第五单元学案

5.1.1 相交线

一、学习目标

1、 理解邻补角和对顶角的概念，会用对顶角相等求角度；

2、 经历“两条直线相交所形成角的位置和大小关系”的比较，进一步认识邻补角和对顶

角，养成自主探索的学习习惯。 二、指导自学 （一）生活观察

观察图5.1-1， 如果握紧剪子的把手，就能剪开一张纸、 一块布，你能说出其中的道理吗？

我们把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题。 （二）两条直线相交所成的角

任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类。

分别量一下各个角的度数，各类角的度数有什么关系？

1、∠1和∠2有一条公共边 ，它们的另一边互为 ，∠1和∠2互 ，

像这样，有公共 点和一条 ，另一条边互为 的两个角，叫做邻补角

2、∠1和∠3有一个公共 ，并且∠1的两边分别是∠3的两边的 ，

像这样，一个角的两边分别是另一个角的两边的 ，这两个角叫做对顶角。 3、对顶角的性质

图5.1-2中，∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，可以得出 ，依据是

由此得出性质：

讨论 你能利用这个性质解释前面观察中的现象吗？ 探究

（1）两条直线相交，一共产生几个小于平角的角？ ；每个角的邻补角有几

个？ ；与其邻补角的数量关系是它们的和为 ；位置关系是 （2） 对顶角是否成对出现，如何寻找对顶角？ 三、教师讲解：

例1 判断下列说法是否正确，并举例说明： （1） 有公共顶点的两个角是对顶角。

（2） 有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。 （3） 有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。 （4） 相等的两个角是对顶角。

（5） 互为对顶角的两个角的余角相等。 （6） 顶点相对的两个角是对顶角。

（7） 有公共顶点且相等的两个角是对顶角。

（8） 两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。

（9） 两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。

例2 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， （1）写出∠AOC ，∠BOE 的邻补角；

（2）写出∠DOA ，∠EOC 的对顶角； （3）如果∠AOC=50o ，求∠BOD ，∠COB 的度数.

例3 如图，直线a 、b 相交，∠1=40o ，求∠2、∠3、∠4的度数。

例4 如图，点O 在直线AB 上，OC 为射线，∠1比∠2的3倍

少10O ，则∠1和∠2的度数分别为

四、当堂训练：

C A F B E

D O

b a

1 2 3 4 A B C O

1 2

（一）基本训练

1、如图，∠1和∠2为对顶角的是（ ）

2

1

2

1

2

1 2

1

2、若∠1与∠2为对顶角，∠3与∠2互补，∠3=60o ，则∠1= o

3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 、OF 为射线，

则对顶角有（ ）

A 1对

B 2对

C 3对

D 4对

（二）拓展训练

1、如图，直线a 、b 交于点O ，∠1=∠2

（1）∠3的对顶角有

（2）∠5的补角有

（3）∠3的补角有

（4）若∠1和∠4度数之比为1：4，求∠3及其邻补角的度数

2、如图，已知∠AOC=59o ，∠AOD=120o ，

问∠AOC 和∠AOD 是对顶角吗？为什么？

（三）回顾提升

思考：通过这节课的学习你有哪些收获？ 回顾交流，概括总结： 1． 2． 3． 4．

五、落实检测： 班级 姓名 学号

A C

B D b

a 1 2 3 4 O 5 E

A B C D F O

C

A D

B

O

1、下列命题中正确的是（）

A 有公共顶点且方向相反的两个角是对顶角

B 有公共顶点且相等的角是对顶角

C 两条直线相交成的角是对顶角

D 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角

2、如图，（1）如果∠1=60o，求∠2，∠3，∠4的度数.

（2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数.

3、如图，直线EF与AB相交于点G，与CD相交于点H，

（1）∠AGH的对顶角是；∠AGE与是对顶角，∠AGH与是邻补角，∠GHD的邻补角是

（2）若∠AGH=54o，则∠EGB= o；∠BGF= o；

（3）若∠1和∠2度数之比为5：4，且∠3比∠2度数的一半大10o，求∠3及其邻补角的度数

5.1.2 垂线（一）

H

E

A B C

D

G

F

1 2

3

第3题图

1

4

2

3

O

D

C

B

A O

D C

B

A 一、学习目标

1、了解垂线的概念，掌握两条直线互相垂直的表示方法。

2、会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。

3、理解并掌握垂线的性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。” 二、指导自学 （一）垂线的概念

在相交线的模型中，固定木条a ，转动b ，

当b 的位置发生变化时，a 、b 所成的角α也会发生变化， 当b 旋转到角α= o 时，a 与b 互相垂直。 垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 时，

就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做 的垂线， 它们的 叫做垂足。垂直是相交的一种特殊情形。

（二）垂线的表示方法

符号“⊥”读作“垂直于”，

如AB ⊥CD 垂足为O ，含义：直线AB 与直线CD 垂直，垂足为O 。

日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，你能举出例子吗？ （三）垂线的性质 1、用三角板或量角器画直线 l 的垂线，这样的垂线你能画出几条？

2、点与直线的位置关系有 种，点在直线 ，或点在直线 。 如图，过点A 画直线B C 的垂线。

讨论：由刚才的画图，你能得出过一点如何去画已知直线的方法吗？这样的直线有几条？ 经过一点，（已知直线上或直线外），能画出已知直线的 条垂线，并且只能画出 条垂线，由此我们得出垂线的性质。

3、垂线的性质：过一点有 条直线与已知直线垂直。 三、教师讲解：

l B C

A

C A

A B C 例1 判断下列说法是否正确，若错误，请说明理由：

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；( ) （2）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；( ) （3）两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；( ) （4）两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直； ( ) （5）过直线AB 外一点C ，画AB 的垂线，并使它过AB 上一点D ；( ) （6）过直线AB 上一点C ，画AB 的垂线，并使它过AB 外一点D ；( )

例2 如图，（1）过点A 画AD ⊥BC 垂足为D ；

（2）过点C 画出直线AC 的垂线； （3）过点B 画出直线AC 的垂线.

例3如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠1=26o ，

求∠2，∠3，∠4的度数。

例4 已知如图，点A 、O 、B 在一条直线上，OC 为射线，OM 平分∠AOC ， ON 平分∠BOC ，试确定OM 与ON 的位置关系。

四、当堂训练： （一）基本训练 1、找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验。 2、当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条

C M A O N

B 3 D

A B C E F O

1 2 4 C A D

B O

直线有什么位置关系？为什么？

3、如图，OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，则（ ）

A ∠1=∠2

B ∠2=∠3

C ∠1=∠3

D ∠1=∠2=∠3

4、如图，OB ⊥OD ，∠1:∠2=2:5，∠AOB 等于 o

5、如图，OA ⊥OB ，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为1:5，则∠COA= o ， ∠BOC 的补角= o .

（二）拓展训练

如图，∠AOB 与∠COD 有公共顶点O ，OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠AOB :

∠COD=3:17，求∠AOB 与∠COD 的度数.

（三）回顾提升

思考：通过这节课的学习你有哪些收获？ 回顾交流，概括总结： 1． 2． 3． 4．

五、落实检测： 班级 姓名 学号

A

C D O B 第3题图 第4题图 第5题图 A

B C O A B

C

O D 1 2 3 A C B O

D 1 2

1、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。

如图，请你过点P 画出线段AB 或射线AB 的垂线。

2、下列说法正确的是（ ）

A 过直线l 上的一点作l 的垂线不只一条

B 直线l 的垂线有无数条

C 如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直

D 过直线l 上的一点A 和直线l 外的一点B 画一条直线必与l 垂直

3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ，且∠EOD=3∠EOC.，求∠AOD 的度数.

5.1.2 垂线（二）

一、学习目标

1、了解垂线段和点到直线的距离两个重要概念。

2、理解并掌握垂线的另一个性质“垂线段最短”。 二、指导自学

C

E A B

D O B

A

P

B

A

P

B

O

l

（一） 垂线段：

如图，线段AO ⊥直线l ，线段AO 称为垂线段。

由此归纳垂线段的概念：

从 一点引一条直线的垂线， 和 之间的线段叫做垂线段。 （二）垂线段的性质

探究：如图，连接直线l 外一点A 与直线l 上各点O ，O 1，O 2，O 3…，其中AO ⊥l ，

比较线段AO 、AO 1，AO 2，AO 3…的长短，这些线段中， 最短。 由此你能得出什么样的结论？

连接 与 的所有线段中， 最短，简单说成“ ”。

练一练：在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何

挖渠能使渠道最短？

（三）点到直线的距离

直线外一点到这条直线的 的长度，叫做这一点到直线的距离。 讨论： 垂线、垂线段和点到直线的距离的区别是什么？ 三、教师讲解：

例1 如图，已知钝角?ABC 中，∠BAC 为钝角。 （1） 画出垂线段

（2） 过点A 画BC 的垂线 (3) 量出点B 到AC 的距离

例2如图，这是小明在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远的成绩是多少？（比例尺为1：150）

例3 如图，AC ⊥BC ，BC=8cm ，AC=6cm ，AB=10cm ，则点A 到BC 的距离是 ，则点B 到AC 的距离是 ，则点C 到AB 的距离是 . A

B C B

A A

B 河流P

例4 如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄。

（1）汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，

距离村庄M 最近；行驶到点Q 的位置时，

距离村庄N 最近；请在图中的公路AB 上

分别画出点P 和点Q 的位置；

（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的 哪一段路上距离M 、N 两村庄都越来越近？

在哪一段路上距离村庄N 越来越近？而离村庄M 越来越远？

例5 直线AB ，CD 相交于点O

（1）OE ，OF 分别是∠AOC ，∠BOD 的平分线，画出这个图形； （2）射线OE ，OF 在同一条直线上吗？

（3）画∠AOD 的平分线OG . OE 与OG 有什么位置关系？

四、当堂训练： （一）基本训练

1、下列语句中错误的是（ ）

A 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B 、垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条

C 、垂直于已知直线的垂线只有一条

D 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

2、如图，在一张半透明的纸上画一条直线l ，在l 上任取一点P ，在l 外任取一点Q ，折出过点P 且与l 垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q 呢？

A B M

N

l B

3、如图，①已知直角三角形ABC 中，∠C=90o ，BC=4cm ，AC=3cm ，AB=5cm ，则点

A 到BC 的距离是线段 的长，为 cm ，则点

B 到A

C 的距离是线段 的长，

为 cm ；

②画出点C 到线段AB 的垂线段，量出点C 到线段AB 的距离约为 cm

4、如图，三角形ABC 中，∠C=90o ，三角形ABC 的三条边AB ，BC ，CA 哪条边最长？为什么？

5、如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么A ，B ，C 三点

在同一条直线上吗？

（二）拓展训练

填空并在（ ）处填写理由

如图，AE ⊥CE ，EB ⊥AC 于B ，BD ⊥AE 于D ，

比较线段AB ，AC ，AD ，AE 的大小. 解：∵AD ⊥ BD

∴AD A B （ ） 又∵AB ⊥ BE

∴AB A E （ ）

∵ ∴A E ﹤A C （ ）

∴ ﹤ ﹤ ﹤ （三）回顾提升

思考：通过这节课的学习你有哪些收获？ 回顾交流，概括总结： 1． 2． 3． 4

．

A

B

B C C 第2题图

第3题图

第4题图

A B C D E

五、落实检测： 班级 姓名 学号

1、一同学要从A 点横穿马路，怎样走线路最短，你能把 最短的线路画出来吗？

2、如图，画AE ⊥BC ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F

3、如图，用量角器画∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ， 比较点P 到OA ，OB 的距离的大小。

4、如图，直线AB 、CD 交于点O ，∠EOC=130o ，EO ⊥AB ，垂足为O ，∠BOD 的度数。

A

C D A

B C E A B D

O A B O

5. 1. 3 同位角、内错角、同旁内角

一、学习目标

1、掌握识别同位角、内错角、同旁内角的位置关系的要领。

2、能在比较复杂的图形中，找出某个角的同位角、内错角、同旁内角，培养识图能力。 二、指导自学

观察 在用三角板和直尺画平行线过程中，观察三角板在初始位置和终止位置时两个角的关系，你能初步得到什么结论？

（一）识别同位角、内错角、同旁内角

1、同位角 （1）观察图中∠3与∠6的位置关系，写出它们位置上的特点：

在被截直线的 ，在截线的 （2）找出图中其余的同位角 。 2、内错角 （1）观察图中∠4与∠5的位置关系，写出它们位置上的特点： 在被截直线的 ，在截线的 ； （2）找出图中其余的内错角 。

3、同旁内角

（1）观察图中∠4与∠6的位置关系，写出它们位置上的特点： 在被截直线的 ，在截线的 ；

（2）找出图中其余的同旁内角 。 讨论（1）同位角、内错角、同旁内角是由 条直线构成的，它们之间有公共顶点吗？

5 3

1 2

7

A C

D B F

E 4

6 8 B D B

D 图1

如图2，∠1与∠2是 ；

∠3与∠2是 ； ∠4与∠2是 ；

转动木条a 或b ，这些角之间还保持这种关系吗？ 三、教师讲解：

例1 指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。

例2 如图，直线BC ，DE 被直线AB 所截. （1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？ （2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？

∠1和∠3互补吗？为什么？

例3 如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

它们各是什么角？

四、当堂训练：

（一）基本训练

1、如图所示，按各组角的位置，判断错误的是（ ）

A ∠1和∠2是同旁内角

B ∠3 和∠4是内错角

C ∠5和∠6是同旁内角

D ∠5和∠8是同位角

A

A

A

A

B B

B

C C C C D

D

D

E E

E

1 2

3

a b

B 2 3 7 1 4 5 6 8 第1题图 （1） （2）

（3）

（4）

2

3 1 D A B C

4 E A B C

D E 1

2 3 4 D A B C E 1 2 3 4

（1） （2）

2、如图所示，与∠α构成同位角的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4

3、分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角。

图（1）中：

图（2）中

4、如图，（1）∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？ ∠2与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们 分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

（二）回顾提升

思考：通过这节课的学习你有哪些收获？ 回顾交流，概括总结： 1． 2． 3． 4．

第2题图

α

1 2 4 a 3 b

第3题图（1）

第3题图（2）

c

a b

1 2 3 4

5

6 7

8

c

2

E

1 A D 第4题图

五、落实检测： 班级 姓名 学号 1、下列各图中的∠1与∠2，哪些是同位角？哪些不是？

是同位角的有： 不是同位角的有：

2、如图所示，∠1、∠3是直线 、 被 直线 所截而成的 角； ∠2、∠4是直线 、 被直线 所截 而成的 角.

3、如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角 是（ ）

A ∠AMF

B ∠BMF

C ∠ENC

D ∠END

1 1 1

1

2 2 2

2 （3） （1）

（2）

（4）

F

A

C

B D

E M

N

3

1

2 4 A B C D

b

5. 2. 1 平行线

一、学习目标

1、了解平行线的概念，知道在同一平面内两直线的位置关系；

2、掌握平行公理及平行线的画法，会用平行线的传递性进行推理。 二、指导自学

（一）平行线的定义和表示

思考：两条直线除了相交的位置关系外，是否还存在其它的位置关系？

活动1：如图1，分别将木条a 、b 、c 钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三

条直线．转动直线a ，想象一下在这个过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置？

这种位置关系叫做 ，你能给出它的定义吗？

b

a

c

c

b

a

b

a

c

活动2：观察咱们教室的棱：

问题一：有没有既不相交也不平行的两条？

问题二：如果有，请指出，并说明它们所在的位置有什么特点？ 问题三：能不能说“不相交的两条直线就是平行线”？

问题四：在什么前提下，不相交的两条直线就是平行线？ 记作： 读作： 归纳：在同一平面内．．．．．．

，两条直线的位置关系有

（二）平行线的画法

已知点P 是直线AB 外一点，经过点P 画一条直线， 使它与AB 平行.

忆一忆：在小学我们学过用直尺和三角板画平行线， 是怎样画的？ 归纳画法： 1、 2、 3、

图1

（三）平行公理及其推论 活动3：如图1， ① 在转动木条a 的过程中，有几个位置使得a 与b 平行？ ② 如图3，过点B 画直线a 的平行线，能画出几条？

再过点C 画直线a 的平行线，它和前面画出的直线平行吗？ ③ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这

两条直线平行吗？

如图，如果b ∥a ，c ∥a,那么b 与c 平行吗？

④ 经过上述问题的解决，你能得到什么结论？

平行公理： 经过直线外一点， 条直线与这条直线平行 平行公理推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么 三、教师讲解： 例1 判断

（1）不相交的直线叫平行线 （ ）

（2）两条直线的关系只有相交、平行两种 （ ）

（3）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系不相交就平行 （ ） （4）在同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段平行 （ ） （5）不相交的两条射线一定是平行的两条射线 （ ）

（6）两条线段平行，实际上是指它们所在的直线平行 （ ） （7）在同一平面内，不可能两条直线既不平行也不相交 （ ） 例2 如图，取一张长方形的硬纸片ABCD 对折，MN 是折痕， 把面ABNM 平摊在桌面上，另一个面CDMN 不论怎样

改变位置，总有MN ∥ ，MN ∥ ，

因此 ∥

例3 如图，在长方体中：

（1）找出与棱AB 平行的棱； （2）找出与棱AB 相交的棱； （3）设想将各条棱都延伸成直线， 能否找出与AB 既不平行也不相交的直线？

例4 如图所示的几何体中，上下底面都是平行四边形， 各个侧面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有( )

图3 c

a

b

M A

1

a C

B

A 1条

B 2条

C 4条

D 8条

四、当堂训练：

（一）基本训练

1、在同一平面内，一条直线与两条平行线的位置关系是（）

A 一定与两条平行线平行

B 可能与两条平行线中的一条平行，一条相交

C 一定与两条平行线相交

D 与两条平行线都平行或都相交

2、平面内三条直线的交点个数可能有（）

A 1个或3个

B 2个或3个

C 1个或2个或3个

D 0个或1个或2个或3个

3、读下列语句，并画出图形：

（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；

（2）直线AB，CD是相交直线，P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线相交CD于点E。

（二）回顾提升

思考：通过这节课的学习你有哪些收获？

回顾交流，概括总结：

1．

2．

3．

4．

五、落实检测：班级姓名学号

1、判断：

（1）不相交的两条直线叫平行线；（）

（2）在同一平面内，两条不相交的直线是平行线；（）

（3）在同一平面内，若两条线段不相交，则它们一定平行；（）（4）与同一条直线平行的直线必平行；（）

（5）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（）

2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M在边CD上，

（1）过点M作BC的平行线MN；

（2）MN与AD平行吗？为什么？

3．试利用平行公理（不是推论）说明：如果b∥a，c∥a,那么b与c平行。

M D C

A

c

a

b