正余弦定理知识点总结及高考考试题型

一、知识点 （一）正弦定理：

2,sin sin sin a b c

R A B C

===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

（二）余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A

b a

c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-

由此可得：222222222

cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab

+-+-+-===.

注：2a ＞22c b +?A 是钝角；2a =22c b +?A 是直角；2a ＜22c b +?A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1）111

sin sin sin .222

ABC

S ab C bc A ac B =

== 二、例题讲解 （一）求边的问题

1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3

A π

=

,1a b ==，则c =（ ）

A 、1

B 、2 C

、1 D 、3

2、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面

积为2

3

，那么b =（ ） A

、

B 、31+ C

、 D 、32+

3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若C ∠=120

°，c =，则（ ）

A 、a b >

B 、a b <

C 、a b =

D 、a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，10a =，B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于（ ）

A 、310+

B 、()

1310-

C 、13+

D 、310

5、若△ABC 的周长等于20，面积是310，=A ∠60°，则BC 边的长是（ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

6、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A 、51<

7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ） A 、

52

B

、 C 、16 D 、4

8、若ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足2

2a b 4（）c +-=，且C=60°，则ab 的值为

（A ）

43 （B

）8- (C) 1 (D) 2

3

9、在△ABC 中，A =60°，C =45°，2b =，则此三角形的最小边长为 。

10、在△ABC 中,1,1a b ==,C =120°则c = 。 11、在ABC ?中.若b=5，4

B π

∠=

，sinA=

1

3

，则a =___________________. 12、若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于 13、如图，在△ABC

中，若1,b c ==

23

C π

∠=

，则a = 。 14

1:2:3C =,则=c b a ::

15=B ,2150°，则b = 1、ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则c o s B =（ ）

A 、

14 B 、34 C 、4 D 、3

2、在△ABC 中，A =60°，a b ==B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对

3、在ABC ?中，15,10,a b A ===60°，则cos B =（ ） A 、－

3 B 、3 C 、－4、在△ABC 中，3a =，b =

2c =，那么B ∠等于（

）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、120°

5、在△ABC 中，a =，b =B ∠=45°，则A ∠等于（ ）

A 、30°

B 、60°

C 、60°或120°

D 、30°或150°

6、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2

22，则A ∠为（ ）

A B

A 、

3

π B 、

6

π

C 、

3

2π D 、

3π或3

2π 7、已知△ABC 的面积为

2

3

，且3,2==c b ，则A ∠等于（ ） A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120°

8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ） A 、14-

B 、14

C 、23-

D 、23

9、在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

10、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =

A ．

B ．

34

C D ．

1116

11、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2

sin cos cos A A B +=

A ．-

1

2

B ．

1

2

C ． -1

D ．1

12、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。

13、在△ABC 中，3b c =

=,B =30°，则A = 。

14、已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,a b ==2A C B +=,

则sin C = 。

15、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是 16、已知()()3a b c b c a bc +++-=，则A ∠=

17、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若a =2b =，

sin cos B B +则角A 的大小为 .

1、在△ABC 中，若

C

c

B b A a cos cos cos =

=，则△ABC 是（ ） A 、直角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形 2、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、正三角形 3、△ABC 中，2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形

4、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形

D 、等腰或直角三角形

5、在△ABC 中，若

c

C

b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A 、有一内角为30°的直角三角形

B 、等腰直角三角形

C 、有一内角为30°的等腰三角形

D 、等边三角形

6、在△ABC 中，cos cos b A a B =，则三角形为（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形

7、在△ABC 中，已知B =30°,b =,150c =，那么这个三角形是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形

D 、等腰三角形或直角三角形

8、△ABC 中，2

2

2

sin sin sin A B C =+，则△ABC 为（ ） A 、直角三角形 B 、等腰直角三角形C 、等边三角形 D 、等腰三角形

9、已知关于x 的方程2

2

cos cos 2sin 02

C

x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半， 则ABC ?一定是（ ）

A 、直角三角形

B 、钝角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形 10、△ABC 中，

tan sin tan sin A A

B B

=，则三角形为 。

1、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,30A ∠=?，则△ABC 面积为（ ）

A 、

2

3 B 、

4

3

C 、

2

3

或3 D 、

43 或2

3

2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（ ）

A 、14

B 、142

C 、15

D 、152

3、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，=C ∠70°，那么△ABC 的面积为（ ）

A 、

64

1 B 、

32

1

C 、

16

1

D 、

8

1 4、在△ABC 中，2a =，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积ABC S ?等于（ ）

A 、

B 、

C 1

D 、

1

1)

2

5、ABC ?中，120,7,5B AC AB =?==，则ABC ?的面积为_________．

6、已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为

_______________

(五)综合应用

1、 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

(1)若sin ???

?A ＋π

6＝2cos A, 求A 的值；

(2)若cos A ＝1

3

，b ＝3c ，求sin C 的值．

2、在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=

(Ⅰ)确定角C 的大小：

（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为

2

33,求a ＋b 的值。

3、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1

4

(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．

4.在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4

2sin(π

-

A 的值。

5、 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .

6、在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且s

i n ,s i n 5

10

A B ==

（I ）求A B +的值；

（II ）若1a b -=

，求a b c 、、的值。

解三角形复习

一、知识点 （一）正弦定理：

2,sin sin sin a b c

R A B C

===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

（二）余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A

b a

c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-

由此可得：222222222

cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab

+-+-+-===

注：2a ＞22c b +?A 是钝角；2a =22c b +?A 是直角；2a ＜22c b +?A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1）111

sin sin sin .222

ABC

S

ab C bc A ac B =

== 题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）

（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理； （3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理 例1、在ABC ?中，已知 30,20==A a 45=C 求c b B ,,

例2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答 （1） 30,6,32===A b a （2） 45,2,2===A b a （3） 120,3,5===A b a （4） 60,4,3===A b a 例3．（1）在ABC ?中，已知bc a c b +=+222，则A= ；

（2）若△ABC 的周长等于20，面积是310，=A ∠60°，则边BC = （3）、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是= （4）在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则A ∠=

题型二：判断三角形的形状

例4．（1）在ABC ?中，若C a b cos =试判断ABC ?的形状。

（2）在ABC ?中，若B b A a cos cos =试判断ABC ?的形状。 （3）在ABC ?中，若A b B a cos cos =试判断ABC ?的形状。 例5．

（1）在ABC ?中，已知bc a c b +=+222，且4

3

sin sin =

C B ，判断三角形的形状； （2）在ABC ?中，bc a c b c b a 3))((=-+++且C B A cos sin 2sin =，判断其形状；

题型三：三角形的面积的问题

例6、（1）已知

中，

，

, 求

、、

及外接圆的半径。

（2）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+．

（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．

题型四、正余弦定理的综合应用

1、在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π

=，4

cos ,5

A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）求ABC ?的面积

2、设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B =3，b sin A =4． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．