一、知识点 (一)正弦定理:
2,sin sin sin a b c
R A B C
===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
(二)余弦定理:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-
由此可得:222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab
+-+-+-===.
注:2a >22c b +?A 是钝角;2a =22c b +?A 是直角;2a <22c b +?A 是锐角; (三)三角形面积公式:(1)111
sin sin sin .222
ABC
S ab C bc A ac B =
== 二、例题讲解 (一)求边的问题
1、在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3
A π
=
,1a b ==,则c =( )
A 、1
B 、2 C
、1 D 、3
2、 在△ABC 中,,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列,B ∠=30°,△ABC 的面
积为2
3
,那么b =( ) A
、
B 、31+ C
、 D 、32+
3、在△ABC 中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,若C ∠=120
°,c =,则( )
A 、a b >
B 、a b <
C 、a b =
D 、a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中,10a =,B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于( )
A 、310+
B 、()
1310-
C 、13+
D 、310
5、若△ABC 的周长等于20,面积是310,=A ∠60°,则BC 边的长是( )
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
6、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( ) A 、51< 7、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为( ) A 、 52 B 、 C 、16 D 、4 8、若ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足2 2a b 4()c +-=,且C=60°,则ab 的值为 (A ) 43 (B )8- (C) 1 (D) 2 3 9、在△ABC 中,A =60°,C =45°,2b =,则此三角形的最小边长为 。 10、在△ABC 中,1,1a b ==,C =120°则c = 。 11、在ABC ?中.若b=5,4 B π ∠= ,sinA= 1 3 ,则a =___________________. 12、若△ABC 的面积为3,BC =2,C =60°,则边AB 的长度等于 13、如图,在△ABC 中,若1,b c == 23 C π ∠= ,则a = 。 14 1:2:3C =,则=c b a :: 15=B ,2150°,则b = 1、ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列,且2c a =,则c o s B =( ) A 、 14 B 、34 C 、4 D 、3 2、在△ABC 中,A =60°,a b ==B 等于( ) A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 3、在ABC ?中,15,10,a b A ===60°,则cos B =( ) A 、- 3 B 、3 C 、-4、在△ABC 中,3a =,b = 2c =,那么B ∠等于( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、120° 5、在△ABC 中,a =,b =B ∠=45°,则A ∠等于( ) A 、30° B 、60° C 、60°或120° D 、30°或150° 6、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 22,则A ∠为( ) A B A 、 3 π B 、 6 π C 、 3 2π D 、 3π或3 2π 7、已知△ABC 的面积为 2 3 ,且3,2==c b ,则A ∠等于( ) A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为( ) A 、14- B 、14 C 、23- D 、23 9、在△ABC 中,sin sin A B >是A B >的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 10、若△ABC 的内角,,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则cos B = A . B . 34 C D . 1116 11、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =,则2 sin cos cos A A B += A .- 1 2 B . 1 2 C . -1 D .1 12、已知在△ABC 中,10,a b A ===45°,则B = 。 13、在△ABC 中,3b c = =,B =30°,则A = 。 14、已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边,若1,a b ==2A C B +=, 则sin C = 。 15、在△ABC 中,()()()6:5:4::=+++b a a c c b ,则△ABC 的最大内角的度数是 16、已知()()3a b c b c a bc +++-=,则A ∠= 17、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若a =2b =, sin cos B B +则角A 的大小为 . 1、在△ABC 中,若 C c B b A a cos cos cos = =,则△ABC 是( ) A 、直角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形 2、在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( ) A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、正三角形 3、△ABC 中,2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形 4、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形 5、在△ABC 中,若 c C b B a A sin cos cos ==,则△ABC 是( ) A 、有一内角为30°的直角三角形 B 、等腰直角三角形 C 、有一内角为30°的等腰三角形 D 、等边三角形 6、在△ABC 中,cos cos b A a B =,则三角形为( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 7、在△ABC 中,已知B =30°,b =,150c =,那么这个三角形是( ) A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰三角形或直角三角形 8、△ABC 中,2 2 2 sin sin sin A B C =+,则△ABC 为( ) A 、直角三角形 B 、等腰直角三角形C 、等边三角形 D 、等腰三角形 9、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半, 则ABC ?一定是( ) A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 10、△ABC 中, tan sin tan sin A A B B =,则三角形为 。 1、在△ABC 中,3=AB ,1=AC ,30A ∠=?,则△ABC 面积为( ) A 、 2 3 B 、 4 3 C 、 2 3 或3 D 、 43 或2 3 2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ,则△ABC 的面积为( ) A 、14 B 、142 C 、15 D 、152 3、在△ABC 中,10sin =a °,50sin =b °,=C ∠70°,那么△ABC 的面积为( ) A 、 64 1 B 、 32 1 C 、 16 1 D 、 8 1 4、在△ABC 中,2a =,A =30°,C =45°,则△ABC 的面积ABC S ?等于( ) A 、 B 、 C 1 D 、 1 1) 2 5、ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为_________. 6、已知ABC ? 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ?的面积为 _______________ (五)综合应用 1、 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若sin ??? ?A +π 6=2cos A, 求A 的值; (2)若cos A =1 3 ,b =3c ,求sin C 的值. 2、在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小: (Ⅱ)若c =7,且△ABC 的面积为 2 33,求a +b 的值。 3、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a =1,b =2,cos C =1 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A -C )的值. 4.在ABC ?中,A C AC BC sin 2sin ,3,5=== (Ⅰ)求AB 的值。 (Ⅱ)求)4 2sin(π - A 的值。 5、 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B . (1)求B ; (2)若A =75°,b =2,求a ,c . 6、在ABC ?中,A B 、为锐角,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,且s i n ,s i n 5 10 A B == (I )求A B +的值; (II )若1a b -= ,求a b c 、、的值。 解三角形复习 一、知识点 (一)正弦定理: 2,sin sin sin a b c R A B C ===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC (二)余弦定理:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 由此可得:222222222 cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab +-+-+-=== 注:2a >22c b +?A 是钝角;2a =22c b +?A 是直角;2a <22c b +?A 是锐角; (三)三角形面积公式:(1)111 sin sin sin .222 ABC S ab C bc A ac B = == 题型一:正余弦定理的基本应用:(四种题型:) (1)已知两角一边用正弦定理;(2)已经两边及一边对角用正弦定理; (3)已知两边及两边的夹角用余弦定理;(4)已知三边用余弦定理 例1、在ABC ?中,已知 30,20==A a 45=C 求c b B ,, 例2.已知下列各三角形中的两边及一角,判断三角形是否有解,并作出解答 (1) 30,6,32===A b a (2) 45,2,2===A b a (3) 120,3,5===A b a (4) 60,4,3===A b a 例3.(1)在ABC ?中,已知bc a c b +=+222,则A= ; (2)若△ABC 的周长等于20,面积是310,=A ∠60°,则边BC = (3)、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是= (4)在△ABC 中,已知bc c b a ++=222,则A ∠= 题型二:判断三角形的形状 例4.(1)在ABC ?中,若C a b cos =试判断ABC ?的形状。 (2)在ABC ?中,若B b A a cos cos =试判断ABC ?的形状。 (3)在ABC ?中,若A b B a cos cos =试判断ABC ?的形状。 例5. (1)在ABC ?中,已知bc a c b +=+222,且4 3 sin sin = C B ,判断三角形的形状; (2)在ABC ?中,bc a c b c b a 3))((=-+++且C B A cos sin 2sin =,判断其形状; 题型三:三角形的面积的问题 例6、(1)已知 中, , , 求 、、 及外接圆的半径。 (2)在△ABC 中,已知2sin cos sin()B A A C =+. (Ⅰ)求角A ; (Ⅱ)若2BC =,△ABC AB . 题型四、正余弦定理的综合应用 1、在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π =,4 cos ,5 A b ==(Ⅰ)求sin C 的值; (Ⅱ)求ABC ?的面积 2、设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且a cos B =3,b sin A =4. (Ⅰ)求边长a ; (Ⅱ)若ABC △的面积10S =,求ABC △的周长l .