文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 鲁棒优化相关资料

鲁棒优化相关资料

鲁棒优化相关资料
鲁棒优化相关资料

鲁棒优化的方法及应用

鲁棒优化的方法及应用 杨威 在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出,如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性); 4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。 1.2最优化问题的一般形式(有约束条件): 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法(梯度法) 3.1最速下降法简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进

鲁棒优化及相关问题的研究

鲁棒优化及相关问题的研究 鲁棒优化研究带不确定性的优化问题,是不确定优化的一个分支.在鲁棒优化中,主要关注由不可控参数引起的不确定性,且仅知道不 可控参数在某个不确定集中取值.由于对实际问题有效的建模和求解,鲁棒优化已发展成为处理不确定优化问题重要且十分普遍的工具.基于鲁棒性这个概念,本文围绕鲁棒优化探讨了无穷多目标优化、不确定向量优化和不确定互补问题中相关的一些重要课题.主要内容如下:1.基于对强鲁棒性、一致鲁棒性和严格鲁棒性的细致分析,通过设置调整变量建立了一种新的鲁棒性,称为松弛鲁棒性.其对应的松弛 鲁棒模型包含了相关文献中出现的具有松弛意义的大部分模型,例如偏离鲁棒模型、可靠鲁棒模型、软鲁棒模型以及随机方法中的期望值模型和风险规避模型.这个统一的模型表明:对不确定性的处理方式 取决于决策者对不确定性掌握的信息、对这些信息的态度以及可用的数学方法.另外,提出了鲁棒性测度并研究了它的一些基本性质,如平移同变性、单调性、正齐次性和凸性.2.在基于分量比较的序结构上,对无穷多目标优化问题引入了Pareto有效性和Geoffrion真有效性,并借此表明了无穷多目标优化与不确定/鲁棒优化的密切关系.针对 一般的不确定优化问题,利用推广的ε-约束方法得到了 Pareto鲁棒解的生成方法.通过一族锥刻画了Geoffrion真有效性,并揭示了Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别:Pareto有效性需要对其它的成员补偿都有界,而Geoffrion真有效性要求对其它的成员补偿一致有界.最后,将Geoffrion真有效性应用到鲁棒对应上,得到

了不确定型选择理论中著名的Hurwicz准则.3.遵循鲁棒标量优化中的研究方法,对不确定向量优化问题,首先建立了硬性意义下的鲁棒对应模型.然后,出于对这个鲁棒模型一个缺点的修正,利用Pareto 有效性的思想将其松弛,得到了紧性意义下的鲁棒对应模型.不同于文献中大量使用的集方法,这两个鲁棒模型属于鲁棒多目标/向量优化研究中的向量方法.与基于集方法得到的鲁棒模型进行了深刻地比较,展示出它们特殊的地位以及向量方法更大的潜力.4.对带模糊参数的互补问题,利用可能性理论中的可能性测度和必要性测度去除模糊,提出了两类确定性的模型,分别称为可能性满意模型和必要性满意模型.从不同的角度进行了分析,得到了它们的解具有的一些重要特征.随后,比较了几种受不同类型的不确定性影响的互补问题及相应的处理方法,包括对模糊映射的模糊互补问题、对不确定集的鲁棒互补问题和对随机不确定性的随机互补问题.最后,将这两类模型应用到模糊优化、模糊博弈和带模糊互补约束的数学规划问题上.

基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究

基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究 投资组合通常是指个人或机构所拥有的由股票、债券及衍生金融工具等多种有价证券构成的一个投资集合。传统上投资组合模型数学规划的经典范例是在输入参数准确可知并且等于某些标称值的假设条件下建立模型,并利用已有的数学规划方法求解模型得出最优解。然而,这些方法并没有考虑数据的不确定性对建模质量和可行性的影响,本文采用鲁棒优化方法构建投资组合模型解决投资组合模型容易受输入参数影响的问题。本文一方面试图将鲁棒优化方法在不同投资组合模型中的应用建立一个系统的框架,另一方面弥补了国内目前仅对部分投资组合鲁棒优化模型进行研究,而忽略了交易成本和现实约束对鲁棒优化投资组合模型的影响,丰富了鲁棒优化投资组合模型的应用范围,同时针对其衍生(含交易成本和现实约束)鲁棒优化模型得到以下结论:(1)鲁棒优化投资组合模型相比于传统的投资组合模型(相对应的模型进行比较,即如:鲁棒均值-CVaR投资组合(RCVaR)模型相比于均值-条件风险价值(CVaR)投资组合(MCVaR)模型)更能获得 稳定的回报,投资绩效更高。 (2)交易成本的引入。对于将交易成本引入投资组合优化模型后鲁棒优化模型进行分析,这类投资组合优化模型是可解的、有效的、具有鲁棒性的,其投资组合收益、投资组合风险和投资组合绩效表现均优于将交易成本直接引入投资组合优化模型,表明引入交易成本后鲁棒优化模型仍是有效的。同时在基于交易成本的鲁棒优化模型中引入现实约束,则会进一步提升投资组合收益、组合风险和投资组合绩效方面的表现。(3)现实约束的引入。 对于不含交易成本的鲁棒优化模型引入现实约束后得出:第一,分散化程度对投资组合影响。在投资组合各项资产权重充分分散之前,随着投资组合分散程度的增加,投资组合收益降低,投资组合风险减小,这与资本市场实际情况相同;在投资组合各项资产权重充分分散之后,随着投资组合分散程度的增加,投资组 合收益同样减小,但是投资组合风险增加。第二,流动性水平对投资组合影响。当投资组合管理者对资产组合的最低流动性水平要求越高时,投资组合的风险越大、投资组合的收益增加、投资组合的绩效降低,反之亦然,这与现实证券市场中的投资决策完全一致。 第三,资产上下界约束对投资组合影响。从投资组合收益与绩效角度而言,

最优化方法及其应用 - 更多gbj149 相关pdf电子书下载

最优化方法及其应用 作者:郭科 出版社:高等教育出版社 类别:不限 出版日期:20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

《最优化方法与应用》实验指导书

《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制

1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题,编写算法步骤,绘制算法流程图,编写单纯形法程序,并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性规划模型(包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等) 输出:线性规划问题的最优解及目标函数值 备注:可将线性规划模型先转化成标准形式,也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,03-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x

1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法,编写算法步骤和算法流程图,编写程序求解一维最优化问题,并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性搜索模型(目标函数系数,搜索区间,误差限等) 输出:最优解及对应目标函数值 备注:可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4

实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法,掌握其迭代步骤和算法流程图,运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言:Matlab 针对实验数据,对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法,比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2],,ε=10-4

鲁棒优化模型

(一)供应链运行的总成本函数 假设供应链运行的基本原则是总成本最小化: min min ijk ijk ij ij ik ik ij ij i j k i j i k i j jk j j k k ik ik j k j k i k Y w x wms xms wmc xmc s y fz fms zms fmc zmc p u ? =++ + ?? ++++? ? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑(1) 其中,i 表示产品种类,j 表示供应厂商,k 表示消费者;ijk w 表示供应商j 供应给消费者k 的每单位产品i 的生产可变成本;ij wms 表示供应商j 在电子商务平台下每单位产品i 的可变成本;ik wmc 表示电子商务平台将每单位产品i 提供给消费者k 的可变成本;ij s 表示供应商j 生产产品i 的准备成本;ij s 表示供应商j 生产产品i 的固定成本;jk fz 表示供应商 j 为消费者k 生产产品的固定成本;j fms 表示供应商为电子商务平台提供产品的固定成本;k fmc 表示电子商务平台将产品提供给消费者k 的固定成本。 从式(1)可以看出,最优化的目标是使得供应链整体的运行成本最小。其中,决策参数为:(1)供应商直接零售给消费者的产品数量ijk x ;(2)供应商通过电子商务平台批发的产品数量ij xms ;(3)电子商务平台零售给消费者的产品数量ik xmc ;(4)消费者未满足的产品需求ik u ;(5)生产虚拟变量ij y :当供应商生产产品时,虚拟变量1ij y =,否则等于0;(6)直销虚拟变量jk z :如果存在供应商直接向消费者零售产品,虚拟变量1jk z =,否则等于0;(7)供应链批发产品给电子商务平台的虚拟变量j zms :如果存在供应商向电子商务平台批发产品,虚拟变量1j zms =,否则等于0;(8)电子商务平台零售产品的虚拟变量 k zmc :如果存在电子商务平台向消费者零售产品,虚拟变量1k zmc =,否则等于0。 (三)约束条件束 此时,电子商务平台下供应链运行成本最小化的约束条件束包括: 1、产品供给约束 i j k i j i j k x x m s y Q +≤∑ (2) 对于产品供给约束而言,是指供应商j 供给的产品i 不会超过可利用资源的总容量,其中ij Q 表示供应商j 供给的产品i 的容量。 2、生产能力约束

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授,曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是:最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10-11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”(每周两次,每次两节课),对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生,以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程,修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间:每周二及周四下午2:00开始,在闵行新校区第三教学楼326教室。(自10月11日至11月8日) 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注:这是一门约二十学时左右的短期课程,旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法,及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究

航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究 通过引入区间型设计参数情形集,就可以强化航线整体的鲁棒性,但是如果网络过载或有意攻击情况下,或者航线网络设计参数发生变化,引起最优航线网络也出现变化,航线网络鲁棒性就会受到影响,为了解决这一问题,必须建立航线网络区间型相对鲁棒优化模型,对最短的路线算法进行了修正,在此基础上,相关技术人员还融入了模拟遗传算法,并最终研究出模拟混合求解算法,保证了航线网络的鲁棒性。下面就对这些方面进行分析,希望给有关人士一些借鉴。 标签:航线网络;区间型鲁棒;优化设计 相关人员对我国的各大航空公司进行了调查,发现为了提高企业的经济效益,企业的规模在不断扩大,通航的城市也不断增多,因此各个城市的航线也增多,导致整个航线网络变得越来越复杂,航空企业想要有一个长远的发展,保持很强的竞争力,就必须科学的对航线网络进行布局,优化设计航线网络区间型相对的鲁棒性。 1 问题描述 对于民航运输航线网络可以分成两种,一种是城市对城市的航线网络,另一种是枢纽航线网络,在进行航线网络建设中,都是以城市自身需求出发,建立直达航线,提高航空运输的效率,最大程度上节约旅客的旅途时间,但是其存在一定的问题[1],例如没有从网络总体层次上对网络内航线资源进行系统的有机配置,为了解决这一问题,下面就以某航空公司为例,其要在N个城市中建立航空网络,将城市集合设为N=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,n)[2],p为枢纽机场的个数,限制条件是p小于n,(j、i)代表有向边,(i、j)代表无向边,将这些项目全体记作E,这样节点和边就可以形成一个完整的图,将其记做G(N、E)[3],在对其进行分析的过程中,在任何一个场景下,枢纽机场之间都是连通的,如果是非枢纽机场,就要在枢纽机场进行中转连接,但是要记住每一个OD 流的中转次数都要在两次范围内,现在假设OD(i、j),i,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,n,航空客流为Wij[4],在此基础上设计网络,让其鲁棒性更强。在预测过程中,为了描述问题更加方便,将流量和成本区间设定为(Wij-)(Wij+),(Cij-)(Cij+),就有Wij-小于等于Wij+,Cij-小于等于Cij+[5],成本Cij和实际流量Wij包括了很多情境下取值情况,也就是在规定区间内进行任意取值,通常情况下,枢纽航线网络都是在旅客需求量和成本是确定的情况下进行设计及优化的。然而在现实情况下经常会出现各种不确定的情况导致旅客需求和成本产生波动,在一定程度上减少网络使用风险,最大程度保证航空公司和旅客的利益[6]。鲁棒优化方法,可以有效解决设计变量的波动,保证在偏差范围内的变动都是符合要求的。按照情景集中元素的是否可数,又可以对应的分为离散情景集合、连续情景集。鲁棒优化设计主要有绝对鲁棒优化、偏差鲁棒优化和相对鲁棒优化设计。 2 模型建立

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

鲁棒优化的方法与应用

鲁棒优化的方法及应用 威 在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出,如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+ ≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划 考虑一个不确定的凸二次约束问题

最优化求解法在实际问题中的应用

本科毕业论文 (2014届) 题目:最优化求解法在实际问题中的应用学院:计算机与科学技术学院 专业:数学与应用数学 班级:10数本班 学号:1006131084 姓名:严慧 指导老师:孙钢钢

目录 1.摘要 (3) 2.关键字 (3) 3.引言 (3) 4.最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1.无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2.有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3.线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4.非线性规划问题的求解............................................... ........... 5.结束语................................................................................................参考书目

1.摘要:本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用,主要是利用运筹 学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题,找到最优的解决方案,帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字:最优化,运筹学,生活,应用。 Abstract:This paper introduced the Optimization in the real life application,this is use of Operations research to solve the problem in real life,finding the best solution,and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言 随着社会迅速发展,各行各业中的竞争日益激烈,我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化,比如运输成本问题、效益分配问题等等。 什么是数学最优化问题,就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大,时间最少,路线最短,损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今,最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。 一个好的决策也许会让你绝处逢生,反败为胜,譬如中国历史上田忌赛马的故事,田忌的聪明之处在于在已有的条件下,经过策划安排,选择了最好的方案,所以最后就是自己看似劣势也能取胜,筹划是非常重要的,这就是运筹学的魅力。 我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了,在战争中,两兵交战,各方都会有自己的军师,历史上有很多著名的军师,比如诸葛亮,刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中,决胜于千里之外”,运筹学二字也是来源于此,了解敌方的军情,以此做出相应的对策,筹划最佳作战计划,做到“知己知彼百战不殆”,历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争,由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。 现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用,同样在企业经营管理方面也是非常重要的,最优化理论最早是在工业领域产生的,它的对象可以是产

动态鲁棒进化优化方法研究

动态鲁棒进化优化方法研究 现实生活中的许多优化问题,往往受到生产工况、运行环境等动态因素的影响,形成动态优化问题。解决该类问题的常用方法是跟踪最优解方法。 它在探测到优化问题发生改变时,重新触发寻优过程,从而快速、准确地找到适应于新优化模型的最优解。跟踪最优解方法虽然可以相对有效的解决动态优化问题,但是,当动态优化问题具有复杂的目标函数或较大的搜索空间时,耗时的进化求解过程,往往使在有限时间内获得问题的最优解存在困难。 另外,某些实际动态优化问题中,当动态因素发生变化时,就去执行寻优获得的新最优解,往往需要调整众多相关人员或资源,导致较大的最优解切换成本。基于此,本论文给出了一种解决动态优化问题的动态鲁棒优化方法。 其核心思想是面向连续变化环境下的动态优化问题,找到用户可以接受的一组基于时间的鲁棒最优解序列。当环境发生变化时,根据用户可接受程度,直接采用相邻前一环境下的鲁棒解作为当前环境下的较优解,而不是重新寻找新环境下的最优解。 这可以有效降低新环境下优化问题的寻优代价,满足生产实际中有限资源调配的需求。面向动态单目标优化问题,已有动态鲁棒优化方法中给出生存时间和平均适应度两种鲁棒性指标。 在此基础上,构建了兼顾上述两种鲁棒性能指标的两阶段多目标进化优化模型,采用基于非支配排序的遗传算法,获得问题的鲁棒最优解序列。第一阶段多目标进化优化方法用于获得每个动态环境下,兼顾上述两方面性能的所有Pareto 解;第二阶段中的进化个体由第一阶段获得的Pareto解依环境变化时刻动态组合而成,考虑解序列的平均生存时间和平均适应度,采用多目标进化优化方法获

得实际可实施的动态鲁棒最优解集,并将其应用于解决改进的移动峰问题。 面向动态多目标优化问题,首次给出了时间尺度上的多目标鲁棒性概念,定 义了基于时间的鲁棒Pareto最优解,给出了时间鲁棒性和性能鲁棒性两个性能 度量指标。鲁棒Pareto最优解应兼顾这两方面性能,由此构建了动态鲁棒多目标优化模型。 进而,采用基于分解的多目标进化算法,求解其鲁棒Pareto最优解集。进一步,在求解动态鲁棒多目标优化问题时,兼顾个体的性能鲁棒性和时间鲁棒性,构建了动态鲁棒多目标约束优化模型。 考虑到个体的鲁棒性评价中,需要同时考量Pareto解在当前和未来相邻动 态环境下的适应值。为有效估计未来相邻环境下某一个体的适应值,建立了基于已评价历史信息的适应值时间序列,并采用移动平均预测、自回归预测和最近邻域预测,通过加权方式构成集成预测模型。 决策者从Pareto解集中找到最符合他们需求的解是多目标优化的最终目的。为提高进化效率,在每个动态环境下,没有必要获得全部Pareto最优解,仅需要 把寻优过程集中在决策者感兴趣的区域。 于是,将决策者的偏好信息融入到搜索过程中,引导种群趋向于决策者感兴 趣的区域;另外,在鲁棒性能评价中,将决策者的偏好信息转化为目标稳定性阈值,用于指导鲁棒个体选择。在上述偏好信息的共同作用下,采用基于分解的动态鲁棒多目标进化优化方法,获得满足决策者偏好的鲁棒最优解集。 采用传统的跟踪最优解法或动态鲁棒优化方法,在解决环境变化复杂的动态多目标优化问题时,都存在一定局限。为此,根据搜集的动态环境历史信息构建环境变化序列,用于预测未来环境变化程度。

优化设计和鲁棒性分析方法综述

工作汇报 (1)优化设计和鲁棒性分析 优化设计的过程就是确定优化目标、设计参数和约束条件,通过迭代算法确定最优的设计参数,得到最优的性能。 查阅这方面的论文,主要有两种方法。一种是目标函数与设计参数之间有解析式关系的,比如《Application of optimal and robust designmethods to a MEMS accelerometer》这篇论文,优化目标是加速度计的最小测量加速度、满量程加速度以及谐振频率,设计参数是梁、质量块、梳齿以及间隙的尺寸参数。文章中就给出了优化目标和设计参数的解析式: 通过这些解析式,以及一些约束条件就可以构建优化设计的数学模型:

最后通过优化算法程序(这篇用的是遗传算法)得到最优解。 第二种也是大部分文献,都没有给出优化目标和设计参数之间的解析式。比如《Optimal and Robust Design of a MEMS GyroscopeBased on Sensitivity Analysis and Worst-caseTolerance》,优化目标是陀螺仪的敏感性(让敏感电容C最大)。这篇文章没有目标函数的解析式。它是通过有限元仿真软件和优化软件连接在一起计算,应该是用仿真结果代替解析式计算结果,具体的我没明白。 鲁棒性分析的方法主要是考虑设计参数的制造误差(一般是±0.5um),将±0.5um分别带入设计参数,让优化目标最小化的同时,标准差也最小化。 优化设计还看到一篇文献,《Optimization of Sensing Stators in CapacitiveMEMS Operating at Resonance》提出了两种新颖的结构,然后比较它们和传统结构的性能,以及它们的优点。这篇论文没有参数优化。 (2)动态特性分析 动态特性分析方面看了两篇文献。《Nonlinear Dynamic Study of a Bistable MEMS:Model and Experiment》讲了加速度双稳态开关中,切换稳定性与激励时间和激励幅值的关系。当激励时间长时,开关稳定切换,时间短时,可能切换失败。以及激励幅值超过门限很多时,也会使质量块振荡返回初始状态而切换失败。文章分析了原因,确定的最短激励时长。 第二篇文献《Shock-Resistibility of MEMSBased Inertial Microswitch underReverse Directional Ultra-High gAcceleration for IoT Applications》,本文研究了在反向高g值冲击下,惯性开关的冲击稳定性。在实际应用中,惯性开关不可避免的受到高或极高的反向冲击。高g值(几百到几千)的反向加速度冲击下,支

最优化方法在化学工程中到的应用

最优化方法在化学工程中到的应用 摘要:随着高新技术、信息技术及计算机领域的飞速发展,最优化在众多领域的应用日益广泛,涉及问题的规模越来越大,复杂程 度越来越高。最优化方法主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。其目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。随着最优化理论的发展,最优化模型和算法的不断完善、创新,如遗传算法、神经网络的建立,进一步为建立可靠模型、精确求解铺平道路。在化工生产与产品销售过程中,最优化的踪迹更是无处不在,如生产设备最优化、生产流程最优化、运输管道最优化、产品利润最优化,以及涉及相关化学实验、化学反应动力学的最优化模型。最优化方法的日益成熟使化工生产低投入高产出得以实现,节约了资源提高了效率,降低了污染。而一系列最优化软件,如Matlab、lingo等在化工过程中得到了广泛应用。关键词:最优化;化学工程;应用现状;管网 最优化方法(也称运筹学方法)是近几十年形成的,主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据[1]。随着科学技术,尤其是计算机技术发展,最优化方法已经在各个领域,如化学工程、生化工程、机械工程、土木工程、经济管理等,得到越来越广泛的运用[2]。化工过程系统最优化设计的研究在

过去二三十年中取得了很大的进展,这主要得益于计算及技术的发展,计算机的应用不仅仅体现在为大规模数值问题的处理提供了强有力 的工具, 而更多地体现在为过程设计的经验和艺术插上了数字化的 翅膀.大约在十多年前, 当大规模数学规划方法的实施仍面临一系列 问题时, 在过程设计领域中一种新引入的概念方法一专家系统以及 由此而引申的人工智能方法在解决实际问题上表现出的优势, 引起 了人们的关注目前基于知识和规则的智能系统研究取得了很大的进展, 基于经验、工况分析以及逐渐演进方法等的设计过程也越来越多地由计算机完成, 应用知识和经验规则进行过程设计的计算机辅助 系统逐步趋于完善, 特别是针对更加复杂(例如同时考虑环境影响以 及安全性)的大规模过程系统设计问题, 这些方法仍会有很好的应用 前景。 化工生产遍布现代生活的方方面面,涉及生活用品、工业材料、油气能源,不一而足。化工过程是一个由原料到产品的过程,其中包含物质的转化与能量的传递,而节能省材一直是工业生产的目标之一;化学反应需要在特定的反应设备里进行,怎样设计反应器,使其既能满足生产要求又能高效率的利用资源,是化工设计者的设计原则;原料、产物与成品的输送需要管线,适当的管路管道尺寸的选择,管道的成本;产量的设定,产品的销售等这一系列问题都需要最优化选择,而最优化算法从建立模型、求解方法方面使这一系列决策尽可能达到最理想结果,以下将对最优化方法在化工过程各个部分的应用作简要介绍。针对化学工程,最优化方法主要应用领域包括“三传一反”过

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2 )2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2 =--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 6 121== ,.

第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 4)6 (''<-=a a f , ∴ 6 a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,, 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=,, , 由题意可知z y x ,, 应是正数,由此0≠λ,将上面三个等式分别乘以z y x ,, 并利用条件2 3a xy zx yz =++,得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ,,. 比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333, 从而a z y x ===.又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在,因此侧面积固定的长方体中以正方

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2)2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2=--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 61 21== ,. 第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现 在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 0 4)6(''<-=a a f , ∴ 6a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例1.2 求侧面积为常数 )0(62>a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2=-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,,

相关文档