正项级数敛散性的判断 本科学位论文
本科生毕业论文(设计)
题目（中文）：正项级数敛散性的判断及其应用
（英文）：The Convergence Tests and Application
for Series of Positive Terms
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2011年 5月 8 日
作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议.除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果.对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明.本声明的法律结果由作者承担.
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目 录
摘 要 ...............................................................................................................................I 关键词 .............................................................................................................................I Abstract ...........................................................................................................................I Key words .......................................................................................................................I 1 前言 ............................................................................................................................ 1 2 比较判别法及其推广 (3)
2.1 以等比级数为比较对象而得的判别方法 ...................................................... 4 2.2 以p 级数∑∞
=11
n p
n
为比较对象而得的判别方法 ............................................... 9 2.3 以()
11ln p
n n n ∞
=∑
为比较对象的判别法 (14)
2.4 库默判别法 .................................................................................................... 16 2.5 三个结论 ........................................................................................................ 18 3 积分判别法 .............................................................................................................. 20 4导数判别法 ............................................................................................................... 22 5 两种一般项级数收敛性的方法 (23)
5.1 阿贝尔判别法 ................................................................................................ 23 5.2 狄利克雷判别法 ............................................................................................ 24 6 结束语 ...................................................................................................................... 25 参考文献 ...................................................................................................................... 26 致 谢 ............................................................................................................................ 28 附录 (29)
正项级数敛散性的判断及其应用
摘要
正项级数是一类重要级数,而敛散性问题级数理论的一个基本问题.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法，一些著名的判别法如柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、库默判别法、高斯判别法可由比较判别法得到；简单介绍了它们强弱性关系；给出了典型例题验证上述判别法的有效性.
关键词
正项级数；判别法；敛散性
The Convergence Tests and Application
for Series of Positive Terms
Abstract
Positive terms series is an important kind of series, and convergence and divergence are the basic problem for them. This paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods.
Key words
positive terms series; judge methods; convergence
1 前言
历史上，人们曾把无穷个实数相加12n u u u +++ 看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：
231111
2222
n ++++ ， 从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”
111111-+-+-
的和是多少？
如果写成
()(11)11(11)00-+-+-=++
其结果是0.
如果写成
1(11)(11)(11)100------=---
其结果是1.
两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？
十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前n 项和形成一个数列
12341,0,1,0,S S S S ==== ，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平
均数
011
22
+=为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然111111-+-+- 是
一个数，记为S ，由于11(1111)1111S S -=--+-+=-+-+= ，即为
1S S
-=，得1
2
S =
.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：231
11q q q q
++++=
- ，把1q =-代入得到111+112=--+ ，他用同样的
讨论得到其他的一些结果.例如把2q =-代入得1
12483
=-+-+ ，而这些结果现在看起来都是荒谬的.
后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.
无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.
若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间I 的函数项级数()1n n u x ∞
=∑，当在I 内任意取定一点0x 时, 便得到一个数项级数.自然,
对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半
径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass 判别法(M 判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.
近年来新的有效的判别法不断被提出，比如高斯判别法、对数判别法、比值判别法[]2],[3],[4的推广等，这些新的判别法克服了经典判别法的一些缺点，判别范围更广、更有效.本文介绍了正项级数敛散性判断的多种方法.文章分为四部分内容：比较判别法及其推广，积分判别法，导数判别法及两种一般项级数的判断方法.比较判别法是正项级数敛散性重要的判断方法，分别以等比级数、p 级数及()
11ln p
n n n ∞
=∑
为比较对象，得到了达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法等，上述三级数通项级数通项收敛于零的速度依次变慢，因此所得判断方法范围更广泛. 2 比较判别法及其推广
引理2.1[]
1（比较判别法） 设∑∞=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 为正项级数,且存在某
正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，
(1)若级数∑∞
=1n n v 收敛,则级数∑∞
=1n n u 收敛;
(2)若级数∑∞
=1
n n u 发散,则级数∑∞
=1
n n v 发散.
引理2.2[]
1（比较判别法推论） 设∑∞=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 为正项级数,当n
充分大后,有
n n n n v v u u 11++≤
或1
1++≥n n n n v v
u u ,
(1)若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞
=1n n u 收敛;
(2)若级数∑∞
=1
n n u 发散,则级数∑∞
=1
n n v 发散.
引理2.2是比较判别法的一个推广.其改进是当n 充分大以后,只要0→n u 的速度快于0n v →,就可得到相应的结论.改进的条件
n n n n v v u u 1
1++≤
，亦即11n n n n
u u v v ++≤，意味随着项数n 的增大两级数对应项之比越来越小即可,并不要求始终有严格意义上的n n v u ≤.
引理2.3
[]
2（比较判别法的推广） 两个正项级数∑∞=1
n n a 和1
n n b ∞
=∑，
存在正整数N ，当N n >时，不等式n n n n b b a a 22≤，n n n n b b a a 1
212++≤
成立，若1
n n b ∞
=∑收敛时，则∑∞=1
n n a 收敛；若∑∞=1
n n a 发散时，则1
n n b ∞
=∑发散.
推论2.1[]
3 两个正项级数∑∞=1
n n a 和1
n n b ∞
=∑，存在正整数N ，当N
n >时，不等式()110,1,2,1kn i kn i
n n
a b
i k a b ++++≤=- 成立，
若1
n n b ∞=∑收敛时，则∑∞
=1
n n a 收敛；若∑∞
=1
n n a 发散时，则1
n n b ∞
=∑发散.
2.1 以等比级数为比较对象而得的判别方法
定理2.1[]
1（达朗贝尔判别法或比值判别法） 设∑∞
=1
n n u 为正项级
数，且存在某正整数0N 及常数q ()10< (1)若对一切0N n >，不等式q u u n n ≤+1 成立，则级数∑∞ =1 n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式11 ≥+n n u u 成立，则级数∑∞ =1 n n u 发散. 推论2.2[] 1（达朗贝尔判别法的极限形式） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数， 且1 lim n n n u q u +→∞=，则 (1)当1 =1 n n u 收敛； (2)当1>q 或∞=q 时，级数∑∞ =1 n n u 发散. 推论2.3[4] 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q , (1)若对一切0N n >，不等式1n n n u q e u +?? ≥> ???成立，则级数∑∞ =1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >,不等式1n n n u e u +?? < ??? 成立，则级数∑∞ =1n n u 发散. 证明 当0N n >时，1n n n u q e u +?? ≥> ??? ，由于q e >，取()1q e αα=>两边 取对数有1ln 1n n u q u α+≥=>，由达朗贝尔判别法知∑∞ =1n n u 收敛，当0 N n >时，由1n n n u e u +??< ??? 可得 11n n u u +<，由达朗贝尔判别法知∑∞=1n n u 发散. 例2.1 讨论级数 ()()()() ()()()1 111110,0,0!11n n n n n αααβββαβγγγγ∞ =++-++-+>>>++-∑ 的敛散性. 解 令()()()() ()() 1111!11n n n u n n αααβββγγγ++-++-= ++- ，则 ()()()()111111lim lim lim 11n n n n n n n n n n n n n u e e n n e u n n e e n n γγαβ αβγγαβαβ+--→∞→∞→∞+????+?+ ? ???++???????====?? ?++????????? +?+ ? ? ? ???， 所以,当11γαβ+-->时，即0γαβ-->时，∑∞ =1 n n u 收敛，故原级数收 敛；当11γαβ+--<时，即0γαβ--<时，∑∞ =1 n n u 发散，故原级数发散. 例2.2 讨论级数1!n n n n n e ∞ =∑的敛散性. 解 令!n n n n u n e =，()()11 11!!111n n n n n n n n n n n n e u n e H u n e n n ++?? ?? ??+????==?=?? ???+???????? +?? ????? ，则 ()()()20001ln 111lim ln lim 1ln 1lim 1ln 11ln 1lim lim 11 lim 212 n n n n x x x n n H n n n n x x x x x x x →∞→∞→∞→→→??+ ? ? ? -????=-+= ?????? ?+--+====+. 则12 lim n n H e e →∞ =<，由推论2.3得级数1!n n n n n e ∞ =∑发散. 在例2.2中有 ()1111n n n u e n u n +=→→∞??+ ??? ， 由达朗贝尔判别法无法判断.而由推论2.3的证明知，当0N n >时，1n n n u q e u +?? ≥> ??? ，有 1 ln 1n n u q u α+≥=>，由1n n n u e u +??< ???可得1 1n n u u +<，故推论2.3优于达朗贝尔判 别法. 定理2.2[] 1（柯西判别法） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整 数0N 及正常数l , (1)若对一切0N n >，不等式1<≤l u n n 成立，则级数∑∞ =1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1≥n n u 成立，则级数∑∞ =1 n n u 发散. 推论2.4[] 1（柯西判别法的极限形式） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且 n l =. 则 (1)当1 =1n n u 收敛； (2)当1>l 时，级数∑∞=1 n n u 发散. 定理2.3 [] 2 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，若2211 lim lim n n n n n n u u u u ρ+→∞→∞+==，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛;当21 >ρ时，∑∞ =1 n n u 发散. 证明 当21 <ρ时，取0>ε，使()121 >< =+s r s ερ，则 21 2 n s n u r u ρε<+=<，21112n s n u r u ρε++<+=<.取s n n b 1 =，则 211 11lim lim 212s n s n n n b n b n +→∞→∞++??== ?+??，21lim lim 22s n s n n n b n b n →∞→∞??== ???，由极限保号性得r b b n n >++112， 2n n b r b >，故112112++++>n n n n u u b b ，n n n n u u b b 22>，而∑∞=1 n n b 收敛，由引理 2.3知∑∞ =1 n n u 收敛； 当2 1>ρ时，由2211 lim lim n n n n n n u u u u ρ+→∞→∞+==，对任意的0ε>当n 充分大时，有2n n u u ρερε-< <+与211 n n u u ρερε++-<<+，取11 -= n b n ，则2111lim lim 22n n n n b n b n +→∞→∞+==，211 lim lim 212n n n n b n b n →∞→∞-==-，对任意的0ε>当n 充分大时，有2111 12 2n n b b εε++-< <+与211 22 n n b b εε-<<+，取1 202 ρε- <<，则当n 充分大 时，有22n n n n b u b u <，2121 11n n n n b u b u ++++< ，由引理2.2知∑∞ =1 n n u 发散. 例2.3 判断正项级数21 ln n n n ∞ =∑ 的敛散性. 解 ()()21 2ln 1lim lim 11ln n n n n n n a a n n +→∞→∞ +==+，故由达朗贝尔判别法无法判断，而()()222ln 211lim lim 422ln n n n n n n a a n n →∞→∞==<，()()()()2 21 21 1ln 2111lim lim 4221ln 1n n n n n n a a n n +→∞→∞+++==<++，由定理2.3得2 1ln n n n ∞ =∑ 收敛. 推论2.5[] 3 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，若()1lim 0,1,21kn i n n u i k u ρ -+→∞==- ,当 k 1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛，当1 k ρ>时，∑∞ =1 n n u 发散. 推论2.6[] 3 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，若1lim 1n n n u u +→∞ =且2lim n n n u u ρ→∞=，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛；当21 >ρ时，∑∞ =1 n n u 发散. 例2.4 判断级数()1 !0n n x n x n ∞ =?? > ? ??∑的敛散性. 解 令!n n x a n n ?? = ???，1lim lim 11n n n n n n a x x a e n +→∞→∞→∞ ==??+ ??? ，当x e >时，由达朗贝尔判别法，级数发散；当x e <时，由达朗贝尔判别法，级数收敛；当 x e =时，由stirling 公式，()12!01n n n n e e θ θ? =< ，且 ( )222242412222!22!n n n n n n n n n n n n x n x n e x n e n e e x n x n e n e n a a θ θ θ - ?? ??? ?? ? ???????===?? ????? ?? ? ?? ??? 即2lim 1n n n a a →∞ =>，由推论2.5知级数发散. 推论2.7[] 3 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且1 lim n n n u u ρ+→∞=，若1<ρ,则2211lim lim 0n n n n n n u u u u +→∞→∞+==；若1>ρ，则2211 lim lim n n n n n n u u u u +→∞→∞+==+∞. 推论2.7说明定理2.3更优于达朗贝尔判别法，对于一些正项级数其通项收敛于零的速度慢于等比级数，可以用定理2.3和它的推论进行判断. 2.2 以p 级数∑ ∞ =11 n p n 为比较对象而得的判别方法 定理2.4[] 1（拉贝判别法） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整 数0N 及正常数r , (1)若对一切0N n >，不等式111>≥???? ? ?-+r u u n n n 成立，则级数∑∞ =1n n u 收 敛; (2)若对一切0N n >，不等式111≤???? ? ?-+n n u u n 成立，则级数∑∞ =1n n u 发散. 推论2.8[] 1（拉贝判别法的极限形式） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且极 限 r u u n n n n =???? ? ?-+∞→11lim 存在，则 (1)当1>r 时，级数∑∞ =1n n u 收敛； (2)当1 n n u 发散. 例2.5 讨论级数()()1321242s n n ?? ?-????? ∑ 当时的敛散性. 解 无论1,2,3s =哪一值，都有1 lim 1n n n a a +→∞ =，所以用达朗贝尔判别法无法判断.现在用拉贝判别法讨论，当1s =时，由于 ()121111122222n n u n n n n n u n n +??+??-=-=→<→∞ ? ? ++??? ?， 所以级数是发散的.当2s =时，由于 ()()()212 43211112222n n n n u n n n n u n n +??+??+??-=-=<→∞?? ? ?+??+????? ?， 由推论3知级数发散，当2s =时， ()()()2313 12187213 11122222n n n n n u n n n n u n n +++????+??-=-=→>→∞?? ? ?+??+?????? ， 所以级数收敛. 推论2.9[] 5（拉贝判别法的等价形式） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且 r u u n n n n =??? ? ??-+∞→1lim 1， 则 (1)当1 =1n n u 收敛； (2)当1>r 时，级数∑∞=1 n n u 发散. 定理2.5[] 6 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数s , (1)若对一切0N n >，不等式1ln 1n n u n s u +≥>成立， 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1ln 1n n u n u +<成立，则级数∑∞=1 n n u 发散. 证明 (1)由1ln 1n n u n s u +≥>，可得111ln ln 1ln 1s n n u s s u n n n +???? ≥≥+=+ ? ?????， 所以() 11111 1s s n n s u n u n n +??≥+= ??? +，而()11 1>∑∞ =s n n s 收敛，由引理2.2得∑∞ =1n n u 收 敛. (2)由1ln 1n n u n u +<得111ln ln 1n n u u n n +?? <<+ ??? ，即1 11 1 11+=+<+n n n u u n n ， 而∑∞ =11 n n 发散，由引理2.2得∑∞ =1 n n u 发散. 例2.6 讨论级数1!n n n n n e ∞ =∑的敛散性. 解 令!n n n n u n e =，而 ()()()1 111!1!111n n n n n n n n e u n e n u n e n n ++++=?=→→∞+?? + ??? ， 则用达朗贝尔判别法无法判断，现用定理2.5考虑. ()()10201lim ln lim ln lim 1ln 1111ln 11ln 11 1lim lim 1ln 1lim 01n n n n n n n x x u e n n n n u n n n x n x x n x x x →∞ →∞→∞+→∞→→?? ??==-+ ????????? + ?????+ ? ? ? -+- ==-+==< 则当n 充分大时有1ln 1n n u n u +<，由定理2.5得1!n n n n n e ∞=∑发散. 定理2.6[] 7 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q , (1)若对一切0N n >，不等式1 ln 1ln n u q n ≥>成立，则级数∑∞ =1 n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1 ln 1ln n u n ≤成立，则级数∑∞ =1 n n u 发散. 证明 (1)由1 ln 1ln n u q n ≥>可得1 ln ln ln q n q n n u ≥=，即q n n u 1≤，而 ()11 1>∑∞ =q n n q 收敛，由引理2.2得∑∞ =1n n u 收敛. (2)由 1 ln 1ln n u n ≤得1 n u n ≥，由引理2.2得∑∞ =1 n n u 发散. 例2.7 讨论级数21 n ∞ =. 解 令2 n u =， 则()21ln ln 2ln ln ln n u n n n n n = =-→+∞ →∞，则存在 正整数1M >，使1 ln 1ln n u M n >>，由定理2.6 得级数2 1n ∞ =. 定理2.7[] 8 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ， (1)若对一切0N n >，不等式11 1 ln ln 1ln(1)ln n n u u q n n +-≥>+-成立，则级数∑∞ =1 n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式11 1 ln ln 1ln(1)ln n n u u n n +-≤+-成立，则级数∑∞ =1 n n u 发 散. 证明 (1) 由11 1 ln ln 1ln(1)ln n n u u q n n +-≥>+-得111ln ln 1ln 1q n n u q u n n +???? ≥+=+ ? ????? ， 即()q q q n n n n n u u 11 1111+=?? ? ??+≥+，而()11 1>∑∞ =q n n q 收敛，由引理2.2得∑∞ =1 n n u 收敛. (2) 由11 1 ln ln 1ln(1)ln n n u u n n +-≤+-，得1 1l n l n 1n n u u n +?? <+ ? ?? ，即1 11 111+=?? ? ??+≥+n n n u u n n 而11 n n ∞ =∑发散，由引理2.2得∑∞ =1 n n u 发散. 例2.8 设() ()ln 1 1ln ln n n a n n =>，讨论级数1 n n a ∞ =∑的敛散性. 解 ()()()() ln 11ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln n n n a n n n n n n n n n -=?????==→+∞→∞????， 则存在正整数1M >，当n 充分大时，有1 ln 1ln n a M n >>，由定理2.6可得1 n n a ∞ =∑收敛. 2.3 以() 1 1ln p n n n ∞ =∑ 为比较对象的判别法 定理2.8[] 9（高斯判别法） 设∑∞ =1 n n u 为正项级数满足 1111ln ln n n u p o u n n n n n +?? =+++ ??? ()∞→n ， 则 (1)当1>p 时，级数∑∞ =1n n u 收敛； (2)当1 n n u 发散. 证明 取() 1ln n s v n n = ， ()()() 1 11ln ln 1ln 11ln 111111ln ln ln 111111111ln ln ln ln 111ln l s s s n s n s n n n v n n v n n n n n n s o o n n n n n n n n n n s o n n n n +????????+++ ? ?????++????????????????==+=++ ? ????????????????????? ????????=+++=+++ ? ? ? ?????????????????=+ ++n n ?? ??? 而 111ln ln n n n n u v p s o u v n n n n ++-??-=+ ??? .当1>p 时，取p s <<1,则存在正整数N ，当n N >时，11 0n n n n u v u v ++->，所以 11n n n n u v u v ++>，而() ()11 1ln s n s n n ∞ =>∑收敛由引理2.2得级数1 n n u ∞ =∑收敛;当1 >，可得 11 0n n n n u v u v ++-<，所以11n n n n u v u v ++<，而() ()111ln s n s n n ∞=<∑发散，由引理2.2得级数∑∞ =1n n u 发散. 定理2.9[] 9 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q , (1)若对一切0N n >，不等式1 ln 111n n u n n q u +?? ??--≥>?? ?????成立，则级数∑∞ =1 n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1 ln 111n n u n n u +?? ??--≤?? ?????成立，则级数∑∞ =1 n n u 发散. 定理2.10[] 8 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ， (1)若对一切0N n >，不等式1 ln 1ln ln n nu q n ≥>成立，则级数∑∞ =1 n n u 收敛； (2)若对一切0N n >，不等式 1 ln 1ln ln n nu n <成立，则级数∑∞ =1 n n u 发散. 定理2.11[] 8 设∑∞ =1 n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ， (1)若对一切0N n >，不等式()1 11 ln ln 11ln ln(1)ln ln n n n u nu q n n +-+≥>+-成立，则级 数∑∞ =1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式 ()1 11ln ln 11ln ln(1)ln ln n n n u nu n n +-+≤+-成立，则级数 ∑∞ =1 n n u 发散. 2.4 库默判别法 定理2.12 [] 10（库默判别法） 设∑∞=1 n n u ，∑∞ =1 n n a 为正项级数， (1)若存在正数α，使得 () ,,2,111 =≥-++n a a u u n n n n α， 则级数∑∞ =1 n n u 收敛； (2)若级数∑ ∞ =11 n n a 发散且 () ,,2,1011 =≤-++n a a u u n n n n ， 则级数∑∞ =1 n n u 发散. 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 数项级数敛散性的判别法毕业论文 关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]: 数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得: n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞ 常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分 和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断; 如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届， 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑ 发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由． 正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进 行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 ， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称 级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞ =1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1 n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1 n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞ =1 n n v 是 解题的关键。 几何级数∑∞ =-11 n n aq 和p-级数∑∞ =11 n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞ =1 n n v 。 例１ 证明级数∑∞ =+122 1 n n 是收敛的。 证 由于2 22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞ =121n n 为p=2 的p-级数 且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞ =+1221 n n 是收敛的。 例2 判别下列级数∑∞ =+122 2n n n 的敛散性。 分析 这是一个典型的例题，通项2 22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意 分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应 的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞ =11 n n 做 比较。 解 n n n n n n n 1 322222222?=++≥+，而级数∑∞=?1)132(n n 与∑∞ =1 1n n 有相同的敛散性，即 同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1 222n n n 是收敛的。 在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。 重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨 目录 摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3) 2正项级数相关概念 (3) 2.1 定义 (3) 2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3) 2.3 三个重要比较级数 (4) 2.3.1 几何级数 (4) 2.3.2 调和级数 (5) 2.3.3 P-级数 (5) 3 正项级数敛散性判别法 (6) 3.1 判别发散的简单方法 (6) 3.2 比较判别法 (7) 3.2.1 定理及其推论 (7) 3.2.2 活用比较判别法 (9) 3.2.3 归纳总结 (11) 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12) 3.3.1 柯西判别法 (12) 3.3.2 达朗贝尔判别法 (13) 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15) 3.4 拉贝判别法 (17) 3.5 积分判别法 (19) 3.6 两种新方法 (20) 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23) 4 在判别级数敛散性中的作用 (23) 4.1 证明负项级数的敛散性 (23) 4.2 证明变号级数绝对收敛 (24) 4.3 证明函数级数收敛 (25) 5 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献: (27) 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。 几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。 数项级数的敛散性开题报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 怀化学院本科毕业论文(设计)任务书论文题目数项级数的敛散性 学生姓名系别数学系专业数学与应用数学指导老师姓名职称 题目来源1.科学技术□ 2.生产实践□ 3.社会经济□4.自拟■ 5.其他□ 毕业论文（设计）内容要求： 1选题内容符合专业培养目标要求. 2主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新. 3文字简练、通顺，格式符合规范要求. 主要参考资料: [1]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002. [3]同济大学,天津大学,重庆大学等.高等数学(第四版)[M].北京:教育出版社,2003. [4]彭砚,陈铿羽.级数敛散性的根值判别法的推广[J].高等数学研究.2008,11(3):35～37. [5]汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法[J].高等数学研究.2004:127～134. [6]李世金,赵洁.数学分析解题方法600例[M].上海:华东师范大学出版社.1992. 毕业论文（设计）工作计划： 1、2012.11.15 接受毕业论文任务； 2、2012.11.16-11.30 查阅文献资料,收集素材,完成开题报告书； 3、2012.12.1-2013.2.30 查阅论文所需的资料和文献,并进行论文的撰写工作，完成论文初稿； 4、2013.3.1-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿； 5、2013.5.1-5.10 深入专研论文，为论文答辩做好准备。 接收任务日期 2012 年 11 月 15 日要求完成任务日期 2013 年 4 月 30 日 学生（签名）年月日 指导教师（签名）年月日 系主任（签名）年月日 说明：本表为学生毕业论文（设计）指导性文件，由指导教师填写，一式两份，一份交系（部）存档备查，一份发给学生。正项级数敛散性地判别方法
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，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
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