数学分析试卷(A)--河西学院--第1学期

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注意事项

1、考生要正确

清楚填写自己

的系别、班级、

姓名、学号栏

目。

2、如因填写错

误等原因造成

不良后果，由考

生本人负责。如

果故意涂改、乱

写等，将严肃查

处。

河西学院20 —20 学年第一学期期末考试试卷

A卷

一、判断题（本题共10小题，每小题2分，共20分）

1. 数列{}

n

a收敛的充要条件是数列{}

n

a有界. ( )

2. 若0

N

?>,当n N

>时有

n n n

a b c

≤≤,且lim lim

n n

n n

a c

→∞→∞

≠,则lim

n

n

b

→∞

不存在.

（)

3.若

00

lim()lim()

x x x x

f x

g x

→→

>,则存在0

(;)

U xδ使当0

(;)

x U xδ

∈时,有

()()

f x

g x

>. ( )

4. ()

f x为

x x

→时的无穷大量的充分必要条件是当0

(;)

x U xδ

∈时,()

f x为无

界函数. ( )

5. 0

x=为函数

sin x

x

的第一类间断点. ( )

6. 函数()

f x在[,]

a b上的最值点必为极值点. ( )

7. 函数

2

1

,0,

()

0,0

x

e x

f x

x

-

?

?≠

=?

?=

?

在0

x=处可导. ( )

8. 若|()|

f x在[,]

a b上连续, 则()

f x在[,]

a b上连续. ( )

9. 设f为区间I上严格凸函数. 若

x I

∈为f的极小值点，则

x为f在I上唯

一的极小值点. ( )

10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )

二、填空题（本题共8小题，每空2分，共20分）

1.

lim x

x

x

+

→

=_________________.

2. 设2,sin2

x

u e v x

==，则

v

d

u

??

=

?

??

__________________.

3. 设f为可导函数，(())

x

y f f e

=, 则y'=_______________.

4. 已知3

(1)

f x x

+=, 则()

f x

''=_______________.

5. 设()sin ln

f x x x

=, 则()

fπ

'=_______________ .

6. 设

21,0,

()

,0;

x x

f x

ax b x

?+≥

=?

+<

?

在0

x=处可导, 则a=____________ , b=___________________.

7. 曲线arctan

y x

=在(0,0)处的切线方程为_______________，法线方程为____________________.

8. 设()

f x在

()

U x内1

n+阶可导，则()

f x在

x处带拉格朗日型余项的泰勒公式为_____________.

三、计算题（本题共5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）

1. 设3x

y x e

=, 试求(6)

y.

2. 试求由摆线方程

(sin),

(1cos)

x a t t

y a t

=-

?

?

=-

?

所确定的函数()

y f x

=的二阶导数.

专业：数学与应用数学课程：数学分析

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注意事项

1、考生要正确

清楚填写自己

的系别、班级、

姓名、学号栏

目。

2、如因填写错

误等原因造成

不良后果，由考

生本人负责。如

果故意涂改、乱

写等，将严肃查

处。

3. 试求2

()ln(1)

f x x

=+到6x项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.

4. 试求极限

lim

x→

11

1

x

x e

??

-

?

-

??

.

5. 试求函数

32

|2912|

y x x x

=-+在[1,3]

-上的最值和极值.

四、证明题(本题共3小题，每小题10分, 共30分).

1. 证明不等式

2

1(0)

2

x

x

e x x

>++>

2. 设f为(,)

-∞+∞上的连续函数，对所有,()0

x f x>，且l i m

x→+∞

()

f x l i m

x→-∞

=()0

f x=，证明()

f x必

能取到最大值.

3. 若函数()

f x在[0,1]上二阶可导, 且(0)0

f=，(1)1

f=，(0)(1)0

f f

''

==，则存在(0,1)

c∈使

得|()|2

f c

''≥.