第八章 多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

前面讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法极其应用.主要讨论二元的情况.

§1 多元函数的基本概念

一、平面点集 n 维空间

1. 平面点集

平面上具有某种性质P 的点的集合,称为平面点集,记作

{}P ),(),(具有性质y x y x E =.

例如,平面上一原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合可表示为

{

}2

2

2),(r

y

x y x C <+=.

我们把平面xOy 平面上到点),(000y x P 的距离小于δ的点的全体,称为点

),(000y x P 的-δ邻域,记作),(0δP U ,也即

{

}

δδ<-+-=2

0200)

()()

,(),(y y x x y x P U .

点0P 的去心-δ邻域,记作),(0δP U

,即

{

}

δδ<-+-<

=2

0200)

()(0),(),(y y x x y x P U

设E 为平面上一个点集,若0>?δ,使

E P U ?),(δ

则称P 为E 的内点.

如果对点P ,对0>?δ,邻域),(δP U 内既有属于E 的点,又有不属于E 的点,则称P 为边界点. E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ?.

边界点既可属于E ,又可不属于E .

如果对点P ,对0>?δ,去心邻域),(δP U

内总有属于E 的点,则称P 是E 的聚点.

聚点既可属于E ,又可不属于E .

例如,设平面点集{}

21),(22≤+<=y x y x E ,满足212

2<+

),(y x 都是

E 的内点；满足122=+y x 的一切点),(y x 都是E 的边界点,它们都不属

于E ；满足222=+y x 的一切点),(y x 也都是E 的边界点,它们都属于E ；E 以及它的边界E ?上的所有点都是E 的聚点.

如果点集E 的所有点都是内点,则称E 为开集.

如果点集E 的余集E 是开集,则称E 为闭集.

例如,集合{}21),(22<+<=y x y x E 是开集,集合{}

21),(22≤+≤=y x y x E

是闭集,而集合{}21),(2

2

≤+<=y x y x E 既非开集,又非闭集.

开圆：{}1),(2

2

<+=y x y x D ；开矩形：{}d y c b x a y x D <<<<=,),(但点集{}21),(2

2

<+≤=y x y x D 就不是开集.

若开集D 内任意两点都可通过折线连接起来,则称D 为(折线)连通的. 连通的开集D 称(开)区域,如{}

21),(22<+<=y x y x D . 开区域D 再添上它的边界D ?称闭区域,如{}

21),(22≤+≤y x y x .

对点集K ,如果0>?M ,使),(M O U K ?,这里O 表示坐标原点,则称K 为有界点集,如函数)arcsin(22y x z +=的定义域{}

1),(22≤+=y x y x D 是有界闭区域,而函数)ln(y x z +=的定义域{}0),(>+=y x y x D 为无界开区域.

记{}R ∈y x y x ,),(为2R ；类似地,{}R ∈z y x z y x ,,),,(记为3R ,一般地,

{}n i x x x x

i n ,,2,1,),,,(21

=∈R 记为n R ,称为n 维实空间,规定两点

),,,(21n x x x P 与),,,(21n y y y Q 的距离为

2

212211)

()()(n n x y x y x y PQ -++-+-=

与2R 类似,可在n R 中定义内点、边界点以及区域等概念.

二、多元函数的概念

定义 设D 为平面2R 上的一个区域,如果对D 中每个点D y x P ∈),(,按照某个对应法则f ,变量z 有唯一确定的值与之对应,则称变量z 为变量),(y x 的函数,记为

),(y x f z =,D y x ∈),(

其中x 和y 称为自变量,D 称为函数的定义域,记为

)(f D .

类似可定义三元函数),,(z y x f u =,D z y x ∈),,(,等等.

例1 函数)1l n (2

2y x z --=的定义域为：

{

}

1),(2

2<+=y

x y x D .

图象：曲面.

多元函数的复合：

例2 设xy y x y x f -+=22),(,则)(),(222xy y x k ky kx f -+=. 例3 设2

2

) ,(y x x y

y x f -=+,求),(y x f .

解法一：设y x u +=,x

y v =

,倒解 ? xv y =,? )1(v x u +=, ? v

u x +=

1,v

uv y +=

1,

所以 v

v u v v

u v u

v u f +-=

+-

+=

1)1()

1()

1(),(2

2

22

2

2

, 即 y

y x y x f +-=

1)1(),(2

。

解法二：2

2

) ,(y x x

y

y x f -=+))((y x y x -+=

y

x y x y x +-?

+=2

)(x

y x

y y x +

-

?

+=11)(2

, 所以 y

y x y x f +-=

1)1(),(2

.

例4 设x y

x x y y x f 2

) ,(-=+,求),(y x f .

解 )1)(() ,(2

22

x

y y x x

y

x x y

x x y

y x f -

+=-=-=+,

所以 )1(),(y x y x f -=.

三、多元函数的极限

先讨论二元函数的情况.

定义 设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义,若对

0>?ε,0>?δ,只要δ<-+-<

2

020)()(0y y x x ,

恒有

ε<-A y x f ),(,

则称函数),(y x f z =当),(),(00y x y x →时以A 为极限,记为

A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00.

例1 设2

22

21sin

),(y

x y x y x f ++=)0(2

2

≠+y

x ,则

0),(lim )

0,0(),(=→y x f y x .

证 0>?ε,只要取εδ=,当δ<+<

22

0y

x 时,恒有

=

-0),(y x f ε<+≤++2

22

2

2

2

1sin

y

x y

x y x .

所以 0),(lim

)

0,0(),(=→y x f y x .

例2

2

)

0,0(),()

()cos(1lim

xy xy y x -→2

2

)

0,0(),()(2sin

2lim

xy xy y x →=

2

1)

()

2(

2lim

2

2

)

0,0(),(=

=→xy xy

y x

例3

xy xy

xy y x --

+→11lim

)

0,0(),()

11(2lim

)

0,0(),(xy xy xy xy

y x -+

+=→

xy

xy y x -++=

→112

lim

)

0,0(),(1=.

在一元函数的极限中,0x x →的方式可以任意；同理,在二元函数的极限中,),(),(000y x P y x P →的方式更为复杂,它要求P 以任何方式趋于0P 时, ),(y x f 均趋于A .因此,假如P 以不同的方式趋于0P 时,),(y x f 趋于不同的极限,则说明

),(y x f 当0P P →时无极限.

例4 考察2

2

),(y

x xy y x f +=当)0,0(),(→y x 时的极限.

解 沿x 轴考察,

0),(lim

)0,0(),(==→y x f y y x ；沿

y 轴考察,

0),(lim

)0,0(),(==→y x f x y x ；

但如果沿射线)0( ≠=k kx y ,则

2

2

)0,0(),(lim

y

x xy kx

y y x +=→2

2

2

20

lim

x

k x kx

x +=→012

≠+=

k

k ,

因此,当)0,0(),(→y x 时,

2

2

y

x xy +无极限.

例5

y

x y x y x +-→)

0,0(),(lim

不存在：沿x 轴极限为1；沿y 轴极限为1-.

四、多元函数的连续性

定义 设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义,若

),(),(lim

00)

,(),(00y x f y x f y x y x =→,

则称),(y x f z =在),(00y x 处连续.

例如,

2

2

y

x xy +当)0,0(),(→y x 时无极限,故在)0,0(处不连续；

函数)tan(),(22y x y x f +=的间断点在一系列圆周π2

122

2

+=+k y x 上)0(≥k .

事实上,一切二元初等函数在其定义域内是连续的. 例1 1e

lim

)

1,0(),(=+→y

x xy

y x .

例2

y xy y x )

sin(lim

)

0,2(),(→2lim )

sin(lim

2)0,2(),(=?=→→x xy

xy x y x .

有界闭区域上连续函数的性质： （1）有最大值和最小值；

（2）介值定理：可取到最大值和最小值之间的任意值.

§2 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

定义 设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义,固定0y y =,给x 一个改变量x ?,如果极限

x y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在,则称),(y x f 在点),(00y x 处关于x 可偏导,该极限称为),(y x f 在点),(00y x 处关于x 的偏导数,记为),(00y x f x '或

)

,(00y x x

z ??.

类似可定义),(00y x f y '.

偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题. 例1 求xy z =在)1,1(处的偏导数.

解

x

y x

z 2

=

??,2

1

)

1,1(=

??∴x

z ；同理,

2

1)

1,1(=??y

z . 例2 设)1,0( ≠>=x x x z y

,证明：z y

z

x x

z y x 2ln 1

=??+

??.

解

1

-=??y yx

x

z ,

x x y

z y

ln ?=??,

所以

z x

x x x x

yx

y

x y

z

x x

z y x y

y y y 2ln ln 1ln 11

=+=??+

?=

??+

??-

例3 2

2

3arctan

)2(),(y

x xy x xy y x f +-+=,求)1,2(y f '.

解 3

2),2(y y f y =,6)1,2( ='∴y f . 此题若先求出),(y x f y ',再代入,则麻烦. 偏导数的几何意义：

设))

,(,,(00000y x f y x M 为

曲

面

),(y x f z =上的一点,过0M 作平面0y y =,截

此曲面得一曲线,此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =,则偏导数),(00y x f x ,就是这曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.同

样，偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.

例4 设??

???=+≠++=0 , 00 ,),(222

22

2y x y x y x xy y x f ,求)0,0(x f '和)0,0(y f '.

解 用定义求,0)

0,0()0(lim

)0,0(0=?-?+='→?x

f x f f x x , 同理,0)0,0(='y f .

前面已经讨论过,这个函数在)0,0(处是不连续的,因此,可偏导性不能推出连续性；事实上,连续性也不能推出可偏导性.

三元以上函数的偏导数可以类似定义.

二、高阶偏导数

与一元函数类似,二元函数也可定义高阶偏导数,如对),(y x f z =,有以下二阶偏导数：

??? ??????x z x 记为2

2

x

z ??或),(y x f xx '',???

??????x z y 记为y x z ???2

或),(y x f xy '', ?

??? ??????y z x 记为x

y z

???2或),(y x f yx '',?

??

? ??????y z y 记为22

y z

??或),(y x f yy

''. 例1 设xy

yx z e

2

+=,求所有二阶偏导数. 解

xy

y xy x

z e 2+=??,xy

x x y

z e

2

+=??

,

xy

y y x

z e

222

2

+=??,

xy

xy

xy x y

x z e

e

22

++=???,

x

y z ???2

xy

xy

xy x e e

2++=,xy

x y

z e

2

22

=??.

一般地,若

y

x z ???2

与

x

y z ???2

是连续函数,则必相等.以后如无特别说明,均假定如此.

例2 验证2

2

ln y

x z +=满足方程

02

2

2

2

=??+

??y

z x

z .

证 )ln(2

12

2

y x z +=

,

2

2

y

x x x z +=

??,

2

2

y

x y y

z +=

??,

2

2

2

2222

)

(y x x

y x

z +-=

??,2

2

22

222

)

(y x y

x y

z +-=

??,即得结论.

例3 证明函数r

u 1

=

满足方程

022

2

2

22

=??+??+

??z

u y

u x

u ,

其中2

2

2z y x r ++=

. 证

x

r r

x

u ???

-

=??2

1r

x r

2

1-

=3

r

x -

=,

x r r x r

x

u ???+-

=??432

2

3152

331r

x r +-=,

由对称性可知, 5

2

32231r

y r

y u +

-

=??, 5

2

32

2

31r

z r

z

u +

-

=??,

所以

2

2

2

2

22

z

u y

u x

u ??+

??+

??52

2

2

3

)

(33r

z y x r

+++

-=0=.

上述两例称为拉普拉斯(Laplace )方程.

§3 全 微 分

定义 二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量

),(),(0000y x f y y x x f z -?+?+=?

如果可以表示为

)(ρo y B x A z +?+?=?,

其中B A ,与y x ??,无关,2

2y

x ?+?=ρ,则称),(y x f z =在点),(00y x 处可微,而

y B x A ?+?称为),(y x f z =在),(00y x 处的全微分,记为z d ,即

y B x A z ?+?=d .

定理 若),(y x f z =在),(00y x 处可微,则必连续. 证 设),(y x f z =在),(00y x 处可微,即

)(ρo y B x A z +?+?=?,

0)]([lim lim

)

0,0(),(=+?+?=?∴→→??ρρo y B x A z y x ,

即),(y x f z =在),(00y x 处连续.

这里0→ρ与)0,0(),(→??y x 相当. 注：逆定理不成立.

定理(必要条件) 若),(y x f z =在),(00y x 处可微,则),(y x f z =在),(00y x 处可偏导,且

A x

z =??,

B y

z =??.

证 由)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?,令0=?y ,得

)(),(),(0000x o x A y x f y x x f ?+?+=?+,

所以 x

y x f x x f x z

x ?-?+=??→?)

,()(lim

0000

A x

x o x A x =??+?=→?)

(lim

,

同理,

B y

z

=??.

由此得到),(y x f z =的全微分计算公式：y y z x x

z z d d d ??+

??=

.

注：逆定理不成立,即可偏导不一定可微,见下面反例.

例 ??

???=+≠++=0 , 00 ,),(222

22

2y x y x y x xy y x f ,

在)0,0(处可偏导,0)0,0(='x f ,0)0,0(='y f ,

但 )0,0()0,0(])0,0()0,0([f y x f y f x f z y x -?+?+=?'+?'-?

2

2),(y

x y x y x f ?+???=

??=,

考虑 ∞=+??+?=?+??+???→??=?→?2

2

2

2

2

2

2

2

01/)1(lim

/lim

k

x x

k x

k y

x y

x y x x x

k y x ,

所以

)(])0,0()0,0([2

2y x o y f x f z y x ?+?≠?'+?'-?

即),(y x f 在)0,0(处不可微.（事实上,前面已证),(y x f 在)0,0(处无极限,不连续）

定理(充分条件) 如果),(y x f z =的偏导数

y

z

x z ????,

在),(00y x 处连续,则),(y x f z =在),(00y x 处可微. （证略）

习惯上，记全微分为y y

z

x x z

z d d d ??+

??=

.

以上内容类似地可以推广到三元或三元以上的多元函数,如三元函数),,(z y x f u =可微,则全微分为

z z u y y u x x u u d d d d ??+

??+

??=

.

例1 求22y y x z +=的全微分. 解

xy x

z 2=??,

y x y

z 22

+=??,

所以 y y x x xy z d )2(d 2d 2++=.

例2 求zx yz xy z y x u +++++=222在点)1,1,1(处的全微分. 解 z y x x

u ++=??2,

z x y y

u

++=??2,

y x z z

u ++=??2,

所以在点)1,1,1(处的全微分为

z y x u d 4d 4d 4d ++=.

与一元函数类似,在可微的情况下,可利用微分作一些近似计算.设),(y x f z =在

),(00y x 处可微,则

)(),(),(0000ρo y f x f y x f y y x x f z y x +?'+?'=-?+?+=?, 其中02

2

→?+?=

y

x ρ,

若y x ??,很小时,有 z z d ≈?,即

y f x f y x f y y x x f y x ?'+?'+≈?+?+),(),(0000.

例 1 长方形的边长为y x ,,误差分别为y x ??,,如果y x ??,相对y x ,很小,则面积xy z =的误差为 y x x y z ?+?≈?,相对误差为

y

y x

x

x y

xy

y

x x y z z ?+?=?+?≈

?.

例2 计算02

.2)04.1(的近似值.

解 设函数y

x y x f =),(, 取1=x ,2=y ,04.0=?x ,02.0=?y ,

由于1)2,1(=f ,1

),(-='y x yx y x f ,x x y x f y

y ln ),(=',2)2,1(='x f ,0)2,1(='y f ,

所以

08.102.0004.021)

04.1(02

.2=?+?+≈,

精确值为 0824.1.

§4 多元复合函数的求导规则

一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形.

定理 设函数),(v u f z =具有连续偏导数,函数)(),(x v x u ψ?==可导,则复合函数)](),([x x f z ψ?=可导,且有

x

v

v z x u

u

z x

z d d d d d d ???+???=. （证略）

类似地,若中间变量为三个,),,(w v u f z =,)(x u ?=,)(x v ψ=,)(x w ω=,

则复合函数)](),(),([x x x f z ωψ?=的导数为

x

w w

z x v

v z x

u u

z x

z d d d d d d d d ???+???+???=.

上述公式称为全导数.

例 设v u z -=2,x

v x u e ,sin ==,求z

z d d .

解

x

v

v z x

u u

z x

z d d d d d d ???+???=x

x u e cos 2-?=x

x e 2sin -=.

二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.

定理 设),(v u f z =具有连续偏导数,),(y x u ?=,),(y x v ψ=可偏导,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=可偏导,且有

x v

v z

x u

u z

x z

???

??+

???

??=

??,

y

v

v z y u

u z

y z

???

??+

???

??=

??. 类似地,设),,(w v u f z =,),(y x u ?=,),(y x v ψ=,),(y x w ω=,则复合函

数)],(),,(),,([y x y x y x f z ωψ?=的偏导数为

x w

w z

x v

v z x u u

z x z ?????+?????+?????=??,

y

w

w z y v v z y u

u z y z

???

??+?????+?????=??. 三、复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.

定理 设),(v u f z =具有连续偏导数,),(y x u ?=可偏导,)(y v ψ=可导,则复合函数)](),,([y y x f z ψ?=可偏导,且有

x

u u

z x

z ?????=??,

y

v

v z y

u u

z y

z ???

??+

???

??=

??. 又如,设),,(y x u f z =具有连续偏导数,),(y x u ?=可偏导,则复合函数

],),,([y x y x f z ?=可偏导,且有

x

f x

u u

f x

z ??+

???

??=

??,

y

f y

u u

f y

z ??+

???

??=

??.

注意: 这里

x

z ??与

x

f ??是不同的.

例1 设v z u sin e =,y x v xy u +== ,,求y

z x

z ????

,.

解

x

v

v z

x

u u

z x

z ???

??+

???

??=??1cos e sin e ?+?=v y v u

u

)]cos()sin([e y x y x y xy

+++=

y

v v z y

u u

z y

z ???

??+

???

??=

??1cos e sin e ?+?=v x v u

u )]cos()sin([e y x y x x xy

+++=.

例2 设22 ,y x u xyu z +==,求y

z x

z ???? ,.

解 令 xyu u y x f z ==),,(,

x f x u u f x z ??+?????=??yu x xy +?=23

23y y x +=, y

u

u

f

y

f

y

z

???

??+

??=

??y xy xu 2?+=2

3

3xy x +=.

例3 设t y x t xy z t cos ,e ,sin ==+=,求全导数t

z d d .

解

t

z t y y z t x x z t z ??+

???+???=

d d d d d d t t x y t

cos sin e +-?= t t t t

t

cos sin e cos e +-=.

例4 设),(2

2xy y x f z -=,其中f 有二阶连续偏导数,求

x

z ??,

y

z ??,

2

2

x

z ??.

解 为了简洁起见,下面分别用21 ,f f ''表示f 对第一个和第二个中间变量的偏导数,类似地,221211

, ,f f f ''''''表示各个二阶偏导数, y f x f x

z ?'+?'=??212212f y f x '+'=,

212f x f y y z '+'-=??.

注意到 ),(2

2

11xy y x f f -'=', 所以 y f x f f x

?''+?''='??1211

12, 类似有 y f x f f x

?''+?''='??2221

22, 所以

)2()2(2222211211

122

y f x f y y f x f x f x

z ?''+?''+?''+?''+'=?? 2221211

2

1442f y f xy f x f ''+''+''+'=.

例5 设),(2

x

y y x f z =,f 有二阶连续偏导数,求

x

z ??,

y

z ??,

2

2

x

z ??,

y

x z ???2

.

解 )(22

21x

y f xy f x

z -

?'+?'=??,

x

f x f y

z 122

1?

'+?'=??,

所以

)](2[222

1211

12

2x

y f xy f xy f y x

z -''+?''+'=??

)](2[22

2212

2

23

x

y f xy f x

y f y x

-''+?''-

'+

22

4

212

2

11

2

2

23

14422f x

y f x

y

f y x f y x

f y ''+''-''+'+'= )1

(2212211

12

x

f x f xy f x x z y y x z

?''+?''+'=??? ??????=

??? )1

(122221

222x f x f x

y f x ?''+?''-'- 2231211

3

221212f x

y f y f y x f x f x ''-''+''+'-'=. 例6 设),(y x f u =的所有二阶偏导数连续,将

2

2

???

? ????+???

????y

u x u 化为极坐标系中的形式.

解 ???==θ

ρθρsin cos y x ,

ρ

ρ

ρ

?????+?????=??y y u x x u u y

u x

u ??+??=θθ

sin cos , θ

θθ???

??+

???

??=

??y

y u

x

x u

u

y

u x

u ??+??-=θρθρcos sin ,

用克莱姆(Cramer )法则倒解出来,

θ

θ

ρθθcos sin sin cos -=

D 0≠=ρ,

θ

θ

θ

ρcos sin 1????=

u u D θ

θ

ρ

θ

ρ??-??=u u sin cos ,

θ

θ

ρρθ

??-??=

u u

D sin cos 2θ

θ

ρθρ??+??=u u cos sin , 解得

θθρρθ??-??==??u u D D x u sin 1

cos 1, θ

θ

ρ

ρ

θ

??+

??==

??u u D

D y

u cos 1

sin 2,

所以

2

2

???? ????+???

????y u x u 2

22

1???

????+?

??

?

????=θρρu u . §5 隐函数的求导公式

一、一个方程的情形

一元隐函数存在定理 设函数),(y x F 满足:

1) 0),(00=y x F ；

2) 在点),(00y x P 的某一邻域内F 具有连续偏导数y x F F '',； 3) 0),(00≠'y x F y ,

则在点),(00y x P 的某一邻域内存在惟一的隐函数)(x f y =,满足0),(≡y x F (当然

)(00x f y =),且有连续的导数

y x F F x

y '

'-

=d d .

(证略)

推导: 0)](,[),(==x f x F y x F ? 0d d =?

??+

??x

y y

F x

F ,

而0≠'y F ?

y x F F x

y '

'-

=d d .

例1 Kepler 方程 y x y sin ε+= )10(<<ε. 取 y x y y x F sin ),(ε--=, 0cos 1>-='y F y ε, 故隐函数)(x f y =必定存在(但写不出显式).

例2 设0e sin 2

=-+xy

y x

,求

x

y d d .

解 令 2

e sin ),(xy y y x F x

-+=,则

2

e y F x

x -=', xy y F y 2cos -=',

所以

y

x F F x

y -

=d d xy

y y

x 2cos e 2

---

=xy

y y x

2cos e

2--=

.

注: 也可用一元隐函数求导法求解: 方程两边关于x 求导,得

0)2(e cos 2

='+-+'y xy y y y x

,解得 xy

y y y x

2cos e

2--=

'.

此法方便.

二元隐函数存在定理 设函数),,(z y x F 满足:

1) 0),,(000=z y x F ；

2) 在点),,(000z y x P 的某一邻域内F 具有连续偏导数z y x F F F ''',,； 3) 0),,(000≠'z y x F z ,

则在点),,(000z y x P 的某一邻域内存在惟一的隐函数),(y x f z =,满足

0]),(,,[≡y x f y x F (当然),(000y x f z =),且有连续的偏导数

z x F F x

z '

'-

=??, z y F F y

z '

'-=??.

(证略)

推导: 0)],(,,[),,(==y x f y x F z y x F , 对x 求偏导,得 0=???'+'x

z F F z x ,而0≠'z F ?

z x F F x z ''-

=??. 对y 求偏导,得 0=???'+'y

z F F z y ,而0≠'z F ?

z y F F y

z '

'-

=??.

例1 由方程15

4

3

=+-z xz

yz

确定隐函数),(y x z z =,求

)

0,0(x

z ??,)

0,0(y

z ??.

解法一 设1),,(5

4

3

-+-=z xz yz z y x F ,

则 4

z F x -=', 3

z F y =', 4

3

2

543z xz

yz

F z +-=',

所以

z x F F x z ''-

=??2

2

543z

xz y z

+-=

, z y F F y

z '

'-=??2

543z

xz y z

+--

=.

解法二 视z 为y x ,的二元函数),(y x z z =,方程两边关于x 求偏导,得

05434

3

42

=??+???--???x

z z

x

z z x z x

z z y ,解得

2

2

543z

xz y z

x

z +-=

??.

同理,

2

543z

xz y z

y

z +--

=??. 当0==y x 时,1=z ,所以

5

1)

0,0(=

??x

z ,

5

1)

0,0(-

=??y

z .

例2 由方程042

2

2

=-++z z y x 确定隐函数),(y x z z =,求

22

x

z

??.

解 视z 为y x ,的二元函数),(y x z z =,方程两边关于x 求偏导,得

04

22=??-??+x

z x

z z

x ,?

z

x x

z -=

??2,

上式两边再次关于x 求偏导,

02122

222

=??-??+???

? ????+x z

x z z x z , 解得

z

x z x

z -????

????+=

??212

2

2

3

2

2)

2()2(z x z -+-=

.

二、方程组的情形

???==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 在一定的条件下确定隐函数 ??

?==)

,()

,(y x g v y x f u . 向量值隐函数存在定理 设函数),,,(v u y x F ,),,,(v u y x G 满足:

1) 0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ；

2) 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内G F ,具有连续偏导数； 3) 在点),,,(0000v u y x P 上Jacobi 行列式

0)

,(),(≠????????=??=

v

G u

G v F u F

v u G F J ,

则方程组???==0

),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内确定惟一的(向量值)

隐函数???==),()

,(y x g v y x f u ,满足???==),(),(000

000y x g v y x f u ,且有连续的偏导数

v u v u v x v x

G G F F G G F F v x G F J x

u -

=??-

=??)

,(),(1,

v

u

v u x u x u

G G F F G G F F x u G F J x

v -

=??-

=??)

,(),(1,

v u v u v y v y

G G F F G G F F v y G F J y

u -

=??-

=??)

,(),(1,

v

u

v u y u y u

G G F F G G F F y u G F J y

v -

=??-

=??)

,(),(1,

(证略)

推导: ???==0)],(),,(,,[0

)],(),,(,,[y x v y x u y x G y x v y x u y x F ,

对x 求偏导,得 ???

?

???

=??+??+=??+??+00x v G x u G G x v F x u F F v u

x v u x

,

由Cramer 法则, 由于系数行列式

0≠=

v

u

v u G G F F J ,

可以解出 ),(),(1v x G F J x u ??-=??, ),(),(1x u G F J x v ??-=??. 类似可得

)

,(),(1v y G F J y

u ??-

=??,

)

,(),(1y u G F J y

v ??-

=??.

例1 由方程组???=+=-10xv yu yv xu 确定隐函数?

??==),(),(y x v v y x u u ,求x u ??,y u ??,x v ??,y v

??.

解 方程组两边关于x 求导,得

????

??

?=??++??=??-??+0

0x v x v x

u y x v y x u x u , x

y y x J -=02

2≠+=y

x ,

解得

J x v y u x u ---=

??2

2

y

x yv xu ++-

=,

J v

y

u x x

v --=??22

y

x xv yu +-=

.

类似地,方程组两边关于y 求导,得

????

??

?-=??+??=??-??u y v x y

u y v y v y y u x , 解得

J x u y v y u --=

??2

2

y

x yu xv +-=

, J u

y

v x y

v -=??2

2y

x yv xu ++-

=.

例2 设?????=+++=20

322

2222z y x y

x z , 求x y d d ,x z d d .

解 视)(x y y =,)(x z z =,方程组两边关于x 求导,得

???

???

?=+++=0

d d 6d d 42d d 22d d x z z x y y x x

y y x x z

, 解方程组得

)

13(2)16(d d ++-=

z y z x x

y ,

1

3d d +=

z x x

z .

§6 偏导数在几何上的应用

一、空间曲线的切线与法平面

1. 设曲线Γ的参数方程为 ??

?

??===)()()(t z t y t x ωψ? )(βα≤≤t ,

假定)(),(),(t t t ωψ?在],[βα上都可导.

在Γ上取对应于0t t =的点),,(000z y x M ,及M 附近对应于t t t ?+=0的点

),,(000z z y y x x M ?+?+?+',则割线M M '的方程为

z

z z y

y y x

x x ?-=

?-=

?-000,

t

z z z t

y

y y t x

x x ??-=

??-=

??-000,

令M M →',即0→?t ,得切线方程

)

()()(00

0000t z z t y y t x x ωψ?'-=

'-='-, 切线的方向向量 {})(),(),(000t t t ωψ?'''=T 称切向量.

过点),,(000z y x M 且与切线垂直的平面称法平面, 其方程为

0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψ?

例1 求曲线t t x sin -=,t y cos 1-=,2

sin 4t z =在点)22,1,12

(

-π

处的切

线及法平面方程.

解 点)22,1,12

(-π对应的参数2

π

=t ,

t x cos 1-=',t y sin =',2

cos

2t z =',

所以在该点处的切向量为 {}

2,1,1=T ,

所以在该点处的切线方程为 2

2

21

11

1

2

-=

-=

+-

z y x π,

法平面方程为 0)22(2112

=-+-++-

z y x π

,

即 42

2+=

++π

z y x .

2. 曲线方程为?

??==)()

(x z x y ψ?,

在点),,(000z y x 处的切线方程

)

()

(1

00

00

t z z t y y x x ψ?'-=

'-=

-,

法平面方程 0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t y y t x x ψ?. 3. 曲线?

??==0),,(0

),,(z y x G z y x F , G F ,有连续偏导数,

面交式方程

在点),,(000z y x M 处, 0)

,(),(≠??=

z y G F J ,由隐函数存在定理, 在

M 附近有隐函

数???==)()(x z x y ψ?, 且由 ???

????

=++=++0

d d d d 0d d d d x z G x y G G x

z F x y F F z y x z y x 解得 J z x G F x y ),(),(d d ??-=J x z G F ),(),(??=, J x y G F x y

)

,(),(d d ??-

=J y x G F )

,(),(??=

,

所以切向量为

??

?

??????

???????=M

M

M

y x G F x z G F z y G F )

,(),(,

)

,(),(,

)

,(),(T , 所以曲线在),,(000z y x M 处的切线方程为

M

M

M

y x G F z z x z G F y y z y G F x x )

,(),()

,(),()

,(),(000??-=

??-=

??-.

法平面方程为

0)()

,(),()()

,(),()()

,(),(000=-??+

-??+

-??z z y x G F y y x z G F x x z y G F M

M M

.

例1 求两个圆柱面2

2

2

R y x =+,2

2

2R z x =+的交线在点)2

,

2

,

2

(R R R P

处的切线方程和法平面方程.

解 ???

????

=+=+0

d d 220d d 22x z z x x

y y x ,解得 y x x y -=d d ,

z x x z -=d d , 所以在点)2

,2,2(R

R R P 处的切向量为{

}1,1,1--=T , 因此切线方程为 121212--

=--=-R z R y R x , 法平面方程为 0)2()2()2(=-----R z R y R x , 即 02

=+--R

z y x

.

例2 求曲线???=++=++06

222z y x z y x 在点)1,2,1(-P 处的切线方程和法平面方程.

解 ???????=++=++0d d d d 10d d 2d d 22x z x y x z z x y y x , 即???????-=+-=+1

d d d d d d d d x

z x y x x z z x y

y , 01

1≠-==

z y z y J ,

解得

J z x x

y 1

1

d d --=

z

y x z --=

,

J x y x

z 1

1

d d --=

z

y y x --=

,

所以在点)1,2,1(-P 处的切向量为{}1,0,1-=T , 因此切线方程为

1

1

02

11

--=+=-z y x ,

法平面方程为 0)1()1(=---z x , 即 0=-z x .

二、曲面的切平面与法线

1. 曲面方程

0),,(=z y x F .

点),,(000z y x M 是曲面上的一点,过M 作一条在曲面上的曲线Γ,设Γ的方程为)(t x ?=,)(t y ψ=,)(t z ω=,并设0t t =时对应点M .

由于曲线Γ在曲面上,故有

0)](),(),([≡t t t F ωψ?,

两边关于t 求导,得

0)()()(='?+'?+'?t F t F t F z y x ωψ?, 所以 0)(),,()(),,()(),,(000000000000='?+'?+'?t z y x F t z y x F t z y x F z y x ωψ?,

而 {})(),(),(000t t t ωψ?'''为曲线Γ上过点),,(000z y x M 的切向量,上式表明它与向

量

{}),,(),,,(),,,(000000000z y x F z y x F z y x F z y x =n

垂直.由Γ的任意性,曲面上所有过点M 的曲线的切线均在过M 且以n 为法向的平面上,这个平面称为曲面在该点的切平面,n 曲面的法向量,过点M 且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线.

切平面方程为

0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ,

法线方程为

)

,,()

,,()

,,(0000

0000

0000

z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=

-=

-.

例 求球面142

22=++z y x 在点)3,2,1(0M 处的切平面及法线方程

.

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

第八章多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o

设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d 0｝及｛(x, y) | 1< x y <4｝ 都是闭区域。 对于平面点集E ,如果存在某一正数r，使得 E U(0,r), 其中0是原点坐标，则称E为有界点集，否则称为无界点集。例如，｛(x,y) | K x2 y2< 4｝是有界闭区域，｛(x, y) | x y>0｝是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 V =二r2h 。 这里，当r、h在集合｛(r,h) r 0,h 0｝内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 RT P =— V 其中R为常数。这里，当V、T在集合｛(V,T) V >0,T >T0｝内取定一对值(V,T)时，p的 对应值就随之确定。 定义1设D是平面上的一个点集。称映射 f : D》R为定义在D上的二元函数，通 常记为 z 二f(x, y) , (x, y) D (或z 二f(P) , P D )。 其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。数集

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

多元函数微分习题

多元函数微分学 1．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 2．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连 续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 3．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 4．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答C 5．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 （ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答B 6．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微 答C

最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

第八章多元函数微分学自测题答案

《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???

=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.

多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22

多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++

由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

第八章多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始 的。 2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x - →； 二是x 从右边趋近于0x ，即0x x + →。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点 00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可 以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x + →，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x - →；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y + →，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y - →；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点 (0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以 沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里 0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。 3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函 数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断 (,)(0,0) lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特 殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题： 22 22 22,00,0 (,){ xy x y x y x y f x y +≠++== 4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看 就行了。 5、 习题8——1第 6、7题，结合答案看看就行了。

多元函数微分法

第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册

. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）

. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：

第八章多元函数微分法及其应用.doc

第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )

第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

多元函数微分学总结

`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。

（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。