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电子科大 随机过程第三章作业

第三章_随机过程教案

第三章随机过程 本节首先介绍利用matlab现有的库函数根据实际需要直接产生均分分布和高斯分布随机变量的方法,然后重点讲解蒙特卡罗算法。 一、均匀分布的随机数 利用MATLAB库函数rand产生。rand函数产生(0,1)内均匀分布的随机数,使用方法如下: 1)x=rand(m);产生一个m×m的矩阵,所含元素取值均为在(0,1)内均匀分布的随机数。 2)x=rand(m,n);产生一个m×n的矩阵,所含元素取值均为在(0,1)内均匀分布的随机数。 3)x=rand;产生一个随机数。 举例:1、产生一个5×5服从均匀分布的随机矩阵,所含元素取值均为在(0,1)内均匀分布的随机数。 x=rand(5) 2、产生一个5×3服从均匀分布的随机矩阵,所含元素取值均为在(0,1)内均匀分布的随机数。 x=rand(5,3) 二、高斯分布的随机数 randn函数产生均值为0,方差为1的高斯分布的随机数,使用方法如下: 1)x=randn(m);产生一个m×m的矩阵,所含元素都是均值

为0,方差为1的高斯分布的随机数。 2)x=randn(m,n);产生一个m×n的矩阵,所含元素都是均值为0,方差为1的高斯分布的随机数。 3)x=randn;产生一个均值为0,方差为1的高斯分布的随机数。 举例:1、产生一个5×5的矩阵,所含元素都是均值为0,方差为1的高斯分布的随机数。 x=randn(5) 2、产生一个5×3的矩阵,所含元素都是均值为0,方差为1的高斯分布的随机数。 x=randn(5,3) 3、产生一个5×3的矩阵,所含元素都是均值为0,方差为4的高斯分布的随机数。 x=2×randn(5,3) 三、蒙特卡罗仿真 1、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗估计是指通过随机实验估计系统参数值的过程。蒙特卡罗算法的基本思想:由概率论可知,随机实验中实验的结果是无法预测的,只能用统计的方法来描述。故需进行大量的随机实验,如果实验次数为N,以 N表示事件A发 A 生的次数。若将A发生的概率近似为相对频率,定义为 N N。 A 这样,在相对频率的意义下,事件A发生的概率可以通过重

应用随机过程学习总结

应用随机过程学习总结 一、预备知识:概率论 随机过程属于概率论的动态部分,即随机变量随时间不断发展变化的过程,它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面,主要掌握sigma代数和可测空间,在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释: sup表示上确界, inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数:随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定,因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体,而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算,同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望:独立随机变量和的分布通常由卷积来表示,对于同为分布函数的两个函数,卷积可以交换顺序,同时满足结合律和分配率。条件期望中,最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性,由Kolmogorov定理可知,随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样,随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程,通常研究宽平稳过程:如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立,即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关,r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察,那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来,因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程:若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立,则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性,则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程,其均值函数一定是时间t的线性函数。

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) (考试时间为120分钟) 参考答案及评分标准 考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ) 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。(ⅹ ) 2. 非周期的正常返态是遍历态。(√ ) 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。(ⅹ ) 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。(√ ) 5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(?nd ii p 。(ⅹ ) 二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。 2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。 三. 简答题(每小题5分,共10分) 1. 简述马氏链的遍历性。 答:设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同?

答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。 四. 计算、证明题(共70分) 1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分) 解: 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分) 解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y 1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=, 其中0t ≤<∞,ω为常数,V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。( 共10分) 1.画出该过程两条样本函数。(2分) 2.确定02t πω=,134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数,并画出其图形。(5 分) 3.随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳?(3分) 解:1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示: 2.当02t πω=时,()02X πω=,()012P X πω??==????, 此时概率密度函数为:(;)()2X f x x πδω =

当34t πω=时, 3()42X πω=-,随机过程的一维 概率密度函数为: 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳, 所以()X t 非广义平稳,非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+,其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。( 共10分) 1.求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3.两个随机信号联合平稳吗?(4分) 解:1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =, 故两个随机信号正交。

又 故两个随机信号互不相关, 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关,故两个信号分别平稳,又其互相关函数也与时刻组的起点无关,因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号,时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????,试求( 共10分) 1.()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2.()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3.()W t 是否严格平稳?(3分)

第三章随机过程作业

第三章随机过程作业 1.设A、B是独立同分布的随机变量,求随机过程的 均值函数、自相关函数和协方差函数。 2.设是独立增量过程,且,方差函数为。记随机过程 ,、为常数,。 (1)证明是独立增量随机过程; (2)求的方差函数和协方差函数。 3.设随机过程,其中是相互独立的随机变量且均值为 0、方差为1,求的协方差函数。 4.设U是随机变量,随机过程. (1) 是严平稳过程吗为什么 (2) 如果,证明:的自相关函数是常数。 5.设随机过程,其中U与V独立同分布 。 (1) 是平稳过程吗为什么 (2) 是严平稳过程吗为什么 6.设随机变量的分布密度为, 令, 试求的一维概率分布密度及。

7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令 试求:的一维分布函数 8.设随机过程, 其中是相互独立的随 机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 . 9.设其中为常数 , 随机变量 , 令 , 试求 :和 。 10.设有随机过程,并设x是一实数,定义另一个随机过程 试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。11.设有随机过程,,其中为均匀分布 于间的随机变量,即试证: (1)自相关函数 (2)协相关函数 12.质点在直线上作随机游动,即在时质点可以在轴上往右或往左作 一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为,往左移动一个单位距离的概率为,即

,且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动,质点所处的位置为。 (1)的均值; (2)求的相关函数和自协方差函数和。 13.设,其中服从上的均匀分布。试证 : 是宽平稳序列。 14.设其中服从上的均匀分布. 试 证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 . 15.设随机过程和都不是平稳的,且 其中和是均值为零的相互独立的平稳过程,它们有相同的相关函数,求证 是平稳过程。 16.设是均值为零的平稳随机过程。试 证 : 仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数,为整数。 17.若平稳过程满足条件,则称是周 期为的平稳过程。试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一.概念简答题(每题5 分,共40 分) 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA(p,q)模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分) 1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t ,协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

电子科技大学随机信号分析期末考试题

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称:_________ 考试形式: 考试日期: 20 年 月 日 考试时长:____分钟 课程成绩构成:平时 10 %, 期中 10 %, 实验 %, 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成,共_____页。 一、填空题(共20分,共 10题,每题2 分) 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞,其中0ω为常数,A Φ和是相互独立的随机变量, []01A ∈,且均匀分布,Φ在[]02π,上均匀分布,则()X t 的数学期望为: 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=,请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ,()Y t 的相关时间为2τ,12ττ>,则()X t 比()Y t 的相关 性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布,相位服从___均匀___分布,且在同一时刻其包络和相 位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____(奇、偶、非奇非偶)函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程,其单边功率谱密度为)(ωY F ,且0()Y F ωω-为一偶函 数,则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

二、计算题(共80分) 1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ,a 是常数,其中0,1x y ≤≤。求: 1) a ; 2) X 特征函数; 3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解:因为联合概率密度函数需要满足归一性,即 (2分) 11 00 1 1 1(,)124 XY f x y dxdy Axydxdy A xdx ydy A ∞∞ -∞-∞= ===?? ????(分) 所以4A = (1分) X 的边缘概率密度函数: 1 ()4201X f x xydy x x ==≤≤? (2分) 所以特征函数 1 1 02 ()2()2122 12j X X j x X j x j x j x j j E e f x e dx xe dx e xe j j e j e ωωωωωωω φωωωωω∞ -∞??=?? ==?? =-??????= --??? ?(分) (分)(分) 容易得1 ()4201Y f y xydx y y ==≤≤? 则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = (2分) 因此X 和Y 是统计独立。 (2分) 2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞,其中x 在(]0,2π均匀分布,求: 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+;

随机过程学习总结

随机过程学习报告 通过这一段时间以来的学习,我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例,在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律,如到某商店的顾客数;某电话总机接到的呼唤次数;在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声;已编码信号的误码数等。在我们的专业学习——通信工程中,研究数字通信中已编码信号的误码流,数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识,因此这门课程的学习是非常重要的。 一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别 泊松过程是一类很重要的随机过程,随机质点流描述的随机现象十分广泛,下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目: 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有两户定居,即λ=2。若每户的人口数是随机变量,一户4人的概率是1/6,一户3人的概率是1/3,一户两人的概率是1/3,一户一人的概率是1/6,且每户的人口数是相互独立的,①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程?②求上述随机过程的数学期望与方差。 分析:这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用,这类过程具有泊松过程的一部分性质,不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准,这就将随机过程的研究与实际相融合,生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的,比如调查到达商场购物的人数等问题时,实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象,所以引入复合泊松过程是十分有必要的。 解:设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t),则{N(t),t>=0}是一泊松过程,X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数,{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列,Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。 则Y(t)=∑=) (0 )n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程, )()(υ?n X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6 )()t (υ?Y =)1)((t )1(-γ?λX e 由特征函数的唯一性可知,Y(t)不是泊松过程。 E[X(n)]=4*1/6+3*1/3+2*1/3+1*1/6=5/2 E[)(n X 2 ]=16*1/6+9*1/3+4*1/3+1*1/6=43/6 则E[Y(t)]=λt*E[X(1)]=t*5; D[Y(t)]=λt*E[)(1X 2 ]=t*43/3; 则五周内定居到该地的人数数学期望为:5*5=25 方差为:5*43/3=215/3

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==,分别求: (1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ; (2)二维分布函数(0,;,)4F x y π ; (3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为1 2 ,求 1)画出{()}X t 的样本函数 2){()}X t 的一维概率分布,1 (;)2F x 和(1;)F x 3){()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ. (1)分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程: ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? , 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

电子科技大学随机信号分析期末测验题

电子科技大学随机信号分析期末测验题

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电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称:_________ 考试形式: 考试日期: 20 年 月 日 考试时长:____分钟 课程成绩构成:平时 10 %, 期中 10 %, 实验 %, 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成,共_____页。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 得分 一、填空题(共20分,共 10题,每题2 分) 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞,其中0ω为常数,A Φ和是相互独立的随机变量, []01A ∈,且均匀分布,Φ在[]02π,上均匀分布,则()X t 的数学期望为: 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=,请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ,()Y t 的相关时间为2τ,12ττ>,则()X t 比()Y t 的相关性 要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布,相位服从___均匀___分布,且在同一时刻其包络和相 位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____(奇、偶、非奇非偶)函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程,其单边功率谱密度为)(ωY F ,且0()Y F ωω-为一偶函数, 则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 得 得

随机过程知识点总结

第一章: 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章: 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程,独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+,t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ,求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ,()()()Y t X t a X t =+-,t T ∈,计算()Y t 的自相关函数(用(,)X R s t 表示). 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+,其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量,λ为实数,证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+,其中X 和Y 是相互独立的随机变量,它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1,证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章: 1. 泊松过程的定义(定义3.1.2)及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程,计算: (1). {(1)3}P N ≤; (2). {(1)1,(3)3}P N N ==; (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1).试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布;

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

上海大学2015~2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称:《概率论与随机过程》 课程编号:07275061 报告题目:大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生姓名: 学号: 任课教师: 成绩: 评阅日期:

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要:大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理,较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼,并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用范围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理,给出了其在彩票选号方面的应用,使得数学理论与实际相结合,能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理,起源于十七世纪,发展到现在,已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在,很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来,在大批概率论统计工作者的不懈努力下,概率统计的理论更加完善,应用更加广泛,如其在金融保险业的应用,在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解,研究探讨了其在彩票选号中的应用,并给出了案例分析,目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响,也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学内容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中,单单由数字特征无法确定其分布函数,所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征,可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为: 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C == ? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后,时域的卷积变成频域的相乘,这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积,可化为乘法运算,这样就简便了计算,提高了运算效率。 性质2 求矩公式:0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式:!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律:设随机变量相互独立,且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2==k X D k σ,则0∈>?,有 11lim 1=? ?? ???<∈-∑=∞ →n k k n X n P μ (4) 这验证了人们的猜想:大量随机现象的平均结果一般也具有稳定性。

随机过程第3章

第三章 随机过程 一. 随机过程的基本概念 1.1 随机过程的定义 设(Ω,F ,P )为给定的概率空间,T 为一指标集,对于任意t T ∈,都存在定义在(),,P ΩF 上,取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应,则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程,简记(){}t X ω,{}t X 或(){}X t 注:随机过程(){}:,t X t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点 ω的二元函数,对于给定的时间0t ,是0(,)X t ω是概率空 间(),,P ΩF 上的随机变量;对于给定样本点0ω∈Ω, 0(,)X t ω是定义在T 上的实函数,此时称它为随机过程 对应于0ω的一个样本函数,也成为样本轨道或实现。 E 称为随机过程的相空间,也成为状态空间,通常用 “t X x =”表示t X 处于状态x 1.2随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以 分为四类:连续型随机过程、离散型随机过程、连续型随机序列、离散型随机序列

1.3 有穷维分布函数 设随机过程{}t X ,在任意n 个时刻1,,n t t 的取值 1,,n t t X X 构成n 维随机向量()1,,n t t X X ,其n 维联合分布 函数为: ()()1 1 ,,11,,,,n n t t n t t n F x x P X x X x =≤≤ 其n 维联合密度函数记为()1 ,,1,,n t t n f x x 。 我们称(){}1 ,,11,,:1,,,n t t n n F x x n t t T ≥∈ 为随机过程 {}t X 的有穷维分布函数。 二.随机过程的数字特征 2.1 数学期望 对于任何一个时间t T ∈,随机过程{}t X 的数学期望定义为 ()()t X t t E X xdF x μ +∞ -∞ ==? ()t E X 是时间t 的函数 2.2 方差与矩 随机过程{}t X 的二阶中心矩

电子科技大学随机信号分析期末考试题

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称:_________ 考试形式: 考试日期: 20 年 月 日 考试时长:____分钟 课程成绩构成:平时 10 %, 期中 10 %, 实验 %, 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成,共_____页。 一、填空题(共20分,共 10题,每题2 分) 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞,其中0ω为常数,A Φ和是相互独立的 随机变量,[]01A ∈, 且均匀分布,Φ在[]02π,上均匀分布,则()X t 的数学期望为: 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=,请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ,()Y t 的相关时间为2τ,12ττ>,则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布,相位服从___均匀___分布,且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____(奇、偶、非奇非偶)函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程,其单边功率谱密度为)(ωY F ,且

0()Y F ωω-为一偶函数,则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题(共80分) 1. (16 分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ,a 是常数,其中 0,1x y ≤≤。求: 1)a ; 2)X 特征函数; 3)试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解:因为联合概率密度函数需要满足归一性,即 (2分) 所以4A = (1分) X 的边缘概率密度函数: 1 ()4201X f x xydy x x ==≤≤? (2 分) 所以特征函数 容易得 1 0()4201Y f y xydx y y ==≤≤? 则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = (2 分) 因此X 和Y 是统计独立。 (2分) 2. (12 分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞,其中x 在(]0,2π均匀分布,求: 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+; 2) 判断是否广义平稳; 解: 因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化,所以不是广义平稳; (2)分 3. (12 分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式:()()t t T Y t X u du -=?其中T 为积分时间常数,如输入随机过程()X t 是平稳随机过程,且已知其功率谱密度为

随机过程习题答案

随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中:

式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为:

利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有:

P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1 )是齐次马氏链。经过 次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2)

概率统计与随机过程 知识点总结--最终版

《概率统计与随机过程》知识总结 第1章 随机事件及其概率 一、随机事件与样本空间 1、随机试验 我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验,简称试验, (1)重复性:试验可以在相同的条件下重复进行; (2)多样性:试验的可能结果不止一个,并且一切可能的结果都已知; (3)随机性:在每次试验前,不能确定哪一个结果会出现。 随机试验一般用大写字母E 表示,随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。 2、样本空间 随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间,记为S ,样本空间中的元素,即E 的每个基本结果,称为样本点。 3、随机事件 称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件,简称事件。 随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。 在一次试验中,当且仅当这一子集(事件)中的某个样本点出现时,称这一事件发生。 特别地,将只含有一个样本点的事件称为基本事件; 样本空间S 包含所有的样本点,它在每次试验中都发生,称S 为必然事件; 事件?(S ??)不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生,称?为不可能事件。 4、随机事件间的关系及运算 (1)包含关系:若B A ?,则称事件A 包含事件B ,也称事件B 含在事件A 中,它表示:若事件B 发生必导致事件A 发生。 (2)相等关系:若B A ?且A B ?,则称事件A 与事件B 相等,记为A B =。 (3)事件的和:称事件{|A B x x A ?=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。 事件A B ?发生意味着事件A 发生或事件B 发生,即事件A 与事件B 至少有一件发生。 类似地,称1 n i i A =?为n 个事件12n A A A ?、、 、的和事件,称1 i i A ∞ =?为可列个事件12 A A ?、、的和事件。 (4)事件的积:称事件{|A B x x A ?=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。 事件A B ?发生意味着事件A 发生且事件B 发生,即事件A 与事件B 都发生。 A B ?简记为AB 。 类似地,称1 n i i A =?为n 个事件12n A A A ?、、 、的积事件,称1 i i A ∞ =?为可列个事件12 A A ?、、的积事件。 (5)事件的差:称事件{|A B x x A -=∈且}x B ?为事件A 与事件B 的差事件。 事件A B -发生意味着事件A 发生且事件B 不发生。(A B AB A AB -==-) (6)互不相容(互斥关系):若A B ?=?,则称事件A 与事件B 互不相容,又称事件A 与事件B 互斥。事件A 与B 互不相容意味着事件A 与B 不可能同时发生。 (7)互逆关系(对立关系):若A B S ?=且A B ?=?,则称事件A 与事件B 互为逆事

电子科技大学2016年博士随机过程考试大纲

电子科技大学2016年博士随机过程考试大纲 考试科目2003随机过程考试形式笔试(闭卷) 考试时间180分钟考试总分100分 一、总体要求 要求考生全面系统地掌握随机过程的有关理论,并且能灵活运用,具备较强的分析问题与解决问题的能力。 二、内容 1.随机变量的数字特征 1)理解概率空间、 2)掌握随机变量数字特征的黎曼—斯蒂阶积分定义 3)掌握条件数学期望概念及性质 4)会应用全数学期望公式 2.随机向量的特征函数 1)掌握随机向量的特征函数概念及基本性质 2)掌握特征函数的反演公式及惟一性定理,并会应用 3.随机过程基本概念 1)理解随机过程的数学定义 2)理解过程的样本函数概念及随机过程的二元理解 4.随机过程的存在性定理 1)充分理解随机过程的存在性定理的数学及工程意义, 2)能用随机过程的分布函数族和特征函数族表述随机过程 5.随机过程的数字特征 1)会计算随机过程的均值函数、方差函数 2)会计算相关函数及互相关函数,协方差函数 6.随机过程的概率特征 1)掌握二阶矩过程、独立过程、正交过程、独立增量过程 2)掌握平稳增量过程、平稳独立增量过程的概念 7.正态过程 1)理解正态过程(退化和非退化)定义 2)掌握其有限维分布函数族和数字特征 3)掌握正态过程的性质 4)了解正态过程的工程应用 8.维纳过程 1)维纳过程的数学定义及性质:增量正态性、平稳独立增量性、零初值性 2)维纳过程的非平稳性 3)维纳过程的工程意义 9.齐泊松过程及复合泊松过程 1)齐次泊松过程的定义及性质:零初值性、平稳增量性 2)泊松随机点发生的稀有性 3)齐次泊松过程的有关随机变量:等待时间、到达时间间隔的分布、到达时间的条件分布. 4)了解复合泊松过程及应用 10.二阶矩随机过程的均方极限

随机过程总结

第一章随机变量基础 1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献? 答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究,如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后,马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义,直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年,柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》,1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》,这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年,杜布出版了名著《随机过程论》,系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 2 全概率公式的含义? 答:全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。 3 概率空间有哪几个要素,其概念体现了对随机信号什么样的建模思想? 答:样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系,因此,概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化,其有效性是通过多次观测体现出来的,也即在多次观测中,某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等,所以,概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。 4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量? 答:概率分布函数(cdf)、概率密度函数(pdf)、特征函数(cf)、概率生成函数(gf)。 5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量? 答:均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。 6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系? 答:随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征(即变量特性),还增加了变量取每个值的可能性大小的描述(即概率特性)。因此,描述或刻画一个随机变量时,还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。 第二章随机过程的基本概念 1 什么是随机现象? 答:对于某个客观对象,在观测前能知道其可能的结果,但不能明确知道是可能结果中的哪一个,那么该客观对象称为随机现象。 2 如何理解随机过程? 答:一个理解:随机过程是一组样本函数的集合;根据这个理解,可用试验的方法研究随机过程,通过随机试验观测其各个样本函数,观测次数越多,所得样本函数的数目越多,就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解:随机过程可看作是一簇随时间变化的随机变量的集合;随机过程可视为多维随机变量的推广,时间分割越细,多维随机变量的维数越大,对随机过程的统计描述也就越全面,因此,概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。 3 为什么完全描述一个随机过程需要用概率函数族? 答:随机过程是一簇随时间变化的随机变量的集合,对于每一个固定时刻,它们都是随机变量,可以用概率函数来描述。这些不同时刻的随机变量是相互联系的,要描述它们间的各阶关联特性就必须用各阶概率函数。因此,完全描述一个随机过程必须用概率函数族。 4 可用哪些数字特征部分描述随机过程?

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:

所以: 2.1 袋中 红球,每隔单位时间从 袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每对应随机变量 一个确定的t ?? ? ? ? = 时取得白球 如果对 时取得红球 如果对 t e t t t X t 3 )( . 维分布函数族 试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关

(2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少?

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

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