上海历年高考数学压轴题题选

上海历年高考数学压轴题题选

（2012文）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a

（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）

（3）设100m =，常数1,12a ??

∈ ???

，若(1)22

(1)

n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，

求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-

（2012理）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}

(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈r r

，

若对任意1a Y ∈u r ，存在2a Y ∈u u r ，使得120a a ?=u r u u r

，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P

（1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =

（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式

23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

（2011文）

23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*

n N ∈），将集合

**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。

⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵ 12340,,,,c c c c L 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由； ⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*

n N ∈）。

（2011理）

22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*

n N ∈），将集合

**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。

⑴ 求1234,,,c c c c ；

⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a L L ； ⑶ 求数列{}n c 的通项公式。

23、（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；

⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，

,,,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择

了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 ① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。 ② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1)

,(0,0),(0,0),A B C D 。

（2011春）

21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

已知抛物线y x F 4:2

=

（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，

若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；

（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的 直线斜率之间的关系式，并说明理由。

说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。

（2010文）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ．

（1）若2

1x -比3接近0，求x 的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33

a b +接近2ab ab ；

（3）已知函数()f x 的定义域{}

,,D x x k k Z x R π≠∈∈．任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接

近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

（2010理）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m ．

（1）若2

1x -比1远离0，求x 的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：3

3

a b +比22

a b ab +远离2ab ab ；

（3）已知函数()f x 的定义域?

?????∈∈???+≠=R x Z k k x x D ,,42π

π．

任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

（2010文）

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知椭圆Γ的方程为22

221(0)x y a b a b +=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点．

（1）若点M 满足1()2

AM AQ AB =+uuu r uuu r uu u r

，求点M 的坐标；

（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2

122b k k a

?=-，证明：E

为CD 的中点；

（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ 的两个交点1P 、2

P 满足12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r ？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ

+=u u u r u u u r u u u r

，求点1P 、2P 的坐标．

（2010理）

23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知椭圆Γ的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）．

（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足1()2PM PA PB =+uuu r uu r uu r

，求点M 的坐标；

（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2

122b k k a

?=-，

证明：E 为CD 的中点；

（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<

12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r

，写出求作点1P

、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围．

（2010春）

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

已知首项为1x 的数列}{n x 满足1

1+=

+n n

n x ax x （a 为常数）。 （1）若对于任意的11-≠x ，有n n x x =+2对于任意的*

N n ∈都成立，求a 的值； （2）当1=a 时，若01>x ，数列}{n x 是递增数列还是递减数列？请说明理由；

（3）当a 确定后，数列}{n x 由其首项1x 确定，当2=a 时，通过对数列}{n x 的探究，写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。

说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。

（2009理）

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 已知函数()y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1

()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a

积性质”。

（1） 判断函数2

()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。

（2009文）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列

（1）若 31n a n =+，是否存在*

,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；

（2）若n n b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +?=，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若21,3n

n n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和式数列中{}n a 的一项，请证明.

（2009理）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。 （1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*

n N ∈,

1

n n n

a b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一

项，请证明。

（2008文）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）

．记112233n n n T b a b a b a b a =++++L ． （1）若1213264a a a a ++++=L ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；

（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．

（2008理）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。

已知1a 为首项的数列{}n a 满足: 1,3,

,3,n n n n

n a c a a a a d ++

=?≥??

.

(1)当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；

（2）当101,1,3a c d <<==时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ； （3）当11

0,a m

<<

（m 是正整数），1c m =，正整数3d m ≥时，求证：数列21a m -，

321m a m +-

，621m a m +-，921

m a m

+-成等比数列当且仅当3d m =。

（2007文）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如果有穷数列123m a a a a ，

，，，L （m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，L ），我们称其为“对称数列”．

例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．

（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项； （2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，L 是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ； （3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，L 是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，

，L ．

（2007理）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 如果有穷数列123n a a a a ，

，，，L （n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，L ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m

m m m

C C C ，，，L 就是“对称数列”． （1）{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 每一项； （2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，

，，L 是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；

（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，L 依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．

y O 1A

2B

2A 1B

. . . M

1F

F

2

F

x

. （2007文）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122

22=+c x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中

222c b a +=，0>a ，0>>c b ．

如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段

21A A 的中点．

（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设P 是“果圆”的半椭圆122

22=+c

x b y (0)x ≤上任意一点．

求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；

（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．

（2007理）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122

22=+c x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中

222c b a +=，0>a ，0>>c b ．

如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．

（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当21A A >21B B 时，求

a

b

的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究： 是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个 椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．

y

1

B

O

1A

2B 2A . . 1F 0

F

2

F

x

.

（2007春）

17. (本题满分14分)

求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积

3

16

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为3

16

，

求所有侧面面积之和的最小值”.

试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

（2007春）

21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.

第1列 第2列 第3列 … 第n 列 第1行 1 1 1 … 1 第2行 q

第3行 2q

… …

第n 行

1-n q

(1) 设第2行的数依次为12,,,n B B B L ，试用q n ,表示12n B B B +++L 的值；

(2) 设第3列的数依次为123,,,,n c c c c L ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+；

(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.

① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列123,,,,n c c c c L 的前m 项12,,,m c c c L (3≥m ) 成为等比数列？ 若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.

② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？ 并说明理由.

（2006文）

22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分

已知函数a

y x x

=+

有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(

0,a ??上是减函数，在)

,a ?+∞?上是增函数

（1）如果函数2(0)b

y x x x

=+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求b 的值 （2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)c

f x x x x =+

≤≤的最大值和最小值； （3）当n 是正整数时，研究函数()(0)n

n c g x x c x

=+>的单调性，并说明理由

（2006理）

22 （本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

已知函数y ＝x ＋x

a

有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)

上是增函数

（1）如果函数y ＝x ＋x b

2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；

（2）研究函数y ＝2

x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2

x ＋2x

a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例

研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n

x x

)1(2+

（n 是正整数）在区间[2

1

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）

（2006春）

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.

已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为

的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（1）若，求；

（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

（2005）

22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。

对定义域是

f

D、

g

D的函数)

(x

f

y=、)

(x

g

y=，规定：函数

?

?

?

?

?

∈

?

?

∈

∈

∈

=

g

f

g

f

g

f

D

x

D

x

x

g

D

x

D

x

x

f

D

x

D

x

x

g

x

f

x

h

且

当

且

当

且

当

),

(

),

(

),

(

)

(

)

(。

（1）若函数

1

1

)

(

-

=

x

x

f，2

)

(x

x

g=，写出函数)

(x

h的解析式；

（2）求问题（1）中函数)

(x

h的值域；

（3）若)

(

)

(α

+

=x

f

x

g，其中α是常数，且[]π

α,0

∈，请设计一个定义域为R的函数)

(x

f

y=，及一个α的值，使得x

x

h4

cos

)

(=，并予以证明。

（2005春）

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分.

（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)

2

,2

(-

-的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆C的方程是1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

)0

(>

>b

a. 设斜率为k的直线l，

交椭圆C于A B

、两点，AB的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，

动点M 在一条过原点的定直线上；

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标

出椭圆的中心. （2004）

21．(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分

如图,P —ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等. (棱长和是指 多面体中所有棱的长度之和)

（1）证明：P —ABC 为正四面体； （2）若PD=

2

1

PA, 求二面角D —BC —A 的大小；(结果用反三角函数值表示) （3）设棱台DEF —ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的 直平行六面体,使得它与棱台DEF —ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出 这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

（2004春）

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，

1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；

(2) 在任意DEF ?中有余弦定理：

DFE EF DF EF DF DE ∠?-+=cos 2222. 拓展到空间，类比余弦定理，

写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

A

A 1

B 1 B

C 1

C

M

N P

（2004春）

22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；

(2) 若直线l 与双曲线1:222

=-y a

x C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；

(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P

在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.

（2003文） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.

（1）求和：012122232a C a C a C -+,012313233343

a C a C a C a C -+-. （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.

（3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：012312341(1)n n n n n n n n

S C S C S C S C S C +-+-++-L

（2003理） 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.

已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列．

①求和：;,3

34233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-

②由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明．

（2003理）

已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立．

（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的图像与x y =的图像有公共点，证明：M a x f x

∈=)(；

（3）若函数M kx x f ∈=sin )(，求实数k 的取值范围．

（2003春）

（2003春）

（2002文）

22. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 规定(1)(1)!

m

x x x x m C m --+=

L ，其中R x ∈，m 是正整数，且10

=x C ，这是组合数m n C （n,m 是正整数，

且n m

≤）的一种推广。

（1）求3

15

-C

的值。（2）设x>0，当x 为何值时，

2

1

3)

(x

x C C

取得最小值？

（3）组合数的两个性质：① m

n n m

n C C -=；②m

n m n m n C C C 1

1+-=+ 是否都能推广到m

x

C

（R x ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，

则说明理由。

（2002理）

22．(02上海秋)(12分)规定C m x ＝x(x －1)…(x －m ＋1)

m!

，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m

n (m ，n 是正整数，且m ≤n)的一种推广.

（1）求C 3 -15

的值； （2）组合数的两个性质：①C m

n ＝C n -m n ；②C m n+1＝C m n ＋C m -1n ，是否都能推广到C m

x (x ∈R ， m 是正整数)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，请说 明理由．

（3）已知组合数C m

x 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C m

x ∈Z.

补充：

在圆锥曲线中，有如下结论：AB 是抛物线px y 22

=（0>p ）的一条弦，

C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为

D ，若A 、B 两点

纵坐标之差的绝对值为定值即a y y B A =-||（0>a ），则S △p

a ADB 162

=．

试运用上述结论求解：

（1）若E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 平行于x 轴的直线 与抛物线分别交于点M 、N ，求AMD S ?和BND S ?；

（2）你能在上述问题的启发下，设计出一种方法求抛物线与弦 AB 围成的“弓形”的面积吗？

（3）求曲线2

x y =与x 轴的正半轴及直线1=x 所围成的曲边形的面积．

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

2014年高考数学压轴题(理科)

2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科） （试卷总分150分 考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ） A ．(0,2) B ．),2(+∞ C ．),0[+∞ D ．),2()0,(+∞?-∞ 2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ） 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2 6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下 罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以 上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上 2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8

历年高考真题(数学文化)

历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积

高考数学填空选择压轴题试题汇编

高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38

第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

历年高考数学真题(全国卷整理版)

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为

x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

上海历年高考数学压轴题题选

历年高考数学压轴题题选 （2012文） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =） （3）设100m =，常数1,12a ?? ∈ ??? ，若(1)22 (1) n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列， 求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{} (,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x = （3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

2011到2016历年高考数学真题

参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数与其应用(五)

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．

49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2

历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =

上海市高考数学压轴题总复习

2021年上海市高考数学压轴题总复习 1．已知焦点在x 轴上的椭圆x 29+y 2 b =1（b ＞0）的离心率e =23 ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，B 1，B 2分别是椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上任意一点（不与B 1，B 2，重合），O 为坐标原点． （1）若线段PF 1的中点在y 轴上，求|PF 2| |PF 1|的值； （2）若直线PB 1，PB 2分别与x 轴交于点M ，N ，求证：|OM |?|ON |为定值． 解：（1）由题意可得a ＝3，e =c a =23，可得c ＝2，而b 2＝a 2﹣c 2＝5， 所以椭圆的方程：x 29+y 25=1； 设线段PF 1的中点为G 因为O 是线段F 1F 2的中点，所以OG ∥PF 2，PF 2⊥x 轴， 所以|PF 2|=53|，PF 1|＝2a ﹣|PF 2|=133，故|PF 2||PF 1|=513 ， （2）令P （x 0，y 0），则x 0≠0， x 029+y 025=1， 即5x 02＝9（5﹣y 02）， 易知B 1（0，√5），B 2（0，?√5）， 所以l B 1P ：y ?√5=y 0?√5x 0（x ﹣0）， l B 2P ：y +√5=y 0+√5x 0 （x ﹣0）， 令y ＝0，得x N =√5x 0 y 0+5， 所以可证：|OM |?|ON |＝|√5x 0y 0?√5||√5x 0y 0+√5||5x 02 y 0?5 |＝9． 2．已知函数f （x ）=a 4x 4+b 6x 3﹣cx 2﹣mx +lnx ． （Ⅰ）当a ＝c ＝1，b ＝0时，f （x ）在定义域上单调递增，求m 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝c ＝0，b ＝1时，f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2． （Ⅰ）解：易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 由题意知函数f （x ）=14x 4﹣x 2﹣mx +lnx ， 所以f ′（x ）＝x 3﹣2x ﹣m +1x ≥0在（0，+∞）上恒成立， 即m ≤x 3﹣2x +1 x 在（0，+∞）上恒成立，

高中数学经典高考难题集锦解析版

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

高考数学压轴题的解题思路

2019年高考数学压轴题的解题思路 高考数学压轴题的解题思路。高考数学对于很多同学来说都是较难的一个科目，特别是对于文科生来说，简直是一个磨人的小妖精，历年高考数学结束后都会有人对数学怨声载道。一方面数学没有考好直接拉低了整体的高考分数，另外一方面数学的得分会明显拉大考生间的差距，小则几十分，大则百分。要知道在高考的战场上一分是可以压死千万人的，所以数学在高考中显得格外的重要。 在高考数学题中，最难的应该就是最后的一道压轴题，有一部分同学因为时间问题会直接错失答题机会，也有一部分同学会在解题过程中百思不得其解。那么关于压轴题怎么应用小技巧去解答？具体题目还是要具体分析，不能一一而谈，总体来说，思路如下： 一、复杂的问题简单化 就是把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解，高考是分步得分的，这种思考方式尤为重要，即使你最后没有算出结果，但是如果步骤正确，还是会得相应的步骤分的。在高考数学的答题过程中我们需要秉承一个理念，那就是不放过任何一个得分步骤。 二、运动的问题静止化 对于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有

始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，所有的运算都基于它们，在找到变化线段之间的联系，用代数式慢慢求解。 三、一般的问题特殊化 一有些一般的结论，找不到一般解法，先看特殊情况，比如动点问题，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样，先找出结论，再慢慢求解。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”

上海高考数学 函数 压轴题解析详解

上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解 1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数, ∴ 当n ? a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n . 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0] 1,[0,1] x x x x +∈-?? -∈?，是否满足题设条件？ 解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |， 取u = 43?[–1，1]，v = 2 1 ?[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4 5 | u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论： 10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ?[–1，0]，v ?[0，1]，则：

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=．

（1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<