第二讲 根式方程

第二讲 根式方程

未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．

解含未知数的二次根式一般步骤：

（1）移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；

（2）两边同时平方，得到一个整式方程；

（3）解整式方程；

（4）验根．（特别是存在增根的话要舍掉）

增根：是平方后的整式方程得解但是原根式方程至少有一个根式无意义，所以并非是原根式方程的解。

一、填空题

1.已知方程5x －3m ＝x 3

＋m 有一个根是x ＝3，那么m ＝ ．

2.方程x ＋10－

6x ＋10

＝5的解 ．

3.方程52x ＋3－2x －3＝0的解 ．

4.方程x ＋3x ＋1－3＝0的解 ．

二、选择题

5、以下无理方程有实数根的是 （ ） A 、x x -=+6 B 、0112=+-x C 、523=-+

-x x D 、123=---x x

6、如果0,0>>y x ，且xy y x =-23，则

x

y 的值可能是 （ ） A 、49- B 、1 C 、49 D 、以上都无可能

7、下列判断错误的是 （ ） A 、方程15-=+x x 没有负数根 B 、方程22+=+x x x 的解的个数为2

C 、方程x x -=+39没有正数根

D 、方程04

)3)(2(2=-+-x x x 的解为3,221==x x

8、以下判断错误的是 （ ）

A 、含有根号的方程不一定是无理方程

B 、无理方程的根一定是无理数

C 、如果a x =不适合于无理方程，那么就称a x =是该方程的增根

D 、无理方程的根需检验，检验时只要考虑每个根式是否有意义即可

三、解答题

9、解方程 23152x x ++=

10、131345+=+-

x x x

11、044226322=++---x x x x

12.解方程:

2x －1x ＋1－x ＋12x －1＝32

13.解方程: x＋1－x－1

x＋1＋x－1

＝2－x

14.解方程: (x＋1＋x)2＋5－6(x＋1＋x)＝0

15、解方程

16、解方程

17、解方程

18、解方程

19、解方程

20、解方程

作业：

1、 若关于x 的方程11=+-m x 没有实数根，那么_________m

2、 方程232222-=-+x m m x 有一个解是1=x ，则__________=m

3、方程0544332=-?-?-x x x 的实数根的个数是________个

4、056=-++--y x y x 的解是______________

5、若2)1(=-+?+y x y x ，则_________=+y x

6．解下列方程：

x =- 7x = 2x -=

7．解下列方程：

1=+ 1=

8．用换元法解下列方程：

(1) 120x -+= (2) 236x x ++=

(3) 23x += (4) 22415

x x -+=

二次根式与带有二次根式的方程

课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简：113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算（1）1211 2632122 3336 ---- （2）2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> （3）()ab ab a ab a b a ab --÷ -+（其中a>0,b>0，a ≠b ） 化简求值 化简求值时，一般是要把原式化简到最简，然后再代入求值 例2、已知223 a =+，求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、（1）已知，求2232421 x x x x --+- （2）11,5353 a b = =-+，求2 ()a b +的值。

（3）如果11123 a b -=+，32a b -=-，那么a 、b 两数有什么关系？为什么？ 0的形式 一般情况下a （0a ≥）当一个式子中含有a a +-或a a --时，则a=0， 例3、若x 、y 为实数，已知22448 2 x x y x ---+=-，求3x y - 思维训练3、（1）若x 、y 为实数，且1 12214 y x x =-+-+ ，求；2x y + （2）已知a 、b 是实数，且，解关于x 的方程 （3）已知3 303 x y -+-=，求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式，（其中a 、b 、c 为常数） 当 里面含有二次根式时，一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简（1）526+ （2）743-

二次根式与带有二次根式的方程

课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简：113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算（1）121126*********- --- （2）237(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> （3）()ab ab a ab a b a ab -- ÷-+（其中a>0,b>0，a ≠b ） 化简求值 化简求值时，一般是要把原式化简到最简，然后再代入求值 例2、已知223 a =+，求22216881644a a a a a a a -+-+--- 思维训练2、（1）已知，求2232421 x x x x --+- （2）11,5353 a b ==-+，求2()a b +的值。 （3）如果 11123a b -=+，32a b -=-，那么a 、b 两数有什么关系？为什么？ 0的形式 一般情况下a （0a ≥）当一个式子中含有a a +-或a a --时，则a=0， 例3、若x 、y 为实数，已知224482 x x y x ---+=-，求3x y - 思维训练3、（1）若x 、y 为实数，且112214 y x x =-+-+，求；2x y +

（2）已知a 、b 是实数，且，解关于x 的方程 （3）已知3303x y -+-=，求22311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式， （其中a 、b 、c 为常数） 当里面含有二次根式时，一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简（1）526+ （2）743- 带有二次根式的一元一次方程 例5、解方程2123x x -=+ 思维训练5、解方程5335x x -=+ 带有二次根式的一元一次不等式 求出的不等式解集要满足被开方数大于等于0 例6、解不等式 25314731x x x x -+->-+- 思维训练6、解不等式 315235x x x x --+-<++- 带有二次根式的一元一次不等式组 例7、解不等式组 31(32)2718 x x x ?->??-<-?? 解方程组321232 x y x y ?-=??-=?? 带有二次根式的一元二次方程 例8、2(23)30x --= 思维训练8、（1）2(32)30x --= （2）2(25)40x +-= 2、巩固练习 一、填空题:

二次根式和一元二次方程综合测试题

姓名: 、选择题（每小题 2分，共 1 .函数y = J x -9中自变量 A. x> 0 B .x >0 二次根式和一元二次方程综合检测题 （本卷满分120分; 20 分) x 的取值范围是（ C . x>9 2.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ 测试时间100分钟） 分数: .x > 9 2 2 A. x -2x -1 =0 B . x -2x +3 =0 x 2 243x-3 D . X 2 -4x + 4 = 0 3.下列运算正确的是（） A . + yf 2 = B .寸3 X 42 = J 6 e -1)2 =3-1 D .加-32 =5-3 2 4.方程x =0的解的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.1 5、如果关于x 的方程ax 2+x - 1=有实数根，则a 1 1 1 -B.a >- - C.a -且 a 丰 0 D.a >- 4 4 4 x 2 — 7x + 12 --- 9一 的值为0，则x 的值为( ) x 9 或2 的取值范围是 A.a >- 6、若分式 A.3、4 B . —3、一 4 C.3 D.4 7.关于x 的一元二次方程 X 2 +nx+m =0的两根中只有一个等于 1 -且 a z 0,则下列条件正确的是（） A. m=0, n=0 B. m=0, n^O C. mHO, n=0 D. mHO, n^O 8. 已知关于x 的方程（a 2 - 1） x 2 - （ a + 1 ） x + 1 = 0 的两实根互为倒数，则 a 的值为（） 入±眾 B 、-眾 C D - 1 9. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是 A. x （x + 1） = 18 B. x （x 10 .某商品连续两次降价， 每次都降 () 1) = 182 C. 2x ( x + 1) = 182 20%后的价格为 m 元，则原价是 182件，如 D. x (x — 1) = 182 X 2 ) A. m 元 B.1.2 1.22 二、填空题（每空 2分, 共 20 分) 1.方程(x + 2)(x — 1)=0的解为 3.化简兽 5.当a C. 元 0.82 D.0.8 ；2.当 a= V 3 时，贝U J l5 + a 2 4.在实数的范围内分解因式 4 - x -9 时，方程（a 2 — 1）x 2 + 3ax + 1 = 0是一元二次方 程

完整版二次根式及一元二次方程专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》 、选择题 1.估算V31-2的值（ ） A . 在 1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 已知方程x 2 +bx+a=0有一个根是-a （ aM 0）,则下列代数式的值恒为常数的是（ ） C 有两个相等的实数根 D .有两个不相等的实数根 5.武汉市2016年国内生产总值（GDP 比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危 机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为X%,则X%满足 的关系是（ ） 12%+7%=x% B ( 1+12%)( 1+7%) =2 (1+X%) 12%+7%=2?x% D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2 D . 关于x 的方程（a -5） x 2 -4x - 1=0有实数根，则a 满足（ ） b 是方程x 2+x - 2016=0的两个实数根，则a 2 +2a+b 的值为（ ） 2. 要使与'恵. ］有意义，贝U x 应满足（ ） A . B. x< 3 且 xM 寺 C. y Vxv 3 D.吉Vx<3 3. A . ab B. C. a+b D . a - b 4. 已知a , b , c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ） x 2 +2cx+ （a+b ） =0的根的情况是 A .没有实数根 B ?可能有且只有一个实数根 A . C. 6. A . B. C. 下列各式计算正确的是（ （1杜=寸石^在=7^ （av 1） 引2?+ 3 込+3=5 1-a 1-a 7. A . a > 1 B . a > 1 且 aM 5 C. a > 1 且 a ^5 D . a ^5 设a , A . 2014 B . 2017 C. 2015 D . 2016

二次根式与一元二次方程

初三数学测试题 班级：________ 姓名：_________ 一、选择题 323.1.2.7..1a b D x C m B A +-） （式的是下列各式一定是二次根 2. （2010广东茂名）若代数式21 --x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．21≠>x x 且 B ．1≥x C ．2≠x D ．21≠≥x x 且 3．方程2(2)310m x mx -++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A 2m ≠± B 2m = C 2m =- D 2m ≠ 4. 下列方程中是一元二次方程的有（ ） ①322 x x = ②)1()1(+=-x x y y ③ 442 2x x = ④22262x y y x +=+- A ． ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 5. 下列各式正确的是 （ ） A ．a a =2 B ．a a ±=2 C ．a a =2 D ．22a a = 6. 若1＜x ＜2，则()213-+-x x 的值为（ ） A ．2x-4 B ．-2 C ．4-2x D ．2 7. 若1x 、2x 是方程2 350x x +-=的两个根，则12x x ?的值为（ ） A.3- B.5- C.3 D.5 8. 已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B C ．1 5 D ．以上皆不对 9. a ≥ ） ． A C ． 10. 若x y ==xy 的值是（ ） A ． B ． C ．m n + D ．m n -

11.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ） A ．b=﹣1，c=2 B ．b=1，c=﹣2 C ．b=1，c=2 D ．b=﹣1，c=﹣2 二、填空题 1.一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数 与 _之间。 2.若20n 是整数，则正整数n 的最小值为 3.方程x （x ﹣2）=x 的根是_________________________． 5. 若0

一元二次方程与二次根式

初三数学周末练习 9.22 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） 22222113(1)2(1) 200 21A x x B C ax bx c D x x x y x +=++-=++=+=-．． ．． 2．关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m +++-30-=有一个根是0，则m 的值为（ ） A ．m=3或m=－1 B.m=－3或m= 1 C ．m=－1 D ．m=－3 3．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≠-2 B 、x<3且x ≠-2 C 、x ≤3且x ≠2 D 、x ≤3且x ≠-2 4.下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是 （ ）A 、12 B 、18 C 、 19 D 、8 5.化简200720082)2)?的结果为（ ）A 、–1 B 、23- C 、23+ D 、 23-- 6.已知方程x 2－2ax+a 2+a=1有两个实数根，化简122+-a a 结果是（ ） A 、a+1 B 、1-a C 、-a-1 D 、a-1 7.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是（ ） A 、x ≥4 B 、x 是任意实数 C 、x ≥1 D 、1≤x ≤4 8．已知关于x 的方程221(3)04 x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数（ ） A ．2 B ．－1 C ．0 D ．l 9．用换元法解方程2()6x x -=＝y ，那么原方程可化为（ ） A.y 2＋y －6＝0 B.y 2＋y ＋6＝0 C.y 2－y －6＝0 D.y 2－y ＋6＝0 10．若t 是一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0)的根，则判别式Δ=b 2－4ac 和完全平方式M=(2at+b)2的关系是（ ） A ．Δ=M B ．Δ＞M C ．Δ＜M D ．大小关系不能确定 11．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=__________. 12．如果在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为______________。 13．代数式22418x x -+-有最________值为________。 14．()()05422222=-+-+y x y x ,则=+22y x _________。 15．当k 时，方程210kx x -+=有两个不相等的实数根。 16．某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是 。 17．等腰△ABC 中，BC=8，AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m= 0的两根，则m 的值是________. 18.计算：20- （2）12)3 23242731( ?--

高次方程求根公式的故事

高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大

二次根式和一元二次方程知识点

二次根式 1、二次根式 )0(≥a a a 必须是非负数。 2、最简二次根式 （1）被开方数不含分母 （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 3、同类二次根式 化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 4、非负数 （1）0≥a （2）0≥a （3）02 ≥a 一元二次方程 1、一元二次方程的一般形式：)0(02 ≠=++a c bx ax ， 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不但在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。但要在容易配方的一元二次方程中用配方法解。 （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 这种方法简单易行，是实际问题中解一元二次方程最常用的方法。 注意：右化0，左分解 3、根的判别式ac b 42-=? （1） 当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； （3） 当042<-ac b 时，方程没有实数根； 4、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。 5、常见的代数式的变形 （1）2 1212111x x x x x x +=+ (2) 2122122212)(x x x x x x -+=+

二次根式和一元二次方程

二次根式全章练习 姓名 一、认真填一填： 1、当x 时，根式1-x 有意义。 2、在实数范围内，因式分解a 2 – 3 = 3、化简：=8 ，=971 ， 4、如果化简后的二次根式 — 7535321-+x x 与 是同类二次根式，则x= 5、（1）()2π3-= ，（2）若a >b ，则 2)(a b - = 6、如果5-a +2-b = 0，那么以a ，b 为边长的等腰三角形的周长是 7、计算：（20072007)154()415-?+= 8、小明和小芳在解答题目：“先化简下式，再求值：a+221a a +-，其中a=9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+（1-a ）= 1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17。则 的解答错误，错误的 原因是 。 二、精心选一选： 9、下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 、12+x B 、32y x C 、12 D 、5.0 10、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A 、122与 B 、183与 C 、182与 D 、93与 11、10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 12、把a a 1-根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（ ） A 、a B 、-a C 、-a - D 、a -

三、耐心解一解： 13、计算 （1）375-12532272-+ （2）)21218(3+-? （3）x x x x 1246932-+ （4）（2)23()12)(12-+-+ 14、王师傅有一根长45米的钢材，他想将它锯断后焊成三个面积分别为2米2，18米2，32米2的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由。 15、已知y=41221+-+-x x （1）求x 、y 的值。 （2）计算xy y x 1624-+ 16、已知x=2+ 3 ,y=2－ 3 ， 17、已知x ＋1x =4,求x －1x 的值。 求x 2-xy+y 2的值。

元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 20,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为x =. 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程.于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题.有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠.当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式.如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根. 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根. 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算.这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积.” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法. 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ② 的求解公式，如二次方程①的求根公式那样.众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃

二次根式和一元二次方程计算题

二次根式和一元二次方程 计算题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

计算题练习 一、计算： 1）2)5423(- 2）)532)(532(-++- 3 ） ?÷ ? 4 ） 1- 5 ） 02)+ 6）20072007)223()223(-?-- 7）当a ＝2＋3，b ＝2－3时，求 a+ab ab+b ＋ab －b a －ab 222)6()12()21().8(---+- )455 112()3127).(9(+--+

10)； 11 二、解方程 1、用适当方法解方程 （1）01322=+-x x （2）01322=++x x （3）06242 =--y y （4）05922=-+a a （5）01832=--x x （6）0101162 =++-x x 7）02522=-+）（x （直接开平方法） 8）0542 =-+x x （配方法） 9）025)2(10)2(2 =++-+x x （因式分解法） 10）03722=+-x x （公式法）

11）036252=-x 12）0223)12(22=-+-+x x 13）0)4()52(2 2=+--x x 14）（4x ＋3）(5-x)=0 15）(x- 1)+2x(x-1)=0 16）2x 2-4x-5=0 17）－3x 2 -4x ＋4=0（配方法） 18）x(x ＋6)=7 19）2（x －3）2＋x 2 =9 (分解因式） 20）（配方法解）04122=--x x 21）（配方法解）01522 =--x x 22）（公式法解）02852 =+-x x 23）（公式法解）032)22(2=-++-x x

一元高次方程的求解

一元高次方程的求解 求解一元高次方程曾是数学史上的难题。让你去求解一个一元一次，二次方程方程也许是简单的，但三次，四次或者更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。让我们一起来看一下数学努力的成果。 n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++=① 的求解公式，如二次方程20(0)ax bx c a ++=≠②的求根公式那样。众所周知，方程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个n 次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。

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1 / 15 二次根式小结与复习基础盘点 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如 a （a___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式 . 定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如 4 是二次根式； （2）形如b a（a≥0）的式子也叫做二次根式； （3）二次根式 a 中的被开方数 a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、 分式，但必须满足 a ≥0. 2.二次根式的基本性质 （1） a _____0（a___0）；（2） 2 a ＝a ＝_____（a ___0）；（ 3） a2 ___ a __ 0 ；___ a __ 0 （4）ab_________（a___0，b___0）；（ 5） a （ a， ____________0 b b___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含 ___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都 _____. 4.二次根式的乘、除法则： （ 1）乘法法则：a·b=（a___0， ___0）；（2）除法法则：a b b （a ___0，b___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用 _______ a2a a a0 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； a a0 （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应 运用积的算术平方根的性质将其进行化简 . 5.同类二次根式：几个二次根式化成 ______后，如果 _____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 . 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 _____，然后把_______进行合并 . 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是 _____，第二步是 ____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变； （2）不是同类二次根式的不能合并，如：35 ≠ 8 ；

二次根式一元二次方程

二次根式一元二次方程 （二次根式、一元二次方程） 班级_____________ 姓名_______________ 学号_______ 一．填空题（每小题3分，共27分） 1、根式a －3有意义的条件是___________________． 2、关于x 的方程()023112=+-++x x a a 是一元二次方程，则a 的值是________． 3、化简：＝2 22c b a ___________． 4、1=x 是方程()0212=--+a ax x a 的一根，则a ＝_________． 5、配方：()2 2__________3+=++x x x ． 6、某服装原价为200元，连续两次涨价a ％后，售价为242元，则a ＝________． 7、一个等腰三角形的两边分别为1和2，另一边是方程0652=+-x x 的解，则那个三角形的周长是_________________． 8、写一个以1和2为两根的一元二次方程_______________________． 9、如图，在一个长和宽分别是10和6的矩形草地中修两 条同样宽的小路，设小路的宽为x ，则空白部分的面积是 ________________（用含x 的代数式表示）． 二．选择题（每小题3分，共24分） 1、下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A ．01322=+-x x B ．()()22122x x x =-+ C ．0122=-x D ．02=++c bx ax 2、下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．23a B ．18 C ．abc D ． 3 2 3、下列运算中，错误的是（ ）

5次方程根式解的历程

5次方程根式解的历程 16世纪发现三次、四次代数方程的根，它们都可以表示为方程系数（通常为有理数）的加、减、乘、除以及开方来表示，这样表示的根称为方程的根式解。有没有五次、六次或更高次方程的一般解法呢？ 历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”的数学家是拉格朗日。拉格朗日在1770年发表《关于代数方程解的思考》一文中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三、四次方程那样的一般解。 接着1799年意大利数学家鲁菲尼得出这样一个结论，不可运用加减乘除及开方的代数方法和方程的系数表示五次方程根的一般解。但他证明既不完整，又不充分、严谨。于是，他的结论也只能被人们认定为假说。 这个结论难道就没人能证明出来吗？但人类的智慧是无限的。19世纪初，阿贝尔还在读中学时，就被五次方程求根公式吸引了，全力以赴投入研究这个问题。经过多年的苦心钻研，阿贝尔终于解决了一元五次方程解的难题，以严谨的公式证明了鲁菲尼假说，摘取了五次方程求根公式这颗数学问题的明珠。 阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解：另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔还没有来得及解决这一问题，就病死了。 科学的接力棒总是要继续往下传的。阿贝尔留给后人的问题谁来解决呢？解决这一问题的是法国的年轻数学家伽罗瓦，他在1829——1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。在这个问题论述中，伽罗瓦实际上建立了“群”的理论，当然伽罗瓦用到的只是一种特殊的群，即置换群。 五次方程根式解这一难题终于被证实了。数学尽管艰深无比，但人类的智慧是无穷的。

第一讲 二次根式及一元二次方程

第一讲 二次根式及一元二次方程 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 ???<-≥)0()0(a a a a 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算 术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积 的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0）； =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 6.分母有理化 (1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 (2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这 两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： a =b a -与 b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a a 分别互为有理化因式。 (3)分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 7、一元二次方程： (1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式 方程叫做一元二次方程。 (2) 一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a≠0)。其中，a 称为二次项系数，ax 2称为二次 项；b 称为一次项系数，bx 称为一次项；c 称为常数项。（确定a,b ，c 必须先化为一般式） （3）四种解法 ：

《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析(可编辑修改word版)

《二次根式及一元二次方程》 一、选择题 1.估算的值（） A．在1 和2 之间B．在2 和3 之间C．在3 和4 之间D．在4 和5 之间 2．要使+有意义，则x 应满足（） A．≤x≤3 B．x≤3 且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3 3.已知方程x2+bx+a=0 有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B．C．a+b D．a﹣b 4.已知a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（） A.没有实数根B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 5.武汉市2016 年国内生产总值（GDP）比2015 年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016 年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（） A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%） C．12%+7%=2?x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2 6．下列各式计算正确的是（） A． B．（a＜1） C． D． 7.关于x 的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0 有实数根，则a 满足（） A．a≥1 B．a＞1 且a≠5 C．a≥1 且a≠5 D．a≠5 8.设a，b 是方程x2+x﹣2016=0 的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（） A．2014 B．2017 C．2015 D．2016

9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3 的解是（） A．x=0 B．x=3 C．x=3 或x=﹣1 D．x=3 或x=0 10.方程x2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12 或15 C．15 D．不能确定 11.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c 12.如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D，且与直角边AB 相交于点C．若点A 的坐标为（﹣6，4），则△AOC 的面积为（） A．12 B．9 C．6 D．4 二、填空题 13．化简=． 14．计算的结果是． 15．计算：+=． 16.如果方程ax2+2x+1=0 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是． 17.设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0 的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为． 18.已知x=1 是一元二次方程x2+mx+n=0 的一个根，则m2+2mn+n2的值为． 19.请你写出一个有一根为1 的一元二次方程：．（答案不唯一） 20.关于x 的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0 的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是． 21.若把代数式x2﹣2x﹣3 化为（x﹣m）2+k 的形式，其中m，k 为常数，则m+k= ．

《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》 一、选择题 1．估算的值（） A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间 2．要使+有意义，则x应满足（） A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3 3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b 4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（） A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%） C．12%+7%=2?x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2 6．下列各式计算正确的是（） A． B．（a＜1） C． D． 7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014 B．2017 C．2015 D．2016

9．方程（x ﹣3）（x+1）=x ﹣3的解是（ ） A ．x=0 B ．x=3 C ．x=3或x=﹣1 D ．x=3或x=0 10．方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 11．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A ．a=c B ．a=b C ．b=c D ．a=b=c 12．如图，已知双曲线y=（k ＜0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（﹣6，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 二、填空题 13．化简= ． 14．计算的结果是 ． 15．计算： + = ． 16．如果方程ax 2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ． 17．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则x 12+3x 1x 2+x 22的值为 ． 18．已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ． 19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．（答案不唯一） 20．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则（x 1﹣x 2）2的值是 ． 21．若把代数式x 2﹣2x ﹣3化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则m+k= ． 22．将 根号外面的因式移进根号后等于 ．

一元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 2 0,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为2b x a -±=。 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ②

二次根式、一元二次方程(无答案).

湛师附中九年级数学单元测验（二） （二次根式、一元二次方程） 班级_____________ 姓名_______________ 学号_______ 一．填空题（每小题3分，共27分） 1、根式a －3有意义的条件是___________________． 2、关于x 的方程()023112=+-++x x a a 是一元二次方程，则a 的值是________． 3、化简：＝2 22c b a ___________． 4、1=x 是方程()0212=--+a ax x a 的一根，则a ＝_________． 5、配方：()2 2__________3+=++x x x ． 6、某服装原价为200元，连续两次涨价a ％后，售价为242元，则a ＝________． 7、一个等腰三角形的两边分别为1和2，另一边是方程0652=+-x x 的解，则这个三角形的周长是_________________． 8、写一个以1和2为两根的一元二次方程_______________________． 9、如图，在一个长和宽分别是10和6的矩形草地中修两 条同样宽的小路，设小路的宽为x ，则空白部分的面积是 ________________（用含x 的代数式表示）． 二．选择题（每小题3分，共24分） 1、下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A ．01322=+-x x B ．()()22122x x x =-+ C ．0122=-x D ．02=++c bx ax 2、下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．23a B ．18 C ．abc D ． 3 2 3、下列计算中，错误的是（ ）