线性代数期末综合测试题
班级: 学号: 姓名 成绩
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.==3
323133222121312113
323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则,设
2. 正交与时,向量当βαβα ),,1,5(),3,2,1(==--=k k
3.当方程个数与未知量个数相同时,非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是
?
??
? ??=1 21 3 .4A 已知: , 则*
A = 5.设α=(2,-1,5),β=(-1,1,1),则α+β= ,3α-2β=
6.已知
???
??
? ??=3 0 00 4 10 0 3A ,则=--1)2(I A ( 其中I 为单位矩阵 ) 7.设三元非齐次线性方程组b Ax =中,矩阵A 的秩为2,且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ 为b Ax =的两个解,则此非齐次方程组的全部解可表示为: 8.设A 为三阶方阵,且2=A ,则=-1)2(T A
9.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ,则当k= 时,321,,ααα线性相关
10.设n m A ?,在齐次线性方程组0=Ax 中,若秩(A )=k , 且r ηηη,,,21 是它的一个基础解系,则r = ,当k = 时,此方程组只有零解
二、计算、证明题(共70分)
1.设??
??
?
??--=????? ??--=132231,113122214B A ,求X 使B AX = (8分)
2.用基础解系表示齐次线性方程组(12分)
????
???=+-=+-=-++0
02 0 24214324321x x x x x x x x x x 的全部解。
3、求向量组(12分)
T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组,并将其
余向量用极大线性无关组线性表示
4.设方阵????? ??------=12422421x A 与对角矩阵??
???
??-=Λ40000005y 相似,求y x 与的值(6分)
5.已知向量组321,,ααα线性无关,试证向量组3132215,4,32αααααα+++亦线性无关 (6分)
6. 已知???
?
?
? ??----=3 2 4 1 2 2 3 k k A ,A 的特征值分别为1 ,1 3 21=-==λλλ。
(1)当k 为何值时,存在可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角阵(4分) (2)求出可逆矩阵及相应的对角矩阵 (12分)
7. 设321ξξξ,,为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系,
试证133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的一个基础解系。(10分)
线性代数期末综合测试题答案
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.==3
323133222121312113
323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则,设 16 。
2. 正交与时,向量当βαβα 1 ),,1,5(),3,2,1(==--=k k
3.当方程个数与未知量个数相同时,非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是n A r b A r n A r A ===≠)(),()(0 或或。
?
??
? ??=1 21 3 .4A 已知: , 则*A =???? ??--3 21 1 5.设α=(2,-1,5),β=(-1,1,1),则α+β=6) 0 (1,,
,3α-2β=13) 5- 8 (,,。 6.已知?????
? ??=3 0 00 4 10 0 3A ,则=--1)2(I A ????
??
??-1 0 0 0 2/1 2/10 0 1 ( 其中I 为单位矩阵 )。
7.设三元非齐次线性方程组b Ax =中,矩阵A 的秩为2,且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ
为b Ax =的两个解,则此非齐次方程组的全部解可表示为:
)()1,2,3()-1,0,2(为任意常数其中k k T T +。
8.设A 为三阶方阵,且2=A 则=-1)2(T A 1/16
9.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ,则当k= 1/4 时,321,,ααα线性相关。
10.设n m A ?,在齐次线性方程组0=Ax 中,若秩(A )=k ,且r ηηη,,,21 是它的一个基础解系,则r = n-k ,当k = n 时,此方程组只有零解。 二、计算、证明题(共60分)
1.设???
?
?
??--=????? ??--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =(8分)
解:()???
?
? ??----=132231113122214B A 初等行变换~????? ??--412315210
100010001
????
? ??--==∴-412315210
1
B A X
2.用基础解系表示齐次线性方程组(12分)
???
??=+-=+-=-++0 02 0
24
214324321x x x x x x x x x x 的全部解。 ??
??
?
?????-→??????????-→??
??
?
?????---→??????????-----→??????????---=2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 3 0 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 A 解:
全部解为:) ( 1 2
0 14321为任意常数其中k k x x x x ????
???
??-=?
?????
? ?? 3、求向量组(12分)
T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组,并将其
余向量用该极大线性无关组线性表示.
解:
2
142132132200000000321021017654654354324321αααααααα+-=+-=
?????
?
??????--?????????????,,且,极大无关组 4.设方阵????? ??------=12422421x A 与???
?? ??-=Λ40000005y 相似,求y x 与的值.(6分)
解: 方阵A 与Λ相似,则A 与Λ的特征多项式相同,从而具有相同的特征值,所
以:
?
??-=--=???
?-=---=???
?-??=-+=++84312040151
)
4(54
511y x y x y
x y x y A y x 解得:???==?5
4
y x .
5.已知向量组321,,ααα线性无关,试证向量组3132215,4,32αααααα+++亦线性无关(6分) 证明:设有321,,k k k 使
0)4()3()2(0)5()4)32(33222113131332(2211=+++++?=+++++αααααααααk k k k k k k k k (此步:2分)
因为321,,ααα线性无关,所以有:
081 2 00 1 31 0 20001 2 00 1 31 0 2040302321322131≠=???????
??=?????? ???????? ??????
?
???=+=+=+ k k k k k k k k k (此步:3分)
∴方程组只有零解,即0321===k k k ,从而向量组3132215,4,32αααααα+++线性无关,证毕。(此步:1分)
6. 已知????
?
? ??----=3 2 4 1 2 2 3 k k A ,A 的特征值分别为1,1321=-==λλλ。
当k 为何值时,存在可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角阵,并求出可逆矩阵及相应的对角矩阵 (16
分) 解:因为121
-==λλ为二重特征根,由此可知k 的取值应满足:
秩123)(=-=+I A r ,此时对应方程0)(=+x I A 才能求出两个线性无关
的特征向量。(此步:2分)
=+)(I A ???
?
? ??---2 2 4 0
2 2
4 k k 可见只有1)(0=+=I A r k 时,。(此步:3分)
时由:
==当1,021-=λλk T T P P x x x )2,0,1(,)0,2,1(00 0 0 0 0 0 2 2 4 21321=-==????
? ??????? ??-,解得:
T T P P )1,0,2
1
(,)0,1,21(
21=-= 或 T
P x x x )1,0,1(04 2 4 0 2 0 2 2
2 133213==????
? ??????? ??---=,解得: 时由:
当λ
所求可逆矩阵为:
????
?
?
??--=?????? ??-==-1
1 1 1
2 0 0 0 2 1 1 1),,(1321AP P P P P P ,(此步:4分) 7. 设321ξξξ,,为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系,
试证133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的一个基础解系。(10分) 证明:因为321ξξξ,,为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系,
所以:321ξξξ,,线性无关。(此步2分)
设有实数321,,k k k ,使
0)()()(133322211=ξ+ξ+ξ+ξ+ξ+ξk k k ①(此步2分) 整理得:0)()()(332221131=ξ++ξ++ξ+k k k k k k ②
因为321ξξξ,,线性无关,所以该方程组②只有零解,即:(此步2分)
011001110100032
2131≠?????
??????
??=+=+=+ k k k k k k ,所以0321===k k k ,即方程组①只有零解,
133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ线性无关。(此步4分) 又 133221,,ξξξξξξ+++也是0=Ax 的解,
∴133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组0A =x 的一个基础解系,证毕。
工程学院2011年度(线性代数)期末考试试卷样卷 一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ,则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ,则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量,则 =a 。 、B 均为5阶矩阵,2,2 1 == B A ,则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=,则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若λ是矩阵A 的一个特征值,则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型,则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α,则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则=+E A 。
二、单项选择(每小题2分,共10分) 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ) A .1或2 B . -1或-2 C .1或-2 D .-1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-,则=A ( ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ) A .0=+ B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是 ( ) A .21+ββ B . ()21235 1 ββ+ C .()21221ββ+ D .21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2,则=k ( ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分,共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵,则下列结论正确的是 . (a)若A 和B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵 (b )若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵,则A 和B 都是奇异矩阵 (d )若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵,则()1-?? ????'AB 等于( ) (a )()1-'A ()1-'B (b ) ()1-'B ()1-'A (c )() '-1B )(1'-A (d )() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A )=m 时,则方程组 。 (a ) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d )有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a )A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ,则以下说法正确的是 。 (a ) A 可逆 (b ) A 合同于单位矩阵 (c ) A =0 (d ) 0=AX 有无穷多解 6.设A ,B ,C 都是n 阶矩阵,且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵, 则必有( ) (A )ACB E = (B)CBA E = (C )BAC E = (D ) BCA E = 7.若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ) (A )6- (B )6 (C )24 (D )24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵,|A |=3,则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2.设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ; 3.设A =? ? ?? ??--1112,则1 -A = 。
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( )
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关
《线性代数》综合复习题 一、单项选择题: 1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、 2、3,它们的余子式分别为4、2、1,则D =( ) (A)-3 (B) 3 (C) -11 (D) 11 2、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组,且齐次线性方程组AX =O 仅有零解,则( ) (A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对 3、设A 为n(n ≥2)阶方阵,且A 的行列式|A |=a ≠0,A *为A 的伴随矩阵,则| 3A * | 等于( ) (A) 3n a (B) 3a n -1 (C) 3n a n -1 (D) 3a n 4、设A =????? ??3332312322 21131211a a a a a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,???? ? ??=1010100012P ,则有( ) (A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵,则下列结论错误.. 的是( ) (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵,且O E A A =+-232,则( ) (A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A = (C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值,则E A 2= 7、设矩阵210120001A ?? ?= ? ??? ,矩阵B 满足2ABA BA E **=+,其中E 为三阶单位矩阵,A * 为A 的伴随矩 阵,则B = (A ) 13; (B )19; (C )1 4 ; (D )13。 8、下列命题中,错误的是 (A) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关,则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,, ,n n n k k αααα+ +=且线性无关,则常数1, ,n k k 必不全为零 (C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ,都有1110,, ,n n n k k αααα++≠则 线性无关
线性代数试题(附答案) 一、填空题(每题2分,共20分) 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。 二、单项选择(每小题2分,共12分)
1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( ) A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( ) A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 ( ) A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题(每小题9分,共63分) 1.计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷(B 卷) 草 稿 区 专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩: 一 、选择题(本题共 28 分,每小题 4 分) 1.设n 阶方阵A 为实对称矩阵,则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数; (B) A 相似于一个对角阵; (C) A 合同于一个对角阵; (D) A 的所有特征向量两两正交。 2.设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关,则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示; (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示; (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价; (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵; (B) 若0||=A ,则0||*=A ; (C) 若2)(*-=n A r ,则2)(=A r ; (D) 若0||≠=d A ,则d A 1||*= 。 4.设A 为n 阶非零方阵,E 为n 阶单位矩阵,30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆,()E A +不可逆; (B) ()E A -不可逆,()E A +可逆; (C) ()E A -可逆,()E A +可逆; (D) ()E A -可逆,()E A +不可逆. 第 1页,共 6 页
5.实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零; (B) ||0A >; (C) 对于任意的0X ≠,都有0f >; (D) 存在n 阶矩阵U ,使得T A U U =. 6.设12,λλ为A 的不同特征值,对应特征向量为12,αα,则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 7.设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则 ( ) (A) A 与B 合同,但不相似;(B) A 与B 相似,但不合同; (C) A 与B 既合同又相似; (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题(本题共 24分,每小题 4 分) 1.二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 . 2.设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ,则3A 的秩3()r A 为 . 3.设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,若|2|48A =-,则λ= . 4.设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==,若123,,ααα构成的向量组的秩为2, 则a = . 5.设3阶矩阵123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++,且已知||1A =,则||B = . 第 2页,共 6 页
《线性代数》期终试卷1 ( 2学时) 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题,满分25分): 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 (); 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式(); 3.(4分)设, , 则 (); 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim(); 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则();
6.(3分)行列式中的系数是(); 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式: (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解?有解时求出所有解(用向量形式表示)。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型, (1)写出二次型的矩阵表达式; (2)求一个正交变换,把化为标准形, 并写该标准型; (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题(本大题共2个小题,满分15分): 1.(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 ( 2学时) 本试卷共八大题 一、是非题(判别下列命题是否正确,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×;每小题2 分,满分20 分): 1. 若阶方阵的秩,则其伴随阵 。() 2.若矩阵和矩阵满足,则 。() 3.实对称阵与对角阵相似:,这里必须是正交 阵。() 4.初等矩阵都是可逆阵,并且其逆阵都是它们本 身。() 5.若阶方阵满足,则对任意维列向量,均有 。()
线性代数期末复习题 一、判断下列各题是否正确 1. 矩阵A 、B 的积AB =0,则A =0或B =0。 ( ) 2. 设A 为一任意矩阵,则A +A T ,AA T 均为对称矩阵。 ( ) 3. 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ,且已知秩(A)=r ,秩(B)=s,则r = s 。( ) 4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵,则(AB)*= A *B * 。 ( ) 5. 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC =E ,则BCA =E 。 ( ) 6. 设A 、B 为n 阶方阵,则,(A -1 B -1)T =(A T B T )-1 。 ( ) 7. 等价的矩阵的秩相等。 ( ) 8. 若矩阵P T AP 为对称矩阵,则A 为对称矩阵。 ( ) 9.在4阶行列式中,项a 13a 34a 42a 21带正号。 ( ) 10. A * 是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则 (2 A)* = 2 A * ( ) 11.在5阶行列式中,设a ij 为第i 行第j 列元素,A ij 为a ij 的代数余子式。则, a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+ a 34A 44+ a 35A 45=0 ( ) 12.若A *是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则,|A *| = |A|n-1。 ( ) 13.若A 、B 是同阶方阵,则(A +B )2 =A 2+2AB +B 2 。 ( ) 14. 等价的向量组的秩相等。 ( ) 15. A *是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则A *A =A A *= |A| E 。 ( ) 16.在4阶行列式中,项a 12a 34a 43a 21带负号。 ( ) 17. 若 n 阶矩阵A 可逆,则A 的n 个列向量线性相关 ( ) 18. 若矩阵A 、B 相似,则矩阵A 、B 合同。 ( ) 19. 实二次型f (x 1, x 2, x 3) =2 322x x + 是半正定二次型。 ( ) 20. 已知三阶矩阵A 的三个特征值是 -1,1,2,则|A| = -2 ( ) 21设A 是4×5矩阵,秩(A )=3,则A 中的3阶子式都不为0 ( ) 22若矩阵A 、B 合同,则矩阵A 、B 相似。 ( ) 23.设A 、B 为n 阶可逆方阵,则 (AB)-1 = A -1 B -1 。 ( ) 24.. 若A 为对称矩阵,则P T AP 为对称矩阵。 ( ) 25.在5阶行列式中,设a ij 为第i 行第j 列元素,A ij 为a ij 的代数余子式。则 a 51A 51+a 52A 52+a 53A 53+ a 54A 54+ a 55A 55=0 ( ) 26.若矩阵A 中所有t 阶子全为式0,则秩(A )≤t 。 ( ) 27.n 维零向量是任何一组n 维向量的线性组合。 ( ) 28.正交矩阵的行列式等于1或 -1 。 ( ) 29.任一实对称矩阵一定能与对角矩阵相似。 ( ) 30.实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2 322x x + 是正定二次型。 ( ) 31若一个向量组线性相关,则该向量组的任一部分组都线性相关。 ( ) 32若向量α与β正交,则对任意实数a 、b, a α与b β也正交 ( ) 33若矩阵A 满足A T = A -1 ,则矩阵A 为正交矩阵 ( ) 34.若矩阵A 、B 相似,则矩阵A 、B 等价 ( ) 35.n 阶矩阵A 非奇异的充要条件是A 的行向量都是非零向量。 ( ) 36.若λ1和λ2分别是n 阶矩阵A 、B 的特征值,则λ1 +λ2是n 阶矩阵A+B 的 特征值, ( ) 37.二次型f(x 1,x 2,x 3) =(x 1+x 2)2 + (x 2-x 3) 2 + (x 3+x 1) 2的秩为2 ( )
线性代数复习题 一、判断题 (正确在括号里打√,错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列,同时把第二列减去第一列,这样得到的新行列式与原行列式相等,亦即 3 3333222221 1111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零,则它必有一行(列)元素全为零,或有两行(列)完全相同,或有两行(列)元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零,则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵,且E ABC =,则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ,则A 的r -1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价,则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关,则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中,若1α与s α对应分量成比例,则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是:该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时,此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似,则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D ( 2. 行列式7 012156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-
线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。 (A )001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。 (A )122331,,αααααα--- (B )1231,,αααα+ (C )1212,,23αααα- (D )2323,,2αααα+ 3.设A 为n 阶方阵,且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=( ) (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4.设A 为n m ?矩阵,则有( )。 (A )若n m <,则b Ax =有无穷多解; (B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量; (C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; (D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。 5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则 () (A )A 与B 相似(B )A B ≠,但|A-B |=0 (C )A=B (D )A 与B 不一定相似,但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ,错误填F 。每小题2分,共10分) 1.A 是n 阶方阵,R ∈λ,则有A A λλ=。() 2.A ,B 是同阶方阵,且0≠AB ,则 111)(---=A B AB 。()
一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ,则=---------33 32 31 232221 13 1211 222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ,则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量,则 =a 。 、B 均为5阶矩阵,2,2 1 == B A ,则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=,则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若λ是矩阵A 的一个特征值,则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型,则t 的范围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α,则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则=+E A 。
二、单项选择(每小题2分,共10分) 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ) A .1或2 B . -1或-2 C .1或-2 D .-1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-,则=A ( ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ) A .0=+ B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是 ( ) A .21+ββ B . ()21235 1 ββ+ C .()21221ββ+ D .21ββ- 5. 若二次型3231212 322 2166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2,则=k ( ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分,共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n =
线性代数期末复习题详解
线性代数B 复习资料(2014) (一)单项选择题 1.设A ,B 为n 阶方阵,且()E AB =2 ,则下列各式 中可能不成立的是( A ) (A )1 -=B A (B)1 -=B ABA (C)1 -=A BAB (D)E BA =2 ) ( 2.若由AB=AC 必能推出B=C (A ,B ,C 均为n 阶矩阵)则A 必须满足( C ) (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3.A 为n 阶方阵,若存在n 阶方阵B ,使AB=BA=A ,则( D ) (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4.设A 为n ×n 阶矩阵,如果r(A) 量对应元素成比例 5.71.已知向量组4 32 1 ,,,ααα α线性无关则向量组 ( C ) (A) 14433221 ,,,αααααααα++++线性无关 (B) 1 4433221 ,,,αααααααα----线性无关 (C ) 14433221 ,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 1 4433221 ,,,αααααααα --++线性无关 6.下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性无关,则加入k 个向量k βββ ,,2, 1Λ后,仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性无关,则在每 个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性 无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性相关,则加入k 个向量后,仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性相关,则在每个 向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关 7.设n 阶方阵A 的秩r