一个平面几何命题的应用

二次函数的应用(几何问题)

二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 【答案】 D 。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】根据题意得：y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如右图， ∵|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。 二、填空题 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求A B C y y y -的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2+4x+10。 ①∵y=x 2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2+4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴A B C y 15==5y y 107 --。 （Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b x 12a <=--。

由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。 连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。 过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点 F （x 2，0）。 则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴11 AA FA BD CD = ，即2 21x yA 1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴AG EG BD CD =，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2 +bx+c 上， ∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12 +bx 1+c ， ∴()()()211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 12 ＋x 1－2=0， 解得x 1=－2（x 1=1舍去）。 ∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴yA yB yC -的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、 y B 、y C 的值，然后计算A B C y y y -的值即可。

浅谈概率论在生活中的应用

单位代码: 分类号: X X 大学 题目: 浅谈概率论在生活中的应用专业名称: 数学与应用数学 学生: 学生学号: 指导教师: 毕业时间:

浅谈概率论在生活中的应用 摘要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用. 关键词:随机现象;概率;日常生活;应用分析

Discuss the application in life probability Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application. Keywords:random phenomenon; probability; daily life; application analysis

一次函数与几何综合(一)(讲义及答案).

一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．

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? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．

生活中的数学故事：生活中的几何图形

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了生活中的数学故事：生活中的几何图形，希望能给大家带来帮助! 曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行车铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一天的学习旅程;傍晚，伴随着回家的萨克斯乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书包回家。 随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是个多边形，复杂而又丰富。 果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影与花相映，人比花娇，花比人艳。恩，生活是个三角形! 书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部长方形的大块头都是我的挚爱。啊，生活还是个四边形! 田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，赏花开这时，我忽然感到：生活是五角形、六边形 在这么多形状中，我最喜欢圆形。 圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，最富有人情味，最富有诗意的图形。 我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆一样。所有学科我都要争做第一，语、数、外，理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要一争高下。 我富于想象、创造。每一道数学思考题我都想别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，就像圆一样，一个圆心，无数的半径。因为只有不停地想象，不断地创新，我们的未来才更宽广! 我广交朋友。手拉手的小伙伴，我有一大堆。陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我们的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使远在天涯海角。海内存知己，天涯若比邻，就像圆心与圆上的点一样，心心相印。 但愿人长久，千里共婵娟，人们祈盼团圆，追求团圆;人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。人不可能事事圆满，就像圆心是固定的，而半径是无穷的，是要我们自己去努力拓展的。 让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆吧!朋友，相信你一定能成功!

向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文 题目向量在解析几何中的应用 学生张红阳 指导教师孟令江副教授 年级10数本2班 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月

郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日

目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)

概率论的缘起、发展及其应用毕业论文开题报告

概率论的缘起、发展及其应用毕业论文开题报告石河子大学 毕业论文(设计)开题报告 课题名称:概率论的缘起、发展及其应用学生姓名: 学号: 学院: 专业、年级: 指导教师: 职称: 毕业论文(设计)起止时间:2015.1——2015.6 一、本课题研究的目的和意义 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类:一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，我们无法用必然性的因果关系对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象或者叫做随机现象。概率研究的即是这类不确定性现象发生的可能性的大小。 概率论发源于17世纪中叶, 对概率论的兴趣,本来是由于保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却是来自赌博者的请求。在概率论的系统理论产生之前，许多数学家已经认识到很多实际问题中的随机变量都是由大量相互独立因素综合影响形成的。而其中每一个个别的因素在总的影响中的作用都

是很微小的，这样形成的随机变量往往近似服从正态分布，从理论上来证明这个事实是一个中心问题，概率论就是围绕这个中心发展起来的。 一位哲学家曾经说过:“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。 在经济生活方面，保险业、金融业的风险预测更是与概率论密切相关。通过计算彩票中奖概率，我们发现只有极少数人能中大奖。在街头的一些赌博游戏，我们略加思考也会发现主持者每局赢的概率都会比较大。总之概率会让我们科学地思考问题使我们的生活更加理智。 总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。对于本课题的研究也有利于巩固我们对概率论知识的掌握，通过对这些知识的探讨，让更多的人认识并了解概率论，让人们能够自己用概率解决或解释生活中出现的一些随机现象问题，相信科学的力量而不再像以前一样仅凭常识和经验泛泛而谈，特别像经济中的买彩票问题。 二、本课题所涉及的问题在国内(外)研究现状及分析 概率论的第一本专著是1713年问世的雅各?贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中表述并证明了著名的“大数定律”。大数定律是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。由于保险事业和人口统计研究需要,19世

一次函数与几何图形的综合运用

富乐实验中学：魏世君 《一次函数与几何图形的综合运用》 教学目标：继续探索一次函数与几何图形的综合运用。 学情分析：学生已经学习和掌握了一次函数与一元一次方程、一元一次不等（组）、二元一次方程组有关的综合性问题；前面也探讨了一次函数与简单的几何图形的有关问题，具有一定的分析能力和解题能力。本节课是在已学过的类型上进行加深和变式，加入了几何的平移、折叠、运动性问题，渗透了分类讨论和化归思想。 教学重点：一次函数与几何变换的综合问题。 教学难点：一次函数与几何变换的综合问题。 教学过程： 一、知识回顾 1、一次函数的一般形式是 ，它的图象是 ，与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ； 2、待定系数法求一次函数解析式的步骤是 。 二、热身训练 例：如图，一次函数34 3+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ； （1）点A 的坐标是 线段OA= （2）点B 的坐标是 线段OB= （3）线段AB= ； （4）________AOB S ?=， （5）将直线AB 向下平移3个单位，此时直线对应的函数解析式为 变式训练：若点P 是直线AB 上的一个动点，当点P 在第一象限运动时， （1）求△AOP 的面积S 与自变量x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当3AOP S ?=，P 点坐标为 ，此时在x 轴上求作一点M ，使得BM+PM 的和最小，作出图形并求出点M 的坐标。

反思提炼： 师生活动：学生认真审题，教师用几何画板动态演示该题的运动过程，引导学生分析问题，得出解答过程。 三、自主探究：若以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角△ABC，求斜边所在直线的函数解析式。 反思提炼： 师生活动：学生认真审题，自主作图，在在小组内进行讨论，教师用几何画板动态演示作图过程，引导学生分析问题，得出解答过程。 四、合作探究：如图，若在x轴上有一点C，点H在y轴上，将△AOB沿AH折叠，使点B恰好与点C重合；（1）求出点C和点H的坐标； （2）在平面坐标系内确定一点D,使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，求出点D的坐标。 反思提炼： 师生活动：学生认真审题，自主作图，在在小组内进行讨论，教师用几何画板动态演示作图过程，引导学生分析问题，得出解答过程。对于分类讨论做到不重不漏。

研究性学习：数学几何在日常生活中的运用

数学几何在日常生活中的运用 研究小组成员：庄桂锋陈燕青蔡佳旋黄楚 丽黄燕铃郭莹莹林敏珊 李秀贤黄晓生黄健明董炜 濠郑杰森 研究小组组长：庄桂锋 指导老师：林丽芳 一、研究的背景： 在这个科技高速发展的时代中，高楼大厦林立，各种各样的交通工具如汽车等穿梭在街头，这些中都不乏几何图形的应用，几何图形已经成了生活的“常客”，到处都有它的影子，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。因此我们的研究性课题是数学几何图形在生活中的运用，希望通过这次小研究，提高我们的数学能力，能够在生活中自觉地运用数学知识。在我们现实生活中，涉及到很多复杂的数学问题，再复杂的问题也是由简单的知识点演变而来的，透过现象看本质，只要我们勤于思考，善于发现总结，那么会有很多意想不到的收获。 二、研究的内容： 例1. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明原因。 1）题意分析：联系实际，开沟时为使沟最短，应根据“垂线段最短”解题． 2）解题思路：过点C作CD⊥AB于D，CD 为开沟的位置． 解答过程：过点C作CD⊥AB于D，所以在点D处沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短。 解题后的思考：在解决实际问题时，应先将实际问题转化为“数学模型”，“如何开沟，使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最常见的垂线的性质的应用。 例2. 有一条输电线路横穿AB两村而过，A村和B村商量，准备在这条电路上合资安装一台变压器．现在的问题是：这台变压器在这条电路的哪个点上安装，才可使得A村跟B 村尽可能地节约成本（两村到变压器之间的路线最短）？

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?

浅谈古典概型与几何概型

浅谈古典概型与几何概型 在一种概率模型下，如果随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实验，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的。又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。这种模型称之为古典概型，它是概率论中最直观和最简单的模型。因此一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。相应地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型。几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关。具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型。关于几何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G 的度量之比，即P=g的测度/G的测度。 古典概型讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每

个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。然而当随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。此时事件A的概率计算公式为： 用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法。 典例透析 几何概型两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。求两人能够会面的概率。 解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用 表示每次试验的结果，则所有可能结果为： ； 记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用 向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系. 利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式； 2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量； 3.借助于向量的运算解决问题. 共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b a λr r ＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置． 相关结论： 1.平面上三点A B C 、、共线?AB BC λu u u r u u u r ＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．) 2.点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点?1OP OA OB 2u u u r u u u r u u u r ＝＋． 3.平面上三点A B C 、、共线?O 为不同于A B C 、、的任意一点，OC OA OB λμu u u r u u u r u u u r ＝＋且1.λμ＋＝. 应用一：应用向量知识证明三点共线 例1：如图已知△ABC 两边AB AC 、的中点分别为M N 、，在BN 延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 延长线上取点Q ，使MQ CM =. 求证：P A Q 、、三点共线11,22AN b AM a ==u u u r r u u u u r r 解：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则， 由此可得12BN NP b a ==-u u u r u u u r r r ，12CM MQ a b ==-u u u u r u u u u r r r ， ,()PA AN NP PA b a a b ∴-=+=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,()AQ AM MQ AQ b a a b -=+=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u r r r r r ， 即PA PQ =u u u r u u u r ,故有//PA AQ u u u r u u u r ，且它们有公共点A ， 所以P A Q 、、三点共线. 应用二：应用向量知识解决有关平行的问题 例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形. 已知：如图，四边形ABCD E F G H AB BC CD DA ，、、、分别是、、、的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所 对应的向量相等. 证明：连接AC,Q E F AB BC 、分别是、的中点， ∴11++22EF EB BF AB BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11+22AB BC AC =u u u r u u u r u u u r （）=, 同理12 HG AC =u u u r u u u r ∴EF HG =u u u r u u u r //.EF HG EF HG =则且 ∴四边形EFGH 是平形四边形.

浅析概率论在经济学中的应用

浅析概率论在经济学中的应用 摘要 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本文将通过实例来讨论概率统计知识在经济活动中的具体应用。 关键词:概率论与数理统计经济学应用数学化 经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而R数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者，比如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论(王文华，2007)；同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学可以说起到-r非常大的推动作用。甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用．如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用(史树中。2002)，因此概率论在经济学巾有十分广泛的作用。 一、概率论与经济学结合的原因 从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0，1)之间，这符合经济现象的现实．经济学强调经济现象要用

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y

几何模型在现实生活中的应用

天津师范大学 本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用 学号： 02505075 姓名：刘静 专业：数学与应用数学 年级： 2002级 学院：数学科学学院 完成日期： 2006年5月 指导教师：张智广

几何模型在现实生活中的应用 摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些． 关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化

The Application of Geometrical Model in Our Daily Life Abstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models. Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify