第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1?tan αtan β
.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan 2α=2tan α
1-tan 2α.
3.三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明. 4.正弦定理
a sin A =
b sin B =
c sin C
=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c
2R .
a ∶
b ∶
c =sin A ∶sin B ∶sin C . 5.余弦定理
a 2=
b 2+
c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 2
2ac ,
cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
.
变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B , a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 6.面积公式
S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =1
2ab sin C .
7.解三角形
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.
热点一 三角变换
例1 (1)已知sin(α+π3)+sin α=-435,-π2<α<0,则cos(α+2π
3)等于( )
A .-4
5
B .-35
C.45
D.35
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π
2),且tan α=1+sin βcos β,则( )
A .3α-β=π
2
B .2α-β=π
2
C .3α+β=π
2
D .2α+β=π
2
思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+2
3
π)进行比较.
(2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系. 答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵sin(α+π3)+sin α=-435,-π
2<α<0,
∴32sin α+32cos α=-43
5, ∴
32sin α+12cos α=-45
, ∴cos(α+2π3)=cos αcos 2π3-sin αsin 2π3
=-12cos α-32sin α=45
.
(2)由tan α=1+sin βcos β得sin αcos α=1+sin βcos β,
即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin(π
2-α).
∵α∈(0,π2),β∈(0,π
2
),
∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π
2),
∴由sin(α-β)=sin(π2-α),得α-β=π
2-α,
∴2α-β=π
2
.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
设函数f (x )=cos(2x +π
3
)+sin 2x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值;
(2)若θ是第二象限角,且f (θ2)=0,求cos 2θ
1+cos 2θ-sin 2θ
的值.
解 (1)f (x )=cos(2x +π3)+sin 2x =cos 2x cos π3-sin 2x sin π3+1-cos 2x 2=12-3
2sin 2x .
所以f (x )的最小正周期为T =2π
2=π,最大值为1+32.
(2)因为f (θ
2
)=0,
所以12-32sin θ=0,即sin θ=33,
又θ是第二象限角,
所以cos θ=-1-sin 2θ=-
63
. 所以cos 2θ
1+cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ2cos 2θ-2sin θcos θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)2cos θ(cos θ-sin θ)=cos θ+sin θ2cos θ
=-63+3
32×(-63)
=6-326
=2-24.
热点二 解三角形
例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足a =2sin A ,cos B cos C +2a c +b
c =
0.
(1)求边c 的大小;
(2)求△ABC 面积的最大值.
思维启迪 (1)将cos B cos C +2a c +b
c =0中的边化成角,然后利用和差公式求cos C ,进而求c .(2)
只需求ab 的最大值,可利用cos C =a 2+b 2-c 2
2ab 和基本不等式求解.
解 (1)∵
cos B cos C +2a c +b
c
=0, ∴c cos B +2a cos C +b cos C =0,
∴sin C cos B +sin B cos C +2sin A cos C =0, ∴sin A +2sin A cos C =0, ∵sin A ≠0,
∴cos C =-1
2,∵C ∈(0,π)
∴C =2π3,∴c =a sin A
·sin C = 3.
(2)∵cos C =-12=a 2+b 2
-3
2ab
,
∴a 2+b 2+ab =3,∴3ab ≤3,即ab ≤1. ∴S △ABC =12ab sin C ≤3
4.
∴△ABC 的面积最大值为
3
4
.
思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的统一,问题便可突破. 几种常见变形:
(1)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;
(2)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,其中R 为△ABC 外接圆的半径; (3)sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C .
(1)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A
=2a ,则b
a 等于( )
A. 2 B .2 2 C. 3
D .2 3
(2)(2014·江西)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π
3,则△ABC 的面积是( ) A .3 B.93
2
C.332
D .3 3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为a sin A sin B +b cos 2A =2a ,由正弦定理得sin 2A sin B +sin B cos 2A =2sin A ,即sin B =2sin A , 即sin B sin A =2,b a =sin B sin A
= 2. (2)∵c 2=(a -b )2+6,∴c 2=a 2+b 2-2ab +6.① ∵C =π3,∴c 2=a 2+b 2-2ab cos π
3=a 2+b 2-ab .②
由①②得ab =6.
∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332.
热点三 正、余弦定理的实际应用
例3 (2013·江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆
车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速
度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量cos A =1213,cos C =35. (1)求索道AB 的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 思维启迪 (1)直接求sin B ,利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数.
解 (1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,
所以sin A =513,sin C =4
5
.
从而sin B =sin [π-(A +C )]=sin(A +C ) =sin A cos C +cos A sin C
=513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC
sin B ,得 AB =AC sin B ×sin C =1 2606365×45
=1 040(m).
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m ,乙距离A 处130t m , 所以由余弦定理得
d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×12
13
=200(37t 2-70t +50),由于0≤t ≤1 040
130,即0≤t ≤8,
故当t =35
37 min 时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理BC sin A =AC
sin B
,
得BC =AC sin B ×sin A =1 2606365
×5
13
=500(m).
乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得1 25043≤v ≤625
14
,
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在????
1 25043,62514(单位:m/min)范围内.
思维升华 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答.
如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A 地侦察发现,
在南偏东60°方向的B 地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶,企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民,能不能及时赶到?(2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
解 过点A 作AD ⊥BC ,交BC 的延长线于点D .
因为∠CAD =45°,AC =10海里, 所以△ACD 是等腰直角三角形. 所以AD =CD =
22AC =2
2
×10=52(海里). 在Rt △ABD 中,因为∠DAB =60°,
所以BD =AD ×tan 60°=52×3=56(海里). 所以BC =BD -CD =(56-52)(海里).
因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行, 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1=AC 30=1030=1
3(小时),某国军舰到达C 点所用的时间
t 2=BC 13=5×(6-2)13≈5×(2.45-1.41)13
=0.4(小时).
因为1
3
<0.4,所以中国海监船能及时赶到.
1.求解恒等变换问题的基本思路
一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下:
(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心.
(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 2.解三角形的两个关键点
(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a =2R sin A ,sin A =a
2R (其中2R 为三角形外接圆的直径),a 2+b 2-c 2=2ab cos C 等,灵活根据条件求解三角
形中的边与角.
(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A +B )=sin C ,sin A +B 2=cos C
2
等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.
3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型.
真题感悟
1.(2013·浙江)已知α∈R ,sin α+2cos α=10
2
,则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C .-34 D .-4
3 答案 C
解析 ∵sin α+2cos α=
10
2
, ∴sin 2α+4sin α·cos α+4cos 2α=5
2.
用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-3
4
.故选C.
2.(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________. 答案
6-2
4
解析 由sin A +2sin B =2sin C ,结合正弦定理得a +2b =2c . 由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
=a 2
+b 2
-(a +2b )242ab =34a 2+12b 2-
2ab
2
2ab
≥
2
????34a 2????12b 2-2ab 2
2ab
=6-2
4
,
故6-24≤cos C <1,且3a 2=2b 2时取“=”.
故cos C 的最小值为6-2
4.
押题精练
1.在△ABC 中,已知tan
A +B
2
=sin C ,给出以下四个结论: ①tan A tan B
=1;②1 A .①③ B .②③ C .①④ D .②④ 答案 D 解析 依题意,tan A +B 2=sin A + B 2 cos A +B 2=2sin A +B 2cos A +B 2 2cos 2 A +B 2 = sin (A +B ) 1+cos (A +B )=sin C 1+cos (A +B )=sin C . ∵sin C ≠0,∴1+cos(A +B )=1,cos(A +B )=0. ∵0 2,即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形. 对于①,由tan A tan B =1,得tan A =tan B ,即A =B ,不一定成立,故①不正确; 对于②,∵A +B =π2,∴sin A +sin B =sin A +cos A =2sin(A +π 4 ), ∴1 对于③,∵A +B =π 2,∴sin 2A +cos 2B =sin 2A +sin 2A =2sin 2A , 其值不确定,故③不正确; 对于④,∵A +B =π 2 ,∴cos 2A +cos 2B =cos 2A +sin 2A =1=sin 2C ,故④正确. 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,q =(2a,1),p =(2b -c ,cos C ),且q ∥p . (1)求sin A 的值; (2)求三角函数式-2cos 2C 1+tan C +1的取值范围. 解 (1)∵q =(2a,1),p =(2b -c ,cos C )且q ∥p ,∴2b -c =2a cos C , 由正弦定理得2sin A cos C =2sin B -sin C , 又sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C , ∴1 2 sin C =cos A sin C . ∵sin C ≠0,∴cos A =12,又∵0 3, ∴sin A = 3 2 . (2)原式=-2cos 2C 1+tan C +1=1-2(cos 2C -sin 2C ) 1+ sin C cos C =1-2cos 2C +2sin C cos C =sin 2C -cos 2C = 2sin(2C -π 4 ), ∵0 12π, ∴- 22 4 )≤1, ∴-1<2sin(2C -π 4 )≤2, 即三角函数式-2cos 2C 1+tan C +1的取值范围为(-1 ,2]. (推荐时间:60分钟) 一、选择题 1.(2014·浙江)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( ) A .向右平移π 4个单位 B .向左平移π 4个单位 C .向右平移π 12个单位 D .向左平移π 12 个单位 答案 C 解析 因为y =sin 3x +cos 3x =2sin(3x +π 4) =2sin[3(x +π12)],又y =2cos 3x =2sin(3x +π 2 ) =2sin[3(x +π6)],所以应由y =2cos 3x 的图象向右平移π 12个单位得到. 2.已知α∈(π2,π),sin(α+π4)=3 5,则cos α等于( ) A .-210 B.7210 C .- 210或7210 D .-7210 答案 A 解析 ∵α∈(π2,α).∴α+π4∈(34π,5 4π). ∵sin(α+π4)=3 5, ∴cos(α+π4)=-4 5 , ∴cos α=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin(π4)=-45×22+35×22=-2 10. 3.在△ABC 中,若sin C sin A =3,b 2-a 2=5 2ac ,则cos B 的值为( ) A.1 3 B.12 C.15 D.14 答案 D 解析 由正弦定理:c a =sin C sin A =3, 由余弦定理:cos B =a 2 +c 2 -b 2 2ac =c 2-52ac 2ac =12×c a -54=32-54=1 4 . 4.(2013·陕西)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不确定 答案 B 解析 由b cos C +c cos B =a sin A ,得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,即sin(B +C )=sin 2A ,所以sin A =1,由0 2 ,所以△ABC 为直角三角形. 5.已知tan β=43,sin(α+β)=5 13,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为( ) A.63 65 B.3365 C.1365 D.6365或3365 答案 A 解析 依题意得sin β=45,cos β=35.注意到sin(α+β)=513 2(否则,若α +β≤π2,则有0<β<α+β≤π 2,0 =-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=6365 . 6.已知△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且tan B =2-3a 2-b 2+c 2,BC →·BA →=12, 则tan B 等于( ) A.3 2 B.3-1 C .2 D .2- 3 答案 D 解析 由题意得,BC →·BA →=|BC →|·|BA → |cos B =ac cos B =12,即cos B =12ac , 由余弦定理, 得cos B =a 2+c 2-b 22ac =1 2ac ?a 2+c 2-b 2=1, 所以tan B =2-3 a 2- b 2+ c 2=2-3,故选D. 二、填空题 7.已知tan ????α+π4=12,且-π 2<α<0,则2sin 2 α+sin 2αcos ????α-π4=________. 答案 -25 5 解析 由tan ???α+π4=tan α+11-tan α=12, 得tan α=-13. 又-π2<α<0,可得sin α=-10 10. 故2sin 2α+sin 2αcos ????α-π4=2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α) =22sin α=-25 5 . 8.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知a 2-c 2=2b ,且sin A cos C =3cos A sin C ,则b =________. 答案 4 解析 由sin A cos C =3cos A sin C 得:a 2R ·a 2+b 2-c 2 2ab =3·b 2+c 2-a 22bc ·c 2R , ∴a 2 +b 2 -c 2 =3(b 2 +c 2 -a 2 ),a 2 -c 2 =b 2 2 , 解方程组:???? ? a 2-c 2=2 b a 2- c 2=b 22 ,∴b =4. 9.已知0<α<π2<β<π,cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45,则cos(α+π 4)=________. 答案 82-315 解析 因为0<α<π 2<β<π, 所以π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2. 所以sin(β-π 4 )>0,cos(α+β)<0. 因为cos(β-π4)=13,sin(α+β)=4 5, 所以sin(β-π4)=223,cos(α+β)=-3 5. 所以cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π 4)] =cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π 4) =-35×13+45×223=82-3 15 . 10.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC ,现在又新架设了一条索道AC ,小李在山脚B 处看索道AC ,发现张角∠ABC =120°;从B 处攀登400米到达D 处,回头看索道AC ,发现张角∠ADC =150°;从D 处再攀登800米方到达C 处,则索道AC 的长为________米. 答案 40013 解析 如题图,在△ABD 中,BD =400米,∠ABD =120°.因为∠ADC =150°,所以∠ADB =30°.所以∠DAB =180°-120°-30°=30°. 由正弦定理,可得BD sin ∠DAB =AD sin ∠ABD . 所以400sin 30°=AD sin 120° ,得AD =4003(米). 在△ADC 中,DC =800米,∠ADC =150°,由余弦定理,可得 AC 2=AD 2+CD 2-2×AD ×CD ×cos ∠ADC =(4003)2+8002-2×4003×800×cos 150°=4002×13,解得AC =40013(米). 故索道AC 的长为40013米. 三、解答题 11.(2014·安徽)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B . (1)求a 的值; (2)求sin ??? ?A +π 4的值. 解 (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B . 由正、余弦定理得a =2b ·a 2+c 2-b 2 2ac . 因为b =3,c =1,所以a 2=12,a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-1 3.