大学一年级第一学期期末高等数学(上)试题和答案解析

1、(本小题5分)

求极限　lim x x x x x x →-+-+-233

21216

29124

2、(本小题5分)

.

d )1(2

2x x x

?

+求

3、(本小题5分)

求极限lim arctan arcsin

x x x →∞

?1

4、(本小题5分)

?

-.d 1x x x

求

5、(本小题5分)

．

求dt t dx

d x ?

+2

21

6、(本小题5分) ??.

d csc cot 46x x x 求

（第七题删掉了）

8、(本小题5分)

设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t

==?????=cos sin (),2

2

9、(本小题5分)

．

求dx x x ?+3

1

10、(本小题5分)

求函数　的单调区间

y x x =+-422

11、(本小题5分)

．

求?

π

+20

2sin 8sin dx x x

12、(本小题5分)

．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-

13、(本小题5分)

设函数由方程所确定求

．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226

14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2

15、(本小题5分)

求极限lim

()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222

16、(本小题5分)

.

d cos sin 12cos x x x x

?

+求

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿

2、(本小题7分)

.

823

2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==

三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230

(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)

解原式:lim =--+→x x x x 222

312

61812

=-→lim

x x

x 261218

=2

2、(本小题3分)

?+x

x x

d )1(22 ?++=

222

)1()1d(21x x =-++12112x c .

3、(本小题3分)

因为arctan x <

π

2

而lim arcsin

x x →∞

=1

故lim arctan arcsin

x x x →∞

?=1

4、(本小题3分)

?-x x x

d 1

x

x x d 111?----=

??-+-=x x

x 1d d =---+x x c ln .1

5、(本小题3分)

．

求dt t dx

d x ?

+2

21

原式=+214x x

6、(本小题4分)

?

?x x x d csc cot 46

?+-=)

d(cot )cot 1(cot 2

6

x x x

=--+171

979cot cot .

x x c

8、(本小题4分)

设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t

==?????=cos sin (),2

2

解： dy dx e t t e t t t t t =

+-22222(sin cos )

(cos sin )

=

+-e t t t t t t (sin cos )

(cos sin )2222

9、(本小题4分)

．

求dx x x ?+3

1

令　1+=x u

原式=-?241

2

2()u u du

=-253531

2

()u u

=

11615 10、(本小题5分)

求函数　的单调区间y x x =+-422

解：),(+∞-∞函数定义域

01)

1(222='=-=-='y x x x y ，当

(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为

，当函数单调增区间为

，　当y x y x 11、(本小题5分)

．求?

π

+20

2

s i n 8s i n dx x x

原式=--?d x

x cos cos 920

2

π

=-+-163302ln

cos cos x x π

=162ln

12、(本小题6分)

．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-

解：dx x t dt ='()

[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-　

13、(本小题6分)

设函数由方程所确定求

．y y x y y x dy

dx =+=()ln ,226

2265yy y y x '+

'

=

'=+y yx y 315

2

14、(本小题6分)

求函数的极值y e e x x =+-2

解：定义域，且连续(),-∞+∞

'=--y e e x x 21

22()

驻点：x =

1212ln

由于''=+>-y e e x x 20

2

2)21

ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分)

求极限lim

()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222

原式=++++++++--→∞lim

()()()()()()

x x x x x x x 112131*********

2222

=

????=

1011216101172 16、(本小题10分)

dx

x

x

dx x x x ??

+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解

?

++=x

x d 2s i n 11)12s i n 21( =++ln sin 11

22x c

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)

,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿

设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x x

L x x x ,,()512

2512

0=+

> '=-=L x x 2512

16

2 唯一驻点 ''=>=L x x 1024

0163 即为极小值点

故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿

所用材料最省16512

16

32,,=

2、(本小题8分)

.

8

232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==

解 :,,.

x x x x x x 23

2311288204====

V x x dx x x dx

x =-??????=-??ππ()()()223204

46

0428464

=?-?π()

14151641757

04

x x

π

=-π=35512)7151(44 三、解答下列各题

( 本 大 题10分 )

设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03

又f f f f ()()()()01230====

则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230

∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程

又='x f 由上述有且仅有三个实根'f x ()

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、.______)

31(lim 2

=+→x

x x 。

2、当 时，?????>+≤=0

0e

)(2x k x x x f x

在0=x 处连续．

3、设x x y ln +=,则

______=dy

dx

4、曲线x e y x

-=在点（0，1）处的切线方程是 5、若

?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数x

x x f =

)(，则=→)(lim 0

x f x （ ）

A 、0

B 、1-

C 、1

D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. )0(1ln

+→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(4

2

2→--x x x

3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（

）．

A ．极大值点

B ．极小值点

C ．驻点

D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A 、

?

+∞

sin xdx B 、dx e x ?+∞-0

2 C 、dx x ?

+∞

1

D 、dx x

?+∞01

5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。则AMB ∠=

A 、

3π B 、4π C 、2

π

D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 x

x x 2sin 2

4lim

-+→ 。

2、求极限 )1

11(

lim 0

--→x x e x 3、求极限 2

cos 1

2

lim

x

dt

e

x

t x ?-→

4、设)1ln(2

5x x e y +++=，求y '

5、设)(x y f =由已知???=+=t

y t x arctan )1ln(2，求2

2dx y

d 6、求不定积分 dx x x ?+)32

sin(12

7、求不定积分

x x e x d c o s

? 8、设??????

?≥+<+=0

110

11)(x x

x e x f x

， 求

?

-2

d )1(x x f

四、 应用题（本题7分）

求曲线2x y =与2

y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。 五、 证明题（本题7分）

若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2

1

(=f ，证明：

在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、6

e 2、k =1 ． 3、

x

x

+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：x x x 2sin 2

4lim

-+→8

1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 2.解 ：21

lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe

e e e xe e e e x x e e x 3、解： 2

cos 1

2

lim

x dt

e

x

t x ?-→e

x

xe x

x 21

2sin lim 2

cos

0-

=-=-→ 4、解： )111(112

2

x

x

x y ++

++=

' 2

11x

+=

5、解：t t t t dx dy 21

1211

2

2=++=

2

2

2

2

321

12()241d y t d dy

dx

t dt

t dt dx dx

t t

-

+==

=-+ 6、解：

C x

d x dx x x ++=++-=+??)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 7、 解：

??=x x

e x x x e

d cos d cos

?+=sinxdx e cos x x e x ?+=x de sin cos x x e x

dx cos sin cos x e x e x e x x x ?-+=

C x x e x ++=)cos (sin

8、解：

????

--+==-01

1

11

2

d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f …

??

+++=-100

11d 1d x x e x x 1

00

1)1ln(d )11(x x e

e x x +++-=?- 2ln )

1ln(101

++-=-x e

)1ln()1ln(11e e +=++=-

四．

应用题（本题7分）

解：曲线2

x y =与2

y x =的交点为（1，1）， 于是曲线2

x y =与2

y x =所围成图形的面积A 为

31

]3132[)(10

210

23

2=-=-=?x x dx x x A A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：

()

πππ10352)(1

0521

4

2=????

??-=-=?y y dy y y V 五、证明题（本题7分） 证明： 设x x f x F -=)()(，

显然)(x F 在]1,21

[上连续，在)1,2

1(内可导， 且 021

)21(>=

F ，01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,2

1[1∈x ，使0)(1=x F . 由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点

)1,0(),0(1?∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf …

enjoy the trust of 得到...的信任 have / put trust in 信

任 in trust 受托的，代为保管的

take ...on trust 对...不加考察信以为真 trust on 信赖 give a new turn to 对~~予以新的看法 turn a round / round 转身，转过来，改变意见turn back 折回，往回走turn … away 赶走……，辞退……，把……打发走，转脸

不睬，使转变方向 turn to … 转向……，（for help ）向……求助，查阅， 变成；着手于think through… 思考……直到得出结论，想通think of 想到，想起，认为，对……有看法/想法