[高等代数(下)课外习题 第九章 欧氏空间]

第九章 欧氏空间

一、判断题

1、12,,,n εεε 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij

n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )

2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( )

3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )

4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）

5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）

6、度量矩阵是正定的 （ ）

7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）

8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）

9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。

10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )

11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )

12、若矩阵A 为正交矩阵，则1

-='A A .( )

13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )

14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。( )

15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。( )

二、填空题

1、在欧氏空间3

R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．

2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．

3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2

A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --?? ?=- ? ???

，则向量

12323βααα=+-的长度为 。

5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .

6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。

7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。

8、设()()'='=1,0,0,1,0,0,1,1Y X ,则X 与Y 的夹角=θ .

9、若 A 为正交矩阵，则=-A A 1 ；

10、在n 维欧氏空间V 中,

n 级矩阵A 是V 的某个基的度量矩阵的充要条件是 .

三、选择题

1、若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。 .A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的

2、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）

①若()()γβγαβα=?=,,； ②若

βαβα=?=； ③若()11,=?=α

αα； ④若0(,)αβαβ-+=，?||||αβ=。 3、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ） ①()0,1,0;21,0,21;21,0,21??? ??-??? ??； ②；1111000012222

(,,),(,,),(,,)- ③()0,0,0;31,31,31;31,31,31???? ??-???? ??； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---。

4、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要非充分条件是（ ）

①σ保持非零向量的夹角； ②σ保持内积； ③σ保持向量的长度； ④σ把标准正交基映射为标准正交基。

5、A 为n 阶正交方阵，则

A. A.为可逆矩阵

B.秩 ()A 1=

C. 0=A

D.1=A

6、若两个n 阶方阵B A ,是正交矩阵,则AB 是 ( )

A.对称矩阵 .

B.相似矩阵

C.正交矩阵

D. BA AB =

7、下列说法正确的是( ).

A. 实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量必正交;

B. 实对称矩阵A 的属于相同特征值的特征向量必不正交;

C. 实对称矩阵A 的所有特征向量都正交;

D. 以上都不对.

8、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基( ).

A.不存在

B.存在不唯一;

C.存在且唯一 ;

D.不一定存在.

9、若??????? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 21

2222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A)T T AA A A E == (B)1=A

(C)12

1212211=+++n a a a (D)021********=+++n n a a a a a a

10、 若A 是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。

(A)T T AA A A E == (B)1=A

(C)1-='A A (D)A 的列向量组为单位正交向量组. 四、计算题

1、把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基.

2、设123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===是R 3的一个基，用正交化方法求R 3的一组标准正交基。

3、 设123,,εεε为V 的基，且线性变换A 在此基下的矩阵为

111111111A ?? ?= ? ???

（1）求A 的特征值与特征向量；

（2）A 是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T 使得1

T AT -为对角形．

4、已知R 3的一组向量α1=(1,0,0),α2=(1,1,0) ,α3=(1,1,1)。

（1）证明α1,α2 ,α3构成R 3的一个基；

（2）对其施行施密特正交化方法求出R 3的一个标准正交基。

5、 已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化为标准形

23

222152y y y f ++=，求a 的值．

五、证明题

1、设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=．

2、设A 为半正定矩阵，且0A ≠，证明：0A E +>．

3、设n ααα,,,21 是欧氏空间V 的一个基，α是V 中的向量， 证明 若n j j ,,2,1,0),( ==αα，则 α=0

4、设V 是一欧氏空间,0α≠是V 中一固定向量,试证明:

(1) {|(,)0,}W x x x V α==∈是V 的一个子空间;

(2) dim 1W n =-.

5、设η是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义

σ(α)=α-?η,α?η

试证明：（1）σ为线性变换；

（2）σ为正交变换；

（3）存在V 的一个标准正交基，使得σ关于这个基的矩阵具有形状

??????

? ??-100010001 。 6、321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基，试证：

1. ()()()3213321232112231223

12231αααβαααβαααβ--=+-=-+=

也是V 的一个标准正交基。

7、βααα,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,证明:如果β与每一个n i i ,,2,1, =α正交,那么0=β。

8、设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而??????? ??=),(),(),(),(),(),(),(),(),(21

2221212111m m m m m m αααααααααααααααααα 证明：当且仅当0≠ 时m ααα,,21 线性无关。

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页

,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?

部编版三年级语文上册《带刺的朋友》同步练习附答案 (2)

部编版三年级语文上册第七单元 《带刺的朋友》同步练习 一、轻松找朋友。 huǎn chán zǎo huǎng 恍馋枣缓 二、仿写词语。 黑洞洞： 斑斑驳驳： 噼里啪啦： 蹑手蹑脚： 三、重点段落品析。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它 cōnɡ cōnɡ( )地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的nà duī( )红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：cōnɡ mínɡ（）的小东西，tōu zǎo（）的本事可真高明啊！ 1.看拼音，把文中的词语补充完整。

2.请用文中的句子概括上文的主要内容。 3.正确朗读。 “聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！”要读出的语气。 参考答案： 一、zǎo chán huǎn huǎng 枣馋缓恍 二、绿油油白茫茫黑乎乎明明白白高高兴兴大大方方叮叮 咚咚叮叮当当滴滴答答碍手碍脚毕恭毕敬独来独往 三、1.聪明的小东西 2.偷枣的本事可真高明啊！ 3.钦佩

部编版三年级语文上册第七单元复习卡 一、听两遍朗读录音，完成下列练习。 1.我发明的未来的衣服，不仅颜色（），而且（）也不少。 2.无论多么寒冷，多么火热，都能保持温度（）。 3.冬天按（）按钮，就会给你穿上（）服。 4.去郊外玩耍，就按（）按钮，它将自动播放出（好听的音乐）。 二、下列加点字的读音完全正确的一项是（） A.汇．聚（hùn）弹琴．（qín）姿．态（zī） B.舒畅．（chànɡ）露．珠（lòu）凉爽．（shuǎnɡ） C.盘旋．（xuán）佩．服（pèi）呢．喃（lí） D.黎．明（lí）瞬．间（shùn）竹笋．（sǔn） 三、下列四组词语中，书写完全正确的一组是（） A.温柔感受打猎读书 B.麻雀翅榜鼻子梨子 C.手册斗动告诉乐器 D.级取蚂蚁沉重尺寸

高等数学第9章参考答案

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 24 2)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y x e x y + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 4 2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

高等代数习题

高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

高数A第9章课件：第九章习题课1

习 题 课 一．选择题 1.若级数，则级数（ ） S u n n 收敛于∑∞=1 )(11+∞ =+∑n n n u u 2．下列级数中收敛的级数是（ ） （A）∑∞=121n n ；（B）∑∞ =+1)11ln(n n ；（C）n n n n n 1()1(1+?∑∞=；（D）dx x x n n ∑∫∞=+10411。 3．设，则级数为常数 a ]1 )sin([ 12∑∞=?n n n na （ ） （A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关。 的取值a 4．)(!)(ln 2) 1(2R n n n n n n n ∈α?∑∞=α（ ） （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定其敛散性。 二．填空题 1．设常数，则当0>p p 满足条件 时，级数∑∞=π1 2sin n p n n 收敛。 2．设，且，则 S u u n n n n =?∑∞=?11)(A nu n n =∞→lim ∑∞==0 n n u 。 三．判别下列级数的敛散性 1．∑ ∞=?+12)1(2n n n 2.∑ ∞=+π1 3cos n n n n 3．∑ ∞=+1)1(3n n n n n

4．∑ ∞=?1354n n n n 5．11ln )1(51 +??+∑∞=n n n n n 四．解答题 1.讨论级数)0( ln )1(2>?∑∞ =a n a n n n 的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。 2.常数，级数取什么范围时 P p n n n n ln )1(1∑∞=?是（1）发散；（2）条件收敛； （3）绝对收敛。 五．证明题 1．设级数收敛，且绝对收敛，试证绝对收敛。 )(11∑∞=??n n n a a ∑∞=1n n b ∑∞ =1n n n b a 2．设函数上在1 )(≤x x f 有定义，在某邻域内具有二阶连续导数，且 的 0=x 0)(lim 0=→x x f x ，证明级数)1(1 ∑∞=n n f 绝对收敛。 3．设级数∑∞=??11n n n u u 收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛。 ∑∞=1 n n v ∑∞ =12 n n n v u 证明：∑∞=??11n n n u u 收敛S u u n n n 收敛于 )( 11∑∞=???S S n n =?∞ →lim ， 4．设∫ π=40tan xdx a n n ，（1）求)(121+∞=+∑n n n a a n 的值；（2）试证对任意的常数， 0>λ级数∑∞=λ1n n n a 收敛。

2019年秋部编版(统编版)小学三年级语文上册23带刺的朋友 教学设计(含课堂作业及答案)

23 带刺的朋友 【教学目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 3.指导学生有感情地朗读课文，体会作者对刺猬的喜爱之情，感受人与动物之间的美好情感。培养学生对于小动物的关注与喜爱。 【教学重点】 1.通过语言的感悟和训练，真切地感受刺猬偷枣的本领大，体会作者的喜爱之情。 2.朗读课文，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 【教学难点】 体会句子不同的表达方式，懂得使用比喻句，发挥想象，使句子更生动形象。 【教学课时】2课时 第一课时 【课时目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.初读课文，理清文章的层次。 【教具准备】 多媒体课件。

【课堂作业新设计】 一、给加点字选择正确的读音。 眼馋．（chán cán）缓．慢（hǎn huǎn）刺．猬（cìchì） 恍．然（huǎng guāng）聪．明（cōng chōng）偷．枣（tōu toū） 二、比一比，组词语。 枣（）棵（）匆（）缓（） 束（）颗（）沟（）暖（） 三、照样子写词语。 1.晃来晃去： 2.一举一动： 3.一颗颗： 参考答案： 一、chán√huǎn√cì√huǎng√cōng√tōu√ 二、甜枣一棵匆忙缓慢 结束颗粒山沟暖和 三、1.爬来爬去想来想去走来走去 2.一言一行一心一意一草一木 3. 一个个一片片一只只 第二课时 【课时目标】 1.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。

高等数学第二章练习及答案

第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2 《高等数学》2 期末复习题 一、填空题： 1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦ X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y , 则 ?z = ?y (1+ x ) y ln(1+ x ) . 3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1 dx + 2 dy (1,2) 3 3 4．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) = . 设 f (x + y , y ) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = . x 5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ?z = ?y e xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )] 6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2， 2 + ）的方向 导数是 1+ 2 2 2 y 1 7. 改换积分次序 ?0 dy ? y 2 f (x , y )dx = ； ?0 dy ? y -1 f (x , y )dx = . 8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则? xydx = L 9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为 . 二、选择题： 1. lim ( x , y )→(2,0) tan(xy ) y 等于 （ ）（上下求导） A ．2， B. 1 2 C.0 D.不存在 2. 函 数 z = 的定义域是（ D ） A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y } B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y } 3 x - y

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）

高等数学 课后习题答案第九章复习过程

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解： {4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ= == (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??== ∵2222,, z z x y x a y b ??=-=-??

高等数学下册第九章习题答案详解

高等数学下册第九章习题答案详解 1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程： （1）22 =sin ,=sintcos ,=cos ,x a t y b t z c t 点π 4 t = ; （2）222=6,++=0x y z x y z ++，点0(1,2,1)M -； （3）222,y mx z m x ==-点0000(,,)M x y z . 解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π 4 t = 的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ????????? 当π4t = 时， ,,222 a b c x y z === 切线方程为 2220a b c x y z a c - --==-. 法平面方程为 0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ??????? 即 22 022 a c ax cz -- +=. （2）联立方程组 2226 x y z x y z ?++=? ++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得 d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ? +?+?=??? ?++=?? 解得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==-- 在点M 0（1，-2，1）处， 00 d d 0,1d d M M y z x x ==-

所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 121 101 x y z -+-== - 法平面方程为 1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0. (3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得 d d 22,21d d y z y m z x x ==- 于是 d d 1 ,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011, ,2m y z ??-???? ,故切线方程为 000 00 ,112x x y y z z m y z ---==- 法平面方程为 00000 1()()()02m x x y y z z y z -+ ---=. 2. t ()02πt <<为何值时，曲线sin ,1cos ,4sin 2 t L x t t y t z =-=-=：在相应点的切线垂直于平 面0x y +=，并求相应的切线方程和法平面方程. 解：1cos ,sin ,2cos 2 t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =. 且T ∥n , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得π2t = ，相应点的坐标为π1,1,2?- ? .且{1T = 故切线方程为

三年级上册《带刺的朋友》基础练习(含答案)

三年级上册《带刺的朋友》基础练习（含答案） 基础知识练习 一、给下列生字注音并组词： 刺_____（）（）（） 枣_____（）（）（） 颗_____（）（）（） 忽_____（）（）（） 乎_____（）（）（） 暗_____（）（）（） 伸_____（）（）（） 匆_____（）（）（） 沟_____（）（）（） 聪_____（）（）（） 偷_____（）（）（） 追_____（）（）（） 腰_____（）（）（） 二、给下列生字注音： 馋（）猫缓（）慢惊讶（） 预测（）监（）视恍（）惚 醒悟（）逐（）个扎

（）针 三、多音字 扎_____（）_____（）_____（）散_____（）_____（） 兴_____（）_____（） 四、近义词 摆动一一（）朦胧一一（） 惊讶一一（）猜测一一（） 监视一一（）诡秘一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 踪影一一（）恍然大悟一（） 五、反义词 朦胧一一（）缓慢一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 聪明一一（）蹑手蹑脚一一（） 六、根据意思写词语： 1、看见自己喜爱的事物极想得到。（） 2、月光不明;看不清。（） 3、一种颜色中杂有别种颜色，花花搭搭的。（） 4、不迅速；慢。（） 5、感到很奇怪；惊异。（） 6、推测；凭想象估计。（）

7、从旁严密注视、观察。（） 8、(行动、态度等)隐秘不易捉摸。（） 9、猛然清醒的样子；形容一下子明白过来。（） 10、把分散着的东西聚集到一起。（） 11、敬重佩服。（） 12、智力发达，记忆和理解能力强。（） 13、形容放轻脚步走的样子。也形容偷偷摸摸、鬼鬼祟祟的样子。（） 14、踪迹形影(指寻找的对象，多用于否定式)。（） 参考答案 一、给下列生字注音并组词： 刺cì（刺猬、鱼刺、讽刺） 枣zǎo（枣树、枣子、囫囵吞枣） 颗kē（颗粒、一颗、两颗钉子） 忽hū（忽然、忽略、忽高忽低） 乎hū（圆乎乎、胖乎乎、出乎意料） 暗àn（黑暗、暗号、柳暗花明） 伸shēn（伸出、伸冤、能屈能伸） 匆cōng（匆匆、匆忙、来去匆匆） 沟gōu（水沟、沟渠、山沟） 聪cōng（聪明、失聪、耳聪目明） 偷tōu（偷枣、小偷、偷偷摸摸）

《高等代数》试题库

《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；

．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4

三年级上册《带刺的朋友》同步练习(含答案)

带刺的朋友 一、读拼音，写词语。 Zǎo shù hū rán cōng míng shuǐ gōu 二、比一比，组词语。 颗( ) 乎( ) 课( ) 平( ) 伸( ) 偷( ) 神( ) 愉( ) 三、写出下列词语的近义词。 缓慢—— ______ 注视—— ______ 高明——______ 猜测——______ 四、按要求改写句子。 1．挂满红枣的树杈慢慢弯下来。(缩句) ________________________________ 2．这不是刺猬吗？(改为肯定句) ________________________________ 五、课内阅读。 我还没弄清楚是怎么回事，树上那个家伙就噗的一声掉了下来。听得出，摔得还挺重呢！ 我恍然大悟：这不是刺猬吗？ 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 1．选文第三段写了刺猬偷枣的过程，请从中找出描写刺猬偷枣动作的词语，写在下面。 _____________________________________________________________________ ___ 2．选文中，作者一开始称刺猬是“那个家伙”，后来变成“小东西”，从中作者对刺猬的情感变化是怎样的？ _____________________________________________________________________ ___ 3．试着用简洁的语言概括选文的内容。

《高等代数》(上)题库

《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程

部编版三年级语文上册23.带刺的朋友课时测评卷(含答案)

23带刺的朋友 课时测评方案 字词模块 一、按要求将下列字分类。（填序号） ①枣②馋③测④逐⑤聪 平舌音的字：__________翘舌音的字：__________ 二、看拼音，写词语。 shēｎshǒｕzhuīɡǎｎshuǐɡōｕ yúcìàｎzìtōｕzǎｏ 三、根据读音写汉字，组成词语。 cōｎɡ （）忙（）明（）慧 kē 一（）枣一（）树（）学 四、选出能够替换句中加点词的词语。 1.我非常惊讶 ．．，赶忙贴到墙根，注视着它的一举一动。（） A.惊吓 B.吃惊 C.惊动 2.那个东西一定没有发现我在监视它，仍旧诡秘．．地爬向老树杈。（） A.诡计 B.保密 C.隐秘 句子模块 五、按要求完成句子练习。 1.我恍然大悟：这不是刺猬吗？（变成肯定句） _________________________________________________________________

2.挂满红枣的树杈慢慢弯下来。（缩句） _________________________________________________________________ 3.已经没了踪影。（修改病句） _________________________________________________________________ 读写模块 六、课内阅读。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆 地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。 也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 画出描写“刺猬是怎样把红枣偷走的”的语句。 1.用“____” 2.“劲头比上树的时候足多了”是因为（） A.刺猬爬树时比在地上活动时要费力。 B.刺猬很勤劳，做事很努力。 C.刺猬摇下了很多枣，很高兴，干劲儿很足。 3.“聪明的小东西”指的是____________，这样称呼表现了作者对它的 ____________之情。 七、课外阅读。 生物学家通过多年的观察研究，对蚂蚁的生活习性有了一些认识。 蚂蚁经常到离巢穴很远的地方去找食物。它找到食物，要是吃不了，又拖不 回去，就急忙奔回巢去“搬兵”，把别的蚂蚁领来，它们同心协力地把食物拖回 巢去。 蚂蚁是靠什么来把消息通知给同伴的呢？它招呼同伴就靠头上那对触角。它 们用触角互相撞碰来传递信号。只要食物又大又合口味，触角就摆动得特别猛烈。 蚂蚁认路的本领很强。它认路主要靠眼睛，能凭借陆地上和天空中的景物辨 别。有人做过一个实验，用一个圆筒围住一群在归途中的蚂蚁，只让它们看见天