2016高考数学全国各地最新押题——江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学(理)试题(含答案)

2016年5月

江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考

数学（理）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．复数21i

z i

=

-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i

2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}

2

0N x x x =-<，则下列结论正

确的是（ ）

A ． N N M =?

B ．?=?)(N

C M U C ．M N U =

D ． ()U M C N ?

3． 设,,a b c R ∈，则“1,,,,16a b c 为等比数列”是“4b =”的 （ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ． 既不充分也不必要条件

4．已知等差数列{}n a 满足：1472a a a π++=，则26tan()a a +的值为（ ）

A

． B

． C

D

5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值为（ ）

A ． 1-

B ． 12

C ． 2

D ． 2016

6．如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，

A

B

P

C

且2

ACB π

∠=

，侧面PAB ⊥底面ABC ，

2AB PA PB ===.则这个三棱锥的三视图中标注

的尺寸,,x y z 分别是 （ ）

A

B

C ．

D ．2,1,1

7．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,

下列说法中错误．．

的是（ ） A ． 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B ． 结余最高的月份是7月 C ．1至2月份的收入的变化率与

4至5月份的收入的变化率相同 D ． 前6个月的平均收入为40万元

（说明：结余=收入-支出）

8．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、

c ，若2222b c a +=，则角A 的最大值为（ ）

A ．

6π B ．4π C ．3π D ．23

π 9．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>与双曲线22

2:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线

与以1C 的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则椭圆1C 的方程是（ ）

A ．

22

22111x y += B ．22143x y += C ．2

21105x y += D

．2212x y += 10．已知平面向量,,,2=

1=，1-=?b a ，且-与c b -的夹角

为

4

π

的最大值为（ ） A

B

． C

D ．4

11．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，底边BC 在平面α内,绕BC 旋转该三棱锥，若某个

时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是（ ）

A

． B

． C

． D

．

12．设{}n a 是有穷数列，且项数2n ≥．定义一个变换ψ：将数列,,,321a a a …，n a 变成

,,43a a …，1,+n n a a ，其中112n a a a +=+是变换所产生的一项．从数列1，2，3…，20162开始， 反复实施变换ψ，直到只剩下一项而不能变换为止，则变换所产生的所有项的和．．．．．．．．．．．

为（ ） A ．201540312016(22)+ B ．2015403122+ C ．201540312016(22)+ D ．201640322016(22)+

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．

二项式62

)x

的展开式中的常数项是 （用数字作答）．

14．=-?dx x

x )1

1(122_____．

15．不等式组0,,290x y x x y ≥??

≤??+-≤?

所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则

实数a 的取值范围是 ．

16．已知函数2(0)

()(0)

x x x f x e x -->?=?-≤?，若关于x 的方程[]()0f f x m +=恰有两个不等实根1x 、2x ，

则12x x +的最小值为_____．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．前5小题每题满分12分，最后一道选做题满分10分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．

17．（本小题满分12分）

已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ??∈????，

13217f πα?

?-= ??

?，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值．

18．（本小题满分12分）

2016年全国高考将有25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求

考生从选修41-（几何证明选讲）、选修44-（坐标系与参数方程）、选修45-（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三A 、B 两个理科班共100名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如下表所示：

若从100名学生中随机抽取一名，他选做选修44-的概率为

9

20

． （Ⅰ）求,a b 的值，分别计算两个班没有选选修45-的概率；

（Ⅱ） 若从A 、B 两班分别随机抽取2名学生，对其试卷的选做题进行分析，记4名学生中选

做41-的人数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：A 班选做41-的每个学生被抽取到的概率均为

15

）．

19．（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且

3

BAD π

∠=

，对角线AC 与BD 相交于O ，OF ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====．

（Ⅰ） 求证：EF //BC ；

（Ⅱ）求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知曲线C 上任意一点P 到点(1,0)F 的距离比到直线:2l x =-的距离小1．

（Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程；

（Ⅱ） 若斜率2k >的直线l 过点F 且交曲线C 为A 、B 两点，当线段AB 的中点M 到直线

':5120(5)l x y a a ++=>-的距离为

1

13

，求a 的取值范围．

21．

（本小题满分12分） 已知函数6

()6,f x x x x R =-∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，求曲线在点P 处的切线方程； （Ⅲ）若方程()f x a =（a 为实数）有两个实数根12x x ，，且12x x <，求证：1

5

2165

a x x -≤-．

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22．

（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=?． （Ⅰ）求证：

ED PB PD

BD PA PC

?=

；

（Ⅱ）求PCE ∠的大小．

23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建

立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为?

??+=+=34,

13t y t x （t 为参数）．

（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；

（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且AB ≥，求实数a 的取值范围．

24．

（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数, 1)(+-=x m x f m R ∈,且(1)0f x -≥的解集为[2,2]-． （Ⅰ）求m 的值； (Ⅱ）若,,a b c R +∈，且111

23m a b c

++=，求 23z a b c =++ 的最小值.

2016年江西省协作体高三第二次模拟考试

理科数学参考答案

13．60 14．1ln 22-

15．3,4?

?-∞ ??

? 16．1ln 2- 17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）()sin 12sin()13

f x x x x π

ωωω=+=-

+ ……3分

26T π

πω

=

=，所以1

3

ω=

. ……6分 注：如果()2cos()16

f x x π

ω=-+

+等正确结果的话相应给分即可.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()12sin()13

3

f x x π

=-

+ 1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα?????

?-=--+=-+=-+= ? ? ???????

∴8

cos 17

α= ……7分

()1

1132sin (3)12sin 13

35f πβπβπβ??+=+-+=+= ???

∴3

sin 5

β= ……8分

∴,0,2παβ??∈????

，∴154sin ,cos 175αβ====， …10分 ∴()13

cos cos cos sin sin 85

αβαβαβ+=-=-. ……12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意，得：

209

2510020

a a +=?= ∴100(1525101020)20

b =-++++= A 班没有选做选修45-的概率110257

5010

P +== B 班没有选做选修45-的概率210203

505

P +=

= ……4分 （Ⅱ）由题意知，A 、B 两班每人选选修41-的概率均为1

5

,

∴ 随机变量X 服从二项分布，即 1(4,)5

X B ……6分

∴ 44

11()1,(0,1,2,3,4)55i

i

i P X i C i -??

??==-= ?

???

??

………8分

∴X 的分布列为

X

0 1 2

3

4

P

256

625 256

625 96

625

16

625

1625

……10分 ∴14

()455

E X =?

= ………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形

∴AD ∥BC ，且BC ?面ADEF ，AD ?面ADEF

∴BC ∥面ADEF 且面?ADEF 面BCEF EF =

∴EF ∥BC ． ……6分 （Ⅱ）∵FO ⊥面ABCD ∴FO AO ⊥，FO OB ⊥

又∵OB AO ⊥

以O 为坐标原点，OA ，OB ， OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD

的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD . 又∵22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：

1

(0,1,0),((0,1,0),(2B C D F E --

向量1

(2

DE =

，向量(1,0)BC =-

，向量(0,BF =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z

=

000,0n BC n BF

??=???=??

得到000000

y y ?-=??

-=??

令0y =

时0(1n

=-

易得面AOF 的一个法向量(0,1,0)n =

设面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角为θ，则

00cos 5n n n n

θ=== ∴

sin θ= 故 面AOF 与面BCEF

……12分

20．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）由已知得：P 到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等 ∴ 由抛物线的定义得曲线C 为抛物线

易得轨迹方程为：24y x =． ……4分 （Ⅱ）由已知得 直线l ：(1),(2)y k x k =->

联立

{

2(1)

4y k x y x

=-= 消去y ，得 0)2(22222=++-k x k x k 设11(,)A x y 、22(,)B x y 、00(,)M x y

则 21202

2

2x x k x k ++== ∴00

2(1)y k x k =-= 于是点M 到直线l '

1

13

=

∴

2102451a k k

+++= ……8分 由 2k >及5a >-得：21024

51a k k

+

++= 即2210241652

410()55

a k k k =--

-=-++ 由 2k > 知 61617

5510

k <+<

∴ 221752652

10)10()10555

a -?(

+<<-?+， 即 3742a -<<-

∴ 由5a >-得：a 的取值范围为(5,4)--． ……12分

21．

（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得：55()666(1)f x x x '=-=- 由'()0f x =得：1x = 又 当1x <时，'()0f x >，()f x 单调递增，

当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减，

∴当1x =时()f x 取得极大值，极大值为(1)5f =，无极小值．………3分

（Ⅱ）设()0,0P x ，则0x =()030,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为：

()()

0030(y f x x x x '=-=- ，

即 曲线在点P 处的切线方程为：30(y x =- ………6分

（Ⅲ）设()30(g x x =-，令()()()F x f x g x =-

即()()30(F x f x x =+， 则()()30F x f x ''=+

由于5()66f x x '=-在(),-∞+∞ 单调递减，故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又∵

()

00F x '=0(x

∴当()0,x x ∈-∞时()0F x '>，当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, ∴()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减，

∴x R ?∈，()()00F x F x ≤= ，即x R ?∈，都有()()f x g x ≤； 设方程()g x a =的根为'

2x ，∴1

'

5

2630

a x =-

． ∵()g x 在(),-∞+∞ 单调递减，且'222()()()g x f x a g x ≥==

∴ '

22x x ≤ ……8分 设曲线()y f x = 在点原点处的切线方程为：()y h x =，则易得()6h x x =

x R ?∈，有6()()0f x h x x -=-≤，即()()f x h x ≤

设方程()h x a =的根为'1x ，则'

16

a x =

∵()h x 在(),-∞+∞ 单调递增，且'111()()()h x a f x h x ==≤

∴'11x x ≤ ……10分

∴11

'

'

5

52121

(6)63065

a a a

x x x x -≤-=--=-

即15

2165

a

x x -≤-

……12分

22．

（本小题满分分10）选修4—1：几何证明选讲 （Ⅰ）证明：由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，

则PED PAC △△，则

PE PD PA PC =，又PE ED PB BD =，则ED PB PD

BD PA PC

?=

． ………5分

（Ⅱ）解：由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠．

在ECD △中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= ． ………10分

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为2

2

2

()x y a a +-=，

在直线l 的参数方程中消t 得：4350x y -+= ………5分

（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心(0,)a 到直线l 的距离1

2

d a ≤

即可。

12

a ≤

整理得：2

111201000a a -+≤即(1110)(10)0a a --≤解得：10

1011

a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：

10

1011

a ≤≤ ………10分

24．

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-， (1)0f x -≥等价于||x m ≤，

由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤．

又(1)0f x -≥的解集为[2,2]-，故2m =. ………5分 (Ⅱ）由(1)知

111223a b c

++=，又,,a b c R +∈，由柯西不等式得 1111

23(23)()223z a b c a b c a b c

=++=++++

219

22≥

=（当且仅当331,,242a b c ===时取等号）

∴23z a b c =++ 的最小值为

9

2

. ………10分