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线性代数试题1

线性代数试题1
线性代数试题1

全校各专业《线性代数》课程试卷

试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间(120分钟)

一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。

每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=

AB

,则必有( )

(A)0=A 或0=B ; (B)0=+

B A ; (

C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵,且2

2

2

()2A B A AB B

+=++,则必有( )

(A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ?矩阵,齐次方程组0=Ax

仅有零解的充要条件是( )

(A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关;

(C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关.

4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( )

(A) A 的秩小于n ; (B)

0A ≠;

(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零;

二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)

5、若4阶矩阵A 的行列式

5A =-,A

*

是A 的伴随矩阵,则

*

A

= 。

6、A 为n n ?阶矩阵,且220A A E

--=,则1

(2)

A E -+=

7、已知方程组????

?

??=????? ???????

?

?-+43121232

1

213

2

1x x x a

a 无解,则a = 。

8、二次型

2

2

2

1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t

的取值范围

是 。

三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)

9、计算行列式1111111111111

1

1

1x

x D

y y

+-=

+-

10、计算n 阶行列式

12121

2

333

n n n n x x x x x x D x x x ++=

+

四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程)

11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。

12、设

A

n

阶矩方阵,E

n

阶单位矩阵,

E

A +可逆,且

1

()()()

f A E A E A -=-+。

证明

(1) (())()2E f A E A E

+

+=;

(2) (())f f A A =。

五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)

13、设

200

032

023

A

??

?

=

?

?

??

,求一个正交矩阵P使得1

P AP

-为对角矩阵。

14、已知方程组

?

?

?

?

?

=

+

+

=

+

+

=

+

+

4

2

3

2

2

1

3

2

1

3

2

1

x

a

x

x

ax

x

x

x

x

x

与方程组1

2

3

2

1

-

=

+

+a

x

x

x 有公共解。

求a的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知

1

η,2η,3η是它的三个解向量,且

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

5

4

3

2

1

η,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

+

4

3

2

1

3

2

η

η

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C ;

2、D ;

3、A ;

4、A 。 二、填空题

5、-125;

6、2

π

; 7、-1; 8、5

3>t

三、计算题

9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:

001111001

1

1

1x x x D y y y

-=

-

第二列减第一列,第四列减第三列得:

0001100001

1

x x D y y

-=

- (4分)

按第一行展开得

100

00

1

x

D x y y

-=-

按第三列展开得

2

2

01

x D xy

x y

y -=-=。 (4分)

10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子?

?

?

??+∑=n i i x 13,再通

过行列式的变换化为上三角形行列式

2212

1

1

331

3

n n n n i i n x x x x D x x x =+??=+ ?

??+∑

(4分)

211

3030

3

n n i i x x x =??=+ ???∑

1

13

3n n i i x -=??

=+ ???

∑ (4分)

四、证明题 11、证明: (1)、 因为

332,ααα,线性无关,所以32αα,线性无关。

, 又321ααα,,线性相关,故1α能由

32αα,线性表出。 (4

分)

123()3

r ααα=,,,

(2)、(反正法)若不,则4α能由

321,ααα,线性表出,

不妨设3322114

ααααk k k ++=。

由(1)知,1α能由

32αα,线性表出,

不妨设32211αααt t +=。

所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,

这表明

432,ααα,线性相关,矛盾。 (4

分)

12、证明 (1)1

(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -+

+=+-++

1

()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E

-=++-++=++-= (4分)

(2)1

(())[()][()]

f f A E f A E f A -=-+

由(1)得:1

1[()]()2

E f A E A -+

=

+,代入上式得

1

1

111(())[()()]

()()()()

()2

2

2

f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=

+--++

11()()2

2

E A E A A =+-

-= (4分)

五、解答题 13、解: (1)由0

E A

λ-=得A 的特征值为11λ=,2

2

λ=,35λ=。 (4分)

(2)11λ=的特征向量为1011ξ??

?

=- ? ???

, 22λ=的特征向量为2100ξ?? ?

= ? ???

35λ=的特征向量为3011ξ?? ?

= ? ???

(3分)

(3)因为特征值不相等,则123,,ξξξ正交。 (2分) (4)将123,,ξξξ

单位化得

101

1p ??

?=-???

210

0p ??

?= ? ???

301

1p ???=???

(2分)

(5)取(

)

123010,,00

P p p p ?? ? ? ==- ?

(6)110002000

5P A P -?? ?

= ? ???

(1分)

14、解:该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为

0=Ax

因3)(=A R ,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一

个非零解都是它的基础解系。 (5分)

另一方面,记向量)

(2321ηηηξ

+-=,则

022)2(321321=--=--=--=b b b A A A A A ηηηηηηξ

直接计算得0

)

6,5,4,3(≠=T

ξ

,ξ就是它的一个基础解系。根据非齐次线性

方程组解的结构知,原方程组的通解为

???

?

??

? ??+??????? ??=+=543265431k k x ηξ,R k ∈。 (7分)

15、解:将①与②联立得非齐次线性方程组:

?????

??-=++=++=++=++.12,04,02,0321

32

21

3

213

21a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵A 作初等行变换得:

→??????? ?

?-=11

2

1041

021

0111

2

a a

a A ???

???

?

?

?-----110

00)

1)(2(000110

0111

a a

a a a . (4分)

1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时

????

??

?

?

?→00

0000000100101

A , 则方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为: ??

?

?

?

??-101,

所以①与②的全部公共解为??

?

?

? ??-101k ,k 为任意常数. (4分)

2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时

????

??

?

?

?-→00

0110010100001

A , 故方程组③的解为:011?? ? ? ?-??, 即①与②有唯一公共解011x ??

?

= ? ?-??

. (4分)

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4. 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6.在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ,则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ,则 12 8.若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

同济大学线性代数期末考试试题(多套)

微 信 公 众 号 : 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷(A 卷) 2009—2010学年第一学期 一、填空题(每空3分,共24分) 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量,已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++,3,且1A =,那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵,则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ,则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示,则 D 成立.(注:此题单选) (A).当r s <时,向量组(II)必线性相关 (B).当r s >时,向量组(II)必线性相关 (C).当r s <时,向量组(I)必线性相关 (D).当r s >时,向量组(I)必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =, 则B O =”可成立. (注:此题可多选) (A).A 可逆(B).A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数) (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵,已知1,2?为 A 的特征值, B 的所有对角元的和为5, 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥),则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、(10分)已知矩阵200011031A ????=??????,100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010~ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2. 设A 、B 为4阶方阵,且,2||1 =-A 813=B ,则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ,且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4.设??????????=210110001A ,则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5.已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示,则21,αα线性 相关 . 6.设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ,且1α,32αα,线性相关, 则=t 8 . 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ,???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8.设三阶方阵A 的每行元素之和均为零,又2)(=A R ,则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ; )B ( 2 ; )C ( 1 ; )D ( 0. 2.设C B A ,,均为二阶方阵,AC AB =,则当(C )时,可以推出C B =. .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) . )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关,则21,αα线性相关; )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似,则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解,则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解,其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η,???? ????????=+444432ηη, 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( B ) )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6.若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则(A )

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题(每小题3分,共30分) (1)若A 为4阶矩阵,则3A =( ) (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A (2)设A ,B 为n 阶方阵,0A ≠且0AB =,则( ) (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 (3)A ,B ,C 均为n 阶方阵,则下列命题正确的是( ) (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 (4)222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是( ) (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = (5)线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解,则k 为( ) (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 (6)若A 为可逆阵,则1()A *-=( ) (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* (7)含有4个未知数的齐次方程组0AX =,如果()1R A =,则它的每个基础解系中解向量的个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(8)设A 为m n ?矩阵,齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的( ) (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 (9)已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是( ) (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? (10)二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型,则λ 的取值范围是( ) (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题(第1、2小题每题5分,第3、4小题每题10分,共30分) 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。(5分) 2、设321A=315323?? ? ? ??? ,求A 的逆-1A 。(5分)

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

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线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似

二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一 一、判断题:(正确:√,错误:×)(每小题2分,共10分) 1、若B A ,为n 阶方阵,则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵,且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ,方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为. 三、计算:(每小题8分,共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ,求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2,其中??? ? ? ??=101020101A ,求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10(1(2(3(41. 2、(单 (1)做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ;

(2)通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题(正确的打√,不正确的打?)(每小题2分,共10分) ()1、设,A B 为n 阶方阵,则A B A B +=+; ()2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ; ()3、设矩阵A 的秩为r ,则A 中所有1-r 阶子式必不是零; ()4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解,则12x ξξ=+也是该方程组的解. ()5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一; 67、设向量(1,2,1)T α=--,β=()T 2,,2λ-正交,则λ=; 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为。 三、计算题(每小题8分,共16分) 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ,求矩阵AB 和BA 。

线性代数期末考试试题

线性代数B 期末试题 一、判断题(正确填T ,错误填F 。每小题2分,共10分) 1. A 是n 阶方阵,R ∈λ,则有A A λλ=。 ( ) 2. A ,B 是同阶方阵,且0≠AB ,则111)(---=A B AB 。 ( ) 3.如果A 与B 等价,则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4.若B A ,均为n 阶方阵,则当B A >时,B A ,一定不相似。 ( ) 5.n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关,则{}321,,ααα也线性相关。 ( ) 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。 (A )001010100????????? ? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001?? ??-?????? 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。 (A )122331,,αααααα--- (B )1231,,αααα+ (C )1212,,23αααα- (D )2323,,2αααα+ 3.设A 为n 阶方阵,且250A A E +-=。则 1(2)A E -+=( ) (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1 ()3A E + 4.设A 为n m ?矩阵,则有( )。 (A )若n m <,则b Ax =有无穷多解; (B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量; (C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; (D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。 5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A )A 与B 相似 (B )A B ≠,但|A-B |=0

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数考试时间:学号:姓名:

《线性代数A》参考答案(A卷)一、单项选择题(每小题3分,共30分) 二、填空题(每小题3分,共18分)

1、 256; 2、 132465798?? ? --- ? ???; 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ; 4、 ; 5、 4; 6、 2 。 三. 解:因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法: 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――(6分) 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――(8分) 四.解:对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得: 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――(5分) 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα,故秩 12345{,,,,}ααααα=2(8分)

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试 课程名称:线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟 一、选择填空题:(每题2 分,共14分) 1)行列式3 15 4 12231---中,元素4的代数余子式为 。 2)设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =,则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3)设112311131111A --?? ??=--????--?? ,则A 的秩()r A = 。 4)设向量组 123,,ααα线性无关,则当t =_____ 时,向量组21α-α,32t α-α,13α+α 线性相关。 5)线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是 。 6)若A 的特征值为1,0,2-,则2 A 的特征值为 。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 是任意常数,则方程组Ax b =的通解为 。 二)计算下列行列式(10分) 1110110110110111 ;

三)(12分)设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+,且已知301110014A ????=?????? ,求矩阵B 。 四)已知向量组[ ]1132 0α=,[]270143α=,[]32101α=-, []45162α=,求该向量组的秩和一个最大无关组,并将剩余向量用该最大无关 组线性表示。(12分) 五)设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ,问a b 、为何值时,方程组①有唯一解?② 无解?③有无穷多解?在有无穷多解时求通解(用基础解系表示)。(12分) 六)(14分) 1、求一正交变换X PY =,将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标 准形。(线性代数A 的同学选做) 2)已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ,使得T P AP 为对角矩阵。(线性代数 B 的同学选做) 七)设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时,β不能由123,,ααα线性表示? (2) 当,a b 取何值时,β可由123,,ααα线性表示?并写出此表示式。(12分) 八)若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量,问a 与b 应满足什么条件?(10 分) 九)已知A 为降秩矩阵,证明:矩阵A 至少有一个特征值为零。(4分)

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