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如: ① 已知),(b a P 满足不等式组?? ? ??≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是 ② 已知y x ,满足条件??? ??≥≤-+≥00120y y x x ,使得y ax +取得最大值的点有无数个,则实数a 的值是 ③ 已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ,且y ax +在点(1,0)处取得最大值,则实数a 的范围是 (4)稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1>2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x >1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|>5的解集为 ( ) A.{x|x >2|} B.{x|x <-8或x >2} C.{x|x >0} D.{x|x >3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 基本不等式 【考点梳理】 1.基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号且不为零); (3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)? ?? ??a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x < 54,则f (x )=4x -2+145 x -的最大值为________. (2)函数y = x -1 x +3+x -1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x <5 4 ,所以5-4x >0, =-2+3=1. 当且仅当5-4x =1 5-4x ,即x =1时,等号成立. 故f (x )=4x -2+1 4x -5的最大值为1. (2)令t =x -1≥0,则x =t 2 +1, 所以y = t t 2 +1+3+t = t t 2 +t +4 . 当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y = 1 t +4t +1 , 因为t +4 t ≥24=4(当且仅当t =2时取等号), 所以y = 1t +4t +1 ≤1 5, 即y 的最大值为1 5(当t =2,即x =5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1.若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 [答案] C [解析] 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+ 1 x -2 +2≥2(x -2)× 1 x -2 +2=4,当 其他不等式综合问题 例1:(第26届美国数学奥题之一)设a、b、c∈R+,求证: (1) 分析;最初,某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法,这里试从分析不等式的结构出发,导出该不等式的编拟过程,同时,揭示证明此类问题的真谛,并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向:(1)的左边较为复杂,而右边较为简单,所以,证明的思想应该从左至右进行, 思考方法:(1)从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程,所以,一个简单的想法就是将各分母设法缩小,但考虑到各分母结构的相似性,故只要对其中之一做恰倒好处的变形,并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤;联想到高中课本上熟知的不等式: x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)(*) 知(1)的左端 这一证明是极其简单的,它仅依赖高中数学课本上的基础知识,由此可见,中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题,看来,我们要好好守住课本这快阵地。 (1)刻画了3个变量的情形,左端的三个分式分母具有如下特征:三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和,那么,对于更多个变量会有怎样的结论? 以下为行文方便,记(1)的左端为 ,表示对a、b、c轮换求和,以下其它的类似处理,不再赘述, 为了搞清多个变量时(1)的演变,首先从4个变量时的情形入手, 推广1:设a、b、c、d∈R+,求证: 。(2) 分析:注意到上面的(*),要证(2),需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)(**) (**)是(*)的发展,它的由来得益于证明(1)时用到的(*),这是一条有用的思维发展轨道。 事实上,由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 (**)得证, 从而(2)便可仿(1)不难证明,略, 推广2:设ai∈R+(i=1、2、3,…,n),求证: 。(3) 有了前面的推广1的证明,这里的推广2的证明容易多了,联想(**),只要能证明 第二章 《不等式》检测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1.设,,R a b c ∈,且a b >,则 ( ) A .ac bc > B . 11a b < C .22 a b > D .33 a b > 2、设01a b <<<,则下列不等式成立的是 A .33a b > B . 11a b < C .1b a > D .lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则y x +的取值范围是 ( ) A .]2,0[ B .]0,2[- C .),2[+∞- D .]2,(--∞ 4、设变量x , y 满足约束条件360, 20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ??? 则目标函数2z y x =-的最小值为 ( ) A .-7 B .-4 C .1 D .2 5、已知0x >,0y >,且21x y +=,则xy 的最大值是 A.14 B. 1 8 C. 4 D. 8 6.已知向量a =(1,1-x x ),b =(x -1,1),则|a +b |的最小值是( ) A .1 D .2 7、已知向量,a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ,若变量,x y 满足约束 条件1325x y x x y ≥-?? ≥??+≤?, 则z 的最大值为 .2 C 8.如果实数,x y 满足不等式组1, 10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 A .25 B .5 C .4 D .1 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 ___ m . 10、已知01a <<,01x y <<≤,且· ,那么xy 的取值范围是 A .( 20a ??, B .(]0a , C .10a ? ? ?? ? , D .210a ?? ??? , 11.制作一个面积为1 m 2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是( ) A .4.6 m B .4.8 m C .5 m D .5.2 m 12.定义在,,f M m n p ,其中M 是ABC 内一点,m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、 MAB 的面积,已知中,()23,30AB AC BAC f N ?=∠==若1,,2x y ?? ??? ,则 14 x y 的最小值是 ⊿ 考点48 基本不等式(练习) 【题组一 直接型】 1.若,都是正数,且,则 的最大值为 。 a b 2a b +=()()11a b ++ 2.已知数列是等差数列,且,若,则的最大值_____. {}n a 0n a >12100500a a a ++?+=5051a a ? 3.若,则的最大值是 。 102a << ()12a a - 【题组二 换1型】 1.正实数 满足:,则的最小值为_____. ,x y 21x y +=21x y + 2.已知,,则的最小值为_______________; 0,0a b >>122a b +=a b + 3.若a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =2,则 +的最小值是________. 4a +11b +c 4.已知,则的最小值为 。 1,0,2a b a b >>+=1112a b +- 【题组三 配凑型】 1.已知,求函数的最小值是 。 1x >-11y x x =+ + 2.若,则的最小值是 。 1a >11a a + - 3.已知实数,, ,则的最小值是 。 0a >0b >11111a b +=++2+a b 【题组四 消元型】 1.若正实数,满足,则的最小值为______. x y 2210y xy +-=2x y + 2.已知,则的最小值是_______. 22451(,)x y y x y R +=∈22x y + 3.已知实数满足,则的最小值为 。 ,x y 22455--=x xy y 222x y + 4.已知、为正实数,满足,则的最小值为______. x y 427x y xy ++=2x y + 【题组五 求参数】 1.设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为______。 , x y 1,12x y >>224121 x y m y x +≥--m 2.已知,,且,若不等式恒成立,则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 3.已知,,当时,不等式恒成立,则的取值范围是 。 0m >0xy >2x y +=24m x y +≥m 基本不等式 基础梳理 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥????a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a + b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥????a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 解析 ∵x >0,∴y =x +1x ≥2, 当且仅当x =1时取等号. 答案 C 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1x 2+1≥1,其中正确的个数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3 解析 ①②不正确,③正确,x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1 -1≥2-1=1. 答案 B 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.12 B .1 C .2 D .4 解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2, ∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤12 . 答案 A 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x +1x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2 +2≥2 (x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2 (x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3. 答案 C 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________. 解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2,当且仅当t =1时取等号. 答案 -2 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x -3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5; x 与2的差小于-1; 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空: a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a - b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( ) A 、ab >0 B 、a b > C 、a -b >0 D 、a +b > 0 1.与2x <6不同解的不等式是( ) A.2x +1<7 B.4x <12 C.-4x >-12 D.-2x <-6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.(2010湖北随州)解不等式组110334(1)1 x x +?-???--≥ 2.(2010福建宁德)解不等式 2 15312+--x x ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来. 3.(2006年绵阳市)12(1)1,1.23 x x x -->???-≥?? : 此类试题易错知识辨析 (1)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式的解集: 当0a >时,b x a >(或b x a <) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 4 若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足( ). (A)a <0 (B)a >-1 (C)a <-1 (D)a <1 5 若m >5,试用m 表示出不等式(5-m )x >1-m 的解集______. 6.如果不等式(m -2)x >2-m 的解集是x <-1,则有( ) A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a -3)x <b 的解集是x < 3-a b ,那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x -2)≤x +4的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x - 41141+ 第22课时 基本不等式 一、基础练习 1、下列结论正确的有__________(填序号) (1)当x>0且x ≠1时log 2x+log x 2有最小值为2 (2 2+≥ (3)0 (2)某提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不小于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由。 例3:设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm 2,画面的宽与高的比为λ(0<λ<1),画的上下各留8cm 的空白,左右各留5cm 的空白,怎样确定高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈23[,]34 ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 三、巩固练习: 1、若a ,b ,c>0且2a+b+c 最小值为___________ 2、若a>0,b>0,c>0,且a(a+b+c)+bc ≥16,2a+b+c ≤8,则a+b=_________ 3、若0 一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳 201509 姓名: 授课时间: 一.对一元一次不等式定义的理解 1.下列各式中,是一元一次不等式的是( ) A、5+4>8 B、12-x C、x 2≤5 D、 x x 31 -≥0 2.下列式子①3x =5;②a >2;③3m -1≤4;④5x +6y ;⑤a +2≠a -2;⑥-1>2中,不等式有( )个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 《 3.下列说法,错误的是( ) A、33- x 的解集是1- x B、-10是102- x 的解 C、2 x 的整数解有无数多个 D、2 x 的负整数解只有有限多个 4.下列不等关系中,正确的是( ) A 、 a 不是负数表示为a >0; B 、x 不大于5可表示为x >5 ; / C 、x 与1的和是非负数可表示为x +1>0; D 、m 与4的差是负数可表示为m -4<0 二.已知范围,求正确的结论 5.若a 为有理数,则下列结论正确的是( ) A. a >0 B. -a ≤0 C. a 2>0 D. a 2+1>0 6.若a >b ,且c 是有理数,则下列各式正确的是( ) ①ac >bc ②ac <bc ③ac 2>bc 2 ④ac 2≥bc 2 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 $ 7.若a A、 a < b B 、a >b C、2a <2b D 、a 3>b 2 8.如果0 n m ,那么下列结论不正确的是( ) A 、99--n m B 、n m -- C 、 m n 11 D 、 1 m n 9.m 为任意实数,下列不等式中一定成立的是( ) A、 3 m m B、 2-m 2+m C、m m - D、a a 35 10.已知 b a 1,0-0,则a,ab,ab 2之间的大小关系是( ) A 、2ab ab a B、a ab ab 2C、 ab 2ab a D、2ab a ab 。 11.若 x x -=-44,则x 的取值范围是( ) A、4 x B、4≤x C、4 x D、4≥x 12.b a ,表示的数如图所示,则11---b a 的的值是( ) A、b a - B、2-+b a C、b a --2 D、b a +- 13.下列表达中正确的是() A 、若x 2>x ,则x <0 B 、若x 2>0,则x >0 C 、若x <1则x 2<x D 、若x <0,则x 2>x 14.如果不等式ax <b 的解集是x < a b ,那么a 的取值范围是( ) A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a >0 D 、a <0 < 15.如果a <-2,那么a 与 a 1 的大小关系是_______ 三.根据绝对值性质解不等式 16.如果x x 2121-=-,则x 的取值范围是 ( ) A 、2 1 > x B 、21≥x C 、21≤x D 、21高三第一轮复习17----不等式、推理与证明训练题
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