(19.2证明举例)
A
E
B
C
D
学而优教育学科教师辅导讲义
就读学校 干巷中学 年 级 八 授课次数 11 学员姓名 夏卉哲
辅导科目
数学
学科教师
吴老师
课 题 §19.2证明举例
授课日期
授课时段
：00-:00
教学目的
1、在证明举例的学习和实践中，懂得演绎推理的一般规则，体会执果索因的分析过程与方法及由因导果的解题过程与方法，初步掌握规范的表达格式。
2、利用所学的定义、公理、定理等解决几何问题。
3、在学习总结的过程中增强学习数学的兴趣，并在其中体会成功的喜悦。
教学内容
一、 课前练习： 1、看图填空： （1）∵∠1=∠2（已知）
∴ ∥ （ ）
（2）∵∠3=110°∠4=110°（已知） ∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
（3）∵∠C=45°，∠ADC=135°（已知）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
（学生对前面所学知识有所遗忘，由小练习来复习平行线的判定定理，为下面证明举例做好知识准备。） 二、 讲授新课
在平行线和三角形的学习中，我们通过说理确认了一些真命题. 那时的说理，其实就是证明.下面再看一些证明的例子. 例1 已知：如图，AB ∥CD ，∠B +∠D =180°. 求证：CB ∥DE .
（通过对本题的学习让学生初步体会证明两条直线平行分析方法和过程。掌握规范的书写格式。）
D
B 1 4 3 A
C E
2 A
D
A C
D F E
B
变式练习：
已知：如图，AB ∥CD ，∠B =∠D 。求证：AD ∥BC
（通过本题的练习帮助学生巩固理解证明的方法和分析的过程，在尝试一题多解证明过程中，感受成功的喜悦。同时感受这是平行线的判定问题，要用平行线的基本图形进行证明） 例2 已知：如图，点D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 上的一点，DF ∥AB ，∠DFE =∠A .求证：EF ∥AC .
例二变式练习：从已知条件 DF ∥AB 和∠DFE =∠A 中任选一个作为结论，将求证EF ∥AC 作为条件，再证明.
（让学生独立分析，并且完成证明过程，从中体验成功的喜悦）
想一想：依据学过的哪些方法可以证明两条直线平行？
三、深化学习，提高能力
练习1：已知：如图，∠1=∠B ，∠2=∠D.求证：AB ∥CD 。
2
1A
B
E
C D
F
想一想：如果把本题改成：
1.已知，如图，∠E=∠B+∠D.求证：AB∥CD。
E B
A
C D
2. 已知，如图，∠B+∠E+∠D=360°.求证：AB∥CD。
A B
E
C D
总结：证明方法与证明步骤
1、证明方法：在证明之前有“分析”，这是在弄清题意的基础上，探索证明思路的过程。这里才用分析的方法，是从“要证什么”着眼，探寻“需知什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”。而证明的表述，一般是从“已知”开始，推导出“可知”，直到求证的“结论”。
2、证明步骤：
（1）仔细审题，分清命题的“条件”与“结论”（或“已知什么”、“求证什么”）。
（2）探索证明方法，充分利用已知条件和图形的性质寻找解题思路，有时需作辅助线，将不易证明的命题转化为较易证明的问题。
（3）写出证明过程，理清解题思路，层次清晰且有根据地从已知到未知，将证明的全过程写下来。
【例题1】点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE 求证：BD＝CE
【例题2】如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.
A
B
C
D E
D
C
B
A 2
1
【例题3】 已知：如图,BE 和CF 是△ABC 的高线,BE=CF,H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC
【例题4】△ABC 中,AB=AC,PB=PC ．求证：BD=CD 且AD ⊥BC
练习：
1、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4，试证明AD ∥BE ．
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，DE ∥AC 。求证：AE=BE 。
C D
3、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BP ⊥AD 于P ，AB=5，BP=2，AC=9。 求证：∠ABP=2∠ACB 。
4、 如图,在△ABC 中,AB=AC,E 为CA 延长线上一点,ED ⊥BC 于D 交AB 于F.求证:△AEF 为等腰三角形.
5、如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE ⊥CF;(2)CF ∥AD.
19.2.1 几何证明中常用的证明方法
A P D C
B
1、证两直线平行——利用平行线的性质和判定；利用平行线的判断定理及其推论来证，这是证明两直线平行最基本的方法（关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系）
2、证两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定：
（1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等（有时可能缺少直接条件，要证两次全等）（2）有时两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等，那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等
（3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等（等角对等边）
（4）证明两条线段都等于第三条线段（即以第三条线段为媒介）
3、证两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定：
4、证两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质
*5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法，常常要作辅助线。