2014年第10届IMC国际数学竞赛(中国赛区初

2014年第10届“IMC 国际数学竞赛”（中国赛区初赛）

The 10th IMC International Mathematics Contest (China),2014

五年级初赛试题 姓名_____________ 学校_____________

得分____________

一、填空题I （每小题6分，共60分）

1. 计算：20.14

0.4285710.810?? =_________； 答案： 7

解答： 原式=181338107907999

??=； 2. 计算：357911436144400900

++++=_________； 答案： 3536

解答： 原式=

419416925163625144991616252536-----++++????? 11136=-3536

=； 3. 右图是一个乘法竖式，那么三位数的乘数是_________；

答案： 928

解答： 1）2014=2014?1=1007?2，仅此两种可能； 2）由于14?4=56，14?5=70，十位不会是6， 被乘数不能是2014，必为奇数，即1007；

3）1007?8=8056，1007?9=9063，1007?928=934496；

故三位乘数为928。

4. 将1~7这七个数字不重复地组成一个七位数，且这个七位数的任意两个相邻数字所组成的两位数都可以表示

为两个一位数的乘积，那么这个七位数最大为_________；

答案： 7216354

解答： 1）含7的两位数只有27=3?9，72=8?9，故7只能与2相邻，且为了最大应放在首位；

2）易验证1只能放在2的后面，即为721□□□□；

3）1后面最大写6，即为7216□□□；

4）3、4、5中，5不能跟在6后面，3不能跟在4、5后面，4不能跟在3后面；

综上，最大为7216354。

5. 把1~81按照右表规律排列，那么与1和81所在一条斜线上的所有数之和为_________；

答案： 289 解答： 1）从1、9、25…可见奇数的平方都在1的右下45?方向， 故81在表格的最右下角； 2）1的左上45?方向都是“偶数的平方+1”，22+1~82+1； 故总和 =12+(22+1)+32+(42+1)+52+(62+1)+72+(82+1)+92 =(12+22+32+?+92)+4=289。

6. 如图，已知长方形ABCD ，长为8、宽为6，E 、F 、G 、H 为四边上的点，且

EF //GH //AC ，EH //FG //BD ，那么四边形EFGH 的周长为_________；

答案： 20

解答： 1）易知四边形EFGH 为平行四边形； 2）构造矩形IFCG ，易见EF +FG = AI +IC =AC ， 即四边形EFGH 周长为AC +BD ； IMC

A B C D E F G H

A B C

D

E F G

H I

3）根据勾股定理，AC 2=BD 2=62+82=102，即AC =BD =10cm ； 故周长为20cm ； 7.

甲、乙两人同时判断一个四位数是否为11的倍数。甲用正确的方法判断是11的倍数，乙误用“各位数字之和能被11整除”来判断，结果也判断是11的倍数。如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个数的最小值是_________； 答案： 2398 解答： 设这个数奇数位数字之和为a ，偶数位数字之和为b 则11|(a +b )，11|(a -b )，得到11|a 且11|b ； 又知11=2+9=3+8=4+7=5+6，故这个四位数最小为2398。 8.

如图，沿路线从A 点到B 点，每个点至多经过一次，共有_________种走法；（不需要最短路线） 答案： 64 解答： 1）C 、D 两点不能同时经过，故有2种选择； 2）A 到C 有22种方法，C 到B 有23种方法； 3）A 到D 有22种方法，D 到B 有23种方法； 故共有2?22?23=64种方法； 9.

某单位为不到100名员工发放福利，共有2014个苹果和4102个桔子，每名员工得到苹果一样多，桔子也一样多，且剩余的苹果和桔子数量相同，那么这个单位最多共有_______名员工； 答案： 87 解答： 设该单位共有N 名员工； N |(4102-2014)=2088=23?32?29， 最大N =3?29=87人，验证：2014=23?87+13，4102=47?87+13 10. 如图，两个同心圆，大圆面积为942cm 2，小圆面积为314cm 2，A 、B 、C 、D 分别是大圆周上的四等分点，那么阴影部分的面积为_________；（π取3.14）

答案： 143

解答： S 阴影=(S 正方形ABCD -S 小圆)÷2=(942÷π?2-314)÷2=143；

二、填空题II （每小题8分，共40分）

11. A 、B 两港之间相距48千米，水从A 流向B ，速度为5千米/时，甲、乙两船上午8:00同时从A 、B 两港出发，

相向而行，恰在两港中点两船相遇。乙船遇到甲船后立即返回B 港，到达B 港后又驶向A 港，离开B 港3千米又与甲船再次相遇，那么甲船到达B 港时刻为____:____；

答案： 9:36

解答： 设甲、乙在静水中速度分别为x 、y 千米/时，

55243243555x y x y y +=-??-?=+?++-?，解得{2535x y == 甲船顺流行驶48千米用时48÷(25+5)=1.6（时），即1时36分

所以甲到达B 港的时刻是8:00+1:36=9:36。

12. 如图，△ABC 中，AB =3BD ，AC =2CE ，连接BE 、CD ，形成的两个阴影三

角形的面积之差为5，那么两块空白面积相差为_________；

答案： 25

解答： 1）阴影面积差相当于△BCE 与△BCD 的面积差

S △BCE =13S △ABC ，S △BCD =14S △ABC ，S △ABC = 115()34÷-=60；

2）空白面积差相当于△ACD 与△BCE 的面积差 S △ACD =34S △ABC ，故面积差为3130()43

?-=25；

13. 将2?3的方格用红、黄、蓝、绿四种颜色染色（可以不全用），每格只染一种颜色，且要求每行两格颜色互不相同，每列三格互不相同，共有_________种不同染色方法； 答案： 264 解答： 1）先染第一列，有A 43=24种方法； 2）若第二列不含第四种颜色，则颜色与第一列对位错排，共有2种方法；

否则从三个位置选一个染第四种颜色，再选原来的三色中的两种，位置唯一，

共(1+2)?C 32=9种方法；

所以一共有，24?(2+9)=264种。

14. 甲、乙两人同时从环形跑道上A 点出发，背向而行。开始甲的速度4米/秒，乙的速度3米/秒，每当两人同时

回到A 点时，甲就把速度提高一半，但甲的速度极限是10米/秒，如果提速会超过极限他就改成减速一半。那么当第5次两人同时回到A 点时，甲一共跑了_________圈；

答案： 11

解答：

15. 有编号为A 1~2场即可被评为“优秀棋手”，那么最多会有答案： 4名

解答： 1）比赛的总场次6?3÷2=9场；

2）9÷2=4?1，故最多有4名优秀棋手（如果5名至少10场）；

具体构造： A 1胜A 2、A 3、A 4； A 2胜A 5、A 6，负A 1；

A 3胜A 5、A 6，负A 1； A 4胜A 5、A 6，负A 1；

A5负A2、A3、A4；A6负A2、A3、A4；