09真题汇编11二次函数(解答题)

二次函数

三、解答题

1、（2009年株洲市）如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3

tan 4

B =

，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长；

（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了.

请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

图1

图2

【关键词】二次函数最值

【答案】（1）当12AP =时，36AP PQ ?= ∴3PQ =， 又在Rt BPQ ?中，3tan 4B =

，∴

3

4

PQ PB = ∴4PB = ∴16AB =， （2）解法一：若 AP x =，则16PB x =-，3(16)4PQ x =

-，∴3

(16)4

y x x =-，整理得23

(8)484

y x =--+ ，∴ 当8x =时，48y 最大值＝.

解法二：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为

(16)y ax x =-，将（12，36）代入求得34a =-，∴3(16)4y x x =--，整理得23

(8)484

y x =--+，

R Q P

C

B

A

∴ 当8x =时，48y 最大值＝.

解法三：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为8x =，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当8AP =时，矩形APQR 的面积最大，此时，8PB =，∴3

864

PQ =?=，∴最大面积为48.

2、（2009年株洲市）已知ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．

【关键词】二次函数的综合题

【答案】（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，

3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）.

（2）∵45ODA OAD ∠=∠=? ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2

(1)y a x =-，得：

2

2

(31)(01)3

a m a m ?-=??-=-?? 解得14a m =??=? ∴抛物线的解析式为2

21y x x =-+ ， （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2

(,21)x x x -+，则

2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.

∵//QM CE ∴PQM ?∽PEC ? ∴QM PM EC PC = 即2(1)1

2

x x EC --=，得2(1)EC x =-

∵//QN FC ∴BQN ?∽BFC ? ∴QN BN FC BC = 即2

34(1)4

x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444

()[42(1)](22)2(1)8111

FC AC EC x x x x x x +=

+-=+=?+=+++ 即()FC AC EC +为定值8.

3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童

装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；

（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为

12)8(8

1

2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？

并求最大利润为多少？ 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】（1）202(1)21830x x y +-=+?=??

(16)(11)()x x x x ≤<≤≤为整数)

(6为整数

（2）设利润为w

2

22211202(1)(8)1214(16)881130(8)12(8)18(611)

88(y z x x x x x w y z x x x x ?-=+-+--=+≤

?=?

?-=+--=-+≤≤???

为整数

为整数) 21148w x =

+ 当5x =时，1

17(8w =最大元) 21(8)188w x =-+ 当11x =时，1191811888w =?+=+最大1

19()8

=元

综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件1

198

元.

4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题

C

【答案】解：（1）将A （1，0）B （-3，0）代入2y x bx c =-++中得10930b c b c -++=??

--+=?，∴2

3

b c =-??=?

∴抛物线解析式为：223y x x =--+

（2）存在

理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称，∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小，∵223y x x =--+，∴C 的坐标为：（0，3），直线BC 解析式为3y x =+

Q 点坐标即为13x y x =-??=+?的解，∴12x y =-??=?

，∴Q （-1，2）

5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处

理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象． 【关键词】二次函数的实际应用.

【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202

++x x ,0≤x ≤20；

（2）y=-206135)5.2(2+-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略. 6、（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，20cm 30cm 45AB DC ADC ==∠=，，°．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O ，且过A B 、两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ．

（1）如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系内，点C 的坐标为(150)，

， 试求A B 、两点的坐标；

（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；

（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm 的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

第26题图

（第4题图①）

A B C

D （第4题图②）

【关键词】二次函数与等腰梯形. 【答案】（1）A （-10，5），B （10，5）；(2)

7、 (2009年四川省内江市)如图所示，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，t ），且t ＞0，tan ∠BAC=3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P （2，m ）是抛物线与直线)1(:+=x k y l 的一个交点。 （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q （1，n ），求PQ+QB 的最小值； （3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动， 求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值。 【关键词】二次函数，三角函数. 【答案】解：（1）由A （-1，0）知AO=1，由tan ∠BAC=3， 得CO=3AO=3， ∴t=3 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点C （0，3）坐标代入得 a=-1 ∴所求解析式为 y=-x 2+2x+3 （2）m=-22+2×2+3=3, P(2,3)

动点Q （1，n)在直线x=1上运动，点B （3，0）关于直线x=1的对称点为A （-1，0）

∴PQ+QB=PQ+QA ∴PQ+QB 的最小值为PA=2

23)]1(2[+--=23

（3）将点P （2，3）的坐标代入y=k(x+1)得k=1 ∴直线l 的解析式为y=x+1 ∴AP 在l 上.

设M （x,-x 2+2x+3)，过M 作y 轴的平行线交AP 于D ，则D （x,x+1), MD=(-x 2+2x+3)-(x+1)=-x 2+x+2

S △AMP =S △AMD +S △PMD =12(-x 2+x+2)(x+1)+

21(-x 2+x+2)(2-x)= 2

3

(-x 2+x+2) ∴h=

AP S AMP ?2=2

33(-x 2+x+2) =22

(-x 2+x+2) =

2

2

[-(x-21)2+49]

∴当x=

21时，h 的最大值为8

29 8、（2009仙桃）如图，已知抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角

线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；

(2)若S △APO ＝

2

3

，求矩形ABCD 的面积． 【关键词】二次函数，矩形. 【答案】解：（1）∵A （0，2），AB=4，∴B （4，2） ∵抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点

∴2,1642c b c =??++=?，解得4,2b c =-??=?

∴抛物线的解析式为24 2.y x x =-+ （2）过P 点作PE ⊥y 轴于点E ，∵32APO S = ，13

22

OA PE = ∵OA=2，∴32PE =

.∵点P 在抛物线2

42y x x =-+上，∴当32x =时，74y =-.∴P 点坐标为.37(,)24

- 设直线BD 的解析式为y kx b =+ ∵直线BD 过P 、B 两点，

∴42,3724k b k b +=???+=-?? 解得3,24

k b ?

=??

?=-? ∴直线BD 的解析式为3

42

y x =

-. 当0x =时，4y =-，∴D （0，－4），∴AD=2+4=6.∴4624.ABCD S =?=矩形

（3）答：存在

理由如下：设P 点2(,23)x x x --+(30)x -<<，∵BPC BOC BPCO S S S ??=-四边形=92

BPCO S -

四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ?就最大，过P 点作PE ⊥x 轴于E ，∴Rt BPE BPCO PEOC S S S ?=+四边形直角梯形

11()22BE PE OE PE OC =

?++2211

(3)(23)()(233)22x x x x x x =+--++---++ 233927()2228x =-+++，当32x =-时，BPCO S 四边形最大=92728

+

∴BPC S ?最大=9279272828+-=，当32x =-时，2

15234x x --+=，∴点P 坐标为315(,)24-.

9、（2009年长春）如图，直线3

64

y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，直线5

4

y x =

与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂

线，分别交直线AB OD 、于P Q 、两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ACD △重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）．点

E 的运动时间为t （秒）． （1）求点C 的坐标．（1分）

（2）当05t <<时，求S 与t 之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中S 的最大值．（2分）

（4）当0t >时，直接写出点942?

? ???

，在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3分）

【参考公式：二次函数2

y ax bx c =++图象的顶点坐标为2424b ac b a a ??

-- ???

，．】 【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二

次方程根之间的内在联系 【答案】

解：（1）由题意，得???

????=+-=.45,64

3x y x y 解得?????==.415,3y x

∴C （3,

4

15

）. （2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t.

∴点Q 的纵坐标为

45(8-t)，点P 的纵坐标为4

3t ，

∴PQ=

45 (8-t)-4

3

t=10-2t. 当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t=

3

10.

当0

3

10时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+10t.

当

3

10≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t 2-40t+100.

（3）当0

3

10时，S=-2（t-

2

5）2+

2

25，∴t=

2

5时，S 最大值=

2

25.

当

3

10≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S 随t 的增大而减小，

∴t=

3

10时，S 最大值=

9

100.

∵

2

25>

9

100，∴S 的最大值为

2

25.

（4）4

5

22

或t>6. 10、（2009年郴州市） 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

【关键词】二次函数的极值问题

【答案】（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得1

2

k =，所以正比例函数解析式为1

2

y x =

2分 同样可得，反比例函数解析式为2y x

= （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2

Q m m ，， 于是21

111

2224

OBQ S OB BQ m m m △=?创=， 而1

(1)(2)12

OAP S △=-?=， 所以有，

2

114

m =，解得2m =± 所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，

-- （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，

而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值

因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n

，， 由勾股定理可得2

2

2

242()4OQ n n n n

=+=-+， 所以当22()0n n -=即2

0n n

-=时，2OQ 有最小值4， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与2

OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．

由勾股定理得OP OPCQ 周长的最小值是

2()2)4OP OQ +==．

10、（2009年常德市）已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （59

48

，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，1

2

）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1，

1

2

）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．

【关键词】二次函数

【答案】（1）设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2（0a ≠）， 把A （0，2-），B （1-，0），C （59

48

，）代入得

209255816

4c a b c a b c

?

?=-?=-+???=++?解得 a =2 ， b =0 ， c =－2， ∴2

22y x =-

（2）设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ，

把A （0，－2），C （59

48

，）代入得

2

95

84

b k b =-???=+??， 解得522k b ==-， ，∴522y x =- 当x =1时，511222y =

?-= ∴

M （1，1

2

）在直线AC 上 （3）设E 点坐标为（1322--，）

，则直线EM 的解析式为45

36

y x =- 图

8

由 2453622y x y x ?=-?

??=-?

化简得2

4720

36x x --=，即17()(2)023x x +-=， ∴F 点的坐标为（713618

，）．

过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（1

02

-，）

． ∴3122EH BH ==， ∴2223110

()()224BE =+=，

类似地可得 2221313

1690845

()()186324162

BF =+=

=

， 222401025001250(

)()186324162

EF =+==

， ∴222108451250

4162162

BE BF EF +=

+==，∴

△BEF 是直角三角形． 11、(2009年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．

（1）求点B 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；

（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP ＝S △ABO ．

【关键词】用相似求线段 平面内点的坐标的意义 三点法确定抛物线 存在性探究题 【答案】解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，

则AF ＝2，OF ＝1．

∵OA ⊥OB ，

∴∠AOF+∠BOE ＝90°． 又 ∵∠BOE+∠OBE ＝90°，

∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ．

∴

2===OA

OB

AF OE OF BE ．

∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B(4，2)．

（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2

+bx+c ．

∴?????==++=+-.0,2416,2c c b a c b a 解之，得???

?

?

?

???=-==.

0,23,21c b a

∴所求抛物线的表达式为x x y 2

3

212-=

． （3）由题意，知AB ∥x 轴．

设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，

则S △ABP ＝AF AB d AB ?=?2

1

21．

∴d ＝2．

∴点P 的纵坐标只能是0或4．

令y ＝0，得02

3

212=-x x ，解之，得x ＝0，或x ＝3．

∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)．

令y ＝4，得423212=-x x ，解之，得2

41

3±=x ．

∴符合条件的点P 3(

2413-，4)，P 4(2

41

3+，4)． ∴综上，符合题意的点有四个：

P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(

2413-，4)，P 4(2

41

3+，4)． （评卷时，无P 1(0，0)不扣分）

12、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ，其中曲线AB 为抛物线的一部分，点A 为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线

252051230y x x =-+-的一部分，且点A ，B ，C 的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x 个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 【关键词】待定系数法 函数的极值问题

【答案】（1）当40≤≤x 时，线段O A 的函数关系式为x y 10-=; 当104≤≤x 时，

由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为()4042

--=x a y

在2

52051230y x x =-+-中，令x=10，得320=y ；∴B （10，320）

∵B （10，320）在该抛物线上 ∴()404103202

--=a

解得10=a

∴当104≤≤x 时，()404102

--=x y =12080102

+-x x

综上可知，??

???-+-+--=1230

205512080101022

x x x x x y (2) 当40≤≤x 时,10S -= 当105≤≤x 时,9020-=x S

当1211≤≤x 时, 21010+-=x S

(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.

13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；

)4,3,2,1(=x ， )109,8,7,6,5(，x =，

)12,1110(，x =.

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题

【答案】解：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）； （2）210( 5.5)2402.5y x =--+．

100a =-< ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5． 015x < ≤，且x 为整数，

当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元）

∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当2200y =时，2

1011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，．

∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=． ∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

14、(2009武汉)如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(1

0)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．

【关键词】待定系数法 求点的坐标

【答案】解：（1） 抛物线2

4y ax bx a =+-经过(1

0)A -，，(04)C ，两点， 404 4.a b a a --=?∴?

-=?

，

解得13.

a b =-??

=?，

∴抛物线的解析式为234y x x =-++．

（2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2

134m m m ∴+=-++， 即2

230m m --=，1m ∴=-或3m =．

点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，

．

由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，

°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．

(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =， 45ECB DCB ∴∠=∠=°， E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．

1OE ∴=，(01)E ∴，．

即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．

由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，

°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．

(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =． 45DCE CBO ∴∠=∠=°，

2

DE CE ∴==

4OB OC ==

，BC ∴=

2

BE BC CE ∴=-=

， 3

tan tan 5

DE PBF CBD BE ∴∠=∠=

=． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-， (543)P t t ∴-+，． P 点在抛物线上，

∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，

0t ∴=（舍去）或2225t =

，266525P ??

∴- ???

，．

方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．

45PBD QD DB ∠=∴= °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，

又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．

QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==． 由（2）知(34)D ，

，(13)Q ∴-，． (40)B ，，∴直线BP 的解析式为312

55

y x =-+．

解方程组23431255y x x y x ?=-++??=-+??，，得11

40x y =??=?，；

2225

66.25x y ?

=-????=??

， ∴点P 的坐标为266525??

- ???

，．

15、(2009年安顺)如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；

（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】（1）∵抛物线与y 轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y

根据题意，得???=++=+-033903b a b a ，解得?

??=-=21

b a

∴抛物线的解析式为322++-=x x y (5′)

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x 轴的交点为F

∴四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ??++梯形

=111

()222AO BO BO DF OF EF DF ?++?+? =111

13(34)124222

??++?+??=9 （3）似

如图，

==∴

=

==∴2

2

20BD BE +=, 2

20DE = 即： 222

BD BE DE +=,所以BDE ?是直角三角形

∴90AOB DBE ∠=∠=?,

且2

AO BO BD BE ==

, ∴AOB ?∽DBE ?

16、（2009重庆綦江）如图，

已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【关键词】抛物线

【答案】（1）

抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(

A -093

a a ∴=+=-

∴二次函数的解析式为：2333

y x x =-

++

（2）D 为抛物线的顶点D ∴过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =

3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° OM AD ∥

①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴=

②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形

过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求AH 55(s)OP DH t ∴===

③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=

综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°

，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，

过P 作PE OQ ⊥于E

，则2

PE =

116(62)222

BCPQ S t ∴=???-?

=2

322t ?-???当32t =

时，BCPQ S

∴

此时3339

3324

44

OQ OP OE QE PE ==

∴=-

==

，=，

2PQ ∴=== 17、（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C

三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点． （1） 求抛物线的解析式；

（2） 求当AD+CD 最小时点D 的坐标；

（3） 以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ． ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切．

②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标：___________．

【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系 【答案】（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-．

将(03)，

代入上式，得3(01)(03)a =+-． 解，得1a =-．

∴抛物线的解析式为(1)(3)y x x =-+-．

即2

23y x x =-++．

（2）连接BC ，交直线l 于点D ．

点B 与点A 关于直线 l 对称， AD BD ∴=．

AD CD BD CD BC ∴+=+=．

由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时AD CD +最小，点D 的位置即为所求． 设直线BC 的解析式为y kx b =+，

由直线BC 过点(30)，

，(03)，，得033.

k b b =+??=?，

解这个方程组，得13.

k b =-??

=?，

∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

由（1）知：对称轴l 为2

12(1)

x =-

=?-，即1x =．

将1x =代入3y x =-+，得132y =-+=． ∴点D 的坐标为（1，2）

． 说明：用相似三角形或三角函数求点D 的坐标也可，答案正确给2分．

（3）①连接AD ．设直线l 与x 轴的交点记为点E ． 由（1）知：当AD CD +最小时，点D 的坐标为（1，2）． 2DE AE BE ∴===． 45DAB DBA ∴∠=∠=°． 90ADB ∴∠=°． AD BD ∴⊥．

BD ∴与A ⊙相切．

②(1

2)-，． 18、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。