(2) 1234(,,,)3=r αααα,所以123,,ααα是向量组1234,,,αααα的一个极大无关部分组; (3) 由上面的推导过程得 412113
3
ααα=-+
六、(10分)已知321,,ααα和321,,βββ是线性空间3R 的两组基,其中 ()()1231,1,1,(0,1,1),0,0,1T
T
T ααα=== ()()()1231,2,1,2,2,1,2,1,1T
T
T
βββ=-=-=--
(1) 求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵A .
(2) 设向量α在基321,,ααα下的坐标为()1,2,1T
--,求α在基321,,βββ下的坐标. 解:(1) 123123(,,)(,,)A βββααα= 1
1231231=(,,)(,,)1001
221
001
221
22 =1
10221=-1102211031
1
11
1
10
-1
11
1
13
3
0A αααβββ--??
????????
?
?????????--=-??????????--------????????????
????????
所以 (2) 设()121,,T
x =--,则123,,y αβββ在基下的坐标为
1
-1
-3-2-231
2211581
032=3223333
0112511
-33y A x -?
???
?
??????? ? ? ? ? ? ? ?
==---=- ? ? ? ? ? ? ? ?----
? ??
?????-- ? ??
???
七、(14分)求正交变换X QY =,将二次型
2
2
2
123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++ 化为标准形,并写出正交矩阵Q
解:二次型对应的矩阵1
22A 2
122
2
1??
??
=??????
,则其对应的特征多项式为 2
1
2
2|-|2
1
2(1)(5)2
2
1---??
?
?=---=+-????---??
E A λλλλλλ,所以可以的特征值
1231,
5==-=λλλ.
对于121==-λλ,解(1-)0-=E A x 得12(1,0,1),(0,1,1)=-=-T T
x x , 对于35=λ,解(5-)0=E A x 得3(1,1,1)=T
x 。正交化得:
111222111(1,0,1)(,)11(-,1,)
(,)
22
==-=-
=-T
T
x x x ββββββ
单位化得:
1
2
12123
33111210,,(||
||
111
||
T
T
T
ββηηβββηβ=
=-=
=-
-
=
=
于是得到正交矩阵
123C (,,)0111ηηη?-???
==
???--??
使得
11
5-??
??=-??????
T
C AC .
八、(5分)设()i j n n A a ?=为实对称矩阵,()r A r n =<,且22A A =.求A 的迹()tr A . 解:设λ为A 的任意一个特征值,因为22A A =,所以22λλ=,即2λ=或0λ=,
又A 为实对称矩阵,所以12
~n A λλλ??
?
?
?
?Λ=?????
?
,于是()()r A r =Λ. 由于()r A r n =<,即()r r n Λ=<,故12122,0,r r r n λλλλλλ++======== 即
12()...2=+++=n Tr A r λλλ
补充、(略)(10分)已知三阶方阵A 的特征值分别为3,2,1,它们对应的特征向量分别为
(2,2,0)T
,
(2,2,2)T ,(0,2,2)T
, 求A .
解:令123(2,2,0),(2,2,2),(0,2,2)===T T T
x x x ,则1122333,2,1===Ax x Ax x Ax x
令1232203
00(,,)2
22,0
200
2
200
1??
??
?
???
==Λ=????????????C x x x ,可得 1-=ΛC AC , 即 1
1
1
2
203
002201
103
001
10A 222020222=1110201110
2
200
10
2
20
1
10
10
1
1
C C
---????????????
????????????=Λ=??????????????????????????????
??????
1
3
200
1-12
1-1=3211-1112-10
2
1-1
1
01
-1
2-????
??
??????=????????????????
??
线性代数模拟试卷 (答案)
一、填空题(每小题3分, 共 27 分)
1、行列式2
3
232
3
1
(1)(1)2
(2)
(2)
x
x
x
x x x x x x +++=+++2(1)(2)x x x ++。
2、设A 为三阶方阵,已知3A =,则1*6A A --= 9 。
3、方程
1
1111111011211
1
1
3x x x
-=--的解为0,1,2x x x ===。
4、设三阶矩阵A 的三个特征值为1,2,3,则2A A I -+= 21 。
5、设()3r A =,()5r B =,则()r A B +≤ 8 ,()r AB ≤ 3 。
6、设矩阵1
321
1117
53k A k ?? ?
=- ? ???
的秩为2,则常数k = 1 。 7、设0011
230
1045610
078
9A ????
? ?= ? ? ? ??
??
?,则A =78945612
3??
? ? ??
?
。 8、已知向量组12221311a -?????? ? ? ?
- ? ? ?
? ? ?-??????
,,线性相关,则a = 1 。 9、四阶行列式中含有1132a a 的项是11233244a a a a -和11243243a a a a 。
二、单选题(每小题3分,共15分)
1、如果31
0112
1
a
b
c
=,则1235241
1
1
a b c +++=( B )。
()0
()6
()1
()3A B C D
2、下列命题成立的是( B )。
()A 若A O ≠,则0A ≠; ()B 若0A ≠,则A O ≠;
()C 若A B A C
=,则B C =; ()D 若A B O =
,则A O =或B O =。
3、向量组12,,...,s ααα线性无关的充要条件是( D )。
()A 12,,...,s ααα均不为零向量;
()B 12,,...,s ααα中有一个部分向量组线性无关; ()C 12,,...,s ααα中任意两个向量的对应分量不成比例;
()D 12,,...,s ααα中任意一个向量都不能由其余1s -个向量线性表示。
4、设非齐次线性方程组A x b =中,系数矩阵()i j m n A a ?=且()r A r =,则( C )。
()A 当m n =时,方程组A x b =有惟一解;
()B 当r n =时,方程组A x b =有惟一解; ()C 当r m
=时,方程组A x b =有解;
()D 当r n <时,方程组A x b
=有无穷多解。
5、设n 阶矩阵A 可逆,则A ( D )。
()A 必有n 个不同的特征值; ()B 必有n 个线性无关的特征向量;
()C 必相似于一可逆的对角矩阵; ()D 特征值必不为零。 三、(10分)解矩阵方程A X B =,其中4
112
11
21,3
411
165A B --???? ? ?=-=- ? ? ? ?--?
?
?
?
。
解:1
1
2314
8235,25
1535
73318A X --????
? ?==- ? ? ? ?-?
???
四、(10分)验证向量组123(3425),(2503),(5012)T T T ααα=-=--=-,,
,,,,,,,, 4(3335)α=-,,,的线性相关性,若线性相关,试求其中一个向量由其余向量线性
表出的表达式。
解:3
25312404
5030156,()3,201300115
3
2
50
0r A ????
? ?--
?
?→= ? ?---- ? ?-????
向量组线性相关,
1234111
222
αααα=-
+
+
,或21342αααα=-++,
或3
1242αααα=+-, 或41232αααα=+-。
五、(10分)求非齐次线性方程组123412341
34124
21223
2335x x x x x x x x x x x x x x -++=??
-++=??-+=??-+=?的一般解。
解:11211101122
11230130110112000003
1
3
50
0--????
? ?--
?
?→ ? ?- ? ?-????
,
121234211130010001x x k k x x -???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=++ ? ?
? ? ? ? ? ???????
??
六、(11分)设2
000
01,0
1
0A ??
?
?
=??????
求一个正交矩阵P , 使得1
P AP -为对角阵。
解:
2
0||0
1(2)(1)(1)0
1
-???
?
-=-=--+????-??
E A λλλ
λλλλ 所以A 的特征值为1232,11===-λλλ。
对于12=λ,解(2-)0=E A x 得1(1,0,0)=T
x , 对于21=λ,解(1-)0=E A x 得2(0,1,1)=T
x , 对于21=-λ,解(1-)0-=E A x 得3(0,1,1)=-T
x ,
令1231
00(,,)0
110
1
1??
?
?
==-??
????
P x x x ,则1
20001000
1-??
??=????-??
P AP
七、(10分)设123,,ααα线性无关,11232βααα=-+,2132βαα=+,
312342βααα=+-,证明123,,βββ线性无关。
证明:设1122330x x x βββ++=,
12311321233(24)()(22)0
x x x x x x x x ααα?+++-+++-=,
已知123,,ααα线性无关,得123131232400220
x x x x x x x x ++=??
-+=??+-=?
,
系数行列式1
24
1
01502
1
2
-=-≠-,齐次线性方程组只有零解,123,,βββ线性无关。
八、(7分)证明:设A 为(21n +)阶正交矩阵,且1A =,则1是A 的一个特征值。 证明:T T T I A A A A A A I A I -=-=-=-
(1)
n
T
I A
I A
=--=--,0I A ∴-=,1是A 的一个特征值。
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数期末试题及答案
工程学院2011年度(线性代数)期末考试试卷样卷 一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ,则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ,则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量,则 =a 。 、B 均为5阶矩阵,2,2 1 == B A ,则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=,则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若λ是矩阵A 的一个特征值,则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型,则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α,则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则=+E A 。
二、单项选择(每小题2分,共10分) 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ) A .1或2 B . -1或-2 C .1或-2 D .-1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-,则=A ( ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ) A .0=+ B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是 ( ) A .21+ββ B . ()21235 1 ββ+ C .()21221ββ+ D .21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2,则=k ( ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分,共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
大一线性代数期末考试试卷
线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数期末复习题
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵,则下列结论正确的是 . (a)若A 和B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵 (b )若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵,则A 和B 都是奇异矩阵 (d )若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵,则()1-?? ????'AB 等于( ) (a )()1-'A ()1-'B (b ) ()1-'B ()1-'A (c )() '-1B )(1'-A (d )() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A )=m 时,则方程组 。 (a ) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d )有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a )A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ,则以下说法正确的是 。 (a ) A 可逆 (b ) A 合同于单位矩阵 (c ) A =0 (d ) 0=AX 有无穷多解 6.设A ,B ,C 都是n 阶矩阵,且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵, 则必有( ) (A )ACB E = (B)CBA E = (C )BAC E = (D ) BCA E = 7.若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ) (A )6- (B )6 (C )24 (D )24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵,|A |=3,则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2.设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ; 3.设A =? ? ?? ??--1112,则1 -A = 。
线性代数期末考试试题含答案
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( )
大学线性代数期末考试试题
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ,则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = ( ) A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 . (A )13524876; (B )51324867; (C )38124657; (D )76154283. 3. 设 A m ?s , B t ?n , C s ?t ,则下列矩阵运算有意义的是( ) A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵, A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ,则有() A. A = B ; B. A ≠ B ; C. R ( A ) = R (B ) ; D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵, A 的秩等于 3,则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为( ) A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m ( m ≥ 2 )线性相关,则( ). A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示; B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示; C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示; D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示. ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵,则 a 满足 . ? ? ? 1 1 (1) a > 2 ; (B ) a > ; (C ) 2 a < ; (D )与b 有关不能确定. 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵,并且 A 与 B 相似,下述说法正确的是 . (A ) A T 与 B T 相似; (B ) A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量; (C ) A -1 = B -1 ; (D )存在对角矩阵 D ,使 A 、 B 都与 D 相似. 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零,则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ,则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵,则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题
线性代数期末考试试题(含答案)
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关
线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案)
线性代数试题(附答案) 一、填空题(每题2分,共20分) 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。 二、单项选择(每小题2分,共12分)
1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( ) A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( ) A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 ( ) A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题(每小题9分,共63分) 1.计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中
线性代数期末考试试卷
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷(B 卷) 草 稿 区 专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩: 一 、选择题(本题共 28 分,每小题 4 分) 1.设n 阶方阵A 为实对称矩阵,则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数; (B) A 相似于一个对角阵; (C) A 合同于一个对角阵; (D) A 的所有特征向量两两正交。 2.设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关,则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示; (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示; (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价; (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵; (B) 若0||=A ,则0||*=A ; (C) 若2)(*-=n A r ,则2)(=A r ; (D) 若0||≠=d A ,则d A 1||*= 。 4.设A 为n 阶非零方阵,E 为n 阶单位矩阵,30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆,()E A +不可逆; (B) ()E A -不可逆,()E A +可逆; (C) ()E A -可逆,()E A +可逆; (D) ()E A -可逆,()E A +不可逆. 第 1页,共 6 页
5.实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零; (B) ||0A >; (C) 对于任意的0X ≠,都有0f >; (D) 存在n 阶矩阵U ,使得T A U U =. 6.设12,λλ为A 的不同特征值,对应特征向量为12,αα,则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 7.设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则 ( ) (A) A 与B 合同,但不相似;(B) A 与B 相似,但不合同; (C) A 与B 既合同又相似; (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题(本题共 24分,每小题 4 分) 1.二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 . 2.设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ,则3A 的秩3()r A 为 . 3.设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,若|2|48A =-,则λ= . 4.设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==,若123,,ααα构成的向量组的秩为2, 则a = . 5.设3阶矩阵123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++,且已知||1A =,则||B = . 第 2页,共 6 页
同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
《线性代数》期终试卷1 ( 2学时) 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题,满分25分): 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 (); 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式(); 3.(4分)设, , 则 (); 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim(); 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则();
6.(3分)行列式中的系数是(); 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式: (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解?有解时求出所有解(用向量形式表示)。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型, (1)写出二次型的矩阵表达式; (2)求一个正交变换,把化为标准形, 并写该标准型; (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题(本大题共2个小题,满分15分): 1.(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 ( 2学时) 本试卷共八大题 一、是非题(判别下列命题是否正确,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×;每小题2 分,满分20 分): 1. 若阶方阵的秩,则其伴随阵 。() 2.若矩阵和矩阵满足,则 。() 3.实对称阵与对角阵相似:,这里必须是正交 阵。() 4.初等矩阵都是可逆阵,并且其逆阵都是它们本 身。() 5.若阶方阵满足,则对任意维列向量,均有 。()
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。 (A )001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。 (A )122331,,αααααα--- (B )1231,,αααα+ (C )1212,,23αααα- (D )2323,,2αααα+ 3.设A 为n 阶方阵,且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=( ) (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4.设A 为n m ?矩阵,则有( )。 (A )若n m <,则b Ax =有无穷多解; (B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量; (C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; (D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。 5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则 () (A )A 与B 相似(B )A B ≠,但|A-B |=0 (C )A=B (D )A 与B 不一定相似,但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ,错误填F 。每小题2分,共10分) 1.A 是n 阶方阵,R ∈λ,则有A A λλ=。() 2.A ,B 是同阶方阵,且0≠AB ,则 111)(---=A B AB 。()
厦门大学线性代数期末试题及答案
一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ,则=---------33 32 31 232221 13 1211 222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ,则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量,则 =a 。 、B 均为5阶矩阵,2,2 1 == B A ,则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=,则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若λ是矩阵A 的一个特征值,则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型,则t 的范围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α,则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则=+E A 。
二、单项选择(每小题2分,共10分) 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ) A .1或2 B . -1或-2 C .1或-2 D .-1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-,则=A ( ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ) A .0=+ B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是 ( ) A .21+ββ B . ()21235 1 ββ+ C .()21221ββ+ D .21ββ- 5. 若二次型3231212 322 2166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2,则=k ( ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分,共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n =
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ①n 2②1 2 -n ③1 2 +n ④4 2. n 维向量组s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ①s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关
大一线性代数期末试题及答案
,考试作弊将带来严重后果! 线性代数期末考试试卷及答案 1. 考前请将密封线内填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); .考试形式:开(闭)卷; 单项选择题(每小题2分,共40分)。 .设矩阵22, B 23, C 32A ???为矩阵为矩阵为矩阵,则下列矩阵运算无意义的是 【 】 A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB 设n 阶方阵A 满足A 2 +E =0,其中E 是n 阶单位矩阵,则必有 【 】 A. 矩阵A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 设A 为n 阶方阵,且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】 A. 2- B. ()n 2- C. n 2- D. 1 设A 为3阶方阵,且行列式det(A)=0,则在A 的行向量组中 【 】 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量,其对应分量成比例 C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 .设向量组321,,a a a 线性无关,则下列向量组中线性无关的是 【 】 A .133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a -
6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使 7.设a 为n m ?矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A .A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 33 2211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组12312312321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1,η2,η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1,η2,η3线性表示的向量组 B. 与η1,η2,η3等秩的向量组 C.η1-η2,η2-η3,η3-η1 D. η1,η1-η3,η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解,也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n Λ B. }0| ),,,{(1 21∑==n i i n a a a a Λ