7向量组的Schmidt正交化
a1,a2,a3是规范正交向量组,
竭诚为您提供优质文档/双击可除a1,a2,a3是规范正交向量组, 篇一：第三讲向量组 第三讲向量组 --------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。 向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。 向量组主要分三大部分： ■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性； ■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质
及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系； ■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化： 正交阵及其性质。 教材:第四,第五章第1节。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 一、主要内容 1、向量及其线性运算 ----概念 ------------------------------------------ （1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组； （2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算 ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)， 称为向量的线性运算； （3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数 k1,k2,,kn，使得有 bk1a1k2a2knan，
施密特正交化)
施密特正交化 在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram －Schmidt 正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram 和Erhard Schmidt 命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace ）和柯西（Cauchy ）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition ）。 在数值计算中，Gram －Schmidt 正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍 入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens 旋转进行正交化。 记法 ：维数为n 的内积空间 ：中的元素，可以是向量、函数，等等 ：与的内积 ：、张成的子空间 ：在上的投影 基本思想
图1 v 在V2 上投影，构造V 3 上的正交基β Gram-Schmidt 正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造 一个新的正交基。 设。V k 是V n 上的k 维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k 上。由投影原理知，v 与其在V k 上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η1,..., ηk+1 }就是V k 在v 上扩展的子空间span{v, η1 ,..., ηk}的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组{v1,...,v m}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不妨设为v1 ）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v1}就是span{v 1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt 正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 ?：维数为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、函数，等等 ?：与的内积 ?：、……张成的子空间 ?：在上的投影 基本思想 Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不 在上。由投影原理知，与其在上的投影之差
是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即 那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。 根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为
于是就是的一组标准正交基底。 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。 例如，在实向量空间上，内积定义为： 在复向量空间上，内积定义为： 函数之间的内积则定义为： 与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 C语言程序如下： #include Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令 ;11αβ= 11 11 22,,ββββααβ-=; (1) 22 2231111333,,,,ββββ αββββααβ-- =; (11) 11 22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ . 则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1 i i i ββγ= s i ,.2,1 = 则},,,{21s γγγ 为规范正交组. 将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k k k i ik t βββα,,= ,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k {}, ,,2,1,s j i ∈? 有 ∑∑-=-=++= 1 1 1 1 ,,j k j k jk i k i k ik j i t t ββββαα()???? ? ?? ? ?? ??? ????????? ? ? =-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令??????? ? ? ?=---10 001001011,2,2,11,1,121 s s s s s s t t t t t t T 则 T T s s s s s s s s s s s s s s ??????? ? ??=????? ? ?? ? ?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0 00 0,0000,0 000,,,,,,,,,,,,,1 12211/2 1 1211122 21 212111 上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中 间 的 对 角 阵 是 s βββ,,,21 的Gram 矩阵.即 有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 = 因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 == 注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）. 例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则 （1）()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2） )?设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性 表示: s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到 第1行，s i ,,3,2 =得 ( )s s s s s s i s i i s s i i i s i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21 22 21 22 12 2 212 1 1121 ∑∑∑===---= 0= )?法一：由上页证明推理过程立即得证。 法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使 一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。 22 )()1()(x n n x n n e dx d e x H -?-= )()(x n n n x n e x dx d e x L -??= n n n n n x dx d x P )1(!21)(2-?= Tn(x)=cos(narccosx) 施密特正交化方法： 已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。 01=∑=n i i i b c 解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。 [] [] []???? ? ?????====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1 则U 2应有如下表达式： 1111222U U U U b b U T T -= 此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下： 0),(11111 2121212=-==T T T T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下： 222231111 333U U U U b U U U U b b U T T T T --= 例4-13 证明)0,21,21(1=α ，)0,2 1 ,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基． 分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明： （1）证明所给向量两两正交． 000)2 1(21212121=?+- ?+ ?= ?αα ，所以，1α 与2α 正交； 01002 102131=?+?+ ?= ?αα ，所以，1α 与3α 正交； 0100)2 1(02132=?+?- +?= ?αα ，所以，3α 与2α 正交； 有以上证明可知，所给向量1α 、2α 、3α 两两正交． 又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α 、3α 是R 3的一组正交基． （2）证明1α 、2α 、3α 的长度都是1． 10 )2 1( )21(2 22 1=++= α ； 10 )2 1()2 1( 2 22 2=+- += α ； 11002 2 2 3=++= α ． 有以上证明可知，所给向量1α 、2α 、3α 是R 3的一组标准正交基． 例4-14 设)3,2,1(=α ，)3,1,4(-=β 是R 3中的向量， 试求α 在β 上的投影向量，投影长度；β 在α 上的投影向量和投影长度． 解：βα ?=1×4+2×(-1)+3×3=11， 14321222=++=α ， 263)1(42 22=+-+=β ， α 在β 上的投影向量为 )3,1,4(2611)3,1,4()26(112 21-=-=?=ββ βαγ α 在β 上的投影纯量，或称为投影长度为 26111=?=β βαγ β 在α 上的投影向量为 )3,2,1(1411)3,2,1()14(112 22==?=αα βαγ β 在α 上的投影纯量或称为投影长度为 施密特正交化 在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram与Erhard Schmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa deposition)。 在数值计算中,Gram－Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。 记法 ?:维数为n得内积空间 ?:中得元素,可以就是向量、函数,等等 ?:与得内积 ?:、……张成得子空间 ?:在上得投影 基本思想 图1 v在V2上投影,构造V3上得正交基β Gram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。 设。V k就是V n上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。由投影原理知,v 与其在V k上得投影之差 就是正交于子空间V k得,亦即β正交于V k得正交基ηi。因此只要将β单位化,即 那么{η 1,、、、,η k+1 }就就是V k在v上扩展得子空间span{v,η 1 ,、、、,η k } 得标准正交基。 根据上述分析,对于向量组{v 1,、、、,v m }张成得空间V n,只要从其中一个向量(不 妨设为v 1)所张成得一维子空间span{v 1 }开始(注意到{v 1 }就就是span{v 1 }得正交 基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到V n得一组正交基。这就就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基得顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化得过程如下: 这样就得到上得一组正交基,以及相应得标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量得集合,欧氏空间上内积得定义为 #include 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ?：为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、，等等 ?：与的 ?：、……张成的 ?：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正交 基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量（不 妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 }的正交 基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为 矩阵的分解与正交阵之间的联系 摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，QR 分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。 关键词：分解 矩阵 正交阵 正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。 定义1： ()n n ij A a R ?=∈ , A A E '=, 则A 称为正交阵。 定义1'：()n n ij A a R ?=∈， ( I ) 11221 i j i j in jn a a a a a a ?++=?? i j i j =≠ ,1,2,,,1,2,,i j n i j n == ( II ) 11221 i j i j ni nj a a a a a a ?++=?? i j i j =≠ ,1,2,,,1,2,, i j n i j n == (III) 1 A A -'= 在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目。 TH1：（02年高代试卷）设A 是可逆的n 阶实方阵。求证：存在正交阵U ，正定阵T ，使 A=UT ，且这个分解式是唯一的。 证明： A 可逆， ∴AA '正定 从而存在正定阵T ， 使2 AA T '= 121 ()[()]A A T A T T U T --''=== 即 1 ()U A T -'= 则 1 11 2 111 ()() ()()U U A T T A A T A A A A A E ------''''''==== 现假设A 还有另一分解，即A=UT=US 则 1 UU ST -'= ，U 为正交阵，而U 的特征值为实数且是正的 1 1 1 1 22 2 21()()T S T T T S T - -∴= 可对角化 即 1 E S T -= S T ∴= ∴分解式是唯一的。证明完毕。 上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。 推论1：设A 是一个n 阶实可逆矩阵，A=PU 是极分解，其中P 是正定矩阵，U 是正交矩阵，则 AA A A PU UP ''=?=。 第一讲 Ⅰ 授课题目： §5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量 ??????? ??=n x x x x 21，?????? ? ??=n y y y y 21， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,. 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+. 例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，???? ?? ? ??--=56 03β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x = []2 2221,n x x x x x ++= ，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=； ③ 三角不等式 y x y x +≤+. 向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2 ?≤ 由此可得 [] 1 ,≤y x y x （当0y ≠x 时） 于是有下面的定义： 当0≠x ，0≠y 时， [] y ,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角. 二、正交向量组 当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关. 证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ， 2010-12 教研论坛 浅谈正交矩 阵的求法 管茂年 1.引言 k ξ， k ，k 取遍数域P 中不含零的全部数 T′T 2 2 1 2 （3）再通过合同变换（）求得正交 矩阵是线性代数中的核心内容，而正对，再用特征向量值 代入，得到 T 1 1 1 矩阵U. 交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换 4x -2x -2x 0 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 它的基础解系是 -2x +4x -2x 0 1 理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -2x -2x +4x 0 1 1 1 在线性代数中，而且在理工各学科领域的 1 1 2 3 1 1 例 2.设 A ，则f （x） 1 1 A 1 -1 1 1 1 -1 数学方法中，如优化理论、计算方法、信息因此，属于 5 的一个线性无关的特征1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两向量就是ξε +ε+ε 1 1 3 1 2 3 3 种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正 即方程（αE-A）X 0 的一个基础解系xE-A （x -2）（x +2），通过解相应的齐次 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题 1 1 1 1 0 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 是： α，α，α 1 （1） 1 2 3 1 1 1 施密特正交化 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ：为n的内积空间 ：中的元素，可以是向量、，等等 ：与的 ：、……张成的 ：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正 交基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量 （不妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 } 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为向量正交化
施密特正交化方法
§4.4 向量的正交化
施密特正交化)
施密特正交化求标准正交基
施密特正交化)
矩阵的分解与正交阵之间的联系
第一讲正交向量组及施密特正交法
浅谈正交矩阵的求法
施密特正交化